2017年河北省石家庄市中考数学一模试卷含答案解析

第 1 页（共 37 页） 2017 年河北省石家庄市中考数学一模试卷 一、选择题（本大题有 16 个小题，共 42 分 10 小题各 3 分， 11 16 小题各2 分） 1 7 的相反数是（ ） A 7 B 7 C D 2下列图形中， 2 1 的是（ ） A B C D 3若两个非零的有理数 a、 b，满足： |a|=a， |b|= b， a+b 0，则在数轴上表示数 a、 b 的点正确的是（ ） A B C D 4在 6 6 方格中，将图 1 中的图形 N 平移后位置如图 2 所示，则图形 N 的平移方法中，正确的是（ ） A向下移动 1 格 B向上移动 1 格 C向上移动 2 格 D向下移动 2 格 5下列运算中，正确的是（ ） A 4m m=3 B（ m n） =m+n C（ 3= m2=m 6如图，在 O 中，弦 0，则 ） 第 2 页（共 37 页） A 80 B 50 C 40 D 20 7关于 x， y 的方程组 的解是 ，其中 y 的值被盖住了，不过仍能求出 p，则 p 的值是（ ） A B C D 8如图，己知 取一点 O，连 取它们的中点 D， E， F，得 下列说法正确的 个数是（ ） 位似图形； 相似图形； 周长比为 1： 2； 面积比为 4： 1 A 1 B 2 C 3 D 4 9设边长为 3 的正方形的对角线长为 a下列关于 a 的四种说法： a 是无理数； a 可以用数轴上的一个点来表示； 3 a 4； a 是 18 的算术平方根 其中，所有正确说法的序号是（ ） A B C D 10某校九年级（ 1） 班全体学生 2015 年初中毕业体育考试的成绩统计如下表： 成绩（分） 35 39 42 44 45 48 50 人数（人） 2 5 6 6 8 7 6 根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ） A该班一共有 40 名同学 第 3 页（共 37 页） B该班学生这次考试成绩的众数是 45 分 C该班学生这次考试成绩的中位数是 45 分 D该班学生这次考试成绩的平均数是 45 分 11如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（ ） A B C D 12某农场开挖一条长 480 米的渠道，开工后每天比原计划多挖 20 米，结果提前 4 天完成任务，若设原计划每天挖 x 米，那么求 x 时所列方程正确的是（ ） A =4 B =20 C =4 D =4 13在平面直角坐标系中，点 A、 B、 C、 D 是坐标轴上的点且点 C 坐标是（ 0， 1）， ，点（ a， b）在如图所示的阴影部分内部（不包括边界），已知 D=4，则 a 的取值范围是（ ） A B C D 14用直尺和圆规作 边 的高线 下四个作图中，作法错误的是（ ） 第 4 页（共 37 页） A B C D 15如图， O 为坐标原点，四边形 菱形， x 轴的正半轴上， ，反比例函数 y= 在第一象限内的图象经过点 A，与 于点 F，则 面积等于（ ） A 60 B 80 C 30 D 40 16如图 1，在等边 ，点 E、 D 分别是 的中点，点 P 为 上的一个动点，连接 AP=x，图 1 中某条线段的长为 y，若表示 y与 所示，则这条线段可能是图 1中的（ ） A线段 线段 线段 线段 、填空题（本大题共 3 个小题，每小题 3 分，共 9 分） 17若 m、 n 互为倒数，则 n 1）的值为 18如图，已知 圆锥的高为 ，高所在直线与母线的夹角为 30，圆锥的侧面积为 第 5 页（共 37 页） 19对于二次函数 y=3x+2 和一次函数 y= 2x+4，把 y=t（ 3x+2） +（ 1 t）（ 2x+4）（ t 为常数）称为这两个函数的 “再生二次函数 ”其中 t 是不为零的实数，其图象记作抛物线 F，现有点 A（ 2， 0）和抛物线 F 上的点 B（ 1， n），下列结论正确的有 n 的值为 6； 点 A 在抛物线 F 上； 当 t=2 时， “再 生二次函数 ”y 在 x 2 时， y 随 x 的增大而增大 当 t=2 时，抛物线 F 的顶点坐标是（ 1， 2） 三、解答题（本大题共 7 小题，共 69 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20请你阅读小明和小红两名同学的解题过程，并回答所提出的问题 计算： + 问：小明在第 步开始出错，小红在第 步开始出错（写出序号即可）；请你给出正确解答过程 21某学校为了丰富学生课余生活，决定开设以下体育课外活动项目： A版画 B保龄球 C航模 D园艺种植，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： 第 6 页（共 37 页） （ 1）这次被调查的学生共有 