2016年重庆外国语学校中考数学一模试卷含答案解析

第 1 页（共 36 页） 2016 年重庆外国语学校中考数学一模试卷 一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A、 B、 C、 D 的四个答案，其中只有一个是正确的 1在 0、 1、 、 四个实数中，最小的数是（ ） A 1 B 0 C D 2下列运算中正确的是（ ） A（ 3= C a2+a2= 33x=x 3如图，点 B 是 边 延长线上一点， C=50， 0，则 度数等于（ ） A 70 B 100 C 110 D 120 4为了比较某校同学汉字听写谁更优秀，语文老师随机抽取了 10 次听写情况，发现甲乙两人平均成绩一样，甲、乙的方差分别为 下列说法正确的是（ ） A甲的发挥更稳定 B乙的发挥更稳定 C甲、乙同学一样稳定 D无法确定甲、乙谁更稳 定 5二元一次方程组 的解是（ ） A B C D 6若 a2+b+5=0，则代数式 3b+10 的值为（ ） A 25 B 5 C 5 D 0 7若一次函数 y=kx+b 的图象与直线 y= x+1 平行，且过点（ 8， 2），则此一次函数的解析式为（ ） A y= x 2 B y= x 6 C y= x 1 D y= x+10 第 2 页（共 36 页） 8如图， 半圆 O 的直径，点 C 在 延长线上， 半圆 O 相切于点 D，且，则图中阴影部分的面积为（ ） A B 32 8 C 4 D 8 2 9在 2、 1、 0、 1、 2、 3 这六个数中，任取两个数，恰好互为相反数的概率为（ ） A B C D 10如图，用火柴棒摆出一列正方形图案，第 个图案用了 4 根，第 个图案用了 12根，第 个图案用了 24 根，按照这种方式摆下去，摆出第 个图案用火柴棒的根数是（ ） A 84 B 81 C 78 D 76 11关于 x 的方程 的解为正数，且关于 y 的不等式组 有解，则符合题意的整数 m 有（ ）个 A 4 B 5 C 6 D 7 12重庆实验外国语学校坐落在美丽的 “华岩寺 ”旁边，它被誉为 “巴山灵境 ”我校实践活动小组准备利用测角器和所学的三角函数知识去测 “华岩寺 ”大佛的高度他们在 A 处测得佛顶 P 的仰角为 45，继而他们沿坡度为 i=3： 4 的斜坡 行 25 米到达大佛广场边缘的 B 处， B 点测得佛顶 P 的仰角为 63，则大佛的高度 （ ）米 （参考数据： ， ， ） 第 3 页（共 36 页） A 15 B 20 C 25 D 35 二、填空题：（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分） 13地球半径约为 6 400 000m，这个数字用科学记数法表示为 m 14计算 = 15如图， ， E 是 一点，且 ： 4，过点 E 作 点D，则 四边形 面积比是 16如图， A， B， C 是 O 上三点， 5，则 度数是 17某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用 45 分钟，立即按原路以另一速度匀速返回 ，直至与货车相遇已知货车的速度为 60 千米 /时，两车之间的距离 y（千米）与货车行驶时间 x（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下 4 个结论： 快递车从甲地到乙地的速度为 100 千米 /时； 甲、乙两地之间的距离为 120 千米； 图中点 B 的坐标为（ 3 ， 75）； 快递车从乙地返回时的速度为 90 千米 /时， 第 4 页（共 36 页） 以上 4 个结论正确的是 18如图，正方形 边长为 3，点 E、 F 分别在边 且 F=1，连接 F 交于点 G，在线段 取一点 H 使 G，连接 翻折得到 则点 H 到边 距离是 三、解答题（本大题共 3 个小题，共 24 分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上 19已知：如图，点 E 是正方形 边 一点，点 F 是 延长线上一点，且F 求证： 20数学兴趣小组为了解我校初三年级 1800 名学生的身体健康情况，从初三随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位： 成五组（ A： B：C： D： E： 并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图 第 5 页（共 36 页） 补全条形统计图，并估计我校初三年级体重介于 47 53学生大约有多少名 21化简下列各式： （ 1）（ a b） 2 a（ a 2b） +（ 2a+b）（ 2a b） （ 2） 四、解答题（本大题共 3 个小题，共 30 分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上 22如图，在平面直角坐标系中， O 为原点，直线 别与 x 轴、 y 轴交于 B 和 A，与反比例函数的图象交于 C、 D， x 轴于点 E， ， ， （ 1）求直线 反比例函数的解析式； （ 2）求 面 积 23重庆外国语学校为解决 “停车难 ”问题，决定对车库进行扩建，扩建工程原计划由 8 周后为了缩短工期，学校计划从第九周起增派 B 施工队与 A 施工队共同施工，预计共同施工 4 周后工程即可完工，已知 B 施工队单独完成整个工程的工期为 20 周 （ 1）增派 B 施工队后，整个工程的工期比原计划缩短了几周？ （ 2）增派 B 施工队后，学校需要重新与 A 施工队商定从第九周起的工程费支付问题，已知学校在工程开始前已支付给 A 工程队设计费、勘测费共计 200 万元，工程 开始后前 第 6 页（共 36 页） 八周的工程费已按每周 40 万元进行支付，从第九周开始，学校需要支付给 A 施工队的每周工程费在原来 40 万元的基础上增加 20%支付给 B 施工队的每周工程费为 a 万元，在整个工程结束后再一次性支付给 A、 B 两个施工队的总费用不超过 1000 万元，则每周支付给 B 施工队的施工费最多为多少万元？ 24有一个 n 位自然数 能被 除，依次轮换个位数字得到的新数 能被 整除，再依次轮换个位数字得到的新数 能被 整除，按此规律轮换后， 能被 整除， ， 能被 x0+n 1 整除，则称这个 n 位数是 一个 “轮换数 ” 例如： 60 能被 5 整除， 06 能被 6 整除，则称两位数 60 是 5 的一个 “轮换数 ”； 再如： 324 能被 2 整除， 243 能被 3 整除， 432 能被 4 整除，则称三位数 324 是 2 个一个 “轮换数 ” （ 1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的 2 倍，求证这个两位自然数一定是 “轮换数 ” （ 2）若三位自然数 是 3 的一个 “轮换数 ”，其中 a=2，求这个三位自然数 五、解答题（本大题共 2 个小题，共 24 分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤 25已知， ， 0， 0，分别以 边，向 作等边 等边 （ 1）如图 1，连 接 ，求 长； （ 2）如图 2，连接 点 F，作 H，连接 证： （ 3）如图 3，取 中点 M、 N，连接 M、 N，试探求 数量关系，并直接写出结论 26如图 1，正方形 平面直角坐标系中的位置如图所示，点 A 在 x 轴上，点 C在 y 轴上，点 D 是边 中点，连接 E 在第一象限，且 C，抛 第 7 页（共 36 页） 物线 y= x+2 过 C， E 两点，与 交点为 K （ 1）求线段 长度； （ 2）点 P 为 段下方抛物线上一点，过点 P 作 y 轴的平行线与 段交于点 Q，当线段 长时，在 y 轴上找一点 F 使 |值最大，求符合题意的 F 点坐标； （ 3）如图 2， 于点 G，过点 B 作 点 H，把 射线 方向以每秒 1 个单位长度的速度向右平移平移过程中的三角形记为 BCH，当点 H运动到四边形 外部时运动停止，设运动时间为 t（ t 0）， BCH与 叠部分的面积为 S，写出 S 关于 t 的函数关系式及自变量的取值范围 第 8 页（共 36 页） 2016 年重庆外国语学校中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A、 B、 C、 D 的四个答案，其中只有一个是正确的 1在 0、 1、 、 四个实数中，最小的数是（ ） A 1 B 0 C D 【考 点】实数大小比较 【专题】推理填空题 【分析】正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可 【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得 1 0 ， 在 0、 1、 、 四个实数中，最小的数是 故选： C 【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确 ：正实数 0 负实数，两个负实数绝对值大的反而小 2下列运算中正确的是（ ） A（ 3= C a2+a2= 33x=x 【考点】幂的乘方与积的乘方；立方根；合并同类项 【分析】根据幂的乘方、立方根、合并同类项，即可解答 【解答】解： A、（ 3=本选项错误； B、 = 3，正确； C、 a2+本选项错误； D、 3 3x 不能合并同 类项、故本选项错误； 第 9 页（共 36 页） 故选： B 【点评】本题考查了幂的乘方、立方根、合并同类项，解决本题的关键是熟记幂的乘方、立方根、合并同类项 3如图，点 B 是 边 延长线上一点， C=50， 0，则 度数等于（ ） A 70 B 100 C 110 D 120 【考点】三角形的外角性质；平行线的性质 【专题】计算题 【分析】因为 以 A= 0，因为 外角，所以 A+C=60+50=110 【解答】解： 0， C=50， A=60， A+ C=60+50=110 故选 C 【点评】本题比较简单，考查的是平行线的性质及三角形外角的性质 4为了比较某校同学汉字听写谁更优秀，语文老师随机抽取了 10 次听写情况，发现甲乙两人平均成绩一样，甲、乙的方差分别为 下列说法正确的是（ ） A甲的发挥更稳定 B乙的发挥更稳定 C甲、乙同学一样稳定 D无法确定甲、乙谁更 稳定 【考点】方差 【分析】根据甲乙的方差，可以比较它们的大小，方差越小越稳定，从而可以解答本题 【解答】解： 甲的发挥更稳定， 故选 A 第 10 页（共 36 页） 【点评】本题考查方差，解题的关键是明确方差的意义，方差越小越稳定 5二元一次方程组 的解是（ ） A B C D 【考点】解二元一次方程组 【分析】观察原方程组，由于两个方程的 y 系数互为相反数，可用加减消元法进行求解，进而可判断出正确的选项 【解答】解： ， + ，得： 3x+4=10，即 x=2； 将 代入 ，得： 2+y=10，即 y=8； 原方程组的解为： 故选 A 【点评】此题考查的是二元一次方程组的解法，常用的方法有：代入消元法和加减消 元法；要针对不同的题型灵活的选用合适的方法 6若 a2+b+5=0，则代数式 3b+10 的值为（ ） A 25 B 5 C 5 D 0 【考点】代数式求值 【分析】先由 a2+b+5=0 得出 a2+b= 5，再把代数式变形为 3（ a2+b） +10 的形式，然后利用 “整体代入法 ”求代数式的值 【解答】解： a2+b+5=0， a2+b= 5， 则代数式 3b+10=3（ a2+b） +10， =3 （ 5） +10， = 5 故选 C 【点评】本题考查了代数式求值，解题的关键是利用 “整体代入法 ”求代数式的值 第 11 页（共 36 页） 7若一次函数 y=kx+b 的图象与直线 y= x+1 平行，且过点（ 8， 2），则此一次函数的解析式为（ ） A y= x 2 B y= x 6 C y= x 1 D y= x+10 【考点】待定系数法求一次函数解析式 【分析】根据平行直线的解析式的 k 值相等求出 k，然后把点 P（ 1， 2）的坐标代入一次函数解析式计算即可得解 【解答】解： 一次函数 y=kx+b 的图象与直线 y= x+1 平行， k= 1， 一次函数过点（ 8， 2）， 2= 8+b 解得 b=10， 一次函数解析式为 y= x+10 故选 D 【点评】本题考查了两直线平行的问题，根据平行直线的解析式的 k 值相等求出一次函数解析式的 k 值是解题的关键 8如图， 半圆 O 的直径，点 C 在 延长线上， 半圆 O 相切于点 D，且，则图中阴影部分的面积为（ ） A B 32 8 C 4 D 8 2 【考点】扇形面积的计算；切线的性质 【分析】求出 D=4，求出 5，分 别求出三角形 面积和扇形 面积，即可求出答案 【解答】解： ， D=4， O 于 C， 第 12 页（共 36 页） 0， 等腰直角三角形， 5， 阴影部分的面积是 S S 扇形 4 4 =8 2， 故选 D 【点评】本题考查了等腰三角 形性质，三角形的内角和定理，切线的性质，扇形的面积，三角形的面积的应用，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积，题目比较典型，难度适中 9在 2、 1、 0、 1、 2、 3 这六个数中，任取两个数，恰好互为相反数的概率为（ ） A B C D 【考点】列表法与树状图法 【分析】 根据题意画出树状图，进而利用概率公式求出答案 【解答】解：由题意画树状图得： ， 一共有 30 种可能，符合题意的有 4 种，故恰好互为相反数的概率为： 故选： A 【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题关键 10如图，用火柴棒摆出一列正方形图案，第 个图案用了 4 根，第 个图案用了 12根，第 个图案用了 24 根，按照这种方式摆下去，摆出第 个图案用火柴棒的根数是（ ） 第 13 页（共 36 页） A 84 B 81 C 78 D 76 【考点】规律型：图形的变化类 【分析】图形从上到下可以分成几行，第 n 个图形中，竖放的火柴有 n（ n+1）根，横放的有 n（ n+1）根，因而第 n 个图案中火柴的根数是： n（ n+1） +n（ n+1） =2n（ n+1）把n=6 代入就可以求出 【解答】解：设摆出第 n 个图案用火柴棍为 图， （ 1+1） +1 （ 1+1）； 图， （ 2+1） +2 （ 2+1）； 图， （ 3+1） +3 （ 3+1）； ； 第 n 个图案， Sn=n（ n+1） +n（ n+1） =2n（ n+1） 则第 个图案为： 2 6 （ 6+1） =84 故选 A 【点评】本题考查了规律型：图形的变化，此题注意第 n 个图案用火柴棍为 2n（ n+1） 11关于 x 的方程 的解为正数，且关于 y 的不等式组 有解，则符合题意的整数 m 有（ ）个 A 4 B 5 C 6 D 7 【考点】分式方程的解；解一元一次不等式；一元一次不等式组的整数解 【 分析】先求出方程的解与不等式组的解集，再根据题目中的要求，求出相应的 m 的值即可解答本题 【解答】解： 关于 x 的方程 的解为正数， 2（ x+m） =2（ x 2）， 解得： x= ， 则 6 m 0， 第 14 页（共 36 页） 故 m 6， 关于 y 的不等式组 有解， m+2 y 3m+4， 且 m+2 3m+4， 解得： m 1， 故 m 的取值范围是： 1 m 6， x 2 0， x 2， 2， m 0， 则符合题意的整数 m 有： 1， 1， 2， 3， 4， 5，共 6 个 故选： C 【点评】本题考查分式方程的解、一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件 12重庆实验外国语学校坐落在美丽的 “华岩寺 ”旁边，它被誉为 “巴山灵境 ”我校实践活动小组准备利用测角器和所学的三角函数知识去测 “华岩寺 ”大佛的高度他们在 A 处测得佛顶 P 的仰角为 45，继而他们沿坡度为 i=3： 4 的斜坡 行 25 米到达大佛广 场边缘的 B 处， B 点测得佛顶 P 的仰角为 63，则大佛的高度 （ ）米 （参考数据： ， ， ） A 15 B 20 C 25 D 35 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题；解直角三角形的应用坡度坡角问题 第 15 页（共 36 页） 【分析】如图，作 E，延长 F设 x，则四边形 矩形，求出 出方程即可解决问题 【解答】解：如图，作 E，延长 F设 x，则四边形 矩形， = ， F=3x， = ， 5， 5， 0， 5， 0， 5， F， 20+3x=4x+15， x=5 0 米 故选 B 【点评】本题考查解直角三角形，仰角问题、坡度问题等知识，解题的关键是理解这些概念，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型 二、填空题：（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分） 13地球半径约为 6 400 000m，这个数字用科学记数法表示为 106 m 【考点】科学记数法 表示较大的数 【分析】科学记数法的表示形式为 a 10n 的形式，其中 1 |a| 10， n 为整数确定 看把原数变成 M 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数 第 16 页（共 36 页） 相同当原数绝对值大于 10 时， n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时， n 是负数确定a 10n（ 1 |a| 10， n 为整数）中 n 的值，由于 3 120 000 有 7 位，所以可以确定 n=7 1=6 【解答】解： 6 400 000=106， 故答案为： 106 【点评】本题主要考查了科学记数法，把一个数 M 记成 a 10n（ 1 |a| 10， n 为整 数）的形式，掌握当原数绝对值大于 10 时， n 与 M 的整数部分的位数的关系是解决问题的关键 14计算 = 5 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂 【专题】计算题；实数 【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及算术平方根定义计算即可得到结果 【解答】解：原式 =2+1 2+4=5， 故答案为： 5 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 15如图， ， E 是 一点，且 ： 4，过点 E 作 点D，则 四边形 面积比是 9： 40 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】由 可得 后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得 S S 值，继而求得 四边形 面积比 【解答】解： ： 4， 第 17 页（共 36 页） ： 7， S S ： 49， S S 四边形 ： 40 故答案为： 9： 40 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质此题难度不大，注意掌握相似三角形面积比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键 