【备战2014】高中数学 第14讲 导数在研究函数中的应用配套课件+配套
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高中数学
14
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【备战2014】高中数学 第14讲 导数在研究函数中的应用配套课件+配套,备战,高中数学,14,导数,研究,钻研,函数,中的,应用,利用,运用,配套,课件
- 内容简介：
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1 A 第 14 讲 导数在研究函数中的应用 (时间： 45 分钟 分值： 100 分 ) 基础热身 1 函数 f(x) 31 的单调减区间为 ( ) A (2， ) B ( ， 2) C ( ， 0) D (0， 2) 2 函数 f(x) (x 3) ) A ( ， 2) B (0， 3) C (1， 4) D (2， ) 3 若函数 y f(x)的 导函数 在区间 a， b上是增函数，则函数 y f(x)在区间 a， b上的图象可能是 ( ) 图 1 4 2013 潍坊模拟 函数 f(x) 3x 9，已知 f(x)在 x 3 时取得极值，则 a ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 能力提升 5 设 a R，若函数 f(x) 3x， x R 有大于零的极值点 ，则 ( ) A a 3 B a 13 D 函数 f(x) x ln(x a)， x(0 ， ) 的单调区间 3 难点突破 16 (12 分 )已知函数 f(x) (23a)ex(x R)，其中 a R 且 a 23，求函数f(x)的单调区间与极值 4 课时作业 (十四 )B 第 14 讲 导数在研究函数中的应用 (时间： 45 分钟 分值： 100 分 ) 基础热身 1 2013 合肥质检 已知函数 f(x)的导函数的图象如图 3 所示，若 锐角三角形，则一定成立的是 ( ) 图 3 A f(f( B f(f( D f(f(1) 3 若 f(x) 12(x 2)2 (1， ) 上是减函数，则 b 的取值范围是 ( ) A 1， ) B ( 1， ) C ( ， 1 D ( ， 1) 4 设函数 f(x) 13x x0)，则 y f(x)( ) A 在区间 1e， 1 ， (1， e)内均有零点 B 在区间 1e， 1 ， (1， e)内均无零点 C 在区间 1e， 1 内有零点，在区间 (1， e)内无零点 D 在区间 1e， 1 内无零点，在区间 (1， e)内有零点 能力提升 5 2013 瑞安质检 已知函数 f( x)， g( x)分别是二次函数 f(x)和三次函数 g(x)的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图 4 所示，设函数 h(x) f(x) g(x)，则( ) 5 图 4 A h(1)bc B cab C cba D acb 9 2013 太原 三模 已知函数 f(x 1)是偶函数，且 x1 时， f( x)0，则实数 m 的取值范围是 _ 12 函数 f(x) _ 13 若函数 f(x) 2实数 _ 14 (10 分 )2013 邯郸一模 已知函数 f(x) 21a a0) 6 (1)当 a 1 时，求函数 f(x)的图象在点 A(0， f(0)处的切线方程； (2)讨论函数 f(x)的单调性 15 (13 分 )2013 朝阳二模 设函数 f(x) 2a0) (1)已知曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线 l 的斜率为 2 3a，求实数 a 的值； (2)讨论函数 f(x)的单调性； (3)在 (1)的条件下，求证：对于定义域内的 任意一个 x，都有 f(x)3 x. 