【备战2015】高考数学 热点题型和提分秘籍 专题 理（含解析）（打包20套）
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【备战2015】高考数学 热点题型和提分秘籍 专题 理（含解析）（打包20套）,备战,高考,数学,热点,热门,题型,以及,秘籍,专题,解析,打包,20
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- 1 - 专题 01 集合的概念与运算 【高频考点解读】 素与集合的 “ 属于 ” 关系 形语言、集合语言 (列举法或描述法 )描述不同的具体问题 识别给定集合的子集 解全集与空集的含义 求两个简单集合的并集与交集 求给定子集的补集 表达集合的关系及运算 . 本关系 与基本运算为主，题目简单、易做，大多都是送分题 造新情境，尽可能做到灵活多样，甚至进行一些小综合，比如新定义题目，与方程、不等式、函数、数列等内容相联系的题目出现 多都是试卷的第 1 题 . 【热点题型】 题型一 考查集合的基本概念 例 1、已知集合 A 1,3， m， B 1， m， A B A，则 m ( ) A 0 或 3 B 0 或 3 C 1 或 3 D 1 或 3 【提分秘籍】 (1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么 . 集合 x|f(x) 0 x|f(x)0 x|y f(x) y|y f(x) (x ， y)|y f(x) 集合的 意义 方程 f(x) 0 的解集 不 等 式 f(x)0 的解集 函数 y f(x) 的定义域 函数 y f(x) 的值域 函数 y f(x) 图象上的点集 (2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后 ，要注意检验集合是否满足互异性 【举一反三】 - 2 - 已知集合 A 1,2,3,4,5， B (x， y)|x A， y A， x y A，则 B 中所含元素的个数为 ( ) A 3 B 6 C 8 D 10 【热点题型】 题型二 集合与集合的基本关系 例 2、 已知集合 A x|x 2 0， B x| 1 x 1，则 ( ) A A B B B A C A B D A B 【解析】 A x|x 2 0 x| 1 x 2， B x| 1 x 1， 所以 B A. 【答案】 B 【提分秘籍】 (1)判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系 (2)若两个集合相等，首先分析已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等，有几种情况等，然后列方程组求解，要注意挖掘题目中的隐含条件 (3)易错警示： 利用数形结合思想处理集合与集合之间的关系时，要注意数轴端点是实心还是空心 题目中若有条件 BA，则应分 B 和 B 两种情况讨论 【举一反三】 已知集合 A x|3x 100 ， 若 BA， B x|m 1 x2 m 1，则实数 m 的取值范围 _ 【解析】 由 A x|3x 100 ， 得 A x| 2 x5 ， BA， 若 B ， 则 m 1 2m 1， - 3 - 即 m 2，此时满足 BA. 若 B ，如图， 则 m 12 m 1， 2 m 1，2m 1 m3. 由 得， m 的取值范围是 ( ， 3 【答案】 ( ， 3 【热点题型】 题型三 集合的基本运算 例 3、设全集是实数集 R， A x|27x 30 ， B x| D x|04，可得答案为 C. 19（ 2013 湖南卷） 设函数 f(x) 中 ca0， cb0. (1)记集合 M (a， b， c)|a， b， c 不能构成一个三角形的三条边长，且 a b，则 (a， b，c)M 所对应的 f(x)的零点的取值集合为 _； (2)若 a， b， c 是 三条边长，则下列结论正确的是 _ (写出所有正确结论的序号 ) ， 1)， f(x)0； ，使 若 A 钝角三角形，则 ， 2)，使 f(x) 0. 20（ 2013 江苏卷） 集合 1， 0， 1共有 _个子集 【答案】 8 【解析】集合 1， 0， 1共有 3 个元素，故子集的个数为 8. 