【备考2014】2013高考数学 （真题+模拟新题分类汇编）（打包27
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【备考2014】2013高考数学 （真题+模拟新题分类汇编）（打包27,备考,高考,数学,模拟,摹拟,分类,汇编,打包,27
- 内容简介：
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- 1 - 三角函数 的概念及任意的三角函数 14 013 四川卷 设 ， 2 ， ，则 的值是 _ 14. 3 解析 方法一：由已知 ，即 2 ，又 2 ， ，故 0， 于是 12，进而 32 ，于是 3，所以 21 2 （ 3）1 3 3. 方法二：同上得 12，又 2 ， ，可得 23 ，所以 3 3. 角三角函数的 基本关系式与诱导公式 2 013 全国卷 已知 是第二象限角， 513，则 ( ) A 1213 B 513 A 解析 1 1213. 16 013 广东卷 已知函数 f(x) 2 x 12 ， x R. (1)求 f 3 的值； (2)若 35， 32 ， 2 ，求 f 6 . 16 解： 14 013 四川卷 设 ， 2 ， ，则 的值是 _ 14. 3 解析 方法一：由已知 ，即 2 ，又 2 ， ，故 0，于是 12，进而 32 ，于是 3，所以 21 2 （ 3）1 3 3. - 2 - 方法二：同上得 12，又 2 ， ，可得 23 ，所以 3 3. 角函数的图像与性质 1 013 江苏卷 函数 y 3 2x 4 的最小正周期为 _ 1 解析 周期为 T 22 . 17 013 辽宁卷 设向量 a ( 3x， x)， b (x， x)， x0 ， 2. (1)若 |a| |b|，求 x 的值； (2)设函数 f(x) ab ，求 f(x)的最大值 17 解： (1)由 |a|2 ( 3x)2 (x)2 4x， |b|2 (x)2 (x)2 1. 及 |a| |b|， 得 4x 1. 又 x0 ， 2 ，从而 x 12，所以 x 6. (2)f(x) ab 3x x 32 x 12x 12 6 12，当x 3 0， 2 时， 6 取最大值 1. 所以 f(x)的最大值为 32. 9 013 山东卷 函数 y x x 的图像大致为 ( ) 图 1 3 9 D 解析 f( x) x) x) (x x) f(x)， y x x 为奇函数，图像关于原点对称，排除选项 B，当 x 2 ， y 10， x ， y 0) 的部分图像如图 1 1 所示，则 ( ) 图 1 1 A 5 B 4 C 3 D 2 9 B 解析 根据对称性可得 4 为已知函数的半个周期，所以 2 2 4 ，解得 4. 9 013 福建卷 将函数 f(x) x ) 20)个单位长度后得到函数 g(x)的图像若 f(x)， g(x)的图像都经过点 P 0， 32 ，则 的值可以是 ( ) 9 B 解析 g(x) f(x ) (x ) ，由 32 ， 20) ，且 y f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 4. (1)求 的值； (2)求 f(x)在区间 ， 32 上的最大值和最小值 18 解： (1)f(x) 32 3x x 32 3 1 12 x 32 x 12 x 2x 3 . 因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 4 ， 又 0， 所以 22 4 4. 因此 1. (2)由 (1)知 f(x) 2x 3 . 当 x 32 时， 53 2x 3 83 . 所以 32 2x 3 1. 因此 1f(x) 32 . 故 f(x)在区间 ， 32 上的最大值和最小值分别为 32 ， 1. 6 013 天津卷 函数 f(x) 4 在区间 0， 2 上的最小值为 ( ) A 1 B 22 C. 22 D 0 6 B 解析 x 0， 2 ， 2x 4 4 ， 34 ，当 2x 4 4 时， f(x)有最 - 6 - 小值 22 . 图 1 3 6 013 四川卷 函数 f(x) 2x )0 ， 2b，则 AB，故 B 4. 根据余弦定理，有 (4 2)2 52 25c 35 ， 解得 c 1 或 c 7(负值舍去 ) 故向量 在 方向上的投影为 | 22 . 16 013 新课标全国卷 设当 x 时 ，函数 f(x) x 2x 取得最大值，则 _ 16 2 55 解析 f(x) x 2x - 9 - 5 15x 25x ，令 15， 25， 则 f(x) 5x ) 当 2 2 ， 即 2 2 ( 上述 k 为整数 )时， f(x)取得最大值，此时 2 55 . 