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文档简介

对两个时间问题的分析 最佳屋顶与等时圆 【摘要】：用数学方法分别讨论了最佳屋顶问题和等时圆问题的解，并将两个问题放在一 起进行分析，找到两个问题间的联系。 【关键词】：等时圆，最佳屋顶，最短时间，极值问题 【正文】 1.最佳屋顶问题 如图 1 所示，求从不同位置由静止运动至水平面的最短时间以及时间最短时轨道与水平方 向的夹角，其中所有初位置与末位置间的水平距离相等，忽略摩擦的影响。 图 1 x 图 2 4545 析：设底边为 x，轨道与水平方向所成的角为 ，则位移为 ，加速度为 。由cosxsing 运动学公式可知 2sin1cotg 解得 si4csixxt 由上式可知，当 时，t 有极小值， 。gxt4min 实际应用中，若想使雨点以最短的时间滑下屋顶，则需将其设计成与水平方向成 的角，4 如图 2 所示。 若考虑摩擦，则问题更具有实际意义。 2 sin14co2issin4coi2ssinc22gxgxgxt 其中， ，2i21cos 当 时，即 时，有时间的最小值， 。24 2min14gxt 可见，在考虑摩擦的情况下，屋顶与水平面所成的角应大于 。 2等时圆 如图 3 所示，质点从圆周上一点 M 沿光滑轨道 ML 运动到圆的最低点 L 所用时间为多少？ H 图 3 L M 析：如图 3 所示，H 为圆的最高点，连结 LH，为圆的直径，连结 HM，则角 HML 为直 角。设轨道 ML 与水平面所成的角为 ，由角 LHM 也为 。设圆的半径为 R 则，质点的 加速度为 ，从 M 到 L 的位移为 。从而时间singsin2RRt4i2 可见，结果是一个与角无关的量，它说明了不管从圆周上哪一个点沿光滑轨道运动至最低 点 M 的时间都相等。称为等时圆。 3 3最佳屋顶与等时圆的关系 图 4 O x L A B C D 将图 1 和等时圆放在一起，如图 4 所示。由图可知，由 C 到 L 过程的起点和终点都在圆上， 此时有 ，而对于其它情况，不管是 还是 ，起点都在圆外，因此时间将4 大于从 C 到 A 的时间。由上面的分析可知
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