【备战2014】高中数学 第39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系配套课件+配套训练 理（打包2套）新人教B版
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备战
高中数学
39
空间
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【备战2014】高中数学 第39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系配套课件+配套训练 理（打包2套）新人教B版,备战,高中数学,39,空间,直线,平面,之间,位置,关系,瓜葛,配套,课件,训练,打包,新人
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1 第 39 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 (时间： 45 分钟 分值： 100 分 ) 基础热身 1 平面 l，直线 m ，直线 n ，则 m， n 的位置关系是 ( ) A 异面 B 平行 C 相交 D 无法确定 2 2013 济南一模 平行六面体 与 面也与 ) A 3 B 4 C 5 D 6 3 下列说法正确的是 ( ) A 若 a ， b ，则 a 与 b 是异面直线 B 若 a 与 b 异面， b 与 c 异面， 则 a 与 c 异面 C 若 a， b 不同在平面 内，则 a 与 b 异面 D 若 a， b 不同在任何一个平面内，则 a 与 b 异面 4 2013 四川卷 下列命题正确的是 ( ) A l3 l3D 能力提升 5 下列命 题： (1)公理 1 可结合符号叙述为：若 A l， B l，且 A ， B ，则必有 l ； (2)四边形的两条对角线必相交于一点； (3)用平行四边形表示平面，以平行四边形的四条边作为平面的边界线； (4)梯形是平面图形 . 其中正确命题 的个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 6 2013 济宁一模 已知空间中有三条线段 么直线 位置关系是 ( ) A 面 C 交 D 面或 交 2 7 在空间四边形 ， M， N 分别是 中点，设 2a，则 a 的大小关系是 ( ) A MNa B a C MNa D 不能确定 8 2013 太原二模 已知 a， b， c， d 是空间四条直线，如果 a c， b c， a d， b d，那么 ( ) A a b 且 c d B a， b， c， d 中任意 两条可 能都不平行 C a b 或 c d D a， b， c， d 中至多有一对直线互相平行 9 已知异面直线 a， b 分别在平面 ， 内，且 c，那么直线 c 一定 ( ) A 与 a， b 都相交 B 只能与 a， b 中的一条相交 C 至少与 a， b 中的一条相交 D 与 a， b 都平行 10 在空间，与边长 均为 3 三个顶点距离均为 1 平面共有 _ 11 2013 杭州一模 已知 a， b 为不垂直的异面直线， 是一个平面，则 a， b 在 上的射影可能是： 两条平行直线； 两条互相垂直的直线； 同一条直线； 一条直线及其外一点，则在上面的结论中，正确结论的编号是 _(写出所有正确结论的编号 ) 12 在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何体的 4 个 顶点，这些几何体是 _ (写出所有正确结论的编号 ) 矩形； 不是矩形的平行四边形； 有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； 每个面都是等边三角形的四面体； 每个面都是直角三角形的四面体 13 一个正方体纸盒展开后如图 1 所示，在原正方体纸盒中有如下结论： 成的角为 60 ； 异面直线； 以上四个命题中，正确命题的序号是 _ 图 1 14 (10 分 )如图 2，已知平面 ， ，且 ， ， l 共点 (相交于一点 ) 图 2 3 4 15 (13 分 )已知平面 ， ， 两两相交于直线 ，求证： 难点突破 16 (12 分 )2013 成都一模 正方 体 (1)求 成角的大小； (2)若 E， F 分别为 中点，求 F 所成角的大小 5 课时作业 (三十九 ) 【基础热身】 1 D 解析 如图，可知三种关系都有可能 2 C 解 析 如图，与 面也与 D， 5 条 3 D 解析 由异面直线的定义可知选 D. 4 B 解析 对于 A，直线 于 C，直线 于 D，直线 所以选 B. 【能力提升】 5 A 解析 对于 (1)注意到直线是点集，平面也是点集，当直线在平面上时，直线是平面的真子集，应表示为 l ，而不应表示成 l ，所以 (1)不正确； 对于 (2)，当四边形是平面图形时，两条对角线 必相交于一点，当四边形的四个顶点不共面时 ，两条对角线是不能相交的，所以 (2)不正确； 对于 (3)，平面是可以无限延伸的，用平行四边 形表示的平面同样是无限延伸的，平行四边形的边并不表示平面的边界，所以 (3)不正确； 对于 (4)，梯形的两底是两条平行线，它们可唯一确定一个平面，由于腰的两个端点均在该平面上，故腰也在这个平面上，即梯形的四边共面，所以梯形是平面图形，所以 (4)正确 6 D 解析 若三条线段共面，如果 成等腰三角形，则直线 则直线 不共面，则直线 异面直线，故选 D. 7 C 解析 取 点 E，则 12 12 2( 2a，在 ， E . 