《物理学基本教程》课后答案 第八章 真空中的静电场

第八章 真空中的静电场 8-1 在正方形的四个顶点上放置四个等量正电荷 要想在此,10.48Cq 正方形的中心再放置一个负电荷，使在每个电荷上 的合力为零，此负电荷的量值应为多少？ 分析 本题是应用库仑定律求解电荷受电场力 的平衡问题注意到库仑定律表达式是矢量式，求 解时，通常可以建立直角坐标系，将各力投影在两 正交方向上，得到各分量之间的代数关系式；也可 以直接用矢量合成关系得出相同的结果 因为正方形四个顶点上的点电荷带电量相等，负电荷 Q 置于正方形中心， 因此电荷分布具有明显的对称性，四顶点上的点电荷受力大小相同，而且两坐 标方向分量的方程应具有相同的表达形式 解 1 设 a 为正方形边长，取如图 8-1 所示的 Oxy 坐标系以 表示电xF1 荷 所受的合力在 x 方向的分量， 表示其它电荷对它的作用力在 x 方向的qxiF1 分量，根据题意，合力的在 x 方向分量的代数和为零，有 0143121 xQxx 应用库仑定律，可得电荷 所受其它电荷对它的力在 x 方向的分量，代入上式q 得 0245cos245cos0020aqaC 1083. C 1.8 qQ y F21 F31 q4 q1 O F41 x FQ1 Q q3 q2 图 8-1 解 2 由图 8-1 知 与电荷 所受另三力的合力均在对角线方向上，故1QF1q 在该方向上力的平衡方程为 045cos2311FQ 应用库仑定律，可得上式中各力的量值，则有 024cs240200 aqaq 亦有 C 1083. 1.24118qQ 8-2 电荷量为等值同号的两个点电荷之间距离为 2l，求其连线的中垂面 上电场强度最大处到两电荷连线中点的距离 分析 因两电荷等量同号，由于对称性，在连 线中垂面上，以连线中点为圆心的圆上各点电场强 度大小相等，方向沿径向只需求出电场强度沿径 向的分布规律，电场强度最大处应满足极值条件 解 以两点电荷连线中点 O 为原点, 轴沿连线x 方向， 轴为中垂面上任一径向，取如图 8-2 所示y 的坐标系 E1、 E2 分别为两点电荷在 轴上任意点 处产生的电场强度，由y),0(y 于对称性，合场强 (0, y)沿 y 正向， y 轴上任意点的合场强为 j21Ecos1 其中 ，0214lyqE21ly 故 230l y E E2 E1 （0, y） q q l O l x图 8-2 电场强度最大处应满足极值条件，令 ，得0dyE250lq 解得 ly2 因 轴为中垂面上任一径向，无须取负值，则极值位置为 又由计算y ly20 可得 ，故在位置为 处 E 有极大值，即在中垂面（ x=0）上0d2yEly20 场强最大处是以 O 为中心，半径为 的圆l 8-3 半径为 R 的一段圆弧，圆心角为 ，一半均匀带正电，另一半均匀60 带负电，单位长圆弧上所带电荷量分别为 和 ，求其圆心处的电场强度 分析 当电荷沿一细线连续分布时，电荷线密度为 ，须将带电细线分为 足够小的一系列电荷元 ，每一电荷元都可视为点电荷设 r 为电荷元lqd dq 到空间某点的径矢，则场强叠加原理给出该点场强为沿电荷分布曲线 L 的矢 量积分 ，通常应取平面直角坐标系，将矢量积分化为LLrlr30304dE 两标量积分进行计算在解题时应该注意到，电荷分布的对称性往往会使问题 得到简化 解 以带电圆弧的圆心为原点，取如图 8-3 的 Oxy 坐标系，带正电的圆弧 上电荷元 的角位置为 ，在圆心处的场强为 ，与之对称的带ddRlqEd 负电的圆弧上电荷元 角位置为 ，l 在圆心处的场强为 不难看出， 与ExEd 相抵消， 与 相等，即xEdydy + dl + + O x - dE dE dE dl y 图 8-3 0dxEsind2Eyy 电荷元 dq 在圆心处电场强度的大小为 RqE0204d 应用场强叠加原理，得 303002314dsin2dREEyy 8-4 均匀带正电荷圆环，半径为 R，电荷线密度为 ，其上有一长度为 的缺口，试求轴线上距环心 x 处 P 点的电场强度)(Rd 分析 根据场强叠加原理，完整的圆环在 处的电场强度应等于带缺口的圆 弧在 x 处的场强与缺口弧元在该点场强的叠加因例题 8-3 已经给出了完整的 圆环在 处的电场强度，而且对于弧元，因 ，可以视为一个点电荷，所Rd 以带缺口圆弧在轴线上 处的电场强度应等于完整的圆环在 处的场强与视为x x 点电荷的弧元在该点场强的矢量差 解 取如图 