三角函数的图像与性质 教案

三角函数的图象与性质 教学目标 1熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它 研究复合函数的性质 2熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、 3理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象 的变化 重点难点 重点是通过复习，能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及 图象的特点，特别是三角函数的周期性，是需要重点明确的问题 难点是，在研究复合函数性质时，有些需要先进行三角变换，把问题转化 到四种三角函数上，才能进行研究，这就增加了问题的综合性和难度 教学过程 三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题，要熟练、准确地掌握特 别是三角函数的周期性，反映了三角函数的特点，在复习“三角函数的性质与 图象”时，要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容，认真体会周期性在三角 函数所有性质中的地位和作用这样才能把性质理解透彻 一、三角函数性质的分析 1三角函数的定义域 这两种表示法都需要掌握即角 x 不能取终边在 y 轴上的角 函数 y=cotx 的定义域是 x 或(k ，k+ )(kZ) ，这两种表示法都需 要掌握即角 x 不能取终边在 x 轴上的角 (2)函数 y=secx、y=cscx 的定义域分别与 y=tanx、y=cotx 相同 例 1 求下列函数的定义域： (kZ) 形使函数定义域扩大 的某些区间与-3 x3 的交集不空，这些区间可以通过 k 取特殊值得 到注意不要遗漏 (3)满足下列条件的 x 的结果，要熟记(用图形更便于记住它的结果) 是 所以选 C 2三角函数的值域 (1)由|sinx|1 、|cosx| 1 得函数 y=cscx、y=secx 的值域是 |cscx| 1、|secx|1 (2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外， 还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域 常用的一些函数的值域要熟记 y=tanx+cotx( -，- 22，+ ) 例 4 求下列函数的值域： (2)y=3cos2x+4sinx xR； x 是三有形的一个内角 (3)y=cosx(sinx+cosx)； (5)y=sin(20-x)+cos(50+x) 若把上式中的 sinx 换成 cosx，解法、答案均与上面相同 sinx=0 时，y max=3，所以 y-4，3； (5)解法一 将 cos(50+x)变为 sin(40-x)，和差化积得 y=2sin(30-x)cos10-2cos10，2cos10 解法二 用正弦、余弦的两角和与差的公式展开，得 y=(sin20cosx-cos20sinx)+(cos50cosx-sin50sinx) =(sin20+cos50)cosx-(cos20+sin50)sinx =(sin20+sin40)cosx-(sin70+sin50)sinx =2sin30cos10cosx-2sin60cos10sinx =2cos10sin(30-x)-2cos10 ，2cos10 评述 以上是求三角函数值域的几种基本情况，它们的共同点在于，经过 三角变换，都要转化为四种基本三角函数的值域 求 tan 的最大值 解 为锐角，tan 0，所以 3三角函数的周期性 (1)对周期函数的定义，要抓住两个要点： 周期性是函数的整体性质，因此 f(x+T)=f(x)必须对定义域中任一个 x 成 立时，非零常数 T 才是 f(x)的周期 周期是使函数值重复出现的自变量 x 的增加值 因为 sin(2k +x)=sinx 对定义域中任一个 x 成立，所以 2k(kZ，k0) 是 y=sinx 的周期，最小正周期是 2 同理 2k(kZ，k0)是 y=cosx 的周期，最小正周期是 2 因为 tan(k+x)=tanx 对定义域中任一个 x 成立，所以 k(kZ，k0)是 y=tanx 的周期，最小正周期是 同理 k(k Z ，k0) 是 y=cotx 的周期，最小正周期是 (3)三角函数的周期性在三角函数性质中的作用 