2017年山东省高考数学三模试卷（文科）含答案解析

2017 年山东 省 高考数学三模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 . 1设全集 U= 3， 2， 1， 0， 1， 2， 3，集合 A=x Z|2x 3 0，则 ） A 3， 2 B 2， 3 C（ 3， 2） D（ 2， 3） 2设 0 x ，则 “1”是 “1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3已知 +） = ， ） = ，那么 + ）等于（ ） A B C D 4等差数列 前 n 项和为 ， 6，则 ） A 9 B 10 C 11 D 12 5已知 m， n 是两条不同直线， ， ， 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A若 ， ，则 B若 m ， n ，则 m n C若 m ， n ，则 m n D若 m ， m ，则 6设 x， y 满足约束条件： ，则 z=x 2y 的最大值为（ ） A 3 B 3 C 4 D 2 7已知函数 f（ x） =1，其 中实数 k 随机选自区间 2， 2， x 0， 1，f（ x） 0 的概率是（ ） A B C D 8已知函数 g（ x） =|1|的图象如图所示，则函数 y=g（ x）图象大致为（ ） A B C D 9已知双曲线 的右焦点为 F，若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（ ） A B C D 10如图所示，两个非共线向量 ， 的夹角为 ， M、 N 分别为 中点，点 C 在直线 ，且 =x +y （ x， y R）， 则 x2+最小值为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11已知向量 ，其中 ，且 ，则向量 的夹角是 12椭圆 + =1 与双曲线 焦点相同，则 a= 13已知圆 C 过点（ 1， 0），且圆心在 x 轴的负半轴上，直线 l： y=x+1 被该圆所截得的弦长为 2 ，则圆 C 的标准方程为 14若函数 f（ x） =2|x a|（ a R）满足 f（ 1+x） =f（ 1 x），且 f（ x）在 m， + ）上单调递增，则实数 m 的最小值等于 15下面给出的四个命题中： 以抛物线 x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ x 1） 2+； 若 m= 2，则直线（ m+2） x+=0 与直线（ m 2） x+（ m+2） y 3=0 相互垂直； 命题 “ x R，使得 x+4=0”的否定是 “ x R，都有 x+4 0”； 将函数 y=图象向右平移 个单位，得到函数 y=2x ）的图象 其中是真命题的有 （将你认为正确的序号都填上） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 明过程或 演算步骤 . 16某网站针对 2014 年中国好声音歌手 A， B， C 三人进行网上投票，结果如下： 观众年龄 支持 A 支持 B 支持 C 20 岁以下 200 400 800 20 岁以上（含 20 岁） 100 100 400 （ 1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取 n 人，其中有 6 人支持A，求 n 的值 （ 2）在支持 C 的人中，用分层抽样的方法抽取 6 人作为一个总体，从这 6 人中任意选取 2 人，求恰有 1 人在 20 岁以下的概率 17已知函数 （ ）求函数 f（ x）的最大值及取得最大值时的 x 的集合； （ ） ， a， b， c 分别是 A， B， C 的对边， ，求边长 c 的值 18如图，在四棱锥 P ， 平面 面 菱形，点O 是对角线 交点， M 是 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）平面 平面 19已知数列 足 ，且点 P（ ）在直线 y=x+2 上；数列 前n 项和为 足 2， n N* （ ）求数列 通项公式； （ ）设数列 足 cn=列 前 n 项和为 最小值 20已知函数 f（ x） = （ 1）讨论函数 f（ x）的单调性； （ 2）对于任意正实数 x，不等式 f（ x） 恒成立，求实数 k 的取值范围 21已知椭圆 ， F 为椭圆 C 的右焦点，过点 F 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于一点 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）已知 A， B 为椭圆 C 的左右顶点， P 为椭圆 C 上异于 A， B 的任意一点，直线 别交直线 l： x=m（ m a）于 M， N 两点， （ ）设直线 斜率分别为 证： 定值； （ ）若以线段 直径的圆过点 F，求实数 m 的值 2017 年山东 省 高考数学三模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 . 