18 013 重庆卷 在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 a23(1)求 A； (2)设 a 3， S 为 面积，求 S 3 的最大值，并指出此时 B 的值 18 解： (1)由余弦定理得 332 . 又因为 00) ，且 y f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 4. (1)求 的值； - 12 - (2)求 f(x)在区间 ， 32 上的最大值和最小值 18 解： (1)f(x) 32 3x x 32 3 1 12 x 32 x 12 x 2x 3 . 因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的 距离为 4 ， 又 0， 所以 22 4 4. 因此 1. (2)由 (1)知 f(x) 2x 3 . 当 x 32 时， 53 2x 3 83 . 所以 32 2x 3 1. 因此 1f(x) 32 . 故 f(x)在区间 ， 32 上的最大值和最小值分别为 32 ， 1. 16 013 天津卷 在 ，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， 3， a 3， 23. (1)求 b 的值； (2)求 3 的值 16 解： (1)在 ，由 ，可得 ，又由 3，可得 a 3c，又 a 3，故 c 1. 由 2， 23，可得 b 6. (2)由 23，得 53 ，进而得 B 2 1 19， B 2 4 59 . 所以 3 4 5 318 . - 13 - 三角形 9 013 安徽卷 设 内角 A， B， C 所对边的长分别为 a， b， c，若 b c 2a，3 5，则角 C ( ) 9 B 解析 根据正弦定理， 3 5 可化为 3a 5b，又 b c 2a，解得 b 3c 7 a 5t(t0)，则 b 3t， c 7t，在 ，由余弦定理得 259495t 3t 12，所以 C23 . 5 013 北京卷 在 ， a 3， b 5， 13，则 ( ) . 53 D 1 5 B 解析 由正弦定理得 ，即 313 5，解得 59. 18 013 全国卷 设 A 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， (a b c)(a b c) (1)求 B； (2)若 3 14 ， 求 C. 18 解 ： (1)因为 (a b c)(a b c) 所以 由余弦定理得 12， 因此 B 120 . (2)由 (1)知 A C 60 ， 所以 A C) 2 C) 2 12 2 3 14 32 ， - 14 - 故 A C 30 或 A C 30 ， 因此 C 15 或 C 45 . 21 013 福建卷 如图 1 6，在等腰直角 ， 90 ， 2 2，点 M 在线段 (1)若 5，求 长； (2)若点 N 在线段 ，且 30 ，问：当 何值时， 面积最小？并求出面积的最小值 图 1 6 21 解： (1)在 ， 45 ， 5， 2 2， 由余弦定理得， 2P 5 ，得 43 0， 解得 1 或 3. (2)设 ， 0 60 ， 在 ，由正弦定理，得 所以 545 ） ，同理 575 ） . 故 S 12 14 545 ） 75 ） 145 ） 45 30 ） 145 ） 32 45 ） 1245 ） 1 32 45 ） 1245 ） 45 ） 1 34 1 90 2 ） 1490 2 ） 1 34 34 14 1 34 122 30 ）. 因为 0 60 ， 30 2 30 150 ，所以当 30 时， 30 )的最大值为 1，此时 面积取到最小值即 30 时， 面积的最小值为 8 - 15 - 4 3. 18 013 湖北卷 在 ，角 A， B， C 对应的边分别是 a， b， A 3 C) 1. (1)求角 A 的大小； (2)若 面积 S 5 3， b 5，求 的值 18 解： (1)由 A 3 C) 1，得 23 2 0， 即 (2 1)( 2) 0，解得 12或 2(舍去 ) 因为 0 A ，所以 A 3. (2)由 S 12bc 1232 34 5 3，得 20，又 b 5，知 c 4. 由余弦定理得 2 25 16 20 21，故 a 21. 又由正弦定理得 2021 34 57. 5 013 湖南卷 在锐角 ， 角 A， B 所对的边长分别为 a， 3b，则角 A 等于 ( ) A 解析 由正弦定理可得 2 3 又 0，所以 32 为锐角，故 A 3 ，选 A. 17 013 江西卷 在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 B 1. (1)求证： a， b， c 成等差数列； (2)若 C 23 ，求 17 解： (1)证明：由题意得 2， 因为 0，所以 2， 由正弦定理，有 a c 2b，即 a， b， c 成等差数列 (2)由 C 23 ， c 2b a 及余弦定理得 (2b a)2 即有 530，所以 35. 