函数的递增或递减区间周期性的出现，每一个三角函数，都有无数个递 增或递减区间，这些递增区间互不连接，递减区间也互不连接 函数的最大、最小值点或使函数无意义的点周期性变化 因为三角函数是周期函数，所以画三角函数图象时，只须画一个周期的 图象即可 例 6 求下列函数的周期： 上式对定义域中任一个 x 成立，所以 T=； 4三角函数的奇偶性，单调性 研究函数的单调性，关键是求函数的单调区间 A B C D 原点不对称，所以函数既非奇函数又非偶函数；因为 f(-x)=-f(x)，所 但是周期函数，T=2因此选 C 评述 在判定函数是奇函数或是偶函数时，一定要注意函数的定义域，一 个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称因此对，不能 根据 f(-x)+f(x)=0 就判定 为奇函数 原来的函数既不是奇函数，也不是偶函数因此在研究函数性质时，若将函数 变形，必须保持变形后的函数与原来的函数是同一个函数， 例 8 给出 4 个式子： sin2cos2tan2 ； sin2sin3sin4；tan1 sin1 cos1 ；cos1co s2cos3正确的序号是_ 而(0，) 是 y=cosx 的递减区间，所以 正确 例 9 函数 y=-cosx-sin2x 在-，)的递增区间是_ 评述 研究函数的性质首先要注意函数的定义域 A是增函数 B是减函数 C可以取得最大值 M D可以取得最小值-M 5三角函数的图象 (1)画三角函数的图象应先求函数的周期，然后用五点法画出函数一个周期 的图象 (2)函数 y=sinx，y=cosx ，y=tanx，y=cotx 图象的对称中心分别为 Z)的直线 例 12 画出下列函数在一个周期的图象： 解(1)T= 如图 10 (2)T=2如图 11 最大或最 小值的即是，所以选 A (4)三角函数图象的平移变换，伸缩变换 一个周期的 图象，则图象的解析式为_ 还可以这样研究： 二、综合题分析 例 17 方程 sinx=log20x 根的个数是_ 分析 在同一坐标系中作出 y=sinx、y=log 20x 的图象 (2， 4) ，(4，6 ) 中，两图象分别有 1 个、2 个、2 个交点，因此方 程根的个数为 5 个 例 18 已知函数 y=sinxcosx +sinx+cosx，求 y 的最大、最小值及取 得最大、最小值时的 x 值 解 令 sinx+cosx=t (kZ)时，ymin=-1； 求：(1)函数的取值范围； (2)函数的递减区间 解 sin3xsin3x+cos3xcos3x 实数 (kZ) 的最小正周期 有一动点 P，过 P 引平行于 OB 的直线交 OA 于 Q，求POQ 面积的最大 值及此时 P 点的位置 解 如图 13 设POB=(0，120)，则QPO= 能力训练 2设 是第二象限角，则必有 Ay=tanx By=cos2x 4函数 f(cosC)=cos2C-3cosC，则 f(sinC)的值域是 5(1)函数 y=cos(tanx)的定义域是_，值域是_； (7)设 a=tan48+cot48，b=sin48+cos48 ，c=tan48 +cos48， d=cot48+sin48将 a，b，c，d 从小到大排列的结果是_ 6将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标扩大两倍，纵坐标不变，然 的图象 完全相同，则函数 y=f(x)的表达式是_ 7(1)已知 sin+sin=1，则 cos+cos 的取值范围是_； (2)已知 3sin2+2sin 2 =2sin，则 sin2+sin2 的取值范围是 _ 8求下列函数的周期： (1)y=cot2x-cotx； (3)y=cos3xcos3x-sin3xsin3x 9求函数 y=sin4x+cos4x-2cos2x 的周期、最大值和最小值 11设 f(x)=sin(x+)+cos(x-)，求使 f(x)为偶函数的充分必要条件 数 a 的取值范围 实数 m 的取值范围 答案提示 1B 2C 3D 4B (3)奇函数，R (7)d-b=cot48-cos48=tan42-sin420 ，所以 db；c- 7(1)设 cos+cos =x，则(sin+sin )2+(cos+cos)2=2+2cos( 3 11sin(-x+ )+cos( -x-)=sin(x+)+cos(x-) cos(x+)-cos(x -) =sin(x+)+sin(x-) -2sinxsin=2sinxcos -sin=cos 14设 sin=t0，1 ，