8 C 解析 若 a 与 b 不平行，则存在平面 ，使得 a 且 b ，由 a c， b c，知 c ，同理 d ，所以 c d.若 a b，则 c 与 d 可能平行，也可能不平行结合各选项知选 C. 9 C 解析 若 c 与 a， b 都不相交，则 c 与 a， b 都平行根据公理 4，则 a b，与a， b 异面矛盾 10 8 个 解析 适合条件的平面分两类：第一类，点 A， B， C 在平面的同侧，有 2个；第二类，点 A， B， C 在平面的异侧 (平面过 中位线 )，有 6 个，共有 8 个 11 解析 、 、 对应的情况如下： 用反证法证明 不可能 12 解析 分两种情况： 4 个顶点共面时，几何体一定是矩形； 4 个顶点不共面时， 都有可能 13 解析 把正方体的平面展开图还原成原来的正方体如图 所示，则 F 与 异面直线， 有 正确 6 14证明： 梯形 ， 梯形 两腰， 定相交于一点 设 M, 又 ， ， M ，且 M ， M . 又 l， M l, 即 l 共点 15 证明：如图所示， P, P 又 ， P . 又 ， P . P 点 P. 【难点突破】 16 解： (1)如图所示，连接 知 从而 成的角就是 成的角 60 . 即 成的角为 60 . (2)如图所示，连接 E， F 分别为 中点， 即 F 所成的角为 90 . 7 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 双向固基础 点面讲考向 多元提能力 教师备用题 返回目录 返回目录 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 公理 2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 考试大纲 知 识 梳 理 一、平面的基本性质及其推论 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 返回目录 双向固基础 名称 图示 文字表示 符号表示 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 A l， B l，且 A ，B ，则_ 公理 2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 l 返回目录 双向固基础 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 名称 图示 文字表示 符号表示 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P ，且 P ，则 _ l， 且 P l 注：公理 2有以下三个推论： 返回目录 双向固基础 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 名称 内容 图形 数学语 言表示 作用 推论 1 经过 _，有且只有一个平面 若 Al，则点 确定平面；证明点、线共面 推论 2 经过 _直线有且只有一个平面 若 ab P，则a与 ，使 a，b 推论 3 经过两条 _有且只有一个平面 若 a b，则 ，使a， b 一条直线和 直线外一点 两条相交 平行直线 返回目录 双向固基础第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 二、线线、线面、面面位置关系 1 直线与直线的位置关系 (1) 位置关系的分类 共面直线， 同在 一个平面内(2) 异面直线所成的角 定义：设 a ， b 是两条异面直线，经过空间任一点 a a ， b b ，把 a 与 b 所成的 _ 叫做异面直线 a ， b 所成的角 ( 或夹角 ) 范围： _ (3) 平行公理：平行于 _ 的两条直线互相平行 (4) 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 _ . 平行 相交 任何 锐角或直角 同一条直线 相等或互补 0，2 2 直线与平面的位置关系 返回目录 双向固基础 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 位置关系 图示 符号表 示 公共点个 数 直线 面 内 _ _ 直线 面 相交 _ _ 直线 面 平行 _ _ l 无数个 l A 一个 l 0个 返回目录 双向固基础 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 位置关系 图示 符号表示 公共点个数 两平面 平行 _ _ 两平面 相交 _ _(这些公共点均在交线 0个 l 无数个 疑 难 辨 析 返回目录 双向固基础 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面的基本性质 (1) 空间中不同三点确定一个平面 ( ) (2) 空间中两两相交的三条直线确定一个平面 ( ) (3) 一条直线和一个点能确定一个平面 ( ) (4) 梯形一定是平面图形 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 