人； （ 2）请你将条形统计图（ 2）补充完整； （ 3）在平时的保龄球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加保龄球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答） 22在学习三角形中位线的性质时，小亮对课本给出的解集办法进行了认真思考： 小亮发现：可能证法的实质是用中心对称的方法来构造全等三角形 请你利用小亮的发现解决下列问题： （ 1）如图 2， 中线， E，交 F，且 F，求证：F 请你帮助小亮写出辅助线作法并完成论证过程； 证明： 第 7 页（共 37 页） （ 2）解决问题：如图 3，在 ， B=45， 0， ， 中位线，过点 D、 E 作 别交 F、 G，过点 A 作 别与延长线交于 M、 N，则四边形 长的最小值是 23小明家饮水机中原有水的温度为 20 ，通电开机后，饮水机自动开始加热 此过程中水温 y（ ）与开机时间 x（分）满足一次函数关系 ，当加热到 100 时自动停止加热，随后水温开始下降 此过程中水温 y（ ）与开机时间 x（分）成反比例关系 ，当水温降至 20 时，饮水机又自动开始加热 ，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息， 解答下列问题： （ 1）当 0 x 8 时，求水温 y（ ）与开机时间 x（分）的函数关系式； （ 2）求图中 t 的值； （ 3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步 45 分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少 ？ 24某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润 投资量 x 成正比例关系，种植花卉的利润 投资量 x 的平方成正比例关系，并得到了表格中的数据 投资量 x（万元） 2 种植树木利润 元） 4 种植树 木利润 元） 2 （ 1）分别求出利润 于投资量 x 的函数关系式； （ 2）如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉金第 8 页（共 37 页） 额 m 万元，种植花卉和数目共获利利润 W 万元，直接写出 W 关于 m 的函数关系式，并求他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？ （ 3）若该专业户想获利不低于 22 万，在（ 2）的条件下，直接写出投资种植花卉的金额 m 的范围 25如图所示，点 A 为半圆 O 直径 在直线上一点，射线 直于 足为 A，半圆绕 M 点顺时针转动，转过的角度记作 a；设半圆 O 的半径为 R，长度为 m，回答下列问题： 探究：（ 1）若 R=2， m=1，如图 1，当旋转 30时，圆心 O到射线 距离是 ；如图 2，当 a= 时，半圆 O 与射线 切； （ 2）如图 3，在（ 1）的条件下，为了使得半圆 O 转动 30即能与射线 切，在保持线段 度不变的条件下，调整半径 R 的大小，请你求出满足要求的 R，并说明理由 （ 3）发现：（ 3）如图 4，在 0 90时，为了对任意旋转角都保证半圆 O 与射线 够相切，小明探究了 R、 m 两个量的关系，请你帮助他直接写出这个关系； （用含 有 R、 m 的代数式表示） 拓展：（ 4）如图 5，若 R=m，当半圆弧线与射线 两个交点时， 的取值范围是 ，并求出在这个变化过程中阴影部分（弓形）面积的最大值（用 m 表示） 26如图，在 ， C=10点 D， M 从点 方向匀速运动，同时直线 点 B 出发，沿 方向匀速运动，第 9 页（共 37 页） 运动过程中始终保持 线 点 P、交 点 Q、交 点F连接 运动时间为 t 秒（ 0 t 5）线段 长度记作 y 甲 ，线段 y 乙 ， y 甲 和 y 乙 关于时间 t 的函数变化情况如图所示 （ 1）由图 2 可知，点 M 的运动速度是每秒 t 为何值时，四边形 图 2 中反映这一情况的点是 ； （ 2）设四边形 面积为 y 与 t 之间的函数关系式； （ 3）是否存在某一时刻 t，使 S 四边形 S 存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由； （ 4）连接 否存在某一时刻 t，使点 M 在线段 垂直平分线上 ？