1设全集 U= 3， 2， 1， 0， 1， 2， 3，集合 A=x Z|2x 3 0，则 ） A 3， 2 B 2， 3 C（ 3， 2） D（ 2， 3） 【考点】 补集及其运算 【分析】 求出 A 中的解集确定出 A，根据全集 U 求出 A 的补集即可 【解答】 解：全集 U= 3， 2， 1， 0， 1， 2， 3， 集合 A=x Z|2x 3 0= 1， 0， 1， 2， 3， 所以 3 2 故选： A 2设 0 x ，则 “1”是 “1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 不等关系与不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的单调性 【分析】 由 x 的范围得到 范围，则由 1 能得到 1，反之不成立答案可求 【解答】 解： 0 x ， 0 1， 故 若 “1”，则 “1” 若 “1”，则 ， 1此时 1可能不成立例如 x ， ， 1 由此可知， “1”是 “1”的必要而不充分条件 故选 B 3已知 +） = ， ） = ，那么 + ）等于（ ） A B C D 【考点】 两角和与差的正切函数 【分析】 把 已 知 的 条 件 代 入 =（ + ）（ ） = ，运算求得结果 【解答】 解： 已知 ， = +）（ ） = = = ， 故选 C 4等差数列 前 n 项和为 ， 6，则 ） A 9 B 10 C 11 D 12 【考点】 等差数列的性质 【分析】 由等差数列可得 6=36，从而求得 ，从而求得 【解答】 解： 6=36， ， ， a6= 6 4） （ 7 5） =11， 故选： C 5已知 m， n 是两条不同直线， ， ， 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A若 ， ，则 B若 m ， n ， 则 m n C若 m ， n ，则 m n D若 m ， m ，则 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解 【解答】 解：若 ， ，则 与 相交或平行，故 A 错误； 若 m ， n ，则由直线与平面垂直的性质得 m n，故 B 正确； 若 m ， n ，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 C 错误； 若 m ， m ，则 与 相交或平行，故 D 错误 故选： B 6设 x， y 满足约束条件： ，则 z=x 2y 的最大值为（ ） A 3 B 3 C 4 D 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z=x 2y，得 y= 平移直线 y= ，由图象可知当直线 y= 经过点 A（ 3， 0）时，直线 y=的截距最小， 此时 z 最大，此时 2 0=3 故选： B 7已知函数 f（ x） =1，其中实数 k 随机选自区间 2， 2， x 0， 1，f（ x） 0 的概率是（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 由题 意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，根据题目中所给的条件可求 k 的范围，区间的长度之比等于要求的概率 【解答】 解：由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比， 2 k 2，其区间长度是 4， 又 对 x 0， 1， f（ x） 0 且 f（ x）是关于 x 的一次型函数，在 0， 1上单调， ， 2 k 1，其区间长度为 3， P= ， 故选： D 8已知函数 g（ x） =|1|的图象如图所示，则函数 y=g（ x）图象大致为（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 根据导数的几何意义：表示切线斜率，结合原函数图象可得切线斜率的变化情况，从而可得正确选项 【解答】 解：根据函数图象可知当 x 0 时，切线的斜率小于 0，且逐渐减小， 当 x 0 时，切线的斜率大于 0，且逐渐增加， 故选 C 9已知双曲线 的右焦点为 F，若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 渐近线方程 y= x，当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点， 由此能求出此直线的斜率的取值范围 【解答】 解：渐近线方程 y= x， 当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时， 这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点 （因为双曲线正在与渐近线无限接近中）， 那么在斜率是 两条直线之间的所有直线中， 都与双曲线右支只有一个交点 此直线的斜率的取值范围 故选： A 10如图所示，两个非共线向量 ， 的夹角为 ， M、 N 分别为 中点，点 C 在直线 ，且 =x +y （ x， y R），则 