难点突破 16 (12 分 )2013 吉林质检 设函数 f(x) (x 1)2 中 m 为常数 7 (1)当 m12时，判断函数 f(x)在定义域上的单调性； (2)若函数 f(x)有极值点，求实数 m 的取值范围及 f(x)的极值点； (3)当 n3 ， n N 时，证明不等式 1得 x2， 3 A 解析 因为函数 y f(x)的 导函数 y f( x)在区间 a， b上是增函数，即在区间 a， b上各点处的斜率 k 是递增的，由图易知选 A. 4 D 解析 因为 f( x) 323，且 f(x)在 x 3 时取得极值，所以 f( 3) 39 2a( 3) 3 0，解得 a 5，故选 D. 【能力提升 】 5 B 解析 f( x) 3 函数在 x R 上有大于零的极值点，即 f( x) 30 有正根当有 f( x) 3 0 成立时，由于 ，显然有 到参数 a 的范围为 成立，当 f( x)0 时， x 1，函数 f(x)为单调增函数；当 f( x)0，当 x1 时 f( x)0 得 x1e，故 f(x)的增区间为 1e， . 13. 2 23 ， 2 23 (k Z) 解析 f( x) （ 2 2 2 21（ 2 20，即 12，结合三角函数图象或单位圆中的三角函数线知道， 2 23 0 可得 x2 或 00，f（ 2） 48 当 a0， x0 时， f( x)0(2a 4)x ， f( x)1 时， (2a 4)2 416 16 (2a 4)x ，即f( x)0，此时 f(x)在 (0， ) 内单调递增 (2)当 a 1 时，对 x1 ，有 (2a 4)x ，即 f( x)0，仅仅在 x 1 处导数等于零，故函数 f(x)在 (0， ) 内单调递增 (3)当 00，即 (2a 4)x ，解得 a 2 1 0，因此，函数 f(x)在区间 (0， 2 a 2 1 a)内单调递增，在区间 (2 a 2 1 a， ) 内也单调递增，在区间 (2 a 2 1 a， 2 a 2 1 a)内单调递减 综上，当 a1 时，函数 f(x)的单调递增区间是 (0， ) ；当 023，则 22， 当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表： x ( ， a 2) a 2 (a 2， 2a) 2a ( 2a， ) f( x) 0 0 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以 f(x)在 ( ， a 2)， ( 2a， ) 内是增函数，在 (a 2， 2a)内是减函数，所以函数 f(x)在 x a 2 处取得极大值 f(a 2)，且 f(a 2) (4 3a)2；在 x 2a 处取得极小值 f( 2a)，且 f( 2a) 32a. 课时作业 (十四 )B 【基础热身】 1 A 解析 由导函数图象可知， x0 时， f( x)0，即 f(x)单调递增，又 锐角三角形，则 A B 2 ，即 2A 2 B0，故 2 B 0，即 ，故f(f(选 A. 2 C 解析 依题意，当 x1 时， f( x)0 ，函数 f(x)在 (1， ) 上是增函数 (或常数函数 )；当 x3；令 f( x). 【能力提升】 5 D 解析 取特殊值，令 f(x) 12g(x) 13 h(0)30.30，所以 cab. 9 D 解析 函数 f(x 1)是偶函数，其图象关于 y 轴对称，这个函数图象向右平移 1个单位得函数 y f(x)的图象，可得函数 y f(x)的图象关于直线 x 1 对称， x1 时，f( x)4 时， f(x)x 3)f(x 4)0，f（ x 4） x 30，f（ x 4） 3，x 44或 x 40；当x 30时， x1 ，故函数 f(x) 0， 1)， (1， e) 13. 12， 解析 f( x) 21x 2，函数 f(x)在其定义域 (0， ) 内为增函数的充要条件是 21x 20 在 (0， ) 内恒成立，即 2m 120， ) 内恒成立，由于函数 (x) 12x 1x 12 11 ，故只要 2m1 即可，即 m 12. 