21（ 2013 江西卷） 已知集合 M 1， 2， i 为虚数单位， N 3， 4， MN 4，则复数 z ( ) - 10 - A 2i B 2i C 4i D 4i 【答案】 C 【解析】 4i，故选 C. 22（ 2013 辽宁卷） 已知集合 A x|0 2， T x|3x 40 ，则 (T ( ) A ( 2， 1 B ( ， 4 C ( ， 1 D 1， ) 30（ 2013 重庆卷） 对正整数 n，记 1， 2， ， n， mI n， kI n ) (1)求集合 (2)若 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称 A 为 “ 稀疏集 ” ，求 n 的最大值，使 - 12 - 【随堂巩固】 1已知集合 A (x， y)|x， y 是实 数，且 1， B (x， y)|x， y 是实数，且 y x，则 A B 的元素个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 2设集合 Ax 1 ， B y|y 则 A B ( ) A 2,2 B 0,2 C 0， ) D ( 1,1)， (1,1) 解析 A x| 2 x2 ， B y|y0 ， A B x|0 x2 0,2 答案 B - 13 - 3设集合 A x|13 或 xR ， B y|y 2xR ，则 ( B ( ) A x| 1 x1 B x|x0 C x|0 x1 D 解析 x| 1 x1 ， B y|y0 ， ( B x|0 x1 答案 C 7设集合 A 1,1,3， B a 2， 4， A B 3，则实数 a _. 解析 3 B，又 44 ， a 2 3， a 1. 答案 1 8设全集 I a， b， c， d，集合 A a， b， B b， c， d，则 ( _. 解析 依题意得知， c， d， a， ( a， c， d 答案 a， c， d 9给定集合 A，若对于任意 a， b A，有 a b A，且 a b A，则称集合 A 为闭集合，给出如下三个结论： 集合 A 4， 2,0,2,4为闭集合； 集合 A n|n 3k， kZ 为闭集合； 若集合 - 14 - 其中正确结论的序号是 _ 10已知集合 Ax 6x 11 ， xR ， B x|2x m0，若 A B x| 1x4，则实数 m 的值为 _ 11设 A x|8x 15 0， B x|1 0 (1)若 a 15，试判定集合 A 与 B 的关系； (2)若 BA，求实数 a 组成的集合 C. C 0， 13， 15 . 12若集合 A 1,3，集合 B x|b 0，且 A B，求实数 a， b. 13已知集合 A 4,2a 1， B a 5,1 a,9，分别求适合下列条件的 a 的值 - 15 - (1)9( A B)； (2)9 A B. - 1 - 专题二 命题与量词、基本逻辑联结词 【高频考点解读】 1理解命题的概念 若 p，则 q” 形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系 3理解必要条件、充分条件与充要条件的意义 . 【热点题型】 题型一 四种命题及其真假判断 【例 1】 有下列几个命题： “ 若 ab，则 a2的否命题； “ 若 x y 0，则 x， y 互为相反数 ” 的逆命题； “ 若 d” 是 “ ab 且 cd” 的 ( ) A充分不必要条件 B既不充分也不必要条件 C充分必要条件 D必要不充分条件 【热点题型】 题型三 充要条件的应用 【例 3】 已知 P x|8x 200 ， S x|1 m x1 m (1)是否存在实数 m，使 x P 是 x S 的充要条件，若存在，求出 m 的范围； (2)是否存在实数 m，使 x P 是 x S 的必要条件，若存在，求出 m 的范围 【解析】 (1)由 8x 200 得 2 x10 ， P x| 2 x10 ， - 3 - x P 是 x S 的充要条件， P S. 1 m 2，1 m 10， m 3，m 9， 这样的 m 不存在 【提分秘籍】 解决与充要条件有关的参数问题的方法：解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解 【举一反三】 “ x3 ， a” 是 “ 不等式 25x 30 成立 ” 的一个充分不必要条件，则实数 a 的 取值范围是 ( ) A a0 B 高考风向标】 1（ 2014 安徽卷） “ x 0” 是 “x 1) 0” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】 ln(x 1)1” 是 “ 递增数列 ” 的 - 4 - ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】 D 【解析】当 ，数列 减；当 是 “ a|a|b|b|” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 7（ 2014 浙江卷）已知 i 是虚数单位， a， b R，得 “ a b 1” 是 “( a 2i” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8（ 2014 重庆卷）已知命题 p：对任意 x R，总有 2x0， q： “ x1” 是 “ x2” 的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是 ( ) A p q B綈 p 綈 q C綈 p q D p 綈 q 9（ 2013 安徽卷） “a0” 是 “ 函数 f(x) |(1)x|在区间 (0， ) 内单调递增 ” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 - 6 - 10（ 2013 北京卷） “ ” 是 “ 曲线 y x ) 过坐标原点 ” 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】 曲线 y x ) 过坐标原点， 0， k Z，故选 A. 11（ 2013 福建卷）已知集合 A 1， a， B 1， 2， 3，则 “a 3” 是 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】当 a 3 时， A 1， 3， ；当 时， a 2 或 a 3，故选 A. 12（ 2013 湖北卷）在一次跳伞中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题 p 是 “ 甲降落在指定范围 ” ， q 是 “ 乙降落在指定范围 ” ，则命题 “ 至少有一位学员没有降落在指定范围 ” 可表示为 ( ) A ( p)( q) B p( q) C ( p)( q) D pq 13（ 2013 山东卷）给定两个命题 p， q，若 p 是 q 的必要而不充分条件，则 p 是 q 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 - 7 - C充要条件 D既不充分也不必要条件 14（ 2013 陕西卷）设 a， b 为向量，则 “| ab| |a|b|” 是 “ab ” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 15（ 2013 天津卷）已知下列三个命题： 若一个球的半径缩小到原来的 12，则其体积缩小到原来的 18； 若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； 直线 x y 1 0 与圆 12相切 其中真命题的序号是 ( ) A B C D 16（ 2013 浙江卷）已知函数 f(x) x ) (A0， 0 ， R)，则 “f(x) 是奇函数 ” 是 “ 2 ” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【随堂巩 固】 - 8 - 1命题 “ 若 x1，则 x0” 的否命题是 ( ) A若 x1，则 x0 B若 x1 ，则 x0 C若 x1 ，则 x0 D若 的解集分别为 P， Q，则 Q 的充分必要条件，其中正确的命题是 ( ) A B C D 7若 “ ” 是 “ 4 ” 是 “ 一元二次不等式 c0 的解集为 R” 的充要条件； “ x1” 是 “ ” 的充分不必要条件； “ x0” 是 “ x |x|0” 的必要不充分条件 答案： 10已知集合 Ax 120)的最小值为 4； 函数 f(x) 0， 23 上单调递减； 其中真命题的序号是 _ 12写出命题 “ 已知 a， b R，若关于 x 的不等式 b0 有非空解集，则 b” 的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假 13已知集合 A y y 32x 1， x 34， 2 ， B x|x 若 “ x A” 是“ x B” 的充分条件，求实数 m 的取值范围 解析： y 32x 1 x 34 2 716， x 34， 2 ， 716 y2 ， Ay 716 y2 . 由 x ，得 x1 B x|x1 “ x A” 是 “ x B” 的充分条件， AB， 1 716， 解得 m 34或 m 34， 故实数 m 的取值范围是 ， 34 34， . - 12 - 14已知 p： |x 3|2 ， q： (x m 1)(x m 1)0 ，若綈 p 是綈 q 的充分而不必要条件，求实数 m 的取值范围 15设 条件 p： 23x 10 ，条件 q： (2a 1)x a(a 1)0 ，若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围 16已知集合 M x| P x|(x a)( x 8)0 (1)求 M P x|5x8 的充要条件； (2)求实数 a 的一个值，使它成为 M P x|5x8 的一个充分但不必要条件 解： (1)由 M P x|5x8 ，得 3 a5 ，因此 M P x|5x8 的充要条件是3 a5 ； (2)求实数 a 的一个值，使它成为 M P x|5x8 的一个充分但不必要条件，就是在集合 a| 3 a5 中取一个值，如取 a 0，此时必有 M P x|5x8 ；反之， M P x|5x8未必有 a 0，故 a 0 是 M P x|5x8 的一个充分不必要条件 17判断命题 “ 若 a0 ，则 x a 0 有实根 ” 的逆否命题的真假 - 13 - - 1 - 专题三 充分条件、必要条件与命题的四种形式 【高频考点解读】 或 ” 、 “ 且 ” 、 “ 非 ” 的含义 【热点题型】 题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 