三重叠问题解答

三年级数学上学期期末重叠问题应用题 学法指导：解答重叠问题，必须从条件入手认真分析，有时可以根据条件画一 画图来帮助我们思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分， 从而找出解题的方法。 例 1、学校组织看文艺表演，冬冬的座位从左数是第 7 个，从右数是第 10 个， 这一行座位有多少个？ 分析与解答：根据题意画出图。 例 2、为庆祝六一，小朋友们排成方形的鲜花队，无论从前、从后数，还是从 左、从右数，李丽都在第 5 个，鲜花队一共有多少个小朋友？ 分析与解答根据题意，画出下图： 这是一个方形的鲜花队，从图中可以看出；从前数或从后数，李丽都在第 5 个， 所以李丽在的那竖行有 5+5-1=9（个）小朋友；从左数或从右数，李丽也在第 5 个，所以李丽在的那横行也有 5+5-1=9（个）小朋友。在根据题中 “排成方形 的鲜花队”这个条件可以知道鲜花队有 9 行，每行有 9 个小朋友。所以，鲜花队 一共有 99=81（个）小朋友，列式如下 试一试 2、同学们排成方形的队伍跳集体舞，无论从前从后数，还是从左从右 数，赵英都是第 4 个。跳集体舞的一共有多少个同学？ 例题 3、三（ 5）班同学参加了音乐、美术这两个课外兴趣小组。已知参加音乐 组的有 32 人，参加美术组的有 30 人，两个小组都参加的有 10 人。三（5 ）班 共有学生多少人 分析与解答根据题意，画图： 阴影部分表示两个都参加的 10 人，这 10 人既被包括在音乐组的 32 人， 又被包括在美术组的 30 人，共被算过两次，重复多算了一次，所以要求三 （5）班共有学生多少人，必须从 32+30=62（人）中去掉多算了一次的 10 人， 全班人数应是 6210=52（人）。 想一想：这道题还可以怎样解答？ 试一试 3、三（ 1）班订 数学报的有 32 人，订 语文报的有 30 人，两份 报纸都订的有 10 人，全班每人至少订一种报纸，三（1）班有学生多少人？ 例 4、三（ 1）班有学生 55 人，每人至少参加跳绳和踢毽子比赛的一种，已 知参加跳绳的有 36 人，参加踢毽子的有 38 人。两项都参加的有几人？ 从上图可以看出，中间的重叠部分（阴影部分）表示两项比赛都参加的人数。 如果把跳绳的 36 人与踢毽子的 38 人加起来得 36+38=74（人），这 74 人比全 班总人数多了 7455=19（人），为什么会多 19 人？原来图中阴影部分表示 的人数既在跳绳的人数中算过，又在踢毽子的人数中算过，这部分人数多算了 一次，才多出了 19 人，所以这 19 人就是两项都参加的人数。 想一想：看看，说一说下面的算式分别求的是什么样？ 5536=19（人） 5538=17（人） 38（5536）=19（人） 试一试 4、三（ 1）有学生 62 人，订小学生语文报 的有 48 人，订小生数 学报的有 52 人，每人至少订一份报纸，两份报纸都订的有多少人才？ 例题 5、三（ 5）班有 42 名同学，会下象棋的有 21 名同学，会下围棋的有 17 名同学，两种都不会的有 10 名同学。两种都会下的有多少名同学？ 分析与解答根据“三（5）班有 42 名同学”和“ 两种棋都不会下的有 2117=38（名），这 38 名比会下一种棋的 32 名多了 3832=6（名），这 多出的 6 名既在会下象棋的人数中算过，又在会下围棋的人数中算过，也就是 两种棋都会下的同学人数。 试一试 5、 学校乐器队招收了 42 名新学员，其中会拉小提琴的有 25 名，会弹电子琴的有 22 名，两项都不会的有 3 名。两项都会的有多少名？ 例题 6、三（ 6）班有学生 55 人，参加学校绘画比赛的有 20 人，既参加绘画比 赛又参加书法比赛的有 12 人，两项比赛没参加的有 14 人。参加书法比赛的有 多少人？ 分析与解答根据“三（6）班有学生 55 人”和“ 两项比赛都参加的有 14 人这两个 条件，可以得出至少参加一项比赛的有 5514=41（人），画出下图： 从上图可以看出，参加书法比赛的人数包括两个部分：一部分是没有参加绘画 比赛，只参加书法比赛的人数，第二部分是两项比赛都参加的 12 人。如果从 41 人里面去掉参加绘画比赛的 20 人，得到 4120=21（人），就得到只参加 书法比赛的人数是 21 人，再根据两项比赛都参加的有 12 人，用 2112=33（人）就算出了参加书法比赛的人数。列式如下： 想一想：下面的解法有没有道理？为什么？ （）（人） 试一试、乐器兴趣小组有人其中会弹钢琴的有人，既会弹钢琴又会 弹古筝的有人，两项都不会的只有人。会弹古筝的有多少人？ 课内练习 1 同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第 4 个，从右 数起是第 3 个；从前数是第 5 个，从后数是第 6 个。做操的同学一共有多少个？ 2 三（4）班有学生 56 人，做对第一道思考题的有 29 人，做对第二道思考 题的有 27 人，两道题都做错的有 7 人。两道思考题都做对的有几人？ 