14 解 ： (1)a 1 时， f(x) (2x 1) f (x) (1) 于是 f(0) 1， f(0) 1， 所以函数 f(x)的图象在点 A(0， f(0)处的切线方程为 y 1 (x 0)，即 x y 10. (2)f( x) 2x 2a 21a a 2x 2a 2x 1 a 2a a0， ， 只需讨论 a 2a 的符号 当 a 2 时， a 2a 0，这时 f( x) 0，所以函数 f(x)在 ( ， ) 上为增函数 当 a 2 时， f( x) 20，函数 f(x)在 ( ， ) 上为增函数 11 当 0 a 2 时，令 f( x) 0，解得 2 2 当 x 变化时， f( x)和 f(x)的变化情况如下表： x 错误 ! 2 错误 ! 2 2 f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 f(x)在 ， 2 2 上为增函数，在 2 2 为减函数 15 解： (1)f(x)的定义域为 x|x0， f (x) 2 根据题意， f(1) 2 3a，所 以 a 22 3a， 即 2a 1 0， 解得 a 1. (2)f( x) 2a（ x 2a） 以 x 2a0， a(x 2a)0 时， 若 02a，则 a(x 2a)0， f( x)0，函数 f(x)在 (2a， ) 上单调递增 综上所述，当 ，函数 f(x)在 (0，2a)上单调递减，在 (2a， ) 上单调递增 (3)由 (1)可知 f(x) 2x. 设 g(x) f(x) (3 x)，即 g(x) 2x x 3. g (x) 1x 21 x 2（ x 1）（ x 2）x0) 当 x 变化时， g( x)， g(x)的变化情况如下表： x (0， 1) 1 (1， ) g( x) 0 g(x) 极小值 x 1 是 g(x)在 (0， ) 上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是 g(x)的最小值点 可见 g(x)最小值 g(1) 0， 所以 g(x)0 ，即 f(x) (3 x)0 ，所以对于定义域内的每 一个 x，都有 f(x)3 x. 【难点突破】 16 解： (1)函数的定义域为 (0， ) ， f (x) 2(x 1) 22x 2 x 122 m 12x (x0) 当 m12时， f( x)0 对 x(0 ， ) 恒成立， 函数 f(x)在 (0， ) 上是单调增函数 (2)由 (1)知，当 m12时，函数 f(x)在 (0， ) 上是单调增函数，没有极值点 12 当 m 12时， f( x)2 x 122x 0，函数 f(x)在 (0， ) 上是单调增函数，没有极值点 当 则 h( x) 1 1x x 1x ， 当 x1 时， h( x)0， h(x)在 (1， ) 上是增函数， n 3 时， 1h(1)， 13 即 1n 1 1n 0， n 3 时， ln(n 1) n. 综上，当 n3 ， n N 时，不等式 1n2ln(n 1) 第 14讲 导数在研究函数中的应用 双向固基础 点面讲考点 多元提能力 教师备用题 返回目录 返回目录 1了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间 (其中多项式函数一般不超过三次 ) 2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值 (其中多项式函数一般不超过三次 ) 考试大纲 知 识 梳 理 一、函数的单调性与导数 第 14讲 导数在研究函数中的应用 返回目录 双向固基础 导数到 单调性 单调递增 在间 (a， b)上，若 f(x)0，则 f(x)在这个区间上单调 _ 单调递减 在区间 (a， b)上，若 f(x)f( 二、导数的运算 返回目录 双向固基础 第 14讲 导数在研究函数中的应用 导数与 极值 极大值 函数 y f(x)在点 f( 0，若在点 侧 _，则 极小值 函数 y f(x)在点 f( 0，若在点 侧 _，则 求极值 的步骤 第一步 求函数 y f(x)的定义域和导数 f(x) 第二步 求 f(x) 0在函数定义域内的所有实根 第三步 判断 f(x)在上述各个实根两侧的符号，根据导数与极大(小 )值关系作出判断，求出极值 f(x)0 f(x)0 f(x)0 ) ，讨论 f ( x )的单调性 返回目录 点面讲考点 第 14讲 导数在研究函数中的应用 思考流程 条件： f ( x ) x 2x a (2 ln x )( a 0) ；目标：函数 f ( x ) 的单调性；方法：求出 f ( x ) ，参数 a 的范围确定导数的符号，根据导数与单调性的关系得出结论 返回目录 点面讲考点 第 14讲 导数在研究函数中的应用 解： f ( x ) 的定义域是 (0 ， ) ， f ( x ) 1 2ax 2 设 g ( x ) 2 ，二次方程 g ( x ) 0 的判别式 8. 