8-4 所示的 O 坐标系， 轴在圆环轴向，使缺口与圆心连线xyx y d -E2y E O x E1 x R E2y E2 图 84 在 O 平面内利用例题 8-3 结果，完整带电圆环在 x 处的场强 沿 方向，xy 1Ex 即 232014RxqEx 其中 Rq2 由点电荷场强表达式，带电量为 的点电荷在 x 处的场强为d )(41202RE ， 2320241cosxdEx 232024sinRxdEy 带缺口圆弧在轴线上 处的电场强度应等于完整的圆环在 处的场强与弧元 在该点场强的矢量差，即 ，并得两坐标方向的分量表达式为d21E2320)(4Rxdxx 23202)(0Eyy 方向与 x 轴正向夹角为EdRxExy2arctnarct 8-5 一半径为 的均匀带电细圆环，一半电荷线密度为 ，另一半电荷R 线密度为 ，求轴线上距环心 处的电场强度（假设电荷是不能移动的）.x 分析 根据电荷分布的对称性，在带电细圆环上取任一条直径的两端等量 异号电荷元，它们在轴线上距环心 处的电场强度沿轴线方向的分量大小相等x 方向相反，故相互抵消，而垂直于轴线的分量互相加强但是，这些成对的电 荷元在 处的电场强度垂直于轴线的分量方向却各不相同，均匀分布在一个半x 圆区域内，与各电荷元在圆环上的位置有关所以，还必须在垂直于轴线的平 面内进行矢量叠加，才能求出整个圆环在 处的电场强度x 解 取圆环的轴线为 x 轴，在圆环上距正负电荷分界点 A 的张角为 处取 电荷元 ，直径的另一端等量异号电荷元为 ，它们在 处的电场强dRq qdx 度沿轴线方向的分量 和 大小相等方向相反，相互抵消，如图 8-5（a）xEd 所示，而垂直于轴线的分量 则互相加强由点电荷场强表达式得232020 )(4d)(4sindRxRx 在垂直于轴线的平面内，以 OA 方向为 z 轴正向，可得 的投影如图 8-E 5（b）所示，则有 dq y A dE dE Ed dEy O x dEx dEx x dEz z B dq （a） （b） 图 85 ， sindEy cosdEz 对带正电荷的半圆环积分的 2 倍，就是整个圆环在 处的电场强度，即得x0cos00zz 232023200 )(4din)(4dsin2 RxRxEEy 处的电场强度方向为 y 轴正向x 8-6均匀带电细棒，棒长 l = 20cm，线电荷密度 求：C/m138 （1）棒的延长线上与棒的中点相距 L = 18cm 处的电场强度；（2）棒的垂直 平分线上与棒的中点相距 d = 8cm 处的电场强度 分析 当电荷沿一细线连续分布时，须将带电细线分为足够小的一系列电 荷元 ，空间某点电场强度为沿电荷分布曲线 L 的矢量积分lqd 当计算细棒延长线上某点的电场强度时，细棒上各电荷元在该Lr304E 点的电场强度方向相同，均沿延长线方向，矢量积分将简化为标量积分，而不 论细棒上的电荷分布是否均匀当计算细棒的垂直平分线上某点的电场强度时， y dEQ dE dE Q d dx x dx P dEP O L x 图 8-6 由于电荷分布的对称性，均匀带电细棒中点两边对称位置处的电荷元在该点的 电场强度沿棒长方向的分量将互相抵消，只需计算垂直于棒长方向的分量 由于电荷分布关于中垂线为对称，对中垂线上距原点 远的 Q 点，不仿作出它d 们在 Q 点产生的场元，d E，d E,不难看出， Q 点电场的积分因此而简化，结 果必沿 轴正向.y 解 （1）取 Oxy 坐标系如图 8-6 所示，在细棒上坐标 x 处取 宽的电荷d 元 ，细棒延长线上的 P 点与电荷元的距离为 ， 在 P 点产生的xqd Lq 电场强度大小为 20)(4dxLEp 细棒在 P 点产生的电场强度大小为 220d4dLpp xE N/C104.2320lL 方向沿 轴正向x （2）在细棒上 和 处取对称的两个电荷元 和 ，它们在 Q 点产生xqd 的电场强度分别为 dE 和 dE， 如图 8-6 所示它们的 方向分量相互抵消，x 方向分量相互加强，叠加后得到沿 方向的合场强 dEQ，其大小为y y232020 )(cos)(42d xxdQ 细棒在 Q 点产生的电场强度大小为 2023ddLQxE 20120)(Lxd N/C1027.5413/20 Ld 方向沿 y 轴正向 8-7 有一沿 x 轴放置的无限长分段均匀带电直线，电荷线密度分别为 和 ，求 y 轴上距坐标原点为 d 处的电场强度0x0 分析 与上题的方法类似，当计算该带电直线 