6 013 辽宁卷 在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 12b，且 ab，则 B ( ) - 16 - 6 A 解析 由正弦定理可以得到 12，所以可以得到 12，即 C) 12，则 B 6 ，故选 A. 4 013 新课标全国卷 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 b 2，B 6 ， C 4 ，则 面积为 ( ) A 2 3 2 B. 3 1 C 2 3 2 D. 3 1 4 B 解析 c 2 B C ， A 712 ， 面积为 12 2 2 2 2 2 6 24 3 1. 7 013 山东卷 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， 2A， a 1，b 3，则 c ( ) A 2 3 B 2 C. 2 D 1 7 B 解析 由正弦定理 1332之得 32 ，A 6 ， B 3 ， C 2 ， c ( )32 12 2. 9 013 陕西卷 设 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 ，则 A 形状为 ( ) A直角三角形 B锐角三角形 C 钝角三角形 D不确定 9 A 解析 结合已知 ，所以由正弦定理可知 ，即 B C) A A 1，故 A 90，故三角形为直角三角形 16 013 天津卷 在 ，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， 3， a 3， 23. (1)求 b 的值； (2)求 3 的值 16 解： (1)在 ，由 ，可得 ，又由 3，可得 a 3c，又 a 3，故 c 1. 由 2， 23，可得 b 6. (2)由 23，得 53 ，进而得 B 2 1 19， B 2- 17 - B 4 59 . 所以 3 4 5 318 . 17 013 四川卷 在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 B) B) C) 35. (1)求 的值； (2)若 a 4 2， b 5，求向量 在 方向上的投影 17 解： (1)由 B) B) C) 35， 得 B) B) 35. 则 B B) 35，即 35. 又 0b，则 AB，故 B 4. 根据余弦定理，有 (4 2)2 52 25c 35 ， 解得 c 1 或 c 7(负值舍去 ) 故向量 在 方向上的投影为 | 22 . 15 013 四川卷 在平 面直角坐标系内，到点 A(1， 2)， B(1， 5)， C(3，6)， D(7， 1)的距离之和最小的点的坐标是 _ 15 (2， 4) 解析 在以 A， B， C， D 为顶点构成的四边形中，由平面几何知识：三角形两边之和大于第三边，可知当动点落在四边形两条对角线 点上时，到四个顶点的距离之和最小 在直线方程为 y 2x， 在直线方程为 y x 6，交点坐标为 (2，4)，即为所求 10 013 新课标全国卷 已知锐角 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，23 A 0， a 7， c 6，则 b ( ) A 10 B 9 C 8 D 5 10 D 解析 由 23A A 0，得 25A 锐角三角形，所以 ，根据余弦定理，得 49 36 12b 15，即 125b 13 0，解得b 5 或 135(舍去 ) - 18 - 18 013 浙江卷 在锐角 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 2 3b. (1)求角 A 的大小； (2)若 a 6， b c 8，求 面积 18 解： (1)由 2 3b 及正弦定理 ，得 32 是锐角，所以 A 3. (2)由余弦定理 2bc 得 36.又 b c 8，所以 283. 由三角形面积公式 S 12，得 面积为 7 33 . 18 013 重庆卷 在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 a23(1)求 A； (2)设 a 3， S 为 面积，求 S 3 的最大值 ，并指出此时 B 的值 18 解： (1)由余弦定理得 332 . 又因为 0 ，所以 56 ， 6 . 16 013 新课标全国卷 设当 x 时，函数 f(x) x 2x 取得最大值，则 _ 16 2 55 解析 f(x) x 2x 5 15x 25x ，令 15， 25， 则 f(x) 5x ) 当 2 2 ， 即 2 2 ( 上述 k 为整数 )时， f(x)取得最大值，此时 2 55 . 