2017年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）含答案解析

2017 年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科） 一、选择题（本大题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上） 1已知复数 z=1+2i，则 =（ ） A 5 B 5+4i C 3 D 3 4i 2已知集合 A=x|2x 3 0， ，则 A B=（ ） A x|1 x 3 B x| 1 x 3 C x| 1 x 0 或 0 x 3 D x| 1 x 0 或 1 x 3 3若点 P 为抛物线 y=2的动点， F 为抛物 线的焦点，则 |最小值为（ ） A 2 B C D 4某高中体育小组共有男生 24 人，其 50m 跑成绩记作 i=1， 2， ， 24），若成绩小于 达标，则如图所示的程序框图的功能是（ ） A求 24 名男生的达标率 B求 24 名男生的不达标率 C求 24 名男生的达标人数 D求 24 名男生的不达标人数 5等比数列 各项均为正数， 其前 n 项和，且满足 26，则 ） A 9 B 15 C 18 D 30 6在平面内的动点（ x， y）满足不等式 ，则 z=2x+y 的最大值是（ ） A 4 B 4 C 2 D 2 7某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ） A B C D 8将一枚硬币连续抛掷 n 次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于 ，则n 的最小值为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 9若方程 在 上有两个不相等的实数解 x1+ ） A B C D 10设 n N*，则 =（ ） A B C D 11已知向量 ， ， （ m 0， n 0） ，若 m+n 1， 2，则 的取值范围是（ ） A B C D 12对函数 f（ x） = ，若 a， b， c R， f（ a）， f（ b）， f（ c）都为某个三角形的三边长，则实数 m 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题（本大题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上） . 13九章算术是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题： “今有金箠（ 长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤问金箠重几何？ ”其意思为： “今有金杖（粗细均匀 变化）长 5 尺，截得本端 1 尺，重 4 斤，截得末端 1 尺，重 2 斤问金杖重多少？ ”则答案是 14函数 f（ x） =ex点（ 0， f（ 0）处的切线方程是 15直线 3y+3=0 与圆（ x 1） 2+（ y 3） 2=10 相交所得弦长的最小值为 16过双曲线 =1（ a b 0）的左焦点 F 作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于 A， B 两点，若 ，则双曲线的离心率为 三、解答题（本大题包括 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） . 17（ 12 分）已知点 ， Q（ O 为坐标原点，函数 （ 1）求函数 f（ x）的最小值及此时 x 的值； （ 2）若 A 为 内角， f（ A） =4， ，求 周长的最大值 18（ 12 分）某手机厂商推出一款 6 吋大屏手机，现对 500 名该手机用户（ 200名女性， 300 名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下： 女性用户 分值区间 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100 频数 20 40 80 50 10 男性用户 分值区间 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100 频数 45 75 90 60 30 （ 1）完成下列频率分布直方图，并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定（不计算具体值，给出结论即可）； （ 2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，在这 20 名用户中，从评分不低于 80 分的用户中任意抽取 3 名用户，求 3 名用户中评分小于 90 分的人数的分布列和期望 19（ 12 分）如图，在四棱锥 P ，底面 正方形， 底面P， E 为棱 点 （ 1）求证： 平 面 （ 2）若 F 为 点， ，试确定 的值，使二面角 P B 的余弦值为 20（ 12 分）已知 别是长轴长为 的椭圆 C：的左右焦点， 椭圆 C 的左右顶点， P 为椭圆上异于 一个动点，O 为坐标原点，点 M 为线段 中点，且直线 斜率之积恒为 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设过点 不与坐标轴垂直的直线 C（ 2， 2， 0）交椭圆于 