x2+最小值为（ ） A B C D 【 考点】 点到直线的距离公式；平面向量坐标表示的应用 【分析】 法一：特殊值法，当 =90， | |=| |=1 时，建立直角坐标系，得 x+y= ，所以 x2+最小值为原点到直线的距离的平方； 解法二：因为点 C、 M、 N 共线，所以 ，有 +=1，由 M、 N 分别为 中点，可得 x+y= ，下同法一 【解答】 解法一：特殊值法，当 =90， | |=| |=1 时，建立直角坐标系， =x +y 得 x+y= ，所以 x2+最小值为原点到直线的距离的平方； 解法二：因为点 C、 M、 N 共线，所以 ，有 +=1， 又因为 M、 N 分别为 中点， 所以 = x+y= 原题转化为：当 x 时，求 x2+最小值问题， y= x2+= 结合二次函数的性质可知，当 x= 时，取得最小值为 故选 B 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11已知向量 ，其中 ，且 ，则向量 的夹角是 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由 及 便可以得到 ，再由 便可由向量数量积的计算公式得到 ，从而便可得出向量 和 的夹角的大小 【解答】 解： ； ； ； 即 ； ； 向量 的夹角为 故答案为： 12椭圆 + =1 与双曲线 焦点相同，则 a= 【考点】 圆锥曲线的综合 【分析】 利用双曲线以及椭圆的简单性质相同，列出方程求解即可 【解答】 解：椭圆 + =1 的焦点坐标（ ， 0）， 与双曲线 焦点（ ， 0）相同， 可得： ，解得 a= 故答案为： 13已知圆 C 过点（ 1， 0），且圆心在 x 轴的负半轴上，直线 l： y=x+1 被该圆所截得的弦长为 2 ，则圆 C 的标准方程为 （ x+3） 2+ 【考点】 圆的标准方程 【分析】 根据题意设圆心 C 坐标为（ x， 0），根据圆 C 过（ 1， 0），利用两点间的距离公式表示出圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线 l 的距离 d，根据已知的弦长，利用垂径定理及勾股定理列出关于 x 的方程，求出方程的解得到圆心坐标及半径，写出圆 C 的标准方程即可 【解答】 解：设圆心 C（ x， 0），则圆的半径 r=|x+1| 圆心 C 到直线 l 的距离 | ，弦长 |2 ， 则 r= =|x+1|， 整理得： x=1（不合题意，舍去）或 x= 3， 圆心 C（ 3， 0），半径为 2， 则圆 C 方程为（ x+3） 2+ 故答案为：（ x+3） 2+ 14若函数 f（ x） =2|x a|（ a R）满足 f（ 1+x） =f（ 1 x），且 f（ x）在 m， + ）上单调递增，则实数 m 的最小值等于 1 【考点】 指数函数单调性的应用 【分析】 根据式子 f（ 1+x） =f（ 1 x），对称 f（ x）关于 x=1 对称，利用指数函数的性质得出：函数 f（ x） =2|x a|（ a R）， x=a 为对称轴，在 1， + ）上单调递增，即可判断 m 的最小值 【解答】 解： f（ 1+x） =f（ 1 x）， f（ x）关于 x=1 对称， 函数 f（ x） =2|x a|（ a R） x=a 为对称轴， a=1， f（ x）在 1， + ）上单调递增， f（ x）在 m， + ）上单调递增， m 的最小值为 1 故答案为： 1 15下面给出的四个命题中： 以抛物线 x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ x 1） 2+； 若 m= 2，则直线（ m+2） x+=0 与直线（ m 2） x+（ m+2） y 3=0 相互垂直； 命题 “ x R，使得 x+4=0”的否定是 “ x R，都有 x+4 0”； 将函数 y= 图象向右平移 个单位，得到函数 y=2x ）的图象 其中是真命题的有 （将你认为正确的序号都填上） 【考点】 特称命题；命题的否定；函数 y=x+）的图象变换；抛物线的简单性质 【分析】 先求抛物线是焦点为（ 1， 0），可求圆的半径为 r=1，从而可求圆的方程 把 m= 2 代入两直线方程即可检验直线是否垂直 根据特称命题的否定是全称命题可知正确； 函数向右平移 ，得到的函数为 即可判断 【解答】 解： 抛物线是焦点为（ 1， 0），圆的半径为 r=1，所以圆的方程为（ x 1） 2+，正确； 当 m= 2，两直线方程为 和 ，两直线垂直所以正确； 根据特称命题的否定是全称命题可知正确； 函数向右平移 ，得到的函数为 ，所以不正确 所以正确的命题有 故答案为： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 明过程或演算步骤 . 