9 013 新课标全国卷 函数 f(x) (1 x) x 在 ， 的图像大致为 ( ) 图 1 2 9 C 解析 函数 f(x)是奇函数，排除选项 B.当 x0 ， 时 f(x)0 ，排除选项 f(x)求导， 得 f(x) x (1 x)x 2x x 1 (x 1)(2x 1)，当 00 ，若 23 0， 所以 P(， )在第四象限 3 2013 烟台期中 函数 y x 的定义域为 a， b， 值域为 1， 12 ， 则 b a 的最大值与最小 值之和等于 ( ) A 4 C 2 3 C 解析 由正弦函数的图像知 (b a) 6 2 23 ， (b a) 6 ( 76 ) 43 ， 所以和 为 2 . 4 2013 许昌模拟 函数 y 2x 4 的单调递减区间为 _ 4. 38 78 k Z) 解析 由 2 22x 4 32 2k Z)， 得38 x78 k Z)， 即函数的单调递减区间为 38 8 k Z) 5 2013 吉林实验中学二模 把函数 y x(x R)的图像上所有点向左平行移动 3 个单位长度 ， 再把所得图像上所有点 的横坐标缩短到原来的 12(纵坐标不变 )， 得到的图像所表示的函数是 ( ) A y 2x 3 ， x R B y 6 ， x R C y 2x 3 ， x R D y 2x 23 ， x R 5 C 解析 将函数 y x(x R)的图像上所有点向左平移 3 个单位长度可得函数 y x 3 的图像 ， 将 y x 3 的图像上所有点的横坐标缩小为原来的 12(纵坐标不变 )， 可得函数 y 2x 3 的图像 ， 故选 C. 6 2013 南昌调研 3 图是函数 y x )(x R)的部分图像 ， 为了得到这个函数的图像 ， 只要将 y x(x R)的图像上所有点 ( ) - 23 - A 向左平移 3 个单位长度 ， 再把所得各点的横坐标缩短到原来的 12， 纵坐标不变 B 向左平移 3 个单位长度 ， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 ， 纵坐标不变 C 向左平移 6 个单位长度 ， 再把所得各点的横坐标缩短到原来 的 12， 纵坐标不变 D 向左平移 6 个单位长度 ， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 ， 纵坐标不变 6 A 解析 由图像可知原函数的周期为 T 56 6 ， 2T 2， 代入 x 6 ，由五点法得 6 2 0， 解得 3 ， 原函数的解析式为 y 2x 3 .将 y 3 个单位长度 ， 再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的 12， 纵坐标不变 ，即可得 y 2x 3 的图像 ， 故选 A. - 1 - 三角函数 的概念及任意的三角函数 13 013 四川卷 设 ， 2 ， ，则 的值是 _ 13. 3 解析 解法一：由 ，得 2 ，又 2 ， ，故 0，于是 12，进而 32 ，于是 3， 21 2 （ 3）1 3 3. 解法二：同上得 12，又 2 ， ，可得 23 ， 3 3. 角三角函数的基本关系式与诱导公式 13 013 全国卷 已知 是第三象限角， 13，则 _ 13 2 2 解析 1 2 23 ，所以 2 2. 13 013 四川卷 设 ， 2 ， ，则 的值是 _ 13. 3 解析 解法一：由 ，得 2 ，又 2 ， ，故 0，于是 12，进而 32 ，于是 3， 21 2 （ 3）1 3 3. 解法二：同上得 12，又 2 ， ，可得 23 ， 3 3. 15 013 新课标全国卷 设 为第二象限角，若 4 12，则 _ 15 105 解析 由 4 12得 1 1 12 13 3 ， 由 1 10 1， 在第二象限， - 2 - 1010 ， 3 1010 ， 105 . 20 013 重庆卷 在 ，内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且 2(1)求 C； (2)设 3 25 ， A） B） 25 ，求 的值 20 解： (1)因为 2 所以由余弦定理有 222 34 . (2)由题意得 （ ）（ ）25 ， 因此 ( )( ) 25 ， ( ) 25 ， A B) 25 . 因为 C 34 ，所以 A B 4 ，所以 A B) 22 . 因为 A B) ， 即 3 25 22 . 解得 3 25 22 210. 由 得 5 4 0， 解得 1 或 4. 