16如图， A， B， C 是 O 上三点， 5，则 度数是 65 【考点】圆周角定理 【分析】连接 求 度数，只要在等腰三角形 求得一个角的度数即可得到答案，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得 0，然后根据等腰三角形两 底角相等和三角形内角和定理即可求得 【解答】解：连接 5， 0， B， 180 60） 2=65， 故答案为： 65 【点评】本题考查了圆周角定理；作出辅助线，构建等腰三角形是正确解答本题的关键 17某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用 45 分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直 第 18 页（共 36 页） 至与货 车相遇已知货车的速度为 60 千米 /时，两车之间的距离 y（千米）与货车行驶时间 x（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下 4 个结论： 快递车从甲地到乙地的速度为 100 千米 /时； 甲、乙两地之间的距离为 120 千米； 图中点 B 的坐标为（ 3 ， 75）； 快递车从乙地返回时的速度为 90 千米 /时， 以上 4 个结论正确的是 【考点】一次函数的应用 【专题】压轴题 【分析】根据一次函数的性质和 图象结合实际问题对每一项进行分析即可得出答案 【解答】解： 设快递车从甲地到乙地的速度为 x 千米 /时，则 3（ x 60） =120， x=100（故 正确）； 因为 120 千米是快递车到达乙地后两车之间的距离，不是甲、乙两地之间的距离，（故 错误）； 因为快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用 45 分钟， 所以图中点 B 的横坐标为 3+ =3 ， 纵坐标为 120 60 =75，（故 正确）； 设快递车从乙地返回时的速度为 y 千米 /时，则 （ y+60）（ 4 3 ） =75， y=90，（故 正确） 故答案为； 【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题，关键是根据一次函数的性质和图象结合实际问题判断出每一结论是否正确 第 19 页（共 36 页） 18如图，正方形 边长为 3，点 E、 F 分别在边 且 F=1，连 接 F 交于点 G，在线段 取一点 H 使 G，连接 翻折得到 则点 H 到边 距离是 【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用；正方形的性质；平行线分线段成比例 【专题】方程思想；面积法 【分析】先连接 根据轴对称的性质，判定 根据勾股定理求得， ，进而得出 ： 3，再根据平行线分线段成比例定理，求得， ， ，最后设点 H 到边 距离是 h，根据面积法得到 h，求得 h 的值即可 【解答】解：连接 交 P，则 直平分 H，即 等腰三角形， 正方形 边长为 3， F=1， A= 0， E， 又 0， 0， ， ， ， ， ， G= ， 又 E= ， 第 20 页（共 36 页） ， ： 3， = = ，即 = = ， ， ， ， ， = = 2 = ， 设点 H 到边 距离是 h，则 h， = h， h= ， 点 H 到边 距离是 故答案为： 【点评】本题以折叠问题为背景，主要考查了正方形的性质、勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是根据面积法列出等式求得点 H 到边距离，解题时注意方程思想的运用 三、解答题（本大题共 3 个小题，共 24 分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程 书写在答题卡中对应的位置上 19已知：如图，点 E 是正方形 边 一点，点 F 是 延长线上一点，且F 求证： 第 21 页（共 36 页） 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质 【专题】证明题 【分析】根据条件可以得出 B， 0，从而可以得出 可以得出 可以得出结论 【解答】证明： 四边形 正方形， D， D= 0， 0 在 ， ， 0， 0， 0， 【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的判定，在解答本题时，证明三角形全等是关键 20数学兴趣小组为了解我校初三年级 1800 名学生的身体健康情况，从初三随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数， 