16某网站针对 2014 年中国好声音歌手 A， B， C 三人进行网上投票，结果如下： 观众年龄 支持 A 支持 B 支持 C 20 岁以下 200 400 800 20 岁以上（含 20 岁） 100 100 400 （ 1）在所有参与该活 动的人中，用分层抽样的方法抽取 n 人，其中有 6 人支持A，求 n 的值 （ 2）在支持 C 的人中，用分层抽样的方法抽取 6 人作为一个总体，从这 6 人中任意选取 2 人，求恰有 1 人在 20 岁以下的概率 【考点】 分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式 【分析】 （ 1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于 n 的方程，解方程可得 n 值 （ 2）计算出这 6 人中任意选取 2 人的情况总数，及满足恰有 1 人在 20 岁以下的情况数，代入古典概率概率计算公式，可得答案 【解答】 解：（ 1） 利用层抽样的方法抽取 n 个人时，从 “支持 A 方案 ”的人 中抽取了 6 人， = ， 解得 n=40； （ 2）从 “支持 C 方案 ”的人中，用分层抽样的方法抽取的 6 人中， 年龄在 20 岁以下的有 4 人，分别记为 1， 2， 3， 4，年龄在 20 岁以上（含 20 岁）的有 2 人，记为 a， b， 则这 6 人中任意选取 2 人，共有 =15 种不同情况， 分别为：（ 1， 2），（ 1， 3），（ 1， 4），（ 1， a），（ 1， b），（ 2， 3），（ 2， 4），（ 2， a），（ 2， b），（ 3， 4），（ 3， a），（ 3， b），（ 4， a），（ 4， b），（ a， b）， 其中恰好有 1 人在 20 岁以下的事件有： （ 1， a），（ 1， b）， （ 2， a），（ 2， b），（ 3， a），（ 3， b），（ 4， a），（ 4， b）共 8 种 故恰有 1 人在 20 岁以下的概率 P= 17已知函数 （ ）求函数 f（ x）的最大值及取得最大值时的 x 的集合； （ ） ， a， b， c 分别是 A， B， C 的对边， ，求边长 c 的值 【考点】 三角函数的最值；三角形中的几何计算 【分析】 （ ）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，再根据正弦函数的性质即可求出， （ ）先求出 C 的值，再根据向量的数量积的运算和余弦定理即可求出 【解答】 解：（ ） f（ x） =x+ ） +1= = = 2x ） + ， 2x ） + + = ， 最大值为 ， 当 2x = +2 x=， k Z，即 x|x=， k Z时，函数取的最大值， （ ） f（ C） = 2C ） + = ， 即 2C ） =1， C= ， =12， =| | |2a =12， a=12， 由余弦定理可得 c2=a2+244+4 2 12 2 =124， c=2 18如图，在四棱锥 P ， 平面 面 菱形，点O 是对角线 交点， M 是 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）平面 平面 【考点】 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行； （ 2）先证明 平面 可证明平面 平面 【解答】 证明：（ 1） 在 ， O、 M 分别是 中点， 中位线， 面 平面 平面 （ 2） 底面 菱形， 平面 平面 平面 平面 ， 平面 平面 平面 平面 19已知数列 足 ，且点 P（ ）在直线 y=x+2 上；数列 前n 项和为 足 2， n N* （ ）求数列 通项公式； （ ）设数列 足 cn=列 前 n 项和为 最小值 【考点】 数列的求和；数列与解析几何的综合 【分析】 （ ）利用等差数列的定义和通项公式即可得出 用 “当 n=1， ；当 n 2 时， n 1”和等比数列的通项公式即可得出 （ ）利用 “错位相减法 ”和等比数列的前 n 项和公式即可得出 数列 2n 3） 2n+1+6 为递增数列，问题得以解决 【解答】 解：（ ） 点 ）在直线 y=x+2 上， =，即 ，又 ， 数列 以 1 为首项， 2 为公比的等差数列， +2（ n 1） =2n 1 当 n=1， 2，则 当 n 2 时， n 1=22（ 21 2） =221， 1（ n 2）， 等比数列，公比为 2，首项 n， （ ） cn= 2n 1） 2n， 21+322+ +（ 2n 1） 2n， 222+323+ +（ 2n 3） 2n+（ 2n 1） 2n+1， 得： 1+2（ 22+ +2n）（ 2n 1） 2n+1 = 2+2 （ 2n 1） 2n+1= 6+（ 3 2n） 2n+1， 2n 3） 2n+1+6， 该数列 2n 3） 2n+1+6 为递增数列， 当 n=1 时，有最小值为 2， 20已知函数 f（ x） = （ 1）讨论函数 f（ x）的单调性； （ 2）对于任意正实数 x，不等式 f（ x） 恒成立，求实数 k 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题 【分析】 （ 1）根据导数和函数的单调的关系即可 得到 （ 2）对于任意正实数 x，不等式 f（ x） 恒成立，即为 k ， x 0，令 g（ x） =， x 0，求出导数，求得单调区间，得到极小值也为最小值，即可得到 k 的范围 【解答】 解：（ 1） f（ x） = f（ x） =1+ 当 x （ 0， ）时， f（ x） 0；当 x （ ， + ）时， f（ x） 0 所以函