9 013 重庆卷 40 0 ( ) A. 2 B. 2 32 C. 3 D 2 2 1 9 C 解析 原式 40 00 40 0 00 20 00 2 40 30 ） 00 2（ 0 0 0 0 ） 00 300 3，故选 C. - 3 - 角函数的图像与性质 3 013 北京卷 “ ” 是 “ 曲线 y x ) 过坐标原点 ” 的 ( ) A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 3 A 解析 曲线 y x ) 过坐标原点， 0， k Z，故选 A. 1 013 江苏卷 函数 y 3 2x 4 的最小正周期为 _ 1 解析 周期为 T 22 . 8 013 山东卷 函数 y x x 的图像大致为 ( ) 图 1 2 8 D 解析 f( x) x) x) (x x) f(x)， y x x 为奇函数，图像关于原点对称，排除选项 B.当 x 2 时， y 10，排除选项C； x ， y 0) 的最小正周期为 . (1)求 的值； (2)讨论 f(x)在区间 0， 2 上的单调性 16 解： (1)f(x) 4 x x 4 2 2 x x 2 2 x 2( x x) 2 2x 4 2. 因为 f(x)的最小正周期为 ，且 0 ， 从而有 22 ，故 1. (2)由 (1)知， f(x) 2 4 2. 若 0x 2 ，则 4 2x 4 54 . 当 4 2x 4 2 ，即 0x 8 时， f(x)单调递增； 当 2 2x 4 54 ，即 8 x 2 时， f(x)单调递减 综上可知， f(x)在区间 0， 8 上单调递增，在区间 8 ， 2 上单调递减 20 013 福建卷 已知函数 f(x) x )(0 ， 00 ，得 2T 2. 又曲线 y f(x)的一个对称中心为 4 ， 0 ， (0 ， )， 故 f 4 2 4 0，得 2 ，所以 f(x) x. 将函数 f(x)图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变 )后可得 y x 的图 - 5 - 像，再将 y x 的图像向右平移 2 个单位长度后得到函数 g(x) x 2 的图像，所以g(x) x. (2)当 x 6 ， 4 时， 12xx. 问题转化为方程 2x x x 在 6 ， 4 内是否有解 设 G(x) x x 2x， x 6 ， 4 ， 则 G(x) x x 2x(2 x) 因为 x 6 ， 4 ，所以 G(x)0 ， G(x)在 6 ， 4 内单调递增 又 G 6 140， 且函数 G(x)的图像连续不断，故可知函数 G(x)在 6 ， 4 内存在唯一零点 即存在唯一的 6 ， 4 满足题意 (3)方法一： 依题意， F(x) x，令 F(x) x x 0. 当 x 0，即 x k Z)时， 1，从而 x k Z)不是方程 F(x) 0 的解，所以方程 F(x) 0 等价于关于 x 的方程 a x ， xk (k Z) 现研究 x(0 ， )( ， 2 )时方程 a x 的解的情况 令 h(x) x ， x(0 ， )( ， 2 )， 则问题转化为研 究直线 y a 与曲线 y h(x)， x(0 ， )( ， 2 )的交点情况 h (x) x（ 2 1）令 h(x) 0，得 x2 或 x32 . 当 x 变化时， h(x) ， h(x)的变化情况如下表： x 0， 2 2 2 ， ， 32 32 32 ， 2 h(x) 0 0 h(x) 1 1 当 x0 且 x 趋近于 0 时， h(x)趋向于 ， 当 x 趋近于 时， h(x)趋向于 ， 当 ，直线 y a 与曲线 y h(x)在 (0， )内无交点，在 ( ， 2 )内有 2 个交点； 当 p( 1) a 1， p(1) a 1. 当 a1 时，函数 p(t)有一个零点 ( 1， 0)(另一个零点 ，舍去 )， F(x)在 (0， 2 上有两个零点 ( ， 2 )； 当 单位长度后，所得到的图像关于 y 轴对称，则 m 的最小值是 ( ) 4 B 解析 结合选项，将函数 y 3x x 2 x 3 的图像向左平移 6 个单位 得到 y 2 x 2 2x，它的图像关于 y 轴对称，选 B. 11 013 江西卷 函数 y x 2 3x 的最小正周期 T 为 _ 11 解析 y x 3(1 x) 2 2x 3 3，所以最小正周期为 . 17 013 辽宁卷 设向量 a ( 3x， x)， b (x， x)， x 0， 2 . (1)若 |a| |b|，求 x 的值； (2)设函数 f(x) ab ，求 f(x)的最大值 17 解： (1)由 |a|2 ( 3x)2 (x)2 4|b|2 (x)2 (x)2 1， 及 |a| |b|，得 41. - 7 - 又 x 0， 2 ，从而 x 12，所以 x 6. (2)f(x) ab 3x x 32 x 12x 12 2x 6 12. 当 x 3 0， 2 时， 2x 6 取最大值 1. 所以 f(x)的最大值为 32. 