3 三（4）班有学生 56 人，做对第一道思考题的有 29 人，两道思考题都做 对的有 7 人。做对第二道思考题的有多少人？ 4三（1）班做完语文作业的有 37 人，做完数学作业的有 42 人，两种作业都 完成的有 31 人，每人至少完成了一种作业。三（1）班共有学生多少人？ 5101 个同学带着矿泉水和水果去春游，其中矿泉水的 78 人，带水果的有 71 人，只带矿泉水和只带水果的各有多少人？ 鸡兔同笼 笼中装有鸡和兔若干只，共 100 只脚，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共 92 只脚。笼中 原有兔、鸡各多少只? 解：兔换成鸡，每只就减少了 2 只脚。 (100-92)/2=4 只， 兔子比鸡多 4 只。 去掉 4 只兔子 4*4=16 只脚，100-16=84 只脚是同样兔子和鸡的脚 84/6=14 是鸡的数量 14+4=18 是兔子的数量 答：兔子有 18 只，鸡有 14 只。 重叠问题 专题简析： 三（1）班准备给参加班级绘画比赛的 16 位同学和参加朗读比赛的 12 位同学每人发一份纪 念品，当中队长玲玲将 28 份纪念品发下去时，却多出 5 份，这是怎么回事？对了，因为有 5 位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了 5 份。数学中，我们 将这样的问题称为重叠问题。 解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理包含与排除原理，即当两个计数部分有重 复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形 进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。 例题 1 六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第 8 面；从后数起， 红旗是第 10 面。这行彩旗共多少面？ 思路导航：根据题意，画出下图： 从图上可以看出，从前数起红旗是第 8 面，从后数起是第 10 面，这样红旗就数了两次，重 复了一次，所以这行彩旗共有 8101=17 面。 练 习 1，小朋友排队做操，小明从前数起排在第 4 个，从后数起排在第 7 个。这队小朋友共有多 少人？ 2，学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第 12 个，从右数起是第 21 个。这一行座 位有多少个？ 3，同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第 8 个。这一排共有多 少个同学？ 例题 2 同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第 4 个，从右数起是第 3 个，从前数起是第 5 个，从后数起是第 6 个。做操的同学共有多少个？ 思路导航：根据题意，画出下图： 由图可看出：小明的位置从左数第 4 个，右数第 3 个，说明横行有 431=6 个人；从前 数第 5 个，从后数第 6 个，说明竖行有 561=10 人，所以做操的同学共有：610=60 人。 练 习 二 1，同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数从后数，从左数还是 从右数起都是第 4 个。跳舞的共有多少人？ 2，为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第 2 个，从右 数第 4 个；从前数第 3 个，从后数第 5 个。鲜花队共多少人？ 3，三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第 6 个， 从后数是第 5 个；从左数、从右数都是第 3 个。三（4）班共有学生多少人？ 例题 3 把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一起的木板 长 120 厘米，中间重叠部分是 16 厘米，这两块木板各长多少厘米？ 思路导航：把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分 是 16 厘米，所以这两块木板的总长度是 12016=136 厘米，每块木板的长度是 1362=68 厘米。 练 习 三 1，把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长 30 厘米， 中间重叠部分是 6 厘米，原来两段纸条各长多少厘米？ 2，把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长 35 厘米的木板。中间重合部分长 11 厘米， 这两块木板各长多少厘米？ 3，两根木棍放在一起（如图），从头到尾共长 66 厘米，其中一根木棍长 48 厘米，中间重 叠部分长 12 厘米。