【例 1】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次设命题 p 是 “ 甲降落在指定范围 ” ， q 是 “ 乙降落在指定范围 ” ，则命题 “ 至少有一位学员没有降落在指定范围 ” 可表示为( ) A (綈 p)( 綈 q) B p( 綈 q) C (綈 p)( 綈 q) D p q 【提分秘籍】 正确理解逻辑联结词 “ 或 ” 、 “ 且 ” 、 “ 非 ” 的含义是关键，解题时应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断其步骤为： 确定复合命题的构成形式； 判断其中简单命题的真假； 判断复合命题的真假 【举一反三】 已知命题 p： xR ， x 54，命题 q： xR ， x 10，则下列结论正确的是 ( ) A命题 p q 是真命题 B命题 p 綈 q 是真命题 C命题綈 p q 是真命题 D命题綈 p 綈 q 是假命题 解析：由余弦函数 的值域知命题 为 x 1 x 12 2 340，故命题 选 C. 答案： C 【热点题型】 题型二 全称命题、特称命题的真假判断 - 2 - 【例 2】下列命题中是假命题的是 ( ) A ， R，使 ) B R，函数 f(x) x )都不是偶函数 C m R，使 f(x) (m 1) 4m 3 是幂函数，且在 (0， ) 上单调递减 D a0，函数 f(x) x ln x a 有零点 【提分秘籍】 1全称命题真假的判断方法 (1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合 M 中的每一个元素 x，证明 p(x)成立 (2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合 M 中的一个特殊值 x p(成立即可 2特称命题真假的判断方法 要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合 M 中，找到一个 x p(立即可，否则这一特称命题就是假命题 【举一反三】 下列命题中的假命题是 ( ) A xR ， x 52 B xR ， 1 C xR ， 12 x0 D xR ， 解析：易知 |x|1 ，故 A 是假命题 答案： A 【热点题型】 题型三 含有一个量词的命题否定 【例 3】设 x Z，集合 A 是奇数集，集合 B 是偶数集，若命题 p： x A,2x B，则 ( ) A綈 p： x A,2xB B綈 p： xA,2xB - 3 - C綈 p： xA,2x B D綈 p： x A,2xB 【解析】因为任意都满足的否定是存在不满足的，所以选 D. 【答案】 D 【提分秘籍】 对含有一个量词的命题进行否定的方法：一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论 【举一反三】 若命题 p： x 2 ， 2 ， xx，则命题 綈 p： ( ) A 2 ， 2 ， x0 2 ， 2 ， x0 2 ， 2 ， x0 ， 2 2 ， ， x0析： x 的否定为 的否定为 ，所以命题綈 p 为 2 ， 2 ， x0答案： C 【热点题型】 题型四 利用全称 (特称 )命题的真假求参数范围 【例 4】若命题 p： x R， 4x R， 220 解析：根据特称命题的否定，特称量词改为全称量词，同时把不等号改为大于号，选择D. 答案： D 3给出命题 p：直线 3y 1 0 与直线 2x (a 1)y 1 0 互相平行的充要 - 6 - 条件是 a 3；命题 q：若平面 内不共线的三点到平面 的距离相等，则 列结论中正确的是 ( ) A命题 “ p q” 为真 B命题 “ p q” 为假 C命题 “ p 綈 q” 为假 D命题 “ p 綈 q” 为真 4给定命题 p：函数 y 2x 4 和函数 y 2x 34 的图象关于原点对称；命题 q：当 x 2(k Z)时，函数 y 2(x x)取得极小值下列说法正确的是 ( ) A p q 是假命题 B綈 p q 是假命题 C p q 是真命题 D綈 p q 是真命题 5已知命题 p： “ x0,1 ， ae x” ；命题 q： “ R， 4a 0” 若命题 “ p q”是假命题，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ( ， 4 B ( ， 1)(4 ， ) C ( ， e)(4 ， ) D (1， ) 6已知命题 p： x R， 11” 是 “ x2” 的充分不必要条件 D命题 “ x R， x0” 的否定是： “ x R， x0” 8已知 f(x) 22(4 m)x 1， g(x) 同时满足条 件： x R， f(x)0 或 g(x)0； x( ， 4)， f(x)g(x)1x” ，命题 p 的否定为命题 q，则 q 是 “_” ； _(填 “ 真 ” 或 “ 假 ”) 解析： q： N*， 1 1 时， 1 q 为真 答案： N*， 