2015年东北三省四市联合体高三第二次模拟考试数学

2015 年 东 北 三 省 四 市 联 合 体 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 数 学（ 理 科 ） 第 I 卷 一选择题:（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合 ， ，则 （ ）1Ax20BxAB （A） （B） （C） （D ） ,02,1(,12,) 2. 设复数 （ 是虚数单位），则 =（ ）1zi2z （A） （B） （C） （D）i1i1i 3. 已知 =1, = ，且 ，则向量 与向量 的夹角为（ ）ab2a)(bab （A） （B） （C） （D）64323 4. 已知 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 ,c,若 ， ，则 的面积为（ ）2c4bABC （A） （B）1 （C） （D ）2 5. 已知 ， ，则函数 为增函数的概率 ,034a1,2b2()fxax （A） （B ） （C） （D）5310 6. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的 S 为 ，则判断框中填写的内容12 可以是( ) （A） （B） （C） （D ）6n6n6n8n 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某多 面体的三视图，则该多面体的体1 积为（ ） （A） （B） （C） （D ） 326432643 8. 已知直线 与抛物线 交于 两点，点 ，若 ，则实数 （ (1)yx:xyBA, ),1(mM0BAm ） （A） （B） （C） （D ） 22210 9. 对定义在 上，并且同时满足以下两个条件的函数 称为 函数： 对任意的 ，恒有 ；0,1 ()fx0,1x()0fx 当 时，总有 1212(fx成立，则下列函数不是 函数的是（ ）212,xx M （A） （B） （C） （D）()f()xf2)ln()2()fx 10. 在平面直角坐标系中，若 满足 ，则当 取得最大值时，点 的坐标是（ ）(,)Py 40215yxyP （A） （B） （C） （D ）(4,2)(,2)(2,6)5(,)2 11. 已知双曲线 与函数 的图象交于点 . 若函数 在点 处的切线过 10,xyab0yxPyxP 双曲线左焦点 ，则双曲线的离心率是（ ）(,)F （A） （B） （C） （D） 525231232 12. 若对 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值是（ ）,0)xy4xyxyaea （A） （B）1 （C ）2 （D）4 12 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22 题第 24 题 为选考题，考生根据要求做答 二.填空题:（本大题共 4 小题 ,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上） 13. 函数 ( )的单调递增区间是_ 3sincos2yx02x 14. 的展开式中常数项为 6x 15. 已知定义在 上的偶函数 在 单调递增，且 ，则不等式 的解集是 R()fx,)(1)0f(2)0fx 16. 同底的两个正三棱锥内接于同一个球已知两个正三棱锥的底面边长为 a，球的半径为 R设两个正三棱锥的侧 面与底面所成的角分别为 、 ，则 的值是 tan( 三.解答题：(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 中， ，其前 项的和为 ，且满足 .na1nnS21nSa() () 求证：数列 是等差数列；nS () 证明：当 时， . 21231.2nS 18. (本小题满分 12 分) 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是菱形， DAB ， PD平面 ABCD， PD=AD=1，点 分别60 ,EF 为 AB 和 PD 中点. ()求证：直线 AF /平面 PEC ； ()求 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值. 19. (本小题满分 12 分) 某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1，2，3，4 ，5 的学生进行投篮训练， 每人投 10 次，投中的次数统计如下表： 学生 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 F E BD CA P 3 甲班 6 5 7 9 8 乙班 4 8 9 7 7 ()从统计数据看，甲乙两个班哪个班成绩更稳定（用数据说明）？ () 若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的 1 号和 2 号两名同学分别代表自己的班级参加比赛， 每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作 和 ，试求 和 的分布列和数学期望.XY 20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 : 的上顶点为 ，且离心率为 .C 21(0)xyab(0,1)32 () 求椭圆 的方程； （）证明：过椭圆 : 上一点 的切线方程为 ；1 2(0)xymn0(,)Qxy021xymn （）从圆 上一点 向椭圆 引两条切线，切点分别为 ,当直线 分别与 轴、 轴交于 、26xyPCABxyM 两点时，求 的最小值.NM 21.（本小题满分 12 分） 若定义在 上的函数 满足 ，R()fx2(1)(0)xffefx ， R.21()4xgfa （）求函数 解析式；() （）求函数 单调区间；x （）若 、 y、 m满足 ，则称 x比 y更接近 m.当 且 时，试比较 和 哪|ym2a1xex1a 个更接近 ，并说明理由lnx 请考生在 22，23，24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用 2B 铅笔在答题卡上 把所选题目对应的标号涂黑 22.（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 如图所示， 为圆 的直径， ， 为ABOBCD 圆 的切线， ， 为切点.OD （）求证： ；/ （）若圆 的半径为 2，求 的值.A 23.