返回目录 双向固基础 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 解析 (1) 空间中不共线的三点确定一个平面 (2) 空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面 (3) 经过直线和直线外一点确定一个平面 (4) 梯形一定是平面图形显然成立，故正确 返回目录 双向固基础 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 2 空间直线关系 (1) 已知 a ， b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a ，那么 c 与 b 不可能是平行直线 ( ) (2) 若 a b ， b c ，则 a c .( ) (3) 若 a 与 b 相交， b 与 c 相交，则 a 与 c 相交 ( ) (4) 若 a ， b 与 c 成等角，则 a b . ( ) 答案 (1) (2) (3 ) (4) 返回目录 双向固基础 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 解析 ( 1 ) 由已知直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为相交直线， 但不可能为平行直线，因为若 b c ，则 a b ，与已知 a ， b 为异面直线相矛盾 . ( 2 ) 由平行公理知正 确 ( 3 ) 当 a 与 b 相交， b 与 c 相交时， a 与 c 可以相交、平行，也可以异面，故 ( 3 ) 不正 确 ( 4 ) 当 a ， b 与 c 成等角时， a 与 b 可以相交、平行，也可以异面，故 ( 4 ) 不正 确 返回目录 双向固基础 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 3 平行公理与等角定理 (1) 平行于同一条直线的两条直线互相平行 ( ) (2) 如果两个角的两边分别对应平行且方向相同，那么这两个角相等或互补 ( ) (3) 空间四边形 中， E ， F ， G ， H 分别是 中点，则四边形 平行四边形 ( ) 答案 (1) (2) (3 ) 返回目录 双向固基础 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 解析 (1) 由公理 4 可推导其正确 (2) 当两角两边方向分别相同时，这两个角相等 (3) 易证 故四边形 是平行四边形 说明： 考频分析 2012年课标地区真题卷情况 返回目录 点面讲考向 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 考点统计 题型 (考频 ) 题型示例 (难度 ) 0 解答 (1) 2012年陕西) 解答 (1) 2012年天津) 探究点一 平面的基本性质及其应用 返回目录 点面讲考向 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 例 1 (1) 2012 兰州一模 正方体 ， Q ， R 分别是 么，正方体的过P ， Q ， R 的截面 图形是 ( ) A 三角形 B 四边形 C 五边形 D 六边形 返回目录 点面讲考向 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 (2) 如图 7 39 1 ， l ， A ， B ， C ，且 C l ，直线 l M ，过 A ， B ， C 三点的平面记作 ，则 与 的交线必通过 ( ) 图 7 39 1 A 点 A B 点 B C 点 C 但不过点 M D 点 C 和点 M 返回目录 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 点面讲考向 思考流程 ( 1 ) 分析：理解截面含义；推理：过正方体棱上的点 P ， Q ， R 的截面要和正方体的每个面有交线；结论：截面为六边 形 ( 2 ) 分析：理解平面的基本性质；推理：根据三个公理进行推断；结论：结合公理 3 得出结 论 答案 (1)D (2) D 返回目录 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 解析 (1) 如图所示，作 ，连接 B 延长线交于 M ，连接 ，连 接 截面的部分外形 同理设 长线交 长线于 N ，连接 连接 截面为六边形 G R E . 点面讲考向 返回目录 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 (2) ， M M . 又 l ， M l ， M . 根据公理 3 可知， M 在 与 的交线上， 同理可知，点 C 也在 与 的交线上 . 