【百汇大课堂】2012高考数学总复习 1-2命题及其关系、充分条件与必要条件（课件+课下作业）（打包2套） 新课标
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【百汇大课堂】2012高考数学总复习 1-2命题及其关系、充分条件与必要条件（课件+课下作业）（打包2套） 新课标,百汇大,课堂,高考,数学,复习,温习,命题,及其,关系,瓜葛,充分,充沛,条件,前提,必要条件,课件,作业,功课,打包,新课
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考纲展示 若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系 充分条件与充要条件的意义 . 考情分析 从近年的高考试题看，充要条件的判定、判断命题的真假等是高考的热点，题型以选择题、填空题为主，属中低档题目本节知识常和函数、不等式及立体几何中直线与平面的位置关系等有关知识相结合，考查学生对函数的有关性质、不等式的解法及直线与平面位置关系判定的掌握程度 预测 2012年高考仍将以充要条件的判定、判断命题的真假为主要考点，重点考查学生的逻辑推理能力 . 一 、 命题 在数学中用语言 、 符号或式子表达的 ， 可以 的陈述句叫做命题 其中 的语句叫真命题 ， 的语句叫假命题 判断真假 判断为真 判断为假 2 四种命题的相互关系 3 四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题 ， 它们有 的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题 ， 它们的 真 假 性 相同 没有关系 一个命题的 “ 否命题 ” 与 “ 否定 ” 是同一个命题吗 ？ 提示： 不是 命题的否命题既否定命题的条件又否定命题的结论 ， 而命题的否定仅是否定命题的结论 三 、 充分条件与必要条件 1 如果 pq， 则 p是 ， q 是 p 的 ； 2 如果 pq， qp， 则 p是 充分条件 必要条件 充要条件 充分条件与必要条件的两种判断方法见下表： 条件 定义法 集合法 (Ax|p(x)， Bx|q(x) p是 pq AB p是 qp AB p是 pq且 qp A B p是 pq且 q p A B p是 p q且 qp A B p是 p q且 q p A B 1 ( 理 ) ( 2010 年广东卷 ) “ m 14” 是 “ 一元二次方程 x m 0 有实数解 ” 的 ( ) A 充分非必要条件 B 充分必要条件 C 必要非充分条件 D 非充分非必要条件 解析： 选 A. 一元二次方程 x m 0 有实数解 1 4 m 0 m 14. 当 m 14时， m 14成立，但 m 14时， m 14不一定成立，故选 A. 2 命题 “ 若 x 1或 x 6， 则 (x 1)(x 6)0” 的逆否命题是 ( ) A 若 x1或 x6， 则 (x 1)(x 6)0 B 若 x1且 x6， 则 (x 1)(x 6)0 C 若 (x 1)(x 6)0， 则 x1或 x6 D 若 (x 1)(x 6)0， 则 x1且 x6 解析： 选 若 p则 q”的逆否命题为 “ 若 綈 p”， 排除 A、 B， 再根据命题 “ p且 q”的否定是 “ 綈 q”， 命题“ p或 q”的否定是 “ 綈 q”， 可知 3 设 m、 内的两条不同直线； l1、内的两条相交直线 ， 则 的一个充分而不必要条件是 ( ) A m 且 B m n C m 且 n D m 且 n 解析： 选 B. m n 又 内的两条相交直线 ， ， 而当 时不一定推出 m n 故选 B. 4 i、 若 a 5i 3j，b 3i 5j， 则 a _ 解析： a bab 0， 即 (5i 3j)(3i 5j) 0， 即 1516ij 150， |i| |j| 1， 16ij 0， 即 ij 0， i j. 答案： i j 5 给定下列命题： 若 k 0， 则方程 2x k 0有实数根； 若 x y8， 则 x2或 y6； “ 矩形的对角线相等 ” 的逆命题； “ 若 0， 则 x、 ” 的否命题 其中真命题的序号是 _ 解析： 4 4( k) 4 4k 0， k 1， 是真命题 其逆否命题为真 ， 故 是真命题 逆命题： “ 对角线相等的四边形是矩形 ” 是假命题 否命题： “ 若 ， 则 x、 是真命题 答案： 对于命题真假的判定 ， 关键是分清命题的条件与结论 ， 只有将条件与结论分清 ， 再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假 2 四种命题的关系的应用 掌握原命题和逆否命题 ， 否命题和逆命题的等价性 ， 当一个命题直接判断它的真假不易进行时 ， 可以转而判断其逆否命题的真假 分别写出下列命题的逆命题 、 否命题 、 逆否命题 、 命题的否定 ， 并判断它们的真假： (1)若 q1， 则方程 2x q 0有实根； (2)若 x、 则 x (3)若 0， 则 x 0或 y 0； (4)若 0， 则 x、 . 