若存在 ， 求 出 此 时 t 的 值 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理由 第 10 页（共 37 页） 2017 年河北省石家庄市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有 16 个小题，共 42 分 10 小题各 3 分， 11 16 小题各2 分） 1 7 的相反数是（ ） A 7 B 7 C D 【考点】 相反数 【分析】 根据一个数的相反数就是在这个数前面添上 “ ”号，求 解即可 【解答】 解： 7 的相反数是 7， 故选： A 2下列图形中， 2 1 的是（ ） A B C D 【考点】 平行四边形的性质；对顶角、邻补角；平行线的性质；三角形的外角性质 【分析】 根据对顶角相等、平行四边形的性质、三角形外角的性质以及平行线的性质求解，即可求得答 案 【解答】 解： A、 1= 2（对顶角相等），故本选项错误； B、 1= 2（平行四边形对角相等），故本选项错误； C、 2 1（三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角），故本选项正确； D、如图， a b， 第 11 页（共 37 页） 1= 3， 2= 3， 1= 2 故本选项错误 故选 C 3若两个非零的有理数 a、 b，满足： |a|=a， |b|= b， a+b 0，则在数轴上表示数 a、 b 的点正确的是（ ） A B C D 【考点】 数轴；绝对值 【分析】 根据 |a|=a 得出 a 是正数，根据 |b|= b 得出 b 是负数，根据 a+b 0得出 b 的绝对值比 a 大，在数轴上表示出来即可 【解答】 解： a、 b 是两个非零的有理数满足： |a|=a， |b|= b， a+b 0， a 0， b 0， a+b o， |b| |a|， 在数轴上表 示为： 故选 B 4在 6 6 方格中，将图 1 中的图形 N 平移后位置如图 2 所示，则图形 N 的平移方法中，正确的是（ ） 第 12 页（共 37 页） A向下移动 1 格 B向上移动 1 格 C向上移动 2 格 D向下移动 2 格 【考点】 生活中的平移现象 【分析】 根据题意，结合图形，由平移的概念求解 【解答】 解：观察图形可知：从图 1 到图 2，可以将图形 N 向下移动 2 格 故选： D 5下列运算中，正确的是（ ） A 4m m=3 B（ m n） =m+n C（ 3= m2=m 【考点】 整式的混合运算 【分析】 根据合并同类项的法则，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；去括号法则，括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的各项都变号；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解 【解答】 解： A、应为 4m m=3m，故本选项错误； B、应为（ m n） = m+n，故本选项错误； C、应为（ 3=3=确； D、 ，故本选项错误 故选 C 6如图，在 O 中，弦 0，则 ） A 80 B 50 C 40 D 20 第 13 页（共 37 页） 【考点】 圆周角定理 【分析】 先根据平行线的性质得 0，然后根据圆周角定理求解 【解答】 解： 0， 0 故选 A 7关于 x， y 的方程组 的解是 ，其中 y 的值被盖住了，不过仍能求出 p，则 p 的值是（ ） A B C D 【考点】 二元一次方程组的解 【分析】 将 x=1 代入方程 x+y=3 求得 y 的值，将 x、 y 的值代入 x+，可得关于 p 的方程，可求得 p 【解答】 解：根据题意，将 x=1 代入 x+y=3，可得 y=2， 将 x=1， y=2 代入 x+，得： 1+2p=0， 解得： p= ， 故选： A 8如图，己知 取一点 O，连 取它们的中点 D， E， F，得 下列说法正确的个数是（ ） 位似图形； 相似图形； 周长比为 1： 2； 面积比为 4： 1 A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 位似变换 第 14 页（共 37 页） 【分析】 根据位似图形的性质，得出 位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出 相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案 【解答】 解：根据位似性质得出 位似图形， 相似图形， 将 三边缩小的原来的 ， 周长比为 2： 1， 故 选项错误， 根据面积比等于相似比的平方 ， 面积比为 4： 1 故选 C 9设边长为 3 的正方形的对角线长为 a下列关于 a 的四种说法： a 是无理数； a 可以用数轴上的一个点来表示； 3 a 4； a 是 18 的算术平方根 其中，所有正确说法的序号是（ ） A B C D 【考点】 估算无理数的大小；算术平方根；无理数；实数与数轴；正方形的性质 【分析】 先利用勾股定理求出 a=3 ，再根据无理数的定义判断 ；根据实数与数轴的关系判断 ； 利用估算无理数大小的方法判断 ；利用算术平方根的定义判断 【解答】 解： 边长为 3 的正方形的对角线长为 a， a= = =3 a=3 是无理数，说法正确； a 可以用数轴上的一个点来表示，说法正确； 16 18 25， 4 5， 即 4 a 5，说法错误； a 是 18 的算术平方根，说法正确 第 15 页（共 37 页） 所以说法正确的有 故选 C 10某校九年级（ 1）班全体学生 2015 年初中毕业体育考试的成绩统计如下表： 成绩（分） 35 39 42 44 45 48 50 人数（人） 2 5 6 6 8 7 6 根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ） A该班一共有 40 名同学 B该班学生这次考试成绩的众数是 45 分 C该班学生这次考试成绩的中位数是 45 分 D该班学生这次考试成绩的平均数是 45 分 【考点】 众数；统计表；加权平均数； 中位数 【分析】 结合表格根据众数、平均数、中位数的概念求解 【解答】 解：该班人数为： 2+5+6+6+8+7+6=40， 得 45 分的人数最多，众数为 45， 第 20 和 21 名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为： =45， 平均数为： = 故错误的为 D 故选 D 11如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（ ） A B C D 【考点】 等腰三角形的判定 第 16 页（共 37 页） 【分析】 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，据此进行判断即可 【解答】 解： A、如图所示， 是等腰三角形； B、如图所示， 能 够分成两个等腰三角形； C、如图所示， 是等腰三角形； D、如图所示， 是等腰三角形； 故选： B 12某农场开挖一条长 480 米的渠道，开工后每天比原计划多挖 20 米，结果提前 4 天完成任务，若设原计划每天挖 x 米，那么求 x 时所列方程正确的是（ ） A =4 B =20 C =4 D =4 【考点】 由实际问题抽象出分式方程 【分析】 本题的关键描述语是： “提前 4 天完成任务 ”；等量关系为：原计划用时实际用时 =4 【解答】 解：设原计划每天挖 x 米，那么原计划用时为： ，实际用时为： 第 17 页（共 37 页） 根据题意，得： =4， 故选 D 13在平面直角坐标系中，点 A、 B、 C、 D 是坐标轴上的点且点 C 坐标是（ 0， 1）， ，点（ a， b）在如图所示的阴影 部分内部（不包括边界），已知 D=4，则 a 的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 两条直线相交或平行问题；在数轴上表示不等式的解集 【分析】 根据勾股定理即可得出 长度，由此可得出点 B 的坐标，由 D 的 长度可得出点 A、 D 的坐标，根据点 A、 D、 B、 C 的坐标利用待定系数法即可求出直线 解析式，联立两直线解析式成方程组，通过解方程组即可求出其交点的坐标，再根据点（ a， b）在如图所示的阴影部分内部（不包括边界）结合点 B 以及交点的横坐标即可得出结论 【解答】 解： ， ， =3， 点 B（ 3， 0） D=4， 点 A（ 0， 4），点 D（ 4， 0） 设直线 解析式为 y=kx+b， 将 A（ 0， 4）、 D（ 4， 0）代入 y=kx+b， ，解得： ， 直线 解析式为 y= x+4； 设直线 解析式为 y=mx+n， 第 18 页（共 37 页） 将 B（ 3， 0）、 C（ 0， 1）代入 y=mx+n， ，解得： ， 直线 解析式为 y= x 1 联立直线 解析式成方程组， ，解得： ， 直线 交点坐标为（ ， ） 点（ a， b）在如图所示的阴影部分内部（不包括边界）， 3 a 故选 D 14用直尺和圆规作 边 的高线 下四个作图中，作法错误的是（ ） A B C D 【考点】 作图 基本作图 【分析】 根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解 【解答】 解： A、根据垂径定理作图的方法可知， 边 的高线，不符合题意； B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知， 边 的高线，不符合题意 ； C、根据相交两圆的公共弦的性质可知， 边 的高线，不符合题意； D、无法证明 边 的高线，符合题意 故选： D 第 19 页（共 37 页） 15如图， O 为坐标原点，四边形 菱形， x 轴的正半轴上， ，反比例函数 y= 在第一象限内的图象经过点 A，与 于点 F，则 面积等于（ ） A 60 B 80 C 30 D 40 【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质 【分析】 过点 A 作 x 轴于点 M，设 OA=a，通过解直角三角形找出点 A 的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出 a 的值，再根据四边形 F 在边 ，即可得出 S S 菱形 合菱形的面积公式即可得出结论 【解答】 解：过点 A 作 x 轴于点 M，如图所示 设 OA=a， 在 ， 0， OA=a， ， Aa， = a， 点 A 的坐标为（ a， a） 点 A 在反比例函数 y= 的图象上， a a= =48， 解得： a=10，或 a= 10（舍去） ， ， A=10 四边形 菱形，点 F 在边 ， S S 菱形 M=40 第 20 页（共 37 页） 故选 D 16如图 1，在等边 ，点 E、 D 分别是 的中点，点 P 为 上的一个动点，连接 AP=x，图 1 中某条线段的长为 y，若表示 y与 所示，则这条线段可能是图 1中的（ ） A线段 线段 线段 线段 考点】 动点问题的函数图象 【分析】 设出等边三角形的边长，根据等边三角形的性质确定各个线段取最小值时， x 的范围，结合图象得到答案 【解答】 解：设边长 AC=a， 则 0 x a， 根据题意和等边三角形的性质可知， 当 x= a 时，线段 最小值； 当 x= a 时，线段 最小值； 当 x= a 时，线段 最小值； 线段 长为定值 第 21 页（共 37 页） 故选： C 二、填空题（本大题共 3 个小题，每小题 3 分，共 9 分） 17若 m、 n 互为倒数，则 n 1）的值为 1 【考点】 代数式求值；倒数 【分析】 由 m， n 互为倒数可知 ，代入代数式即可 【解答】 解：因为 m， n 互为倒数可得 ，所以 n 1） =n（ n 1）=1 18如图，已知圆锥的高为 ，高所在直线与母线的夹角为 30，圆锥的侧面积为 2 【考点】 圆锥的计算 【分析】 先利用三角函数计算出 利 用勾股定理计算出 后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算圆锥的侧面积 【解答】 解：如图， 0， ， 在 ， ， 1，即圆锥的底面圆的半径为 1， 第 22 页（共 37 页） =2，即圆锥的母线长为 2， 圆锥的侧面积 = 212=2 故答案为 2 19对于二次函数 y=3x+2 和一次函数 y= 2x+4，把 y=t（ 3x+2） +（ 1 t）（ 2x+4）（ t 为常数）称为这两个函数的 “再生二次函数 ”其中 t 是不为零的实数，其图象记作抛物线 F，现有点 A（ 2， 0）和抛物线 F 上的点 B（ 1， n），下列结论正确的有 n 的值为 6； 点 A 在抛物线 F 上； 当 t=2 时， “再生二次函数 ”y 在 x 2 时， y 随 x 的增大而增大 当 t=2 时，抛物线 F 的顶点坐标是（ 1， 2） 【考点】 二次函数的性质；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征 【分析】 已知点 B 在抛物线 E 上，将该点坐标代入抛物线 E 的解析式中直接求解，即可得到 n 的值 将点 A 的坐标代入抛物线 E 上直接进行验证即可； 代入 t=2 得到二次函数，从而确定其增减性即可 将 t 的值代入 “再生二次函数 ”中，通过配方可得到顶点的坐标 【解答】 解： 将 x= 1 代入抛物线 E 的解析式中，得： n=t（ 3x+2） +（ 1 t）（ 2x+4） =6，正确 将 x=2 代入 y=t（ 3x+2） +（ 1 t）（ 2x+4），得 y=0， 点 A（ 2， 0）在抛物线 E 上，正确 当 t=2 时， y=t（ 3x+2） +（ 1 t）（ 2x+4） =24x=2（ x 1） 2 2， 对称轴为 x=1，开口向上， 当 x 2 时， y 随 x 的增大而增大，正确； 第 23 页（共 37 页） 将 t=2 代入抛物线 E 中，得： y=t（ 3x+2） +（ 1 t）（ 2x+4） =24x=2（ x 1） 2 2， 此时抛物线的顶点坐标为：（ 1， 2），错误 ； 故答案为： 三、解答题（本大题共 7 小题，共 69 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20请你阅读小明和小红两名同学的解题过程，并回答所提出的问题 计算： + 问：小明在第 步开始出错，小红在第 步开始出错（写出序号即可）；请你给出正确解答过程 【考点】 分式的加减法 【分析】 根据分式的加减，可得答案 【解答】 （ 1） ， 原式 = = 21某学校为了丰富学生课余生活，决定开设以下体育课外活动项目： A版画 B保龄球 C航模 