A， B 两点，线段 垂直平分线与 B（ 2， 0， 0）轴交于点 N，点 N 横坐标的取值范围是，求线段 的取值范围 21（ 12 分）已知函数 （ 1）求 f（ x）的极值； （ 2）当 0 x e 时，求证： f（ e+x） f（ e x）； （ 3）设函数 f（ x）图象与直线 y=m 的两交点分别为 A（ f（ B（ f（ ，中点横坐标为 明： f（ 0 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 选修 4标系与参数方程选讲 （共 1 小题，满分 10 分） 22（ 10 分）已知在平面直角坐标系 ，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线 极坐标方程为 =4直线 l： （为参数） （ 1）求曲线 直角坐标方程及直线 l 的普通方程； （ 2）若曲线 参数方程为 （ 为参数），曲线 P（ 点 Q 为曲线 的动点，求 中点 M 到直线 l 距离的最大值 选修 4等式选讲 （共 1 小题，满分 0 分） 23已知 a 0， b 0，函数 f（ x） =|x+a|+|2x b|的最小值为 1 （ 1）求证： 2a+b=2； （ 2）若 a+2b 成立，求实数 t 的最大值 2017 年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上） 1已知复数 z=1+2i，则 =（ ） A 5 B 5+4i C 3 D 3 4i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由已知直接利用 求解 【解答】 解： z=1+2i， =|z|2= 故选： A 【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 2已知集合 A=x|2x 3 0， ，则 A B=（ ） A x|1 x 3 B x| 1 x 3 C x| 1 x 0 或 0 x 3 D x| 1 x 0 或 1 x 3 【考点】 集合的表示法 【分析】 先化简 A， B，再求出其交集即可 【解答】 解：由 A=x| 1 x 3， B=x|x 0，或 x 1， 故 A B=x| 1 x 0，或 1 x 3 故选 D 【点评】 本题考查了集合的交集的运算，属于基础题 3若点 P 为抛物线 y=2的动点， F 为抛物线的焦点，则 |最小值为（ ） A 2 B C D 【考点】 抛物线的简单性质 【 分析】 根据题意，设 P 到准线的距离为 d，则有 |d，将抛物线的方程为标准方程，求出其准线方程，分析可得 d 的最小值，即可得答案 【解答】 解：根据题意，抛物线 y=2，设 P 到准线的距离为 d，则有 |d， 抛物线的方程为 y=2 y， 其准线方程为： y= ， 分析可得：当 P 在抛物线的顶点时， d 有最小值 ， 即 |最小值为 ， 故选： D 【点评】 本题考查抛物线的几何性质，要先将抛物线的方程化为标准方程 4某高中体育小组共有男生 24 人，其 50m 跑成绩记作 i=1， 2， ， 24），若成绩小于 达标，则如图所示的程序框图的功能是（ ） A求 24 名男生的达标率 B求 24 名男生的不达标率 C求 24 名男生的达标人数 D求 24 名男生的不达标人数 【考点】 程序框图 【分析】 由题意，从成绩中搜索出大于 成绩，计算 24 名中不达标率 【解答】 解：由题意可知， k 记录的是时间超过 人数，而 i 记录是的参与测试的人数，因此 表示不达标率； 故选 B 【点评】 本题考查程序框图的理解以及算法功能的描述 5等比数列 各项均为正数， 其前 n 项和 ，且满足 26，则 ） A 9 B 15 C 18 D 30 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 设等比数列 公比为 q 0，由 2得 2（ a1+a2+8为： 2q 6=0，解得 q，进而得出 【解答】 解：设等比数列 公比为 q 0， 2 2（ a1+a2+=8为： 2a1+得 =6a1+为： 2q2q 6=0，解得 q=2 又 6，可 得 23=16，解得 则 =30 故选： D 【点评】 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 6在平面内的动点（ x， y）满足不等式 ，则 z=2x+y 的最大值是（ ） A 4 B 4 C 2 D 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可 【解答】 解：不等式组所表示的平面区域位于 直线 x+y 3=0 的下方区域和直线 x y+1=0 的上方区域， 根据目标函数的几何意义， 可知目标函数经 过 A 时， z 取得最大值 由 可得 A（ 1， 2）， 所以目标函数 z 的最大值为 4 故选 B 【点评】 本题主要考查线性规划问题画出可行域判断目标函数的几何意义是解题的关键 7某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积 【解答】 解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，底面边长为 2 的正方形， 一 条 侧 棱 垂 直 正 方 形 的 一 个 顶 点 ， 长 度 为 2 ， 四 棱 锥 的 表 面 积 为 故选 D 【点评】 本题是基础题，考查三视图复原几何体的表面积的求法，考查计算能力，空间想象能力 