y 轴上某点的电场强度时， 由于电荷分布的对称性，均匀带电直线原点两边对称位置处的电荷元在该点的 电场强度垂直于棒长方向的分量将互相抵消，只需计算沿棒长方向的分量 解 如图 8-7 所示，在 x 轴上取以原点为对称的两电荷元 及 ，qdxd 它们在 y 轴上距坐标原点为 d 处的电场强度分别为 和 ，由于对称性，它E 们的 y 方向分量相互抵消，而 方向分量叠加合成为x y dE P dEP dE d dq dq + + + + + + + + + + O 图 8-7 232020 dcos4dd2 xxExP 该带电直线在 P 点产生的电场强度大小为 002/32)(ddxEPx 02/120314dd0 方向沿 正向，即 E jx 0 8-8 电荷线密度为 的无限长均匀带电直线，中部弯成半径为 R 的四分之 一圆弧，求圆弧的圆心 O 点的电场强度 分析 由于整个带电线以过圆心对半分割圆弧垂直带电线平面的平面为对 称，可以确定圆心处的电场强度应沿圆弧等分点指向圆心的方向按照电荷分 布特征，分别计算圆弧和两段直带电线在 O 点的场强，再叠加求和较为简便 解 先计算圆弧 AB 在 O 点的场强如图 8-8（a）所示，取圆弧等分点指 向圆心的方向为 x 轴对称的两电荷元 及 在 O 点电场强度分别为dRqq 和 ，由于对称性，它们叠加后的合场强沿 方向，大小为Ed xdcos2cos4d20201E x dE1 x dE A O dE dq dE dE2 dq A R R dE dq B B l dq(a) (b)图 8-8 整个圆弧部分在 O 点电场强度的大小为 1ER024dcosR02 再计算两段直带电线在 O 点的场强如图 8-8（b）所示，取圆弧等分点指 向圆心的方向为 x 轴对称的两电荷元 及 在 O 点电场强度分别为 和qd Ed ，其中 到 B 点距离为 l由于对称性，它们叠加后的合场强沿 方Edlqd x 向，大小为 4cos)(2d4cos)(42d 2020 lRlR 由几何关系可得 ， ， ，221ltanl )sin(s 则 ，代入上式并积分，得两段直带电线在 O 点的场强为dcosd2RlRE0224 0d)sin(co2 由场强叠加原理， O 点处的总场强大小为 12104 方向沿 轴正向x 8-9 均匀带电圆盘，电荷面 密度为 ，半径为 R，在其轴线 上放置一均匀带电细杆，电荷线 密度为 ，长为 L，求圆盘轴线 上距盘心 x（设 xL）处的电场 强度 分析 由于已经计算过圆盘轴线上的电场分布和带电细杆延长线上的电场 O dq L x x 图 8-9 分布，两者的叠加就是所要求的电场强度分布情况 解 以盘心为原点， x 轴沿轴向，如图 8-9 所示例题 8-4 给出，均匀带 电圆盘轴线上距盘心 x 处的场强沿 轴正向，大小为 2012xRE 应用习题 8-6 中的方法，在细杆上距盘心 l 远处取电荷元 ，它在lqd 距盘心 x 远处产生的电场强度大小为 20)(4dxLlE 方向沿 轴正向整个细杆在该点产生的电场强度大小为xLlx0224dxL140 叠加后 x 处的电场强度大小为 xLxRE14120201 方向沿 轴正向当 x 变化时，上式反映了 x 轴上 E 随坐标 x 的变化规律x 8-10 半径为 R 的半球面，均匀带有电荷，电荷面密度为 ，求其球心处 的电场强度 分析 电荷呈面分布，把半球面分割为中心均在轴上半径连续变化的一系 列细圆环带，球心处的电场强度是这一系列细圆环带在该点电场强度的叠加 解 如图 8-10 所示，取半径为 r，宽度为 的细圆环带，面积为ld ，带电量为lrSd2 例题 8-3 给出半d2rRlq 径为 r，带电量为 q 的细圆环轴线上距环心 x 远处的 dl R r O 图 8-10 电场强度为 2/3204xrqE 作代换： ， ，细圆环带在球心 O 点的电场强度大小为qd3022/320 4dsincos4RxrE dsinco0 方向沿对称轴向半球面在球心 O 点的电场强度大小为 20dsin4d E04 若半球面带正电，则 O 点电场强度方向沿对称轴向右 8-11 圆锥体底面半径为 R，高为 H，均匀带电，电荷体密度为 ，求其顶 点 A 点的电场强度 分析 把电荷按体积连续分布的圆 锥体分割为半径连续变化（从而到锥顶 A 点的距离也连续变化）的一系列圆盘， 顶点 A 处的电场强度是这一系列圆盘 在该点电场强度的叠加 解 例题 8-4 给出半径为 