思路点拨：解答本题 将命题写成 “ 若 p 则 q ” 的形式 写出相关命题并判断真假 解： (1)原命题是真命题； 逆命题：若方程 2x q 0有实根 ， 则q1， 为真命题； 否命题：若 q 1， 则方程 2x q 0无实根 ， 为真命题； 逆否命题：若方程 2x q 0无实根 ， 则q 1， 为真命题； 命题的否定：若 q1， 则方程 2x q 0无实根 ， 为假命题 (2)原命题是真命题； 逆命题：若 x 则 x、 是假命题； 否命题：若 x、 则 x 是假命题； 逆否命题：若 x 则 x、 是真命题； 命题的否定：若 x、 则 x 是假命题 (3)原命题为真命题； 逆命题：若 x 0或 y 0， 则 0， 是真命题； 否命题：若 ， 则 x0且 y0， 是真命题； 逆否命题：若 x0且 y0， 则 ， 是真命题； 命题的否定：若 0， 则 x0且 y0， 是假命题 (4)原命题为真命题 逆命题：若 x、 ， 则 0， 为真命题； 否命题：若 ， 则 x、 ， 为真命题； 逆否命题：若 x、 ， 则 ， 为真命题； 命题的否定：若 0， 则 x、 ， 是假命题 特别提醒： 当一个命题有大前提而写出其他三种命题时 ， 必须保留大前提 ， 大前提不动 1 写出下列命题的逆命题 、 否命题和逆否命题 ， 并判断其真假： (1)若 x y 5， 则 x 3且 y 2. (2)已知 a， b， c， 若 a b， c d，则 a c b d. 解： (1)逆命题：若 x 3且 y 2， 则 x y 5，真命题 否命题：若 x y5， 则 x3或 y2， 真命题 逆否命题：若 x3或 y2， 则 x y5， 假命题 (2)原命题：已知 a， b， c， 若 a b，c d， 则 a c b 已知 a， b， c， 是大前提 ， “ a与 b， c与 是条件 p， “ a c b d” 是结论 q， 所以 逆命题：已知 a， b， c， 若 a cb d， 则 a与 b， c与 假命题 否命题：已知 a， b， c， 若 a与 b，c与 则 a cb d， 假命题 逆否命题：已知 a， b， c， 若 acb d， 则 a与 b， c与 真命题 . 判断一个命题是另一个命题的什么条件 ， 关键是利用定义：如果 pq， 则 原命题 (或逆否命题 )成立 ， 命题中的条件是充分的 ， 也可称 q是 果 qp， 则 逆命题 (或否命题)成立 ， 命题中的条件为必要的 ， 也可称 q是 果既有 pq， 又有 qp， 记作 pq， 则 简称充要条件 ， 原命题和逆命题 (或逆否命题和否命题 )都成立 ， 命题中的条件是充要的 ( 1) p ： a b 2 ， q ：直线 x y 0 与圆 ( x a )2 ( y b )2 2 相切； ( 2) p ： | x | x ， q ： x 0 ； ( 3) 设 l ， m 均为直线， 为平面，其中 l ， m ， p ： l ， q ： l m ； ( 4) 设 ( 2，2) ， ( 2，2) ， p ： ， q ： ta n . 指出下列各组命题中， p是 思路点拨： (1)先分清命题的条件与结论； (2)分析由前者能否推出后者 ， 由后者能否推出前者 ， 也可利用反例来推证 解： ( 1) 若 a b 2 ，圆心 ( a ， b ) 到直线 x y 0 的距离 d| a b |2 2 r ， 所以直线与圆相切，反之，若直线与圆相切， 则 | a b | 2 ， a b 2 ， 故 p 是 q 的充分不必要条件 (2)若 |x| x， 则 x |x|0成立 反之 ， 若 x0， 即 x(x 1)0， 则 x0或 x 1. 当 x 1时 ， |x| xx， 因此 ， p是 (3) l / l m， 但 l ml ， p是 ( 4) x ( 2，2) 时， 正切函数 y x 是单调递增的， 当 ( 2，2) ， ( 2，2) ，且 时， ta n ， 反之也成立 p 是 q 的充要条件 特别提醒： 从集合的角度理解 ， 小范围可以推出大范围 ， 大范围不能推出小范围 2 给出以下命题 ， 判断 p是 (1)p： A B， q： ； (2)p： x 2且 y 3， q： x y 5； (3)p：正方形 ， q：菱形； ( 4) p ： a b ， q ： 1a 1b . 解： ( 1) 当 A B 时， ； 当 ， A 不一定等于 B ，如 3 3，而323. 所以 p 是 q 的充分不必要条件 ( 2) 当 x 2 且 y 3 时， x y 5 成立； 当 x y 5 时，不一定有 x 2 且 y 3 成立，如 x 0 ，y 6. 