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关于多项式展开项数的问题之经验分享 首先,我想说的就是,通过这题,对这题的掌握,可以使不懂插板法 的朋友,多少对插板法有点印象。 下面说的多项式展开项数就用到插板法这个原理。呵呵,希望对大家 有用。 要说用到插板法,就先必须讲讲什么情况可以用到(引用军团云淡) : 插板法就是在 n 个元素间的(n-1 )个空中插入 若干个(b )个板,可 以把 n 个元素分成( b+1)组的方法。 应用插板法必须满足三个条件: (1) 这 n 个元素必须互不相异 (2) 所分成的每一组至少分得一个元素 (3) 分成的组别彼此相异 插板法的条件用我的话说就是这样: (1) 数量多的元素相同 (2) 数量少的元素不同 (3) 数量少的每个元素至少要有一个数量多的元素 举个很普通的例子来说明 把 8 个相同的小球放入 3 个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几 种情况? 问题的题干满足 条件(1)(2 ),适用插板法,C7 2 =21 既然今天是讲多项式的展开项数,又鉴于云淡大哥已经有总结过插板 法的方法,所以言归正传,继续多项式展开 接下来看例题: (X+Y+Z) 10 的项数是多少? A 55 B 66 C 78 D 91 这道题,很多朋友对这题可能会想到高中时的多项式分解,的确,那 样做可以,但今天飞飞我在这里要讲的就是,还有更简便的方法。 我们先看看这第一种方法: (x+y+z)10 =C0 10*(x+y)10+ C1 10*(x+y)9*z+ C9 10*(x+y)*z 9+ C10 10*z10 (x+y)10 有 11 项 (x+y)9*z 有 10 项 一起有 11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=66 项 在这里 我在浙江版上就简单的说了利用插板法,直接 C12 2=66 但为什么是用插板法呢? (A+B+C+D+N)M 括号里面有 N 项 下面是我归纳的公式:C(M+N-1),(N-1) 你们用任何项数和 任何次方去代,都是可以。 看到这里我们是不是看到有点像是插板法的感觉了呢? 但为什么就是插板法呢? 继续看 以例题为列子: (A+B+C)10,展开的项数的多少? 这时,N=3,M=10 A、B、C 相当于是不同的盘子,而 10 次方相当于是 10 个相同的苹果 于是这题可以转化成,有 10 个相同的苹果,放到 3 个不同的盘子里, 有几种方法? 而这距离插板法的第三点条件“至少一个”还差了点,因此,这题还得用 军团云淡的“苹果法” 将其转变 假设原来的 3 个盘子里已经有了 3 个和外面 10 个相同的苹果了,所以 此时的苹果总数变成了 10+3=13 个 现在已经满足了“至少一个”的条件,所以已经符合插板法的全部条件 因此我们看,13 个相同的苹果放到 3 个不相同的盘子里,每个盘子至 少放一个苹果,有几种方法? 13 个苹果有 12 个空,用 2 块板可以将其分成 3 堆,也就是分放到 3 个盘子里,因此就是:C12 2=66 所以,多项式次方的展开项数,可以转化成插板法来做。 课后

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