8将一枚硬币连续抛掷 n 次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于 ，则n 的最小值为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考点】 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 【分析】 由题意， 1 ，即可求出 n 的最小值 【解答】 解：由题意， 1 ， n 4， n 的最小值为 4， 故选 A 【点评】 本题考查概率的计算，考查对立事件概率公式的运用，比较基础 9若方程 在 上有两个不相等的实数解 x1+ ） A B C D 【考点】 正弦函数的对称性 【分析】 由题意可得 2x+ ， ， 根 据 题 意 可 得= ，由此求得 x1+ 【解答】 解： x 0， ， 2x+ ， ， 方程 在 上有两个不相等的实数解 = ， 则 x1+， 故选： C 【点评】 本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题 10设 n N*，则 =（ ） A B C D 【考点】 归纳推理 【分析】 利用数列知识，即可求解 【解答 】 解： = 故选 A 【点评】 本题主要考查推理证明的相关知识，比较基础 11已知向量 ， ， （ m 0， n 0），若 m+n 1， 2，则 的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 简单线性规划；简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算 【分析】 根据题意，由向量的坐标运算公式可得 =（ 3m+n， m 3n），再由向量模的计算公式可得 = ，可以令 t= ，将 m+n1， 2的关系在直角坐标系表示出来，分析可得 t= 表示区域中任意一点与原点（ 0， 0）的距离，进而可得 t 的取值范 围，又由 = t，分析可得答案 【解答】 解：根据题意，向量 ， ， =（ 3m+n， m 3n）， 则 = = ， 令 t= ，则 = t， 而 m+n 1， 2，即 1 m+n 2，在直角坐标系表示如图， t= 表示区域中任意一点与原点（ 0， 0）的距离， 分析可得： t 2， 又由 = t， 故 2 ； 故选： D 【点评】 本题考查简单线性规划问题，涉及向量的模的计算，关键是求出 的表达式 12对函数 f（ x） = ，若 a， b， c R， f（ a）， f（ b）， f（ c）都为某个三角形的三边长，则实 数 m 的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 函数的值 【分析】 当 m=2 时， f（ a） =f（ b） =f（ c） =1，是等边三角形的三边长；当 m2 时，只要 即可，当 m 2 时，只要 即可，由此能求出结果 【解答】 解：当 m=2 时， f（ x） = =1， 此时 f（ a） =f（ b） =f（ c） =1，是等边三角形的三边长，成立； 当 m 2 时， ， 只要 即可，解得 2 m 5； 当 m 2 时， ， 只要 即可， 解得 ， 综上 故选： C 【点评】 本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注 意分类讨论思想的合理运用 二、填空题（本大题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上） . 13九章算术是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题： “今有金箠（ 长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤问金箠重几何？ ”其意思为： “今有金杖（粗细均匀变化）长 5 尺，截得本端 1 尺，重 4 斤，截得末端 1 尺，重 2 斤问金杖重多少？ ”则答案是 15 斤 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 由题意可知等差数列的首项和第 5 项，由等差数列的前 n 项和得答案 【解答】 解：由题 意可知等差数列中 ， ， 则 ， 金杖重 15 斤 故答案为： 15 斤 【点评】 本题考查等差数列的前 n 项和，是基础的计算题 14函数 f（ x） =ex点（ 0， f（ 0）处的切线方程是 y=x 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 先求出 f（ x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在 x=0 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决 【解答】 解： f（ x） =exf（ x） =（ 2 分） f（ 0） =1， f（ 0） =0， 函数 f（ x）的图象在点 A（ 0， 0）处的切线方程为 y 0=1 （ x 0）， 即 y=x（ 4 分） 故答案为： y=x 【点评】 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题 15直线 3y+3=0 与圆（ x 1） 2+（ y 3） 2=10 相交所得弦长的最小值为 2 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 