D园艺种植，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （ 1）这次被调查的学生共有 200 人； 第 24 页（共 37 页） （ 2）请你将条形统计图（ 2）补 充完整； （ 3）在平时的保龄球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加保龄球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答） 【考点】 列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图 【分析】 （ 1）由 A 类有 20 人，所占扇形的圆心角为 36，即可求得这次被调查的学生数； （ 2）首先求得 C 项目对应人数，即可补全统计图； （ 3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利 用概率公式即可求得答案 【解答】 解：（ 1） A 类有 20 人，所占扇形的圆心角为 36， 这次被调查的学生共有： 20 =200（人）； 故答案为： 200； （ 2） C 项目对应人数为： 200 20 80 40=60（人）； 补充如图 第 25 页（共 37 页） （ 3）画树状图得： 共有 12 种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有 2 种， P（选中甲、乙） = = 22在学习三角形中位线的性质时，小亮对课本给出的解集办法进行了认真思考： 小亮发现：可能证法的实质是用中心对称的方法来构造全等三角形 请你利用小亮的发现解决下列问题： （ 1）如图 2， 中线， E，交 F，且 F，求证：F 请你帮助小亮写出辅助线作法并完成论证过程； 证明： 延长 点 M，使 D，连接 在 ， ， F， M= 第 26 页（共 37 页） F， M= C， F； （ 2）解决问题：如图 3，在 ， B=45， 0， ， 中位线，过点 D、 E 作 别交 F、 G，过点 A 作 别与延长线交于 M、 N，则四边形 长的最小值是 10 +8 【考点】 三角形综合题 【分析】 （ 1）先判断出 而得出 F， M= 判断出 M= 出 C 即可得出结论； （ 2）先判断出四边形 平行四边形，再判断出 G=，进而判断出 ，四边形 周长最小，最后构造出直角三角形求出 可得出结论 【解答】 （ 1）延长 点 M，使 D，连接 在 ， ， F， M= F， M= C， 第 27 页（共 37 页） C； 故答案为：延长 点 M，使 D，连接 在 ， ， F， M= F， M= C， C； （ 2）如图， 四边形 平行四边形， G， G， 中位线， ， G= ， 四边形 长 =2（ G） =2， ， 短， 即：四边形 周长最小， 过点 A 作 H， H 在 ， B=45， 0， 第 28 页（共 37 页） =5 ， 四边形 周长最小为 2=10 +8 故答案为 10 +8 23小明家饮水机中原有水的温度为 20 ，通电开机后，饮水机自动开始加热 此过程中水温 y（ ）与开机时间 x（分）满足一次函数关系 ，当加热到 100 时自动停止加热，随后水温开始下降 此过程中水温 y（ ）与开机时间 x（分）成反比例关系 ，当水温降至 20 时，饮水机又自动开始加热 ，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： （ 1）当 0 x 8 时，求水温 y（ ）与开机时间 x（分）的函数关系式； （ 2）求图中 t 的值； （ 3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步 45 分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少 ？ 【考点】 反比例函数的应用 【分析】 （ 1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可； （ 2）首先求出反比例函数解析式进而得出 t 的值； （ 3）利用已知由 x=5 代入求出饮水机内的温度即可 【解答】 解：（ 1）当 0 x 8 时，设水温 y（ ）与开机时间 x（分）的函数关系为： y=kx+b， 依据题意，得 ， 解得： ， 故此函数解析式为： y=10x+20； （ 2）在水温下降过程中，设水温 y（ ）与开机时间 x（分）的函数关系式为：第 29 页（共 37 页） y= ， 依据题意，得： 100= ， 即 m=800， 故 y= ， 当 y=20 时， 20= ， 解得： t=40； （ 3） 45 40=5 8， 当 x=5 时， y=10 5+20=70， 答：小明散步 45 分钟回到家时，饮水机内的温度约为 70 