r、电荷面密度为 的带电圆盘轴线上距盘心为 x 远处的电场强度的大小为 （1）2012xrE 如图 8-11 所示，在距 A 为 x 远处取厚度为 的薄圆盘，半径为 r，面积xd 为 ，体积为 ，因 为一无穷小量，薄圆盘上电荷面密度2rxrd2 H R r A x dx 图 8-11 ，代入（1）式，得薄圆盘在 A 点产生的电场强度为xrd22012dxrxE 利用几何关系 ，对上式积分得圆锥体在 A 点的电场22HRxr 强度为 HxRE020d12d 201HR 方向为沿对称轴向 8-12 在半径为 R，高为 2R 的圆柱面中心处 放置一点电荷 q，求通过此柱面的电场强度通量 分析 在本题中，用直接积分法求电场强度通量 比较困难根据点电荷电场分布的球对称性，如果 以 为半径作一球面与圆柱相切，如图 8-12 所R2 示，不难看出，高为 2R 的球台侧面的电通量与同 高的圆柱侧面的电通量相同由于球面上各点场强大小相等，方向均垂直于球 面，所以球面上面积相同的部分电通量必定相同又因为已知以点电荷为中心 的球面的电通量，问题就归结为计算球台的侧面积 解 半径 的球面积为 ，高 的球台侧面积为Rr22284RrSh21 4hr 以点电荷为中心的球面的电通量为 ，则该圆柱侧面的电通量为0q0012Se R 2R S1 Q 图 8-12 8-13 电荷面密度为 的均匀带电平板，以平板上的一点 O 为中心， R 为 半径作一半球面，如图所示，求通过此半球面的电场强度通量 分析 无限大带电平板两侧的电场强度大小 为 ，方向垂直于带电平板，但是本题中02E 带电平板面积有限，空间各点的电场强度方向 和大小都难以确定，所以不可能用积分的方法 计算半球面的电场强度通量不过，带电平板 两侧的电场是对称的，如果在平板另一侧补上另一半球面合成一个球面，则通 过两个半球面的电通量相同，等于整个球面总电通量的一半即使平板上电荷 分布不均匀，平板两侧的电场仍然是对称的，只要知道半球面所覆盖的电荷量， 也同样可以计算出半球面的电场强度通量 解 在平板另一侧补上另一半球面，形成一球面，其包围的电荷为图中阴 影部分，即半径为 R 的圆面上所带的电量 ，由高斯定理，通过球面的2Rq 总电通量为 201dqSE 所以，通过半球面的电通量为 2012R 8-14 有半径为 R，电荷量为 q 的均匀带电球体，求其球内外各点的电场 强度 R O 图 8-13 分析 因为电荷分布具有球对称性，所以电场分布也具有球对称性，在与 带电球同心、半径为 r 的球面上各点的电场强度大小相等，并垂直于球面沿径 向，因此可以应用高斯定理计算电场分布 本题还可以用场强叠加原理积分求解将均带电球体分割为半径连续变化 的一系列同心薄球壳，其中任一薄球壳都可视为均匀带电球面由于已知均匀 带电球面内部电场强度为零，外部电场分布与位于球心处的点电荷的相同，方 向沿径向，故可以用标量积分求出本题结果 解 1 应用高斯定理计算电场分布 （1）球体内的电场强度 球体体积为 ，均匀带电，电荷体密度 如图 8-14(a)所示，34RVVq 作半径为 r 的球形高斯面 S1，所包围的球体体积为 ，包围0 314r 的电荷量为 ，设半径为 r 处的场强为 ，由高斯定理31RrqVq 1E 得 1dSEqrE0214 得 301Rq S2 E dr r r R R S1 R r (a) (b) (c) 图 8-14 （2）球体外的电场强度 作半径 的球形高斯面 ，包围电荷量为 ，由高斯定理Rr2SqV 得 2dSE00214qr 得 22r 表明均匀带电球体外任一点场强与假设全部电荷集中在球心的点电荷产生在该 点的场相同根据以上结果可作场强分布曲线如图 8-14(b)所示注意到在 r=R 处场强是连续的 解 2 用场强叠加原理积分求解 （1）球体内的电场强度 在球体内取半径为 ，厚度为 的薄球壳，如图 8-14(c)所示，体积为rrd ，带电量为rVd42 rRqrVqd3422 在距球心 r ， 远处产生的场强为R0()r2302014drqrE 在 处产生的场强为零所以球内 处的场强是半径 的所有薄球壳在r r 该处产生的场强的叠加，积分得 r rRqrRqE0 30023011 4d4d （2）球体外的电场强度 球外 处的场强是整个球内所有薄球壳在该处产生的场强的叠加，积分得r 20023022 4d4drqrRqE 结果与解 1 相同 8-15 均匀带电球壳内半径为 6cm，外半径为 