单位： 成五组（ A： B：C： D： E： 并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图 第 22 页（共 36 页） 补全条形统计图，并估计我校初三年级体重介于 47 53学生大约有多少名 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图 【分析】根据统计图可以求得本次调查的人数和体重落在 B 组的人数，从而可以将条形统计图补充完整，进而可以求得我校初三年级体重介于 47 53学生大约有多少名 【解答】解：本次调查的学生有： 32 16%=200（名）， 体重在 B 组的学生有： 200 16 48 40 32=64（名）， 补全的条形统计图如右图所示， 我校初三年级体重介于 47 53学生大约有： 1800 =576（名）， 即我校初三年级体重介于 47 53学生大约有 576 名 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关 键是明确题意，找出所求问题需要的条件 21化简下列各式： （ 1）（ a b） 2 a（ a 2b） +（ 2a+b）（ 2a b） （ 2） 【考点】分式的混合运算；整式的混合运算 【分析】（ 1）根据完全平方公式和单项式乘以多项式、平方差公式将原式展开，然后再合并同类项即可解答本题； 第 23 页（共 36 页） （ 2）先化简括号内的式子，再根据分式的除法即可解答本题 【解答】解：（ 1）（ a b） 2 a（ a 2b） +（ 2a+b）（ 2a b） =2ab+4 （ 2） = = = = 【点评】本题考查分式的混合运算、整式的混合运算，解题的关键是明确它们各自的计算方法 四、解答题（本大题共 3 个小题，共 30 分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解 答过程书写在答题卡中对应的位置上 22（ 2015荆州）如图，在平面直角坐标系中， O 为原点，直线 别与 x 轴、 y 轴交于 B 和 A，与反比例函数的图象交于 C、 D， x 轴于点 E， ， ， （ 1）求直线 反比例函数的解析式； （ 2）求 面积 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】（ 1）根据已知条件求出 A、 B、 C 点坐标，用待定系数法求出直线 反比例 第 24 页（共 36 页） 的函数解析式； （ 2）联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点 D 的坐标，从而根据三角形面积公式求解 【解答】解：（ 1） ， ， +4=6 x 轴于点 E， = = ， 点 A 的坐标为（ 0， 2）、点 B 的坐标为 C（ 4， 0）、点 C 的坐标为（ 2， 3） 设直线 解析式为 y=kx+b，则 ， 解得 故直线 解析式为 y= x+2 设反比例函数的解析式为 y= （ m 0）， 将点 C 的坐标代入，得 3= ， m= 6 该反比例函数的解析式为 y= （ 2）联立反比例函数的解析式和直线 解析式可得 ， 可得交点 D 的坐标为（ 6， 1）， 则 面积 =4 1 2=2， 面积 =4 3 2=6， 故 面积为 2+6=8 【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合题主要考查待定系数法求函数解析式求A、 B、 C 点的坐标需用正切定义或相似三角形的性质，起点稍高，部分学生感觉较难 23重庆外国语学校为解决 “停车难 ”问题，决定对车库进行扩建，扩建工程原计划由 A 第 25 页（共 36 页） 施工队独立 完成， 8 周后为了缩短工期，学校计划从第九周起增派 B 施工队与 A 施工队共同施工，预计共同施工 4 周后工程即可完工，已知 B 施工队单独完成整个工程的工期为 20 周 （ 1）增派 B 施工队后，整个工程的工期比原计划缩短了几周？ （ 2）增派 B 施工队后，学校需要重新与 A 施工队商定从第九周起的工程费支付问题，已知学校在工程开始前已支付给 A 工程队设计费、勘测费共计 200 万元，工程开始后前八周的工程费已按每周 40 万元进行支付，从第九周开始，学校需要支付给 A 施工队的每周工程费在原来 40 万元的基础上增加 20%支付给 B 施工队的每周工程费 为 a 万元，在整个工程结束后再一次性支付给 A、 B 两个施工队的总费用不超过 1000 万元，则每周支付给 B 施工队的施工费最多为多少万元？ 