24某园林专业户计划投资种 植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润 投资量 x 成正比例关系，种植花卉的利润 投资量 x 的平方成正比例关系，并得到了表格中的数据 投资量 x（万元） 2 种植树木利润 元） 4 种植树木利润 元） 2 （ 1）分别求出利润 于投资量 x 的函数关系式； （ 2）如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉金额 m 万元，种植花卉和数目共获利利润 W 万元，直接写出 W 关于 m 的函数关系式，并求他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？ （ 3）若该专业 户想获利不低于 22 万，在（ 2）的条件下，直接写出投资种植花卉的金额 m 的范围 【考点】 二次函数的应用 【分析】 （ 1）根据题意设 y1=y2=表格中数据分别代入求解可得； （ 2）由种植花卉 m 万元（ 0 m 8），则投入种植树木（ 8 m）万元，根据 “总利润 =花卉利润 +树木利润 ”列出函数解析式，利用二次函数的性质求得最值即可； （ 3）根据获利不低于 22 万，列出不等式求解可得 第 30 页（共 37 页） 【解答】 解：（ 1）设 y1= 由表格数据可知，函数 y1=图象过（ 2， 4）， 4=k2， 解得： k=2， 故利润 于投资量 x 的函数关系式是 x（ x 0）； 设 y2= 由表格数据可知，函数 y2=图象过（ 2， 2）， 2=a22， 解得： a= ， 故利润 于投资量 x 的函数关系式是： x 0）； （ 2）因为种植花卉 m 万元（ 0 m 8），则投入种植树木（ 8 m）万元， w=2（ 8 m） + 2m+16= （ m 2） 2+14， a=0， 0 m 8， 当 m=2 时， w 的最小值是 14， a= 0， 当 m 2 时， w 随 m 的增大而增大 0 m 8， 当 m=8 时， w 的最大值是 32， 答：他至少获得 14 万元利润，他能获取的最大利润是 32 万元 （ 3）根据题意，当 w=22 时， （ m 2） 2+14=22， 解得： m= 2（舍）或 m=6， 故： 6 m 8 25如图所示，点 A 为半圆 O 直径 在直线上一点，射线 直于 足为 A，半圆绕 M 点顺时针转动，转过的角度记作 a；设半圆 O 的半径为 R，长度为 m，回答下列问题： 第 31 页（共 37 页） 探究：（ 1）若 R=2， m=1，如图 1，当旋转 30时，圆心 O到射线 距离是 +1 ；如图 2，当 a= 60 时，半圆 O 与射线 切； （ 2）如图 3，在（ 1）的条件下，为了使得半圆 O 转动 30即能与射线 切 ，在保持线段 度不变的条件下，调整半径 R 的大小，请你求出满足要求的 R，并说明理由 （ 3）发现：（ 3）如图 4，在 0 90时，为了对任意旋转角都保证半圆 O 与射线 够相切，小明探究了 R、 m 两个量的关系，请你帮助他直接写出这个关系； （用含有 R、 m 的代数式表示） 拓展：（ 4）如图 5，若 R=m，当半圆弧线与射线 两个交点时， 的取值范围是 90 120 ，并求出在这个变化过程中阴影部分（弓形）面积的最大值（用 m 表示） 【考点】 圆的综合题 【分析】 （ 1）如图 1 中，作 OE E， OE 于 F则四边形 矩形， M=1如图 2 中，设切点为 F，连接 OF，作 OE E，则四边形 O O，由 = ，推出 =60 （ 2）设切点为 P，连接 OP，作 OP，则四边形 矩形列出方 程即可解决问题 （ 3）设切点为 P，连接 OP，作 OP，则四边形 矩形列出方程即可解决问题、 第 32 页（共 37 页） （ 4）当半圆与射线 切时，之后开始出现两个交点，此时 =90；当 N落在时，为半圆与 两个交点的最后时刻，此时 2以 60，所以， =120因此，当半圆弧线与射线 两个交点时， 的取值范围是： 90 120当 N落在 时，阴影部分面积最大，求出此时的面积即可 【解答】 解：（ 1）如图 1 中，作 OE E， OE 于 F则四边形 M=1想办法求出 OE 的长即可 在 ， =30， 2， OF=OM ， OE= +1， 点 O到 距离为 +1 如图 2 中，设切点为 F，连接 OF，作 OE E，则四边形 O矩形， F=2， ， ， 在 O， = ， =60 故答案为 +1， 60 （ 2）设切点为 P，连接 OP，作 OP，则四边形 矩形 第 33 页（共 37 页） OP=R， R= R+1， R=4+2 （ 3）设切点为 P，连接 OP，作 OP，则四边形 矩形 在 O， OQ=RQP=m， OP=R， Rm=R， 故答案为 （ 4）如图 5 中， 当半圆与射线 切时，之后开始出现两个交点，此时 =90；当 N