112若命题 “ 存在实数 10，解得a2 或 p( 綈 q)” 是假命题； 已知直线 3y 1 0， x 1 0，则 3； “ 设 a、 b R，若 ，则 ” 的否命题为： “ 设 a、 b R，若 解析： (1)綈 q： R， x 12 0 的根，真命题 (2)綈 r：每一个素数都不是奇数，假命题 (3)綈 s： x R， |x|0 ，假命题 17写出由下列各组命题构成的 “ p q” ， “ p q” ， “ 綈 p” 形式的新命题，并判断其真假 (1)p： 2 是 4 的约数， q： 2 是 6 的约数； (2)p：矩形的对角线相等， q：矩形的对角线互相平分； (3)p：方程 x 1 0 的两个实根的符号相同， q：方程 x 1 0 的两实根的绝对值相等 - 10 - 18已知 c0，且 c1 ，设 p：函数 y 上单调递减； q：函数 f(x) 21在 12， 上为增函数，若 “ p q” 为假， “ p q” 为真，求实数 c 的取值范围 解析： 函数 y 上单调递减， 00 且 c1 ， 綈 p： c1. 又 f(x) 21 在 12， 上为增函数， c 12.即 q： 00 且 c1 ， 綈 q： c12且 c1. 又 “ p q” 为真， “ p q” 为假， p 真 q 假或 p 假 q 真 当 p 真， q 假时， c|012且 c1 c 121 c 0c 12 综上所述，实数 c 的取值范围为c 12c1 . - 1 - 专题四 函数及其表示 【高频考点解读】 求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念 根据不同的需要选择恰当的方法 (如图象法、列表法、解析法 )表示函数 能简单的应用 . 通过对近几年高考试题的分析看出，本课时内容也是高考考查的重点之一，题型是选择题、填空题主要考查函数的概念、解析式及分段函数等，试题难度较小 . 【热点题型】 题型一 函数定义域 例 1、 (2013 年高考安徽卷 )函数 y 1 1x 1 _ 【提分秘籍】 求函数的定义域时，应注意 (1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化 (2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集 (3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用 “ 或 ” 连接，而应该用并集符号 “” 连接 【举一反三】 求函数 f(x) 2定义域； (2)已知函数 f(2x)的定义域是 1,1，求 f(x)的定义域 - 2 - 【热点题型】 题型二 函数解析式的求法 【例 2】 (1)已知 f(x 1) 4x 1，求 f(x)的解析式 (2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x 1) f(x) 2x 9，求 f(x) 【提分秘籍】 求函数解析式的常用方法 (1)配凑法：由已知条件 f(g(x) F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 g(x)，便得 f(x)的表达式； - 3 - (2)待定系数法：若已知函数的类型 (如一次 函数、二次函数 )可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数 f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (4)解方程组法：已知关于 f(x)与 f 1x 或 f( x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出 f(x) 【举一反三】 已知函数 f(x)满足 f(x) 2f(3 x) f(x)的解析式为 ( ) A f(x) 12x 18 B f(x) 134x 6 C f(x) 6x 9 D f(x) 2x 3 解析：由 f(x) 2f(3 x) f(3 x) 2f(x) (3 x)2，由以上两式解得 f(x) 134x 6. 答案： B 【热点题型】 题型三 分段函数求值 例 3、已知函数 f(x) 12x， x4 ，f x ， 3 1， x3 满足 f(a) 3，则 f(a 5)的值为 ( ) A D 1 【提分秘籍】 由于分段函数在不同定义区间上具有不同的解析式，在处理分段函数问题时应对不同的区间进行分类求解，然后整合，这恰好是分类讨论的一种体现 1解决本题时，由于 a 的取值不同限制了 f(a)的表达，从而对 a 进行分类讨论 2运用分类讨论的思想解题的基本步骤 (1)确定讨论对象和确定研究的区域； (2)对所讨论的问题进行合理的分类 (分类时需要做到不重不漏，标准统一、分层不越级 )； 【举一反三】 设函数 f(x) 2 x， x ，x1 ， 若 f(x)4，则 x 的取值范围是 _ - 5 - 解析：当 x2.