10cm，电荷体密度为 210-5C/m3，求距球心为 5cm、8cm 及 12cm 各点的电场强度 分析 与上题相同，由于电荷分布具有球对 称性，所以电场分布也是球对称的，在半径为 r 的同心球面上各点场强大小相等，沿径向，可以 用高斯定理求解本题也同样可用场强叠加原理， 由均匀带电球面的场强积分求出空间场强分布 解 球壳内外半径分别为 R1= 0.06m， R2=0.10m，题中所求三点到球心的距离分别为 =0.05m, =0.08m, ArBr =0.12m分别以 、 、 为半径作球形高斯面 SA、 SB、 SC，如图 8-15CrArBC 所示由于电场分布的球对称性，对各球面的高斯定理表达式均可写为 (1)SEdqr0214 （1） ，即 ，在 面内包围的电荷 ，代入(1)式得m05.Ar1ARrBA0S EA EA=0042 （2） rB ，即 ，在 SB 面内包围的电荷为08.2B1r BSrRRrVq )(34d4d31B1 代入(1)式得 31B2B4rrE2B310BrE SC SB R1 R2 SA 图 8-15 代入数字得 C/N08.6.1085.32232B E C/1048. （3） ，即 ，在 SC面内包围的电荷为m.0Cr2CRr1C )(343122S RdrdVq 代入(1)式得 31202C34RrE312c0c3RrE 代入数字得 C/N.085.6312 C/.4 8-16 两无限长同轴圆柱面，半径分别为 R1和 R2（ R2R1） ，带有等值异 号电荷，单位长度的电荷量为 和 ，求距 轴线 r 处的电场强度，当：（1） ；1r （2） ；（3 ） 2R2 分析 因为电荷分布具有轴对称性，所以 电场分布也是轴对称的，即在半径为 r 的无限 长圆柱面（与带电体共轴）的侧面上各点电场 强度大小相等，方向垂直于侧面沿径向，故可 用高斯定理求解 由于例题 8-6 已经给出了无限长均匀带电 圆柱面的电场分布，可以将其结果作为既有公式，应用场强叠加原理计算带有 等值异号电荷的两同轴长圆柱面产生的电场 解 1 分别两柱面内、两柱面间和两柱面外作高为 h 的柱面形高斯面 SA- 、 SB、 SC，如图 8-16 所示由于电场分布的轴对称性，上下两底面上的场强 R1 R2 SC SA h SB 图 8-16 方向与底面平行，对通量没有贡献，故对各柱面的高斯定理表达式均可写为 （1）S侧 SEd hr2q01 （1） 时，高斯面 SA 内包围的电荷 ，代入(1)式得1RrAS 02hrE0E （2） ，高斯面 SB 内包围的电荷 ，代入(1) 式得21rAShqB02rE （3） ，高斯面 内包围的电荷 ，代入(1)式得2RrcSA0Shq EC = 0 解 2 利用例题 8-6 的结果，两无限长均匀带电圆柱面的在各自柱面内的 场强为零，在各自柱面外的电场强度分别为 ， rE012外 1RrE02外 2R 两柱面的电场叠加后，得 （1） 时 1Rr21A内内 （2） 时 2B021BrE内外 （3） 时 2Rr0C1Cr外外 E SA x d2 SB x 0 d/2 x （ a） （b） 图 8-17 8-17 一厚度为 d 的均匀带电无限大平板，体电荷密度为 ，求板内外各 点的电场强度. 分析 由于均匀带电厚板是无限的，所以其电场具有对称性厚板平分面 两侧电场强度垂直于平板，与平分面距离相同的各点场强相等因此可以应用 高斯定理计算电场分布 解 作高为 2x，侧面垂直于平板，两底平行于平板、底面积为 S 的的柱形 高斯面，如图 8-17(a)所示由于侧面与电场线平行，无电场线穿过，则有 (1)侧 SEd q012 （1） 厚板外的场强 时，柱面 SA 内包围的电荷 ，代入(1)式得2dxASdq dE00A2E 即均匀无限大带电厚平板板外的电场是均匀电场 （2） 厚板内的场强 时，柱面 SB 内包围的电荷 ，代入(1)式得dxB2Sxq xE20xE0B 厚板内外场强分布曲线如图 8-17(b)所示 8-18 一半径为 R 的无限长均匀带电半圆柱面，电荷面密度为 ，求： （1 ）轴线上任意点的电场强度；（2）若 结果又如何？)