关于多项式展开项数的问题之经验分享

关于多项式展开项数的问题之经验分享 首先，我想说的就是，通过这题，对这题的掌握，可以使不懂插板法 的朋友，多少对插板法有点印象。 下面说的多项式展开项数就用到插板法这个原理。呵呵，希望对大家 有用。 要说用到插板法，就先必须讲讲什么情况可以用到（引用军团云淡） ： 插板法就是在 n 个元素间的（n-1 ）个空中插入 若干个（b ）个板，可 以把 n 个元素分成（ b+1）组的方法。 应用插板法必须满足三个条件： （1） 这 n 个元素必须互不相异 （2） 所分成的每一组至少分得一个元素 （3） 分成的组别彼此相异 插板法的条件用我的话说就是这样： （1） 数量多的元素相同 （2） 数量少的元素不同 （3） 数量少的每个元素至少要有一个数量多的元素 举个很普通的例子来说明 把 8 个相同的小球放入 3 个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几 种情况？ 问题的题干满足 条件（1）（2 ），适用插板法，C7 2 =21 既然今天是讲多项式的展开项数，又鉴于云淡大哥已经有总结过插板 法的方法，所以言归正传，继续多项式展开 接下来看例题： （X+Y+Z） 10 的项数是多少？ A 55 B 66 C 78 D 91 这道题，很多朋友对这题可能会想到高中时的多项式分解，的确，那 样做可以，但今天飞飞我在这里要讲的就是，还有更简便的方法。 我们先看看这第一种方法： (x+y+z)10 =C0 10*(x+y)10+ C1 10*(x+y)9*z+ C9 10*(x+y)*z 9+ C10 10*z10 (x+y)10 有 11 项 (x+y)9*z 有 10 项 一起有 11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=66 项 在这里 我在浙江版上就简单的说了利用插板法，直接 C12 2=66 但为什么是用插板法呢？ （A+B+C+D+N）M 括号里面有 N 项 下面是我归纳的公式：C（M+N-1），（N-1） 你们用任何项数和 任何次方去代，都是可以。 看到这里我们是不是看到有点像是插板法的感觉了呢？ 但为什么就是插板法呢？ 继续看 以例题为列子： （A+B+C）10，展开的项数的多少？ 这时，N=3，M=10 A、B、C 相当于是不同的盘子，而 10 次方相当于是 10 个相同的苹果 于是这题可以转化成，有 10 个相同的苹果，放到 3 个不同的盘子里， 有几种方法？ 而这距离插板法的第三点条件“至少一个”还差了点，因此，这题还得用 军团云淡的“苹果法” 将其转变 假设原来的 3 个盘子里已经有了 3 个和外面 10 个相同的苹果了，所以 此时的苹果总数变成了 10+3=13 个 现在已经满足了“至少一个”的条件，所以已经符合插板法的全部条件 因此我们看，13 个相同的苹果放到 3 个不相同的盘子里，每个盘子至 少放一个苹果，有几种方法？ 13 个苹果有 12 个空，用 2 块板可以将其分成 3 堆，也就是分放到 3 个盘子里，因此就是：C12 2=66 所以，多项式次方的展开项数，可以转化成插板法来做。 课后