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用 【分析】（ 1）设原计划需 x 周完成，则 A 队每周完成总量的 ， B 队每周完成总量的 ，根据： A 队 8 周的工作量 +A、 B 两队合作 4 周的工作量 =1，列方程求解可得； （ 2）根据：前 8 周付给 A 工程队的费用 +后 4 周付给 A 工程队的费用 +后 4 周付 给 B 工程队的费用 1000，列不等式求解可得 【解答】解：（ 1）设原计划需 x 周完成，则 A 队每周完成总量的 ， B 队每周完成总量的 ， 根据题意，得： 8 +4 （ + ） =1， 解得： x=15， 经检验： x=15 是原分式方程的解， 15（ 8+4） =3， 答：增派 B 施工队后，整个工程的工期比原计划缩短了 3 周； （ 2）根据题意，得： 40 8+4 40（ 1+4a 1000 解得： a 答：每周支付给 B 施工队的施工费最多为 元 【点评】本题主要考查分式方程和一元一次不等式的应用能力，理解题意找到题目蕴含的相等关系或不等关系是解题的关键 第 26 页（共 36 页） 24有一个 n 位自然数 能被 除，依次轮换个位数字得到的新数 能被 整除，再依次轮换个位数字得到的新数 能被 整除，按此规律轮换后， 能被 整除， ， 能被 x0+n 1 整除，则称这个 n 位数是 一个 “轮换数 ” 例如： 60 能被 5 整除， 06 能被 6 整除，则称两位数 60 是 5 的一个 “轮换数 ”； 再如： 324 能被 2 整除， 243 能被 3 整除， 432 能 被 4 整除，则称三位数 324 是 2 个一个 “轮换数 ” （ 1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的 2 倍，求证这个两位自然数一定是 “轮换数 ” （ 2）若三位自然数 是 3 的一个 “轮换数 ”，其中 a=2，求这个三位自然数 【考点】数的整除性 【分析】（ 1）先设出两位自然数的十位数字，表示出这个两位自然数，和轮换两位自然数即可； （ 2）先表示出三位自然数和轮换三位自然数，再根据能被 5 整除，得出 b 的可能值，进而 用 4 整除，得出 c 的可能值，最后用能被 3 整除即可 【解答】解：（ 1）设两位自然数的十位数字为 x，则个位数字为 2x， 这个两位自然数是 10x+2x=12x， 这个两位自然数是 12x 能被 6 整除， 依次轮换个位数字得到的两位自然数为 10 2x+x=21x 轮换个位数字得到的两位自然数为 21x 能被 7 整除， 一个两位自然数的个位数字是十位数字的 2 倍，这个两位自然数一定是 “轮换数 ” （ 2） 三位自然数 是 3 的一个 “轮换数 ”，且 a=2， 100a+10b+c 能被 3 整除， 即： 10b+c+200 能被 3 整除， 第一次轮换得到的三位自然数是 100b+10c+a 能被 4 整除， 即 100b+10c+2 能被 4 整除， 第二次轮换得到的三位自然数是 100c+10a+b 能被 5 整除， 即 100c+b+20 能被 5 整除， 100c+b+20 能被 5 整除， 第 27 页（共 36 页） b+20 的个位数字不是 0，便是 5， b=0 或 b=5， 当 b=0 时， 100b+10c+2 能被 4 整除， 10c+2 能被 4 整除， c 只能是 1， 3， 5， 7， 9； 这个三位自然数可能是为 201， 203， 205， 207， 209， 而 203， 205， 209 不能被 3 整除， 这个三位自然数为 201， 207， 当 b=5 时， 100b+10c+2 能被 4 整除， 10c+502 能被 4 整除， c 只能是 1， 5， 7， 9； 这个三位自然数可能是为 251， 255， 257， 259， 而 251， 257， 259 不能被 3 整除， 这个三位自然数为 255， 即这个三位自然数为 201， 207， 255 【点评】此题是数的整除性，主要考查了 3 的倍数， 4 的倍数， 5 的倍数的特点，解本题的关键是用 5 的倍数求出 b 的值 五、解答题（本大题共 2 个小题，共 24 分）解答 时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤 25已知， ， 0， 0，分别以 边，向 作等边 等边 （ 1）如图 1，连接 ，求 长； （ 2）如图 2，连接 点 F，作 H，连接 证： （ 3）如图 3，取 中点 M、 N，连接 M、 N，试探求 数量关系，并直接写出结论 第 28 页（共 36 页） 【考点】三角形综合题 【分析】（ 1）如图 1，先根据 30角的性质求 长，利用勾股定理求 长，即是长，最后在 ，利用勾股定理求 长即可； （ 2）如图 2，作辅助线，构建全等三角形，证明 D，则 中位线，由三角形的中位线定理得： 以 （ 3）如图 3，作辅助线，构建三角形全等，证明 H， H，所以 中位线，有 BC=x，表示 长，相比可得关系式 【解答】解：（ 1）如图 1， ， 0， ， ， ， 等边三角形， C=2 ， 0，