由条件可求得直线 3y+3=0 恒过圆内定点（ 0， 1），则圆心（ 1， 3）到 定点的距离为 ，因此最短弦长为 【解答】 解：由条件可求得直线 3y+3=0 恒过圆内定点（ 0， 1），则圆心（ 1，3）到定点（ 0， 1）的距离为 ，当圆心到直线 3y+3=0 的距离最大时（即等于圆心（ 1， 3）到定点（ 0， 1）的距离）所得弦长的最小，因此最短弦长为2 = 故答案为： 2 【点评】 题考查直线和圆的位置关系，以及最短弦问题，属于中档题 16过双曲线 =1（ a b 0）的左焦点 F 作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于 A， B 两点，若 ，则双曲线的离心率为 【考点】 双 曲线的简单性质 【分析】 方法一、运用两渐近线的对称性和条件，可得 A 为 中点，由垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可得 ， ，求得渐近线的斜率，运用离心率公式即可得到； 方法二、设过左焦点 F 作 的垂线方程为 ，联立渐近线方程，求得交点 A， B 的纵坐标，由条件可得 A 为 中点，进而得到 a， b 的关系，可得离心率 【解答】 解法一：由 ，可知 A 为 中点，由条件可得 ， 则 ， ， 渐近线 斜率 k= = ， 即离心率 e= = = 解法二：设过 左焦点 F 作 的垂线方程为 联立 ，解得， ， 联立 ，解得， ， 又 ， 23b2= 所以离心率 故答案为： 【点评】 本题考查双曲线的性质和应用，主要是离心率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量共线的合理运用 三、解答题（本大题包括 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） . 17（ 12 分）（ 2017长春三模）已知点 ， Q（ O 为坐标原点，函数 （ 1）求函数 f（ x）的最小值及此时 x 的值； （ 2）若 A 为 内角， f（ A） =4， ，求 周长的最大值 【考点】 平面向量数量积的运算；基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用 【分析】 （ 1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解最值 （ 2）利用函数的解析式求解 A，然后利用余弦定理求解即可，得到 范围，然后利用基本不等式求解最值 【解答】 解：（ 1） ， ， 当 时， f（ x）取得最小值 2 （ 2） f（ A） =4， ， 又 ， ， 9=（ b+c） 2 ， ， ，当且仅当 b=c 取等号， 三角 形周长最大值为 【点评】 本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数的最值，基本不等式以及余弦定理的应用，考查计算能力 18（ 12 分）（ 2017长春三模）某手机厂商推出一款 6 吋大屏手机，现对 500名该手机用户（ 200 名女性， 300 名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下： 女性用户 分值区间 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100 频数 20 40 80 50 10 男性用户 分值区间 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100 频数 45 75 90 60 30 （ 1）完成下列频率分布直方图，并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定（不计算具体值，给出结论即可）； （ 2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，在这 20 名用户中，从评分不低于 80 分的用户中任意抽取 3 名用户，求 3 名用户中评分小于 90 分的人数的分布列和期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ I）根据已知可得频率，进而得出矩形的高 = ，即可得出图形 （ 用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，评分不低于 8（ 0 分）有 6 人，其中评分小于 9（ 0 分）的人数为 4，从 6 人中任取 3 人，记评分小于 9（ 0 分）的人数为 X，则 X 取值为 1， 2， 3，利用超几何分布列的计算公式即可得出 【解答】 解：（ ）女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图： 由图可得女性用户更稳定（ 4 分） （ ）运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，评分不低于 8（ 0 分）有 6人，其中评分小于 9（ 0 分）的人数为 4，从 6 人中任取 3 人，记评分小于 9（ 0分）的人数为 X，则 X 取值为 1， 2， 3， ； P（ X=2） = = ； 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 P （ 12 分） 【点评】 