点面讲考向 归纳总结 公理 1的作用： (i)检验平面 (断直线在平面内 (直线在平面内判断直线上的点在平面内 公理 2的作用：确定平面的依据 ， 它提供了把空间问题转化为平面问题的条件 公理 3的作用： (i)判定两平面相交 (两相交平面的交线 (明多点共线 画几何体的截面 ， 关键是画截面与几何体各面的交线 ，此交线只需两个公共点即可确定 作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件 ， 可以更快地确定交线的位置 返回目录 点面讲考向 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 返回目录 点面讲考向 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 变式题 (1) 不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定 _ 个平面；若相交于两点，最多能确定 _个平面；若相交于三点，最多能确定 _ 个平面 (2) 如图 7 39 2 所示是正方体和正四面体， P ， Q ， R ，S 分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是 _ 图 7 39 2 答案 (1)3 2 1 (2) 返回目录 点面讲考向 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 解析 (1) 三条直线相交于一点，最多可确定 3 个平面，如 图 ；三条直线相交于两点，最多可确定 2 个平面，如图 ；三条直线相交于三点，最多可确定 1 个平面，如图 . 返回目录 点面讲考向 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 (2) 在图 中，可证 Q 点所在棱与面 行，因此， P ，Q ， R ， S 四点不共面可证 中四边形 梯形； 中可证四边形 S 为平行四边形； 中如图所示取 ， N 可证明 S 为平面图形，且 探究点二 空间两条直线的位置关系 返回目录 点面讲考向 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 例 2 (1) 2 012 长春一模 在图 7 39 3 中， G ， N ，M ， H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 异面直线的图形有 _ ( 填上所有正确答案的序号 ) 图 7 39 3 返回目录 点面讲考向 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 (2) 2012 安徽卷 若四面体 三组对棱分别相等，即 则 _ _( 写出所有正确结论的编号 ) 四面体 每组对棱相互垂直； 四面体 每个面的面积相等； 从四面体 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90 而小于 18 0 ； 连接四面体组对棱中点的线段相互垂直平分； 从四面体 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 返回目录 点面讲考向 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 思考流程 ( 1 ) 分析：理解空间两条直线的位置；推理：根据异面直线的定义和判断方法；结论：结合图形得出结 论 ( 2 ) 分析：理解四面体的特征；推理：根据四面体三组对棱分别相等分析判断；结论：对每种说法做出判 断 答案 (1) (2 ) 返回目录 点面讲考向 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 解析 ( 1 ) 图 中，直线 图 中， G ， H ， N 三点共面，但 M 面 因此直线 面；图 中，连接 因此 面；图 中， G ， M ， N 共面，但 H 面 ，因此 面所 以图 ， 中 返回目录 点面讲考向 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 (2) 如图，把四面体 放入长方体中，由长方体中相对面中相互异面的两条面对角线不一定相互垂直可知 错误；由长方体中 可知四面体 每个面的面积相等，同时四面体 过同一顶点的三个角之和为一个三角形的三个内角之和，即为 180 ，故 正确， 错误；长方体中相对面中相互异面的两条面对角线中点的连线相互垂直，故 正确；从四面体 每个顶点出发的三条棱可以移到一个三角形中，作为一个三角形的三条边，故 正确答案为 . 归纳总结 判断两直线为异面直线的方法： 定义法 (不易操作 ) 反证法：先假设两条直线不是异面直线 ，即两直线平行或相交 ， 由假设的条件出发 ，经过严密的推理 ， 导出矛盾 ， 从而否定假设 ，肯定两条直线异面 返回目录 点面讲考向 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 返回目录 点面讲考向 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 变式题 201 1 武汉模拟 如果两条异面直线称为“ 一对 ” ，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线 ( ) A 12 对 B 24 对 C 36 对 D 48 对 答案 B 返回目录 点面讲考向 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 解析 如图所示，与 面的直线有 为各棱具有相同的位置且正方体共有 12 条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线12 42 24( 对 ). 