所以 p 是 q 的充分不必要条件 ( 3) 正方形一定是菱形，菱形不一定是正方形， 所以 p 是 q 的充分而不必要条件 ( 4) 当 a b 时，1a1 a 2 ， b 1. 当1a1a b 不一定成立，如 a 3 ， b 2. 所以 p 是 q 的既不充分也不必要条件 . 解决此类问题一般是把充分条件 、 必要条件或充要条件转化为集合之间的关系 ， 然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解 思路点拨： 可以直接求 綈 p、 綈 也可以利用 綈 p綈 已知 p ： |1 x 13| 2 ， q ： 2 x 1 0( m 0) 若綈 p 是 綈 q 的充分而不必要条件，求实数 m 的取值范围 解： 解法一 由 |1 x 13| 2 ，得 2 x 10. “ 綈 p ” ： A x | x 10 或 x 2 由 2 x 1 0 ， 得 1 mx1 m(m 0) “ 綈 q” ： B x|x 1 m或 x 1 m， m 0 綈 A B. 结合数轴有m 0 ，1 m 10 ，1 m m 3. 实数 m 的取值范围是 ( 0,3 解法二 由 |1 x 13|2 得， p x | 2 x 10 由 2 x 1 ( m 0) 得， q x |1 m x 1 m ， m 0 q p ， q p . 结合数轴有1 m 2 ，1 m 10 ，m 0解得 0 m 3. 实数 m 的取值范围是 (0,3 3 设命题 p： (4x 3)21；命题 q： (2a1)x a(a 1)0， 若 綈 求实数 解： 设 A x|(4x 3)21， B x|(2a 1)x a(a 1)0， 易知 A x |12 x 1 ， B x | a x a 1 由 綈 p 是 綈 q 的必要不充分条件，从而 p 是 q 的充分不必要条件，即 A B ， a 12a 1 1，解得 0 a 12. 故所求实数 a 的取值范围是 0 ，12. 谁是结论 在这里要注意两种说法： “ p是 与 “ q” ；前者 后者 2 证明分为两个环节 ， 一是充分性 ， 即由条件推结论；二是必要性 ， 即由结论推条件 证明时 ， 不要认为它是推理过程的 “ 双向书写 ” ， 而应该进行由条件到结论 ， 由结论到条件的两次证明 (12分 )求证方程 2x 1 0有且只有一个负数根的充要条件为 a0或 a 1. 思路点拨： (1)注意讨论 2)利用根的判别式求 规范解答： 证明 (充分性 ) 当 a 0 时，方程变为 2 x 1 0 ，其根为 x 12 ， 方程只有一负根 当 a 1 时，方程为 2 x 1 0 ，其根为 x 1 ， 方程只有一负根 当 a 0 时， 4( 1 a ) 0 ，方程有两个不相等的根， 且1a 0 ，方程有一正一负根 ( 必要性 ) 若方程 2 x 1 0 有且仅有一负根 当 a 0 时，适合条件 当 a 0 时，方程 2 x 1 0 有实根， 则 4 4 a 0 ， a 1 ， 当 a 1 时，方程有一负根 x 若方程有且仅有一负根，则a 11a 0， a 0. 综上方程 2 x 1 0 有且仅有一负根的充要条件为a 0 或 a 4 求证：关于 c 0有一个根为 1的充要条件是 a b c 0. 证明： (1)必要性：即 “ 若 x 1是方程 c 0的根 ， 则 a b c 0” x 1是方程的根 ， 将 x 1代入方程 ， 得 a12 b1 c 0， 即 a b c 0. (2)充分性：即 “ 若 a b c 0， 则 x 1是方程 c 0的根 ” 把 x 1代入方程的左边，得 a12 b1 ca b c. a b c 0， x 1是方程的根 综合 (1)(2)知命题成立 1 (2011届金华模拟 )下列命题错误的是 ( ) A 命题 “ 若 3x 2 0， 则 x 1” 的逆否命题为 “ 若x1， 则 3x 20” B 若命题 p： R， 1 0， 则 綈 p： x R，x 10 C 若 p 则 p， D “ x 2” 是 “ 3x 2 0” 的充分不必要条件 解析： 选 D由 x2可推出 x 2或 x 1； C若 p 则 p， 未必均为假命题 故选 C. 2 (2011届杭州模拟 )使 “ lg m 1” 成立的一个充分不必要条件是 ( ) A m (0， ) B m (1,2) C 0 m 10 D m 1 解析： 选 lg m 1”成立的充要条件是m (0,10)， 而 m (1,2)m (0,10)， 故选 B. 3 (2011届浙江五校联考 )下列四个命题中 ，真命题的序号是 _ (写出所有真命题的序号 ) 若 a， b， c R， 则 “ a b” 是 “ 成立的充分不必要条件； 当 x (0 ，4) 时，函数 y x 1 ； 命题 “ 若 | x | 2 ，则 x
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