另一根木棍长多少厘米？ 例题 4 一次数学测试，全班 36 人中，做对第一道聪明题的有 21 人，做对第二道聪明题的 有 18 人，每人至少做对一道。问两道聪明题都做对的有几人？ 思路导航：根据题意，画出下图： 图中间重叠部分表示两道题都做对的人数，把做第一道题和做对第二道题的人数加起来得 2118=39 人，这 39 人比全班总人数 36 多出了 3936=3 人，这多出的 3 人既在做对第一 题的人数中算过，也在做对第二道题的人数中算过，即表示两道题都做对的人数。 练 习 四 1，三（1）班有学生 55 人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。已知参加赛跑的有 36 人，参加跳绳的有 38 人。两项比赛都参加的有几人？ 2，两块木板各长 75 厘米，像下图这样钉成一块长 130 厘米的木板，中间重合部分是多少 厘米？ 3，三（5）班有 42 名同学，会下象棋的有 21 名同学，会下围棋的有 17 名，两种棋都不 会的有 10 名。两种棋都会下的有多少名？ 例题 5 三（1）班订数学报的有 32 人，订阅读报的有 30 人，两份报纸都订的有 10 人，全班每人至少订一种报纸。三（1）班有学生多少人？ 思路导航：根据题意，画出下图： 从上图可以看出，中间重叠部分表示两份报纸都订的 10 人，这 10 人既被包括在订数学 报的 32 人内，又被包括在订阅读报的 30 人内，重复算了一次，所以要算出全班人 数，必须从 3230=62 人中去掉被重复算过的 10 人。所以全班人数应是 6210=52 人。 练 习 五 1，三（4）班做完语文作业的有 37 人，做完数学作业的有 42 人，两种作业都完成的有 31 人，每人至少完成一种作业。三（4）班共有学生多少人？ 2，两块木板各长 90 厘米，像下图这样钉成一块木板，中间重合部分是 15 厘米，这块钉在 一起的木板总长多少厘米？ 3，三年级有 107 个小朋友去春游，带矿泉水的有 78 人，带水果的有 77 人，每人至少带一 种。三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？ 解答重叠问题常用方法是： 先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分加起来，再 从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏 又不重复。这个原理叫做包含与排除原理，也叫容斥原理。容斥原 理包含以下两条基本计算公式： 容斥原理一，如果被计数的对象，被分为 A、B 两大类，则： 被计数对象的总个数=A 类元素个数+B 类元素个数同时属于 A 类和 B 类的元素个数。 容斥原理二，如果被计数的对象，被分为 A、B、C 三大类，则： 被计数对象的总个数=A 类元素+B 类元素个数+C 类元素个数同时属于 A 类和 B 类的元 素个数同时属于 A 类和 C 类的元素个数同时属于 B 类和 C 类的元素个数+同时属于 A、B、C 三类的元素个数。这条原理比较复杂，等到高年级再向孩子介绍。 本讲学习简单的重叠问题，只需孩子理解容斥原理一就可以了。运用容斥原理解答重叠问 题应用题的关键是，画出示意图，认真分析已知条件，找出哪些是重复的，重复了几次？ 题目要求的又是哪一部分？借助示意图进行思考，找到正确的解答方法。 【题目】： 三（1）班有 48 人，其中订少年报的有 32 人，订数学报的有 38 人，有 25 人两份 报都订，那么： （1）只订少年报而没有订数学报的有多少人？ （2）只订数学报而没有订少年报的有多少人？ （3）有多少人两种报都没订？ 【解析】： 先画出订报情况示意图，如下图：用长方形的面积表示全班人数；字母 A 所在的椭圆表示 订少年报的人数 32 人；字母 B 所在的椭圆表示订数学报的人数 38 人；字母 C 所 在区域即两个椭圆的重叠部分表示同时订了两份报的人数 25 人；字母 D 所在的空白部分 表示两种报都没有的订的人数。 （1）用订少年报的总人数 A，减去重叠部分 C,剩下来的就是只订少年报而没有 订数学报的人数：32-25=7（人）； （2）同理,(B-C)就是只订数学报 而没有订少年报的人数：38-25=13（人）； （3）先求出订报的总人数，即图中所有阴影部分表示的人数，再用班级总人数减去订报总 人数，即是两种报都没订的人数 D。这题有两种解法。 解法一：在（1）、（2）两小题中已求出只订少年报的人数 7 人、只订数学报的 人数 13 人，即图中纯黑色阴影部分和纯红色阴影表示的人数，中间重叠部分为 25 人，所 以订报总人数为：7+25+13=45（人）。 所以，两种报都没有订的人数为：48-45=3（人）。 解法二：不考虑重叠部分，订数学报和少年报的总人数为：32+38=70（人）。有 25 人两份报都订了，这些人既包含在 32 人之中，又包含在 38 人之中，我们在求和时，这 25 人就加了两遍，重复计算了一遍，要去掉多算的一遍。因此，订报总人数为：70- 25=45（人）。 