探究点三 异面直线所成角的计算 返回目录 点面讲考向 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 例 3 (1) 2012 四川卷 如图 7 39 4 所示，在正方体 M ， N 分别是棱 异面直线 成的角的大小是 _ 图 7 39 4 返回目录 点面讲考向 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 (2) 2012 武汉一模 如图 7 39 5 ，矩形 中， 2 ， 4 ，将 A 对角线 起到 A 位置，使点 A 在平面 的射影点 O 恰好落在 上，则异面直线 A B 与 成角的大小为 _ 图 7 39 5 答案 (1)90 (2)90 返回目录 点面讲考向 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 解析 ( 1 ) 因为 1， 即 平面 1M ， 而在正方形 2， 可知 由三垂线定理可知， ( 2 ) 如题图所示，由 A O 平面 ，可得平面A 平面 . 又由 得 平面 A A B ，即得异面直线 A B 与 成角的大小为 90 . 归纳总结 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点 (线段的端点或中点 )作平行线平移；补形平移计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行 返回目录 点面讲考向 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 返回目录 点面讲考向 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 变式题 2012 郑州一模 如图 7 39 6 所示，在三棱柱 底面 90 ，点 E ， F 分别是棱 直线 ( ) A 45 B 60 C 90 D 120 图 7 39 6 答案 B 返回目录 点面讲考向 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 解析 连接 知 连接 ，取 中点 H ，连接 则 设 a ，连接 在三角形 ，易知 2a ，故所求的两直线所成的角的大小为 60 . 易错究源 16 忽视两异面直线夹角范围致误 返回目录 多元提能力 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 例 如图 7 39 7 ，在棱长为 1 的正方体 M ， N ， 图 7 39 7 P 分别为 异面直线 M ， 成的角的余弦值为 _ 返回目录 多元提能力 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 错解 连接 由 N ， P 为 N 而 故 成的角为 成的角 易证 所以 故 成的角为2，其余弦值为 0. 设 中点为 Q ，连接 则 又 从而 成的角就是 易求得 52， 62. 在 ，由余弦定理得 25， 故 成的角的余弦值为25或者25. 返回目录 多元提能力 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 错因 异面直线所成角的范围是 0 ，2，从而 成的角就是 者是其补角； 在利用余弦定理求异面直线所成角时，若出现角的余弦值为负值，错误地得出异面直线所成的角为钝角，此时应转化为正值求出相应的锐角才是异面直线所成的角 返回目录 多元提能力 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 正解 连接 由 N ， P 为 N 而 故 成的角为 成的角 易证 所以 故 成的角为2，其余弦值为 0. 又设 中点为 Q ，连接 则 又 从而 成的角就是 或其补角 ) 易求得 52， 62. 在 ，由余弦定理得 25， 故 成的角的余弦值为25. 返回目录 多元提能力 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 自我检评 已知 A 是 面外的一点， E ， F 分别是 中点 (1) 求证：直线 异面直线； (2) 若 求 成的角 返回目录 多元提能力 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 解： ( 1 ) 证明：假设 是异面直线，则 面，从而 B E 共面，即 面，所以 A ， B ， C ， 与 A 是平面 的一点相矛盾，故直线 D 是异面直 线 返回目录 多元提能力 第 39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 (2) 如图所示，取 中点 G ，连接 则 所以相交直线 成的角即为异面直线 成的角 由 E ， F ， G 分别为各边中点得 90 ， 故得 45 ， 即异面直线 成的角为 45 . 【 备选理由 】 例 1综合考查了平面的基本性质，对应上面例题形成补充；例 2和例 3考查了异面直线的判断与异面直线所成的角 返回目录 教师备用
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