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数）.xOyCsin24coyx （）以原点为极点、 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 的极坐标方程；x C （）已知 ，圆 上任意一点 ，求 面积的最大值.(2,0)(,ABC),(yxMAB 24.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 设函数 ()fxx （）求不等式 的解集；2f （）若 ， 恒成立，求实数 的取值范围Rx7()tt 5 数学（理科）参考答案与评分标准 一选择题 （1）C；（2）A；（3）B；（ 4）C；(5)B；（6）C ；（7）D；（8 ）B；（9）D；（10）D；（11) A；（12） D 二.填空题 （ 13） ；（14） ；(15) ；（16 ） .0,652(,13)43Ra 三.解答题 （17）解：（）当 时， ， 2 分n 21nnSS . ，从而 构成以1 为首项， 2为公差的等差数列. 6分112nnS12nn （）由（1）可知， ， . 8 分1()2nS1nS 当 时， . 10 分2n1()(2)()()2n 从而 . 12 分123 113.232nSSnn （18）解： ()证明：作 FMCD 交 PC 于 M. 点 F 为 PD 中点， . 2 分CDF21 ， ，21kABE AEMF 为平行四边形， AFEM， 4 分 ，AFPCMPEC平 面 ， 平 面 直线 AF /平面 PEC. 6 分 () ， .如图所示，建立坐标系，则 60DBD P(0,0,1),C(0,1,0),E( ,0,0),A( ， ，0)， ，321231(,0)2B ， . 8 分1,A 0,B 设平面 PAB 的一个法向量为 .,nxyz MFE BA CDP FE BA CD yzxP ， ， ，取 ，则 ，0nAB P00213yzx1x32z 平面 PAB 的一个法向量为 . 10 分(1,)n 设向量 ， ，nPC与 所 成 角 为 ， (0,)P 342cos17nPC PC 平面 PAB 所成角的正弦值为 . .12 分421 （19）解： ()两个班数据的平均值都为 7， 1 分 甲班的方差 ， 3 分 22222216-7+-+-7=5s（ ） （ ） （ ） （ 9） （ 8） 乙班的方差 ， 5 分 222222-7-145（ 4） （ 8） （ ） （ ） （ ） 因为 ，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定. 6 分21s () 可能取 0,1,2X ， ， ，2105P312()5PX31(2)50PX 所以 分布列为： X 0 1 2 P 152310 数学期望 . 9 分300E 可能取 0,1,2Y ， ， ，31(0)52P3421(1)55PY248()5PY 所以 分布列为： Y 0 1 2 P 32542585 7 数学期望 . 12 分314860255EY （20）解： () ， ， ， 椭圆 方程为 . 2 分b3=cea2,1bC 214xy （）法一：椭圆 : ，当 时， ，1C2xymn02xynm 故 ，22nyx 当 时， . 4 分0y 2000222011xnnkxymm 切线方程为 ， 200xyy ， . 6 分2222000nxmnm021xyn 同理可证， 时，切线方程也为 .0y02 当 时，切线方程为 满足 .0=x021xyn 综上，过椭圆上一点 的切线方程为 . 7 分0(,)Qy02m 解法 2. 当斜率存在时，设切线方程为 ，联立方程：kxt 可得 ，化简可得： ， 21xymnkt22()xtn222()()0nmkxktmtn 由题可得： ， 4 分42222()(0ktmkt 化简可得： ，式只有一个根，记作 ， ， 为切点的横坐标，2tn0x22ktknt0x 切点的纵坐标 ，所以 ，所以 ， 20ykxt20xkyn20xmy 所以切线方程为： ， 2000()()xm 化简得： . 6 分021xymn 当切线斜率不存在时，切线为 ，也符合方程 ，xm021xyn 综上： 在点 处的切线方程为 . 21xymn0(,)y02 （其它解法可酌情给分） 7 分 （）设点 为圆 上一点， 是椭圆 的切线，切点 ，过点P(,)pxy216y,PAB214xy12(,)(,)AxyB 的椭圆的切线为 ，过点 的椭圆的切线为 . A142 两切线都过 点， .12,14ppxxyy 切点弦 所在直线方程为 . 9 分ABp ， ，1(0)pMy4(,0)pNx 222161=6pppxyMxy . 2225=7671611ppp 当且仅当 ，即 时取等， 22ppxy2264,5PPxy ， 的最小值为 . 12 分54MN （21）（本小题满分 12 分） 解：（） ，所以 ，即 2()1(0)xffef(1)2(0)fff()1f 又 ，所以 ，(0)2f 2() 所以 4 分xe （） ， 22()fx . 2 2211() (1)(1)44x xxgfaexaea 5 分 ，() xe 当 时， ，函数 在 上单调递增； .6 分0a ()0gR 当 时，由 得 ， xealna)(g 9 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增 ,lnxa()0gx()xln,xa()0gx() 综上，当 时，函数 的单调递增区间为 ；当 时，函数 的单调递增区间为 ，0 (,) ln,a 单调递减区间为 .8 分,l （）解：设 ，1()ln,()lnxepxqea ， 在 上为减函数，又 ，21()0p,)()0pe 当 时， ，当 时， .xe()xe(0px ， ，1()q12xq 在 上为增函数，又 ，x,)()0q 时， ， 在 上为增函数，1,(0xx1, .()2qa 当 时， ，xe 1|()|()xepxqpxqa 设 ，则 ， 在 上为减函数，1()xma12 0xem()m,) ，e ， ， ， 比 + 更接近 .2a()0x|()|pxqex1alnx 当 时， ，e 11|()2l2lxxeea 设 ，则 ， ，1()2lnxxa12()xne12 0xn 在 时为减函数， ，e1()e 在 时为减函数， ，()nx 20enxa ， 比 + 更接近 .|pqe1al 综上：在 时， 比 + 更接近 . 12 分2,ax1xlnx (22) 解： (1)连接 是圆 的两条切线， ，CDBO,OOCBD ,又 为圆 的直径， ，90DBAA , ,即得证，5 分90ODBAODAOC (2) , , ，CARtB . 10 分8C (23)解：（ 1）圆 的参数方程为 （ 为参数）sin24c