本题考查了频率分布直方图的性质、超几何分布列的概率与数学期望计算公式、分层抽样，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19（ 12 分）（ 2017长春三模）如图，在四棱锥 P ，底面 正方形， 底面 P， E 为棱 点 （ 1）求证： 平面 （ 2）若 F 为 点， ，试确定 的值，使二面角 P B 的余弦值为 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平 行的判定 【分析】 （ I）证明 平面 出 ，即可证明 平面 （ 以 A 为原点，以 为 x， y， z 轴正方向，建立空间直角坐标系A 出相关点的坐标，平面 法向量，平面 法向量，利用空间向量的数量积求解即可 【解答】 解：（ I）证明： 底面 底面 又 底面 矩形， ， 平面 平面 平面 平面 P， E 为 点， ， 平面 平面 平面 （ 以 A 为原点，以 为 x， y， z 轴正方向，建立空间直角坐标系A |2， 则 A（ 0， 0， 0）， B（ 2， 0， 0）， P（ 0， 0， 2）， C（ 2， 2， 0）， E（ 0， 1， 1），F（ 1， 0， 0）， ， ， ， M（ 2， 2， 2 2） 设平面 法向量 ， ，即 ，设平面 法向量 ， ， 即 ， ，解得 【点评】 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面 角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力 20（ 12 分）（ 2017长春三模）已知 别是长轴长为 的椭圆 C：的左右焦点， 椭圆 C 的左右顶点， P 为椭圆上异于 一个动点， O 为坐标原点，点 M 为线段 中点，且直线 M 的斜率之积恒为 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设过点 不与坐标轴垂直的直线 C（ 2， 2， 0）交椭圆于 A， B 两点，线段 垂直平分线与 B（ 2， 0， 0）轴交于点 N，点 N 横坐标的取值范围是，求线段 的取值范围 【考点】 直线与椭圆的位置 关系 【分析】 （ 1）由已知 2a=2 ，解得 a= ，记点 P（ ，可得 = 利用斜率计算公式及其点 P（ 椭圆上，即可得出 （ 2）设直线 l： y=k（ x+1），联立直线与椭圆方程得（ 2） 2=0，记 A（ B（ 利用根与系数的关系、中点坐标公式、弦长公式即可得出 【解答】 解：（ 1）由已知 2a=2 ，解得 a= ，记点 P（ ， = = = ， 又点 P（ 椭圆上， 故 + =1， = = ， ， ， 椭圆的方程为 （ 4 分） （ 2）设直线 l： y=k（ x+1），联立直线与椭圆方程 ， 得（ 2） 2=0，记 A（ B（ 由韦达定理可得 ， 可得 ， 故 点 ， 线方程： ， ，已知条件得： ， 0 21， ， ， （ 12 分） 【点评】 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、中点坐标公式、两点之间的距离公式，考查了推理 能力与计算能力，属于难题 21（ 12 分）（ 2017长春三模）已知函数 （ 1）求 f（ x）的极值； （ 2）当 0 x e 时，求证： f（ e+x） f（ e x）； （ 3）设函数 f（ x）图象与直线 y=m 的两交点分别为 A（ f（ B（ f（ ，中点横坐标为 明： f（ 0 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值即可； （ 2）问题转化为证明（ e x） e+x） （ e+x） e x） ，设 F（ x） =（ e x） e+x）（ e+x） e x），根据函数的单调性证明即可 【解答】 解：（ 1） f（ x） = ， f（ x）的定义域是（ 0， + ）， x （ 0， e）时， f（ x） 0， f（ x）单调递增； x （ e， + ）时， f（ x） 0， f（ x）单调递减 当 x=e 时， f（ x）取极大值为 ，无极小值 （ 2）要证 f（ e+x） f（ e x），即证： ， 只需证明：（ e x） e+x） （ e+x） e x） 设 F（ x） =（ e x） e+x）（ e+x） e x）， ， F（ x） F（ 0） =0， 故（ e x） e+x） （ e+x） e x）， 即 f（ e+x） f（ e x）， （ 3）证明：不妨设 （ 1）知 0 e 0 e e， 由（ 2）得 fe+（ e fe（ e =f（ =f（ 又 2e e， e，且 f（ x）在（ e， + ）上单调递减， 2e x1+2e， ， f（ 0 【点评】 本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决 问题的综合能力 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 选修 4标系与参数方程选讲 （共 1 小题，满分 10 分） 22（ 10 分）（ 2017长春三模）已知在平面直角坐标系 ，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线 极坐标方程为 =4线 l：（ 为参数） （ 1）求曲线 直角坐标方程及直线 l 的普通方程； （ 2）若曲线 参数方程为 （ 为参数），曲线 P（ 点 Q 为曲线 的动点，求 中点 M 到直线 l 距离的最大值 【考点】 参数方