(sin00为 常 量 分析 无限长半圆柱面可以沿轴向分割成一系列无限长带电条带，由例题 8-6 给出的无限长带电直线的电场分布，用 场强叠加原理可以求半圆柱面轴上的场强 解 （1）作与轴线垂直的截面并建立如 图 8-18 所示的坐标系，在 处取d 宽为 的无限长带电条带，其单位长dRl 所带电荷量为 ，利用例题 8-6 给出l 的结果，它在轴线上产生的场强大小为 002ddRlE 在与 对称的位置上取宽为 的另一长直带电条带，它们在轴上的场强分ldl 别为 和 ，由于对称性，它们的 y 方向分量相互抵消， x 方向分量相互加E 强，如图所示，所以带电半圆柱面在轴线上 O 点的电场应沿 x 方向，大小为00dsin2dsinEx （2）若 （ 为常量） ，半圆柱面上电荷分布以 x 轴为对称，所si00 取对称位置上宽为 和 的无限长带电条带上的电荷线密度相同，均为ldl ，在轴线上产生的场强大小为sind0Rl002dsindRE 它们的 y 方向分量仍然相互抵消， x 方向分量相互加强，得 0024dsindsinx 8-19 如图所示，在 Oxy 平面上有一沿 y 方向的无限长带电板，宽度为 dl dl R y dE dE x 图 8-18 L，电荷面密度为 为一常量，求（1） x=0 直线上的电场强度，并kLx),( 讨论 时的情况；（2） x=b 直线上的电场强度d 分析 把无限长有限宽的带电板分割成一系列带电条带，同样由例题 8-6 给出的无限长带电直线的电场分布，用场强叠加原理可以求解 解 （1）在位置 处取宽为 的长直带电条带，单位长带电量为xxd ，利用例题 8-6 结果，它在 处产生的场强为xLkxd)( 0xLkEd2)(00 方向沿 x 轴向 由于分割出来的各带电条带在 处的场x 强均沿 x 方向，应用场强叠加原理，无限长带电 板在 处产生的场强大小为0)ln1(2 d)(0LkxEd 当 时，根据近似公式Ldxx)1l(im02)1ln(2lim00 dLkdLkEd （2）由于 处取宽为 的长直带电条带与 的直线相距 ，故xxbxxb)(2)(2d00LkbELdxbxd0ln)(20bk 0 x x dx d L b 图 8-19 方向沿 x 轴向 8-20 在边长为 10cm 的等边三角形的三顶角上，各放有等量电荷，电荷 量均为 （1）计算此三角形中线交点处的电场强度和电势；（2 ）将C0.68 的电荷从无穷远处移到中心点，电场力作了多少功？1.29 分析 场强是矢量，而电势是标量，要用矢量 叠加法求点电荷系的场强，用标量叠加求其电 势当电荷分布于有限区域时，往往选无穷远点为 电势零点电场力所作的功等于电荷始末位置的电 势能之差 解 （1）根据等边三角形的几何特征，任意两个等量同号电荷在三角形中 线交点处产生的场强之矢量和正好与第三个同号等量电荷在该点的场强等大反 向，如图 8-20 所示，故由场强叠加原理得中心处 O 点场强 031iE 又由电势叠加原理和点电荷电势公式，该点电势为 3104i rqV 其中 r 为点电荷到等边三角形中线交点之距， ，则a3V108.210.6310943 480 aqV （2）无穷远点为电势零点，电荷在无穷远处电势能为零，则移到三角形中 心电场力作功为 J106.5)( 500qVqW q a q q 图 8-20 8-21 两块带有等值异号电荷的大金属平行板，相距为 15cm，负极接地 （即以地球电势为零） ，电荷面密度 求：（1）正极板的电26m/C05.4 势；（2 ）两极板之间距正极板为 8cm 处的电势； （3 ）把 的电荷从正极板移到负C105.29q 极板，电场力作了多少功？ 分析 应用例题 8-7 的结果，忽略边缘效应， 两板间电场可视为两个无限大均匀带等值异号电 荷平面间场强 ，为匀强电场，方向从正极0E 指向负极，如图 8-21 所示负板接地后电势为零，由电势的定义，两极间任 一点的电势等于该点到负极板的距离与场强的乘积 解 （1）正极板的电势为 V1063.710854426dEV （2）两板间距正极板为 8cm 处的电势为 1056.31085.7.44261 d （3）电荷从正极板移到负极板，电场力作的功等于极板间电势差与电荷量 的乘积，即 J 1063.75.24qVWJ109.4 8-22 如图 8-22 所示的电四极子， q 和 l 都为已知， P 点到电四极子中心 O 处的距离为 r，求 P 点处的电势，并由电势求电场强度 分析 在点电荷系电场中，由电势叠加原理 可求出空间各点的电势由场强与电势的微分关 + + + + + + + + + + E 图 8-21 +q 2q +q P -l O l r 图 8-22 系可求出 P 点的场强 解 三个点电荷在 P 点的电势分别为 ),(41lrqV,2412rqVlrqV413 由电势叠加原理，得 P 点的电势为 )1(42)12(423rlqllrlrqV 当电四级子的电荷间距比 P 点到四极子中心的距离小得多，即 时，得rl324rQqlV 其中 ，称为电四极矩由于 P 点电势只是 r 的函数，由电场强度与电2qlQ 势的微分关系知 P 点电场强度一定沿 r 方向，大小为 43drQVEP 8-23 一半径为 R 非均匀带电半圆环，电荷线密度为 （ 为cos00 一正常数） ，求环心处的电场强度和电势，若电荷线密度为 ，结果又in 会怎样？ 