5 013 山东卷 将函数 y x ) 的图像沿 x 轴向左平移 8 个单位后，得到一个偶函数的图像，则 的一个可能取值为 ( ) C 0 D 4 5 B 解析 方法一：将函数 y x ) 的图像沿 x 轴向左平移 8 个单位后得到f(x) 2x 4 的图像，若 f(x) 2x 4 为偶函数，必有 4 2 ，k Z，当 k 0 时， 4. 方法二：将函数 y x ) 的图像沿 x 轴向左平移 8 个单位后得到 f(x) 2x 4 的图像，其对称轴所在直线满足 2x 4 2 ， k Z，又 f(x) 2x 4 为偶函数， y 轴为其中一条对称轴，即 4 2 ， k Z，当 k 0时， 4. 16 013 陕西卷 已知向量 a x， 12， b ( 3x， x)， x R，设函数 f(x) ab . (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在 0， 2 上的最大值和最小值 16 解： f(x) x， 12 ( 3x， x) 3x 12x 32 x 12x 6x x 6. - 8 - (1)f(x)的最小正周期为 T 2 22 ， 即函数 f(x)的最小正周期为 . (2)0x 2 ， 6 2x 6 56 . 由正弦函数的性质，当 2x 6 2 ，即 x 3 时， f(x)取得最大值 1. 当 2x 6 6 ，即 x 0 时， f(0) 12， 当 2x 6 56 ，即 x 2 时， 12， f(x)的最小值为 12. 因此， f(x)在 0， 2 上最大值是 1，最小值是 12. 5 013 四川卷 函数 f(x) 2x ) 0 ， 2b，则 AB，故 B 4. - 10 - 根据余弦定理，有 (4 2)2 52 25c 35 ， 解得 c 1 或 c 7(舍去 )， 故向量 在 方向上的投影为 |22 . 15 013 天津卷 已知函数 f(x) 2 4 6x 2x 1，x R. (1)求 f(x)的最小正周 期； (2)求 f(x)在区间 0， 2 上的最大值和最小值 15 解： (1)f(x) 2x 2x 3x x 2x 2x 2 2 4. 所以， f(x)的最小正周期 T 22 . (2)因为 f(x)在区间 0， 38 上是增函数，在区间 38 ， 2 上是减函数又 f(0) 2， 2 2， 2，故函数 f(x)在区间 0， 2 上的最大值为 2 2，最小值为 2. 17 013 新课标全国卷 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 a . (1)求 B； (2)若 b 2，求 积的最大值 17 解： (1)由已知及正弦定理得 又 A (B C)，故 C) 由 和 C(0 ， )得 . 又 B(0 ， )，所以 B 4. (2)面积 S 12 24 由已知及余弦定理得 4 2 4. 又 2 42 2，当且仅当 a c 时，等号 成立 因此 积的最大值为 2 1. 17 013 新课标全国卷 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 a . (1)求 B； (2)若 b 2，求 积的最大值 - 11 - 17 解： (1)由已知及正弦定理得 又 A (B C)，故 C) 由 和 C(0 ， )得 . 又 B(0 ， )，所以 B 4. (2)面积 S 12 24 由已知及余弦定理得 4 2 4. 又 2 42 2，当且仅当 a c 时，等号成立 因此 积的最大值为 2 1. 15 013 新课标全国卷 设 为第二象限角，若 4 12，则 _ 15 105 解析 由 4 12得 1 1 12 13 3 ， 由 1 10 1， 在第二象限， 1010 ， 3 1010 ， 105 . 20 013 重庆卷 在 ，内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且 2(1)求 C； (2)设 3 25 ， A） B） 25 ，求 的值 20 解 ： (1)因为 2 所以由余弦定理有 222 34 . (2)由题意得 （ ）（ ）25 ， 因此 ( )( ) 25 ， ( ) 25 ， A B) 25 . - 12 - 因为 C 34 ，所以 A B 4 ，所以 A B) 22 . 因为 A B) ， 即 3 25 22 . 解得 3 25 22 210. 由 得 5 4 0， 解得 1 或 4. 倍角公式 13 013 四川卷 设 ， 2 ， ， 则 的值是 _ 13. 3 解析 解法一 ： 由 ， 得 2 ， 又 2 ， ， 故 0， 于是 12， 进而 32 ， 于是 3， 21 2 （ 3）1 3 3. 解法二 ： 同上得 12， 又 2 ， ， 可得 23 ， 3 3. 