当 80 都有f ( x )0 ，此时 f ( x ) 在 (0 ， ) 上是增函数 当 8 0 ，即 a 2 2 时，仅对 x 2 有 f ( x ) 0 ，对其余的 x 0 都有 f ( x )0 ，此时 f ( x ) 在 (0 ， ) 上也是增函数 返回目录 点面讲考点 第 14讲 导数在研究函数中的应用 当 80 ，即 a 2 2 时， 方程 g ( x ) 0 有两个不同的实根 x1a 82， x2a 82， 00 ，就需要讨论方程 2 0 的两个实根是否在定义域内，在定义域内时再讨论函数 g ( x ) 2 的值在两根左右的符号，确定函数的单调性一般地，如果是讨论二次三项式 c ( a 0) 的符号，就要根据方程 c 0 的根的判别式作为标准，结合二次函数 y c ( a 0) 图象确定各种可能情况 返回目录 点面讲考点 第 14讲 导数在研究函数中的应用 归纳总结 导数方法求函数的单调区间就是解导数大于零或者小于零的不等式，含有字母参数的函数需要分类讨论 二次三项式 c ( a 0) ，如果能够根据十字相乘法分解为 a ( x x 1 )( x x 2 ) 形式，则只要根据 x 1 ， x 2 的大小以及 a 的正负分类讨论即可，如果不能使用十字相乘法分解，则需要根据 4 大小以及 a 的正负确定分类的标准 返回目录 点面讲考点 第 14讲 导数在研究函数中的应用 变式题 2012 北京西城二模 已知函数 f ( x ) 2 11，其中 a R . (1) 当 a 1 时，求曲线 y f ( x ) 在原点处的切线方程； (2) 求 f ( x ) 的单调区间 返回目录 点面讲考点 第 14讲 导数在研究函数中的应用 解： (1) 当 a 1 时， f ( x ) 2 1， f ( x ) 2 （ x 1 ）（ x 1 ）（ 1 ）2. 由 f (0) 0 ， f ( 0) 2 ，得曲线 y f ( x ) 在原点处的切线方程是2 x y 0. (2) f ( x ) 2 （ x a ）（ 1 ）（ 1 ）2. 当 a 0 时， f ( x ) 2 x（ 1 ）2， 所以 f ( x ) 在 (0 ， ) 单调递增，在 ( ， 0) 单调递减 当 a 0 时， f ( x ) 2 a （ x a ）x 1a（ 1 ）2. 令 f ( x ) 0 ，得 a ， a. 返回目录 点面讲考点 第 14讲 导数在研究函数中的应用 当 a 0 时， f ( x ) 与 f ( x ) 的情况如下： x ( ， ) f ( x ) 0 0 f ( x ) f ( f ( 故 f ( x ) 的单调减区间是 ( ， a ) ，1a， ；单调增区间是 a ，1a. 返回目录 点面讲考点 第 14讲 导数在研究函数中的应用 当 a 0 时， f ( x ) 在 ( ， a ) ，1a， 单调递减，在 a ，1a 0 时， f ( x ) 在 (0 ， ) 单调递增，在 ( ，0) 单调递减； a 0 ， 10 ，f （ 1 ） 3 2 （ 1 a ） a （ a 2 ） 0 ，即4 4 a 10 ， 20 ，4 a 50 ) ， 所以 F ( x ) 2 x 2 （ a ）x. 当 a 0 ，且 a 0 ， 所以 F ( x )0 对 x 0 恒成立， 所以 F ( x ) 在 (0 ， ) 上单调递增， F ( x ) 无极值； 当 a 0 时，令 F ( x ) 0 ，解得 a ， a ( 舍 ) ， 所以当 x 0 时， F ( x ) ， F ( x ) 的变化情况如下表： x (0 ， a ) a ( a ， ) F ( x ) 0 F ( x ) 极小值 所以当 x a 时， F ( x ) 取得极小值，且 F ( a ) ( a )2 1 2 a ln a a 1 a ln a . 