分析 半圆环上电荷分布不均匀， 但是 或 的函数，因此必定以过cosin 的平分线为奇对称或偶对称，在计算2 电场强度和电势时，充分利用对称性， 可以使计算过程大大简化 解 （1）在圆环上对称位置 和 处分别取弧元 和 ，在dRll y dl dl dE O x dE 图 8-23 环心 O 点产生的场强分别为 和 ，如图 8-23 所示，它们的 y 方向分量相Ed 互抵消， x 方向分量相互加强 的电荷量 ，在 O 点场强的 x 方向分量为ldcos0Rlqd4cos4d22RlEx 半圆环在 O 点的电场强度大小为 oxx dcs4d20081RR 方向沿 x 轴负向 因为 ，电荷分布以 y 轴为奇对称，显然，弧元 和 的正负电cos ld 荷在 O 点的电势相互抵消，所以半圆环在 O 点的电势为零 （2）如果 ，用同样的分析方法知 O 点电场强度的 x 方向分量sin0 为零，场强沿 y 轴负向弧元 在 O 点场强的 y 方向分量为ldd4sinsi42020RREy 半圆环在 O 点的电场强度为 0028dsin4dyy 弧元 在 O 点的电势为 ldRlV0i 半圆环在 O 点的电势为 002dsin4d 8-24 均匀带电圆柱面，半径为 R，高 为 H，电荷量为 q，求底面中心处的电势 分析 把有限长圆柱面分割成一系列细 圆环，利用例题 8-8 的均匀带电圆环轴线上 的电势表达式，叠加积分可得圆柱面轴线上 的电势分布 解 如图 8-24 所示，以底面中心为原 点，轴线为 轴，在 处取一宽为 的细圆xxd 环例题 8-8 给出均匀带电圆环轴线上的电 势为 (1)24xRqV 细圆环带电量为 ，在(1)式中作代换 ， ，得细圆环HdqdV 带在 O 点的电势为 2244dxRHxRqV 带电圆柱面在 O 点的电势为 HxRqV02d4d2ln 8-25 计算半径为 R，电荷量为 q 的均匀带电球体的电场中任一点的电势. 分析 题 8-14 已经计算出均匀带电球体内外电场分布，由场强和电势的积 分 dx q R x O x H 图 8-24 关系可求出电势分布 解 题 8-14 给出均匀带电球体内外电场强度分别为 )(43RrqE内 )(2r外 以无穷远为电势零点，因为静电场为保守力场，线积分与程径无关，为方 便计，积分路选取沿电场线方向（径向） ，球内距球心为 r 处电势为 rRrREEVdd外内内 rrqq2030443 28Rr 球外距球心为 r 处电势为 rqrrEVr 4d41d2外外 8-26 无限长均匀带电圆柱面，半径为 R，单位长度上的电量为 ，计算 此圆柱面内外任一点的电场强度和电势 分析 由于电荷分布有轴对称性，因此其电场也有轴对称性, 即在半径为 r 的同轴圆柱面上各点的电场强度大小相等, 方向沿柱面法向向外，故可应用高 斯定理求电场 因为电荷分布在无限区域，不能以无穷远为电势零点，为计算方便，可选 圆柱表面上（ r=R）电势为零 解 如图 8-26 所示，在柱面内外分别取与柱面同轴的高为 l，半径分别为 和 的两个圆柱形高斯面，由高斯定理得内r外 内 内SEd02r内内外 外Sdlr2外 rE外 （2）以柱面上（ r=R）电势为零，则0内VrRrRr lnd外外 8-27 正方形的均匀带电线框，边长为 L，电荷线密度为 ，求过线框中 心与框面垂直的轴线上 P 点处的电势， P 点到线框中心的距离为 x 分析 连续带电体电场中的电势叠加原理表达式 为一标量积分，因Vd P 点在对称轴上，四条边在 P 点的电势相等，所以 P 点电势为一条边产生电势 之 4 倍 解 如图 8-27 所示，在线框上取线元 , 其电量 ,在 P 点的电势为ldlqdrlqV004d 从图中几何关系可看出 22)(lLxr 线元 在 P 点电势为ld220)(4dlLxlV R r 内 r 外 图 8-26 L dl r