故 x 的取值范围是 ( ， 2)(2 ， ) 答案： ( ， 2)(2 ， ) 【高考风向标】 1（ 2014 安徽卷）设函数 f(x)(xR) 满足 f(x ) f(x) x当 0 x0，x， x0 ， 则下列结论正确的是 ( ) A f(x)是偶函数 B f(x)是增函数 C f(x)是周期函数 D f(x)的值域为 1， ) 4（ 2014 江西卷）函数 f(x) ln(x)的定义域为 ( ) - 6 - A (0， 1 B 0， 1 C ( ， 0)(1 ， ) D ( ， 01 ， ) 【答案】 C 【解析】由 x0，得 x1 或 (1)证明：函数 f(x)的图像关于直线 x 12对称； (2)若 f(f( f(x 0，则称 f(x)的二阶周期点如果 f(x)有两个二阶周期点 确定 a 的取值范围； (3)对于 (2)中的 a，设 f(f(x)的最大值点， A(f(f ()， B(x2，f(f()， C(0)记 面积为 S(a)，讨论 S(a)的单调性 - 7 - 当 a12时，有 - 8 - 7（ 2013 江西卷）设函数 f(x)在 (0， ) 内可导，且 f( x f(1) _ 【答案】 2 【解析】 f( x 用换元法可得 f(x) ln x x， f(x) 1x 1，所以 f(1) 2. 10（ 2013 江西卷）如图 1 3 所示，半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 在两平行线 ll 1， l 与半圆相交于 F， G 两点，与三角形 边相交于 E， D 两点设弧长为 x(00，得 x0 ， 1)，故选 B. 9（ 2013 辽宁卷）已知函数 f(x) 2(a 2)x g(x) 2(a 2)x 1(x) f（ x）， g（ x） ， H2(x) f（ x）， g（ x） (p， q 表示 p， q 中的较大值， p， q 表示 p， q 中的较小值 )记 H1(x)的最小值为 A， H2(x)的最大值为 B，则 A B ( ) A 16 B 16 C 2a 16 D 2a 16 - 10 - 由图形 (图形略 )可知， A H1(x) 4a 4， B H2(x)12 4a，则 A B 16. 故选 B. 10（ 2013 全国卷）已知函数 f(x)的定义域为 ( 1， 0)，则函数 f(2x 1)的定义域为( ) A ( 1， 1) B. 1， 12 C ( 1， 0) D. 12， 1 【答案】 B 【解析】对于 f(2x 1)， 10 时， ff(x)表达式的展开式中常数项为 ( ) A 20 B 20 C 15 D 15 12 （ 2013 四川卷）函数 y 1的图像大致是 ( ) - 11 - 图 1 5 【答案】 C 【解析】函数的定义域是 xR|x0 ，排除选项 A；当 除选项 B；当 x 时， y0 且 y0 ，故为选项 C 中的图像 13 （ 2013 新课标全国卷 经销商经销某种农产品， 在一个销售季度内，每售出 1 00 元，未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图 1 4 所示，经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品，以 X(单位： t， 100X150) 表示下一个销售季度内的市场需求量， T(单位：元 )表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 (1)将 T 表示为 X 的函数； (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率； (3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作 为需求量取该区间中点值的概率 (例如：若需求量 X100 ， 110)，则取 X105，且 X 105 的概率等于需求量落入 100， 110)的频率 )，求 T 的数学期望 图 1 4 - 12 - 【随堂巩固】 1下列函数中，与函数 y 13 ) A y 1x B y ln C y D y 解析：选 D 函数 y 13 x|x0 ，选项 A 中由 x0 x k Z，故 A 不对；选项 B 中 x0，故 B 不对；选项 C 中 x R，故 C 不对；选项 D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为 x|x0 2下列函数中，不满足 f(2x) 2f(x)的是 ( ) A f(x) |x| B f(x) x |x| C f(x) x 1 D f(x) x - 13 - 3已知 f(x) x ， x0，f x 1 1， x0 ， 则 f43 f 43 的值等于 ( ) A 2 B 1 C 2 D 3 解析：选 D f 43 12， f 43 f 13 1 f 23 2 52， f 43 f 43 3. 