两种报都没有订的人数就是：48-45=3（人）。 【题目】： 一次老师给全班同学做两道智力趣题，结果全班 10 人两题都对，8 人两题都错，第二道题 有 15 人错，问第一道对而第二道错的同学有多少人？ 【解析】： 解答这题要抓住题中的有效条件，避免受无效条件的干扰。 因为第二道题有 15 人错，全班只有 8 人两题都错，而两题都错的人第二道题肯定错了，所 以两题都错的 8 个人包含在前面 15 人之中，从 15 人里去掉这 8 个人还剩：15-8=7（人）。 去掉两题都错的 8 人，剩下的 7 人肯定只错了一道题，他们第二道题错了，第一道题肯定 是对的，所以第一道对而第二道错的同学有 7 人。 【题目】： 100 位旅游者中，70 人懂中文，52 人懂英语，还有 10 人两种语言都不懂。 （1）懂中文和英语的一共有多少人？ （2）既懂英语又懂中文的有多少人？ （3）只懂中文不懂英语的有多少人？ （4）只懂英文不懂中文的有多少人？ 【解析】： （1）100 名旅游者中，有 10 人两种语言都不懂，所以懂中文和英语的人一共有：100- 10=90（人）。 （2）70 人懂中文，52 人懂英语，不考虑重叠情况（即既懂英语又懂中文人数），懂两种 语言的共有：70+52=122（人）。在第（1）小题已经求出懂两种语言的总人数为 90 人， 所以被重复计算的既懂英语又懂中文的人数为：122-90=32（人）。 （3）在第（2）小题已经求出既懂英语又懂中文的人数为 32 人，而懂中文的总人数为 70 人，这 32 人是包含在这 70 人当中的。从懂中文的总人数中排除既懂英语又懂中文的人数， 剩下的就是只懂中文不懂英语的人数：70-32=38（人）。 （4）与第（3）小题同理，从懂英文的 52 人中排除既懂英语又懂中文的 32 人，剩下的就 是只懂英文不懂中文的人数：52-32=20（人）。 学法指导：解答重叠问题，必须从条件入手认真分析，有时可 以根据条件画一画图来帮助我们思考，找出哪些是重复的，重 复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解题的方法。 例 1、学校组织看文艺表演，冬冬的座位从左数是第 7 个，从右数是第 10 个， 这一行座位有多少个？ 分析与解答：根据题意画出图。 例 2、为庆祝六一，小朋友们排成方形的鲜花队，无论从前、从后数，还是从 左、从右数，李丽都在第 5 个，鲜花队一共有多少个小朋友？ 画图，从图中可以看出；从前数或从后数，李丽都在第 5 个，所以李丽在的那 竖行有 5+5-1=9（个）小朋友；从左数或从右数，李丽也在第 5 个，所以李丽 在的那横行也有 5+5-1=9（个）小朋友。在根据题中“排成方形的鲜花队”这 个条件可以知道鲜花队有 9 行，每行有 9 个小朋友。所以，鲜花队一共有 99=81（个）小朋友，列式如下 试一试 2、同学们排成方形的队伍跳集体舞，无论从前从后数，还是从左从右 数，赵英都是第 4 个。跳集体舞的一共有多少个同学？ 例题 3、三（5）班同学参加了音乐、美术这两个课外兴趣小组。已知参加音乐 组的有 32 人，参加美术组的有 30 人，两个小组都参加的有 10 人。三（5）班 共有学生多少人 画图，阴影部分表示两个都参加的 10 人，这 10 人既被包括在音乐组 的 32 人，又被包括在美术组的 30 人，共被算过两次，重复多算了一次，所以 要求三（5）班共有学生多少人，必须从 32+30=62（人）中去掉多算了一次的 10 人，全班人数应是 6210=52（人）。 想一想：这道题还可以怎样解答？ 试一试 3、三（1）班订数学报的有 32 人，订语文报的有 30 人，两份 报纸都订的有 10 人，全班每人至少订一种报纸，三（1）班有学生多少人？ 例 4、三（1）班有学生 55 人，每人至少参加跳绳和踢毽子比赛的一种，已 知参加跳绳的有 36 人，参加踢毽子的有 38 人。两项都参加的有几人？ 从上图可以看出，中间的重叠部分（阴影部分）表示两项比赛都参加的人数。 如果把跳绳的 36 人与踢毽子的 38 人加起来得 36+38=74（人），这 74 人比全 班总人数多了 7455=19（人），为什么会多 19 人？原来图中阴影部分表示的 人数既在跳绳的人数中算过，又在踢毽子的人数中算过，这部分人数多算了一 次，才多出了 19 人，所以这 19 人就是两项都参加的人数。 想一想：看看上图，说一说下面的算式分别求的是什么样？ 5536=19 （人） 5538=17（人） 38（5536）=19 （人） 试一试 4、三（1）有学生 62 人，订小学生语文报的有 48 人，订小生数 学报的有 52 人，每人至少订一份报纸，两份报纸都订的有多少人才？ 例题 5、三（5）班有 42 名同学，会下象棋的有 21 名同学，会下围棋的有 17 名同学，两种都不会的有 10 名同学。两种都会下的有多少名同学？ 分析与解答根据“三（5）班有 42 名同学”和“两种棋都不会下的有 2117=38 （名），这 38 名比会下一种棋的 32 名多了 3832=6（名），这多 出的 6 名既在会下象棋的