20 013 重庆卷 在 ，内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且 2(1)求 C； (2)设 3 25 ， A） B） 25 ，求 的值 20 解： (1)因为 2 所以由余弦定理有 222 34 . (2)由题意得 （ ）（ ）25 ， 因此 ( )( ) 25 ， ( ) 25 ， A B) 25 . 因为 C 34 ，所以 A B 4 ，所以 A B) 22 . - 13 - 因为 A B) ， 即 3 25 22 . 解得 3 25 22 210. 由 得 5 4 0， 解得 1 或 4. 9 013 重庆卷 40 0 ( ) A. 2 B. 2 32 C. 3 D 2 2 1 9 C 解析 原式 40 00 40 0 00 20 00 2 40 30 ） 00 2（ 0 0 0 0 ） 00 300 3，故选 C. 角函数的求值、化简与证明 15 013 北京卷 在 ， a 3， b 2 6， B 2A. (1)求 的值； (2)求 c 的值 15 解： (1)因为 a 3， b 2 6， B 2A ， 所以在 ，由正弦定理得 3 2 6A. 所以 2 2 63 . 故 63 . (2)由 (1)知 63 ，所以 1 33 . 又因为 B 2A ，所以 2 1 13. 所以 1 2 23 . 在 ， B) - 14 - 5 39 . 所以 c a 5. 18 013 全国卷 设 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， (a b c)(a b c) (1)求 B； (2)若 3 14 ， 求 C. 18 解 ： (1)因为 (a b c)(a b c) 所以 由余弦定理得 12， 因此 B 120 . (2)由 (1)知 A C 60 ， 所以 C) 2 C) 2 12 2 3 14 32 ， 故 A C 30 或 A C 30 ， 因此 C 15 或 C 45 . 6 013 浙江卷 已知 R， 2 102 ， 则 ( ) C 34 D 43 6 C 解析 由 ( 2 )2 102 2得 4 4 104 52， 4 1 3 52， 2 1 31 2 52， 故 2 32 ， 所以 2 34， 选择 C. 9 013 重庆卷 40 0 ( ) A. 2 B. 2 32 C. 3 D 2 2 1 9 C 解 析 原式 40 00 40 0 00 20 00 2 40 30 ） 00 - 15 - 2（ 0 0 0 0 ） 00 300 3，故选 C. 三角形 17 013 新课标全国卷 如图 1 4 所示，在 ， 90， 3，1， P 为 一点， 90 . (1)若 12，求 (2)若 150 ，求 图 1 4 17 解： (1)由已知得， 60 ，所以 30 . 在 ，由余弦 定理得 3 14 2 3 120 A 72 . (2)设 ，由已知得 . 在 ，由正弦定理得 350 30 ） ，化简得 3 4 . 所以 34 ，即 34 . 13 013 福建卷 如图 1 4 所示，在 ，已知点 D 在 上， C ， 2 23 ， 3 2， 3，则 长为 _ 图 1 4 13. 3 解析 设 ，则 2 ， 2 23 2，所以 23 2， ，由余弦定理得 2D 3. 17 013 湖北卷 在 ，角 A， B， C 对应的边分别是 a， b， A 3 C) 1. (1)求角 A 的大小； (2)若 面积 S 5 3， b 5，求 的值 17 解： (1)由 A 3 C) 1，得 23 2 0. 即 (2 1)( 2) 0，解得 12或 2(舍去 )， - 16 - 因为 0b， 则 B ( ) 6 A 解析 由正弦定理可得到 12 因为 B(0 ， )，所以 0，所以 12，即 C) 12，则 B 6 ，故选 A. 18 013 全国卷 设 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， (a b c)(a b c) (1)求 B； (2)若 3 14 ， 求 C. 18 解 ： (1)因为 (a b c)(a b c) 所以 由余 弦定理得 12， 因此 B 120 . (2)由 (1)知 A C 60 ， 所以 C) 2 C) 2 12 2 3 14 32 ， 故 A C 30 或 A C 30 ， 因此 C 15 或 C 45 . 17 013 山东卷 设 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 a c 6， b 2， 79. (1)求 a， c 的值； (2)求 B)的值 17 解： (1)由余弦定理 2，得 (a c)2 2 - 18 - 又 b 2， a c 6， 79，所以 9， 解得 a 3， c 3. (2)在 ， 1 4 29 . 由正弦定理得 b 2 23 . 因为 a c，所以 A 为锐角， 所以 1 13. 因此 B) 10 227 . 