中国矿业大学(徐州)09级理学院数学分析卷参考答案

中国矿业大学大一第二学期 理学院数学卷 考试时间：120 分钟 考试方式：闭卷 院系_ _班级_ _姓名_ _学号_ _ 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得 分 阅卷人 一 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 若函数 在 上可积，则 在 上（ ）()fx,ab()fx,ab A 连续 B 有间断点 C 有界 D 有原函数 2. （ ） 2200limdxxttee A B C D 发散1 1 3. 下列反常积分中，收敛的是（ ） A B C D 10dx13dx0sindx1dx 4. 下列级数条件收敛的是（ ） A B 一1 2()sinn12()35n C D 1 ()0nn 11()nn 5. 下列命题正确的是（ ） A 若重极限存在，则累次极限也存在并相等； B 若累次极限存在，则重极限也存在但不一定相等； C 若重极限不存在，则累次极限也不存在； D 重极限存在，累次极限也可能不存在 2 二、填空题（每空 3 分,共 15 分） 1 .222 lim nnn 2 .0 dxe 3 的收敛域为 . 21()n 4. 设 ,则其傅里叶级数当 时收敛于 . 2,0(),xf0x 5. 设 ，则 . 2 1(,)cos(1)sinfxyyy(,)yf 三（10 分）设 ，且 ，又设 ，试用函数的凸性证明：,0pqpq,0ab . 1pqb 3 四（10 分）将函数 在 展开为幂级数.2 ()arctn1xfx0 五（10 分）把函数 展开傅里叶级数.()02)fx 六（10 分）设 为 上的非负连续函数，证明：如果 ，则f,ba 0)(badxf .,0)(xf 4 七（10 分）求级数 的收敛域及其和函数. 1211()2nnnx 八（10 分）过点 作曲线 的切线(4,0)(1)3yx (1) 求切线的方程； (2) 求由这条切线与该曲线及 轴绕 轴旋转一周所得的旋转体的体积 . 九（10 分）设函数 在区间 上可积，且 ，证明：()fx,ab()0fxa 在区间 上也可积. 1()fx,ab 5 中国矿业大学 0910 学年第二学期 数学分析(2)试卷（A ）卷 参考答案 一 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 若函数 在 上可积，则 在 上（ C ）()fx,ab()fx,ab A 连续 B 有间断点 C 有界 D 有原函数 2. （ B ） 2200limdxxttee A B C D 发散1 1 3. 下列反常积分中，收敛的是（ A ） A B C D 10dx13dx0sindx1dx 4. 下列级数条件收敛的是（ A ） A B 一1 2()sinn12()35n C D 1 ()0nn 11()nn 5. 下列命题正确的是（ D ） A 若重极限存在，则累次极限也存在并相等； B 若累次极限存在，则重极限也存在但不一定相等； C 若重极限不存在，则累次极限也不存在； D 重极限存在，累次极限也可能不存在 二、填空题（每空 3 分,共 15 分） 1 .222 lim nnn 4 2 .0 dxe 6 3 的收敛域为 . 21()nx2,0 4. 设 ,则其傅里叶级数当 时收敛于 . 2,0(),fx0x2 5. 设 ，则 . 2 1(,)cos(1)sinfyyy(,)yf 三（10 分）设 ，且 ，又设 ，试用函数的凸性证明：,0pqpq,0ab . 1pqb 证 令 ，则 ，所以 是 上的凸函数。()lnfx2 ()0()fxx()fx0,) 那么对任意 ， ，且 ，有12,(0,),pq 1q ， 1212)()()fxfxf 即有 . 1212lnlnlxxpqpq 也就是 1212lnlnxxpqpq 若 ，取 ，得,0ab12,xab ， 11lnlnpqpqab 两边取指数就是 7 . 1pqab 四（10 分）将函数 在 展开为幂级数. 2 ()arctn1xfx0 解 , , 2220()arctn()1nfx xx1 因此 20 0()()(1)x xnfxftdtd ， 210nx 五（10 分）把函数 展开傅里叶级数.()02)f 解 ， 201axd2 20 011cossinsinnnxxd 210x20 011sincoscosnbdxnnxd 212i0 所以 ，0 ()sinfxx02x 8 六（10 分）设 为 上的非负连续函数，证明：如果 ，则f,ba 0)(badxf .,0)(xf 证 反证法 假设 在 不是恒为为零，即存在 ， .不妨设()fx,ab0,xab0()fx ，由连续函数的性质，存在 ，当 时，有0axb0(,)(,UxU21ff 从而 bxxxaba dfdfdfdf 000 )()()()(0x2100 x 与条件矛盾，假设不成立。故 .,)(bf 七（10 分）求级数 的收敛域及其和函数. 1211(2)nnnx 解 易求的级数的收敛域为 。令 ， 。于, 1211()()nnnSx (0)S 是 ， 12(),nSxx 令 ，那么 (),0()xf ，()fx 122)nx 从而 ，0()()arctn xffdx 即得 9 ，于是()arctnSxx ， 。 20 1tarctnarctn2xdx 1, 八（10 分）过点 作曲线 的切线(4,)()3y (1) 求切线的方程； (2) 求由这条切线与该曲线及 轴绕 轴旋转一周所得的旋转体的体积 .x 解 (1)令 ,则()1)(3fx . 2()xf 过点 作曲线 的切线,切(4,0)13y 线与 x 轴交点的横坐标是 ， 234yx 得 ，即切点横坐标为 。于是切线斜率为 ，切线方程是 52x52x51()23f 。 1(4)3yx (2) 所求旋转体的体积为 。 2 24 35 52 21()(1)63xdxdx 九（10 分）设函数 在区间 上可积，且 ，证明：f,ab0fa 在区间 上也可积. 1()fx,ab 证 因为 ，故 。由 在 上可积，任给 ，必分别()0f