l x P L/2 图 8-27 2/ 202/ dd4LL lxV 220)(lnLx 结果表明 ，则可由 V 与 E 的微分关系，求出对称轴上距中心为 x 远处x 的场强 Exd 8-28 一均匀带电细杆，长为 L，电荷线密度为 ，求其延长线上距端点 x 远处的电势和电场强度 分析 与上题类似，对这个连续带电体问题，先用标量积分 求出距Vd 端点 x 远点的电势 ，再由 求场强，比先积分求场强 ，xVxVExdxE 再由积分 求电势简捷得多xEd 解 取坐标如图 8-28 所示，在距端点 O 为 l 远处取线元 ，其带电量 ，在 xllqd 处的电势为 xlV4d 带电细杆在 x 处的电势为 LxLxl0lnd 由场强与电势的微分关系 ，得 x 处场强为VEx )ln(dLxxL)(4 8-29 在上题中，如 （ a 为常量，0 lL）结果又会怎样l 解 因电荷线密度 是变量 l 的线性函数，此时，线元 所带电量 ld ，它在 x 处产生的电势为laqd L x dl l O x 图 8-28 )(40lxadVLLodlxldV )()(00)ln40xa 由场强与电势的微分关系，得 x 处场强为 )(ln4d1LxaVEx 8-30 一均匀带电圆盘，半径 R=10cm，电荷面密度 ，28cm/C103 求其轴线上与盘心相距 处的电势和电场强度cm8x 分析 将均匀带电盘沿径向分割为一系列均匀带电细圆环，利用例题 8-8 给出的均匀带电细圆环在其轴线上距环心 x 远处 的电势，应用电势叠加原理，用积分可求圆盘轴 线上的电势 解 如图 8-30 所示，在半径为 处取宽为r 的细圆环，带电量 ，均匀rdSqd2d 带电细圆环在其轴线上的电势为 204xRV 作代换 ， ， ，带电盘分割出的细圆环在 P 点产生的电势qdr 为 204ddxrVRV022)(20xR dr r P x 图 8-30 代入数据得 V5.81 由场强与电势的微分关系，得圆盘在 P 点的场强为 C/N63)1(2d20RxxEx 方向沿 x 轴以上结果同例题 8-4 中由场强叠加原理积分求出的结果相同，但 先求电势，再微分求场强更简捷 8-31 无限大平面均匀带电，电荷面密度为 ，平面上挖去一半径为 R 的圆 环形细缝，如图 8-31 所示，缝宽为 ，求圆缝对称轴上一点 P 的电势，)(Rb P 点到圆缝中心 O 的距离为 x 分析 由例题 8-3 和例题 8-7，已经得到了无限大带电平板的电场和均匀 带电细圆环轴线上的电场分布，根据场强叠加原理，可以把本题中环形细缝轴 线上任意点的场强看作是这两个已知电场在该点场强的矢量差由于两场强均 沿轴向，就只需计算标量差，最后用场强与电势的积分关系可求出该点电势 需要注意的是，由于电荷不是分布在有限空 间，选取环中心为电势零点较为恰当 解 如图 8-31 所示，取圆缝对称轴为 x 轴， 例题 8-6 给出无限大带电平板在空间任意点的场 强为 012E 细圆环带电量为 ，利用例 8-3 结Rbq 果，轴上到圆缝中心 O 的距离为 l 的 Q 点的场强为 2/3202)(4RlbE b R O l Q P x 图 8-31 Q 点场强为以上两场强的矢量差，选取环中心为电势零点，则 P 点电势为V0dxlE021d)(xlE 00232)(2xxRlbl20Rxb 8-32 一无限长均匀带电圆柱壳，电荷体密度为 ，内外圆柱形面的轴平 行相距 d，半径分别为 R 和 r，求图 8-32 中（1） A 点与 B 点的电场强度； （2 ）空腔中任一点 C 的电场强度 分析 可以把电场当中任意点的电场视为两个无限长、轴线相互平行的均 匀带电圆柱体电场的叠加由于每个带电圆柱体有轴对称性，各自的电场分布 可以分别用高斯定理计算 解 （1）因均匀带电圆柱电荷分布的轴对称性，故在与轴线距离为 r 的各 点场强大小相等，方向垂直于柱面沿径向在大圆柱内外分别作半径为 r1，高 为 h 的圆柱面形高斯面，面上场强为 ，由高斯定理得1E (1)Sd1qrh02 大圆柱内 ，高斯面包围的电荷为 ，代入(1) 式后得Rr1 21 hrhE21012内 0112rE内 大圆柱外 ，高斯面包围的电荷为 ，代入(1)式后得r1 hR2 hhE2012外 1021rRE外 同理可得小圆柱内外场强大小分别为 和 022r内 20外 如图 8-32(a)所示，大小圆柱在 A 点的场强 和 均沿 y 正向，应用场A1E2 强叠加原理，得 )2(2