7 013 陕西卷 设 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 ，则 形状为 ( ) A 锐角三角形 B直角三角形 C 钝角三角形 D不确定 7 B 解析 结合已知 ，所以由正弦定理代入可得 C) 1，故 A 90 ，故三角形为直角三角形 17 013 四川卷 在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 2 B2 A B) C)35. (1)求 的值； (2)若 a 4 2， b 5，求向量 在 方向上的投影 17 解： (1)由 2B2 B) C) 35，得 B) 1 B) 35， 即 B) B) 35， 则 B B) 35，即 35. (2)由 35， 0b，则 AB，故 B 4. 根据余弦定理，有 (4 2)2 52 25c 35 ， 解得 c 1 或 c 7(舍去 )， - 19 - 故向量 在 方向上 的投影为 |22 . 15 013 四川卷 设 ， 内的 n 个点，在平面 内的所有点中，若点 P 到 ， 和最小，则称点 P 为 ， 中位点 ” 例如，线 段 的任意点都是端点 A， B 的中位点则有下列命题： 若 A， B， C 三个点共线， C 在线段 ，则 C 是 A， B， C 的中位点； 直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； 若四个点 A， B， C， D 共线，则它们的中位点存在且唯一； 梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点 其中的真命题是 _ (写出所有真命题的序号 ) 15 解析 对于 ，如果中位点不在直线 ，由三角形两边之和大于第三边可知与题意矛盾而当中位点在直线 时，如果不与 C 重合，则 | | | | |不符合题意，故 C 为唯一的中位点， 正确； 对于 ，我们取斜边长为 4 的等腰直角三角形，此时，斜边中点到三个顶点的距离均为 2，和为 6；而我们取斜边上中线的中点，该点到直角顶点的距离为 1，到两底角顶点的距离均为5，显然 2 5 1 6，故该直角三角形的斜边中点不是中位点， 错误； 对于 ，当 A， B， C， D 四点共线时，不妨设他们的顺序就是 A， B， C， D，则当点 P 在 B，C 之间运动时，点 P 到 A， B， C， D 四点的距离之和相等且最小，即这个时候的中位点有无穷多个 ， 错误； 对于 ，同样根据三角形两边之和大于第三边的性质，如果中位点不在对角线的交点上，则距离之和肯定不是最小的， 正确 6 013 天津卷 在 ， 4 ， 2， 3，则 ( ) A. 1010 B. 105 010 D. 55 6 C 解析 由余弦定理得 2 9 23 2 22 5，即 5，由正弦定理得3 22， 解得 3 1010 . 17 013 新课标全国卷 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 a . (1)求 B； (2)若 b 2，求 积的最大值 17 解： (1)由已知及正弦定理得 又 A (B C)，故 C) 由 和 C(0 ， )得 . - 20 - 又 B(0 ， )，所以 B 4. (2)面积 S 12 24 由已知及余弦定理得 4 2 4. 又 2 42 2，当且仅当 a c 时，等号成立 因此 积的最大值为 2 1. 20 013 重庆卷 在 ，内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且 2(1)求 C； (2)设 3 25 ， A） B） 25 ，求 的值 20 解： (1)因为 2 所以由余弦定理有 222 34 . (2)由题意得 （ ）（ ）25 ， 因此 ( )( ) 25 ， ( ) 25 ， A B) 25 . 因为 C 34 ，所以 A B 4 ，所以 A B) 22 . 因为 A B) ， 即 3 25 22 . 解得 3 25 22 210. 由 得 5 4 0， 解得 1 或 4. 元综合 20 013 福建卷 已知函数 f(x) x )(0 ， 00 ，得 2T 2. 又曲线 y f(x)的一个对称中心为 4 ， 0 ， (0 ， )， 故 f 4 2 4 0，得 2 ，所以 f(x) x. 将函数 f(x)图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变 )后可得 y x 的图像，再将 y x 的图像向右平移 2 个单位长度后得到函数 g(x) x 2 的图像，所以g(x) x. (2)当 x 6 ， 4 时， 1
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