综上，当 a 0 时，函数 F ( x ) 在 x a 处取得极小值 a 1 a ln a . 探究点三 函数的单调性与极值的综合问题 返回目录 点面讲考点 第 14讲 导数在研究函数中的应用 例 4 2013 福建四地六校月考 已知函数 f ( x ) ex，g ( x ) ln x . (1) 若曲线 h ( x ) f ( x ) e x ( a R ) 在点 (1 ， h (1) )处的切线垂直于 y 轴，求函数 h ( x ) 的单调区间； (2) 若函数 F ( x ) 1 g ( x )( a R ) 在区间 (0 ， 2) 上无极值，求实数 a 的取值范围 返回目录 点面讲考点 第 14讲 导数在研究函数中的应用 解： (1) h ( x ) f ( x ) e x e x ( a R ) ， h ( x ) 2 e. 又 曲线 h ( x ) 在点 (1 ， h (1) ) 处的切线垂直于 y 轴， k h ( 1) 2 a . 由 k 2 a 0 得 a 0 ， h ( x ) e x ， h ( x ) e. 令 h ( x ) e0 得 x 1 ， 令 h ( x ) e 0) ， F ( x ) 1xa 当 a 0 时，在区间 (0 ， 2) 上 F ( x ) a 时，令 F ( x ) a 0 得 x a ， 当 x 变化时， F ( x ) 和 F ( x ) 的变化情况如下表： x (0 ， a ) a ( a ， ) F ( x ) 0 F ( x ) 单调递增 极大值 单调递减 返回目录 点面讲考点 第 14讲 导数在研究函数中的应用 函数 F ( x ) 在 x a 处有极大值， 要使函数 F ( x ) 在区间 (0 ， 2) 上无极值，只需 a 2 ， 综合 所述，实数 a 的取值范围为 ( ， 0 2 ， ) 返回目录 点面讲考点 第 14讲 导数在研究函数中的应用 归纳总结 可导函数的极值点是单调区间的分界点，求解函数极值时要与函数的单调性一起解决 思想方法 6 分类讨论思想研究单调性和极值问题中的应用 返回目录 多元提能力 第 14讲 导数在研究函数中的应用 例 已知 a R ，讨论函数 f ( x ) a 1) 的单调性和极值点的个数 分析 根据参数 a 的取值，讨论 f ( x ) 的导数的符号以及变号零点的个数，即可得出函数的单调性和极值点的个数 返回目录 多元提能力 第 14讲 导数在研究函数中的应用 解： f ( x ) a 1) x a ) ( a 2) x (2 a 1) ， 令 f ( x ) 0 得 ( a 2) x (2 a 1) 0. (1) 当 ( a 2)2 4(2 a 1) 4 a a ( a 4 )0 ，即a 4 时， ( a 2) x (2 a 1) 0 有两个不同的实根 （ a 2 ） 4 （ a 2 ） 4 于是 f ( x ) x x ，从而有下表： x ( ， ) f ( x ) 0 0 f ( x ) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 即此时函数 f ( x ) 在 ( ， ， ( ) 上单调递增，在 ( 单调递减，函数 f ( x ) 有两个极值点 返回目录 多元提能力 第 14讲 导数在研究函数中的应用 (2) 当 0 ，即 a 0 或 a 4 时，方程 ( a 2) x (2 a 1) 0 有两个相同的实根 于是 f ( x ) x 0 恒成立，函数 f ( x ) 在 ( ， )单调递增，函数 f ( x ) 无极值点 (3) 当 0 ， f ( x ) ( a 2) x (2 a 1)0 ， 故 f ( x ) 在 ( ， ) 上单调递增，函数 f ( x ) 无极值点 返回目录 多元提能力 第 14讲 导数在研究函数中的应用 综上，当 a 4 或 a 0) ， f ( x ) 1x a a 1 x a 1 x 0) ， 令 h
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