4现向一个半径为 R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度 h 随时间 t 变化的函数关系的是 ( ) 解析：选 C 从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快 5若 f(x)对于任意实数 x 恒有 2f(x) f( x) 3x 1，则 f(x) ( ) A x 1 B x 1 C 2x 1 D 3x 3 6根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间 (单位：分钟 )为 f(x) 倒负 ” 变换的函数是 ( ) A B C D 8已知 f(x) q 满足 f(1) f(2) 0，则 f( 1) _. 解析：由 f(1) f(2) 0， 得 12 p q 0，22 2p q 0， 所以 p 3，q 2. 故 f(x) 3x 2. 所 以 f( 1) ( 1)2 3 2 6. 答案： 6 9已知函数 f(x) 2x2 ，2x 1， x 2， 若 f(f(1)3 a 的取值范围是 _ - 15 - 10设集合 M x|0 x2 ， N y|0 y2 ，那么下面的 4 个图形中，能表示集合 M 到集合 N 的函数关系的是 _ 11已知函数 f(x) 3x 2， 5. - 1 - 专题五 函数的单调性与最值 【高频考点解读】 大值、最小值及其几何意义 调区间及应用函数单调性求值域、最值，比较或求函数值大小，是高考的热点及重点 空题形式出现，若与导数交汇则以解答题形式出现 . 【热点题型】 题型一 考查 函数的单调性 例 1探讨函数 f(x) x kx(k0)的单调性 【提分秘籍】 1函数的单 调区间是其定义域的子集 2由函数单调性的定义可知，若函数 f(x)在区间 D 上是增 (减 )函数，则当 3一个函数在不同的区间可以有不同的单调性，同一种单调区间用 “ 和 ” 或 “ ， ” 连接，不能用 “” 连接 4两函数 f(x)、 g(x)在 x( a， b)上都是增 (减 )函数，则 f(x) g(x)也为增 (减 )函数，但 f(x) g(x)的单调性与其正负有关， 1f x 与 f(x)是否为 0 有关，切不可盲目类比 种方法 (1)利用定义的基本步骤是： 取值 作差 商 变形 确定符号 得出结论 (2)利用导数的基本步骤是： 求导函数 确定符号 得出结论 【举一反三】 设 y f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题： ( f( f(0； ( f( f(0； f f 11 ，若 f(x)在 ( ， ) 上单调递增，则实数 a 的取值范围为 _ - 5 - 【提分秘籍】 单调性的应用常涉及大小比较，解不等式，求最值及已知单调性求参数范围等问题，解决时要注意等价转化思想与数形结合思想的运用 【举一反三】 已知函数 f(x) ax(x0 ， aR) (1)判断函数 f(x)的奇偶性； (2)若 f(x)在区间 2， ) 上是增函数，求实数 a 的取值范围 【解析】 (1)当 a 0 时， f(x) x2(x0) 为偶函 数； 当 a0 时， f( x) f(x)， f( x) f(x)， f(x)既不是奇函数也不是偶函数 (2)设 x2 ，则 f( f( a， 由 x2 ，得 16， 要使 f(x)在区间 2， ) 上是增函数， 只需 f( f( 恒成立，则 a16. 【热点题型】 题型四 函数的最值问题（换元法） 例 4、已知函数 y x 12的最大值为 2，求 a 的值 【提分秘籍】换元法解题模板 第一步：换元 确定解析式中的某一部分作为一个新的变元 第二步：定范围 根据新的变元的表达式确定新变元的取值范围 M. 第三步：转化 将问题转化为关于新变元的一个函数在区间 M 上的最值问题 第四步：求最值 利用基本初等函数求最值得原函数的 最值 【举一反三】 - 6 - 求 y x 1 2 题型四 函数的最值问题（ 数形结合法 ） 例 5、用 a， b， c表示 a， b， c 三个数中的最小值，则函数 f(x) x 1， x 4， x 8的最大值是 _ 【答案】 6 【提分秘籍】 数形结合法 解题模板 对于函数解析式有明显的几何特征的函数最值问题，解题步骤是： 第一步：数变形 根据函数解析式的特征，构造图形转化为求几何中的最值 第二步：解形 利用几何方法解决图形中的最值 第三步：还形为数 将几何中的最值还原为函数的最值 第四步：回顾反思 利用数形结合法求解函数最值，其实质就是利用函数图象或借助几何图形求解函数最值，关键在于把握函数解析式的结构特征 【举一反三】 函数 y x 2 16 x 2 4的值域为 _ - 7 - 【高考风向标】 1（ 2014 北京卷）下列函数中，在区间 (0， ) 上为增函数的是 ( ) A y x 1 B y (x 1)2 C y 2 x D y (x 1) 【答案】 A 【解析】由基本初等函数的性质得，选项 B 中的函数在 (0， 1)上递减，选项C，
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