【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程（课时作业+章末综合检测）（打包9套）新人教
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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程（课时作业+章末综合检测）（打包9套）新人教,步步高,学案导学,设计,学年,高中数学,圆锥曲线,方程,课时,作业,功课,综合,检测,打包,新人
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1 圆及其标准方程 课时目标 历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程 握椭圆的定义、标准方程及几何图形 1椭圆的概念：平面内与两个定点 _(大于 |的点的轨迹叫做 _这两个定点叫做椭圆的 _，两焦点间的距离叫 做椭圆的_当 | | |，轨迹是 _，当 | |轨迹才是椭圆，如果 2a |轨迹是 线段 果 2，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上 3求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即 1 (m， n 为不相等的正 数 ) 第二章 圆锥曲线与方程 椭 圆 2 圆及其标准方程 答案 知识梳理 1常数 椭圆 焦点 焦距 线段 存在 1 (ab0) c， 0)， F2(c， 0) 2c 1 (ab0) 作业设计 1 D | | 6 | 动点 M 的轨迹是线段 2 B 由椭圆方程知 2a 8， 由椭圆的定义知 | | 2a 8， | | 2a 8，所以 6. 3 D 4 B |a| 1a 30. 5 D 椭圆的焦点在 x 轴上，排除 A、 B， 又过点 52， 32 验证即可 6 D 由椭圆的定义，知 | | 2a 8. 由题可得 | | 2， 则 | 5 或 3， | 3 或 5. 又 | 2c 4， 7 2 120 解析 | | 2a 6， | 6 | 2. 在 | | |2| 16 4 28242 12， 120. 8 4 3 4 解析 设 | x，则 k x(2a x)， 因 a c| a c，即 1 x3. k 2 4x (x 2)2 4， 4， 3. 9 m n 解析 设 a， c 分别是椭圆的长半轴长和半焦距，则 a c m c n R ，则 2c m n. 10解 (1) 椭圆的焦点在 x 轴上， 设椭圆的标准方程为 1 (ab0) 2a 10， a 5，又 c 4. 52 42 9. 故所求椭圆的标准方程为 1. (2) 椭圆的焦点在 y 轴上， 设椭圆的标准方程为 1 (ab0) 由椭圆的定义知， 2a 32 2 52 2 2 32 2 52 2 2 3 102 102 2 10， a 10. 又 c 2， 10 4 6. 故所求椭圆的标准方程为 1. 11解 | | | | 4， | | 4，又 | 2 312， G 点的轨迹是椭圆， B、 C 是椭圆焦点 2c | 12， c 6,2a 20， a 10， 102 62 64， 故 G 点的轨迹方程为 1， 去掉 (10,0)、 ( 10,0)两点 又设 G(x ， y) ， A(x， y)，则有 x2100y 264 1. 由重心坐标公式知 x x3，y 点轨迹方程为 1. 即 1，去掉 ( 30,0)、 (30,0)两点 1 圆的简单几何性质 课时目标 称性、顶点、离心率等几何性质 确标准方程中a， b 以及 c， e 的几何意义， a、 b、 c、 e 之间的相互关系 利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题 1椭圆的简单几何性质 焦点的 位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准 方程 范围 顶点 轴长 短轴长 _，长轴长 _ 焦点 焦距 对称性 对称轴是 _，对称中心是 _ 离心率 直线 y b 与椭圆 1 (ab0)的位置关系： 直线与椭圆相切 y 1有 _组实数解，即 y 1有 _组实数解，即 _0，直线与椭圆相离 y 1_实数解，即 _0. 一、选择题 1椭圆 259225 的长轴长、短轴长、离心率依次是 ( ) A 5,3， 45 B 10,6， 45 C 5,3， 35 D 10,6， 35 2焦点在 x 轴上，长、短半轴长之和为 10，焦距为 4 5，则椭圆的方程为 ( ) A 1 B1 2 C 1 D1 3若焦点在 x 轴上的椭圆 1 的离心率为12，则 m 等于 ( ) A 3 B 32 C 83 D 23 4如图所示， A、 B、 C 分别为椭圆 1 (ab0)的顶点与焦点，若 90 ，则该椭圆的离心率为 ( ) A. 1 52 B 1 22 C. 2 1 D. 22 5若直线 4 与圆 O： 4 没有交点，则过点 P(m， n)的直线与椭圆 1 的交点个数为 ( ) A至多一个 B 2 C 1 D 0 6 已知 足 1 0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ( ) A (0,1) B 0， 12 C 0， 22 D 22 ， 1 题号 1 2 3 4 5 6 答案 二、填空题 7已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 55 ，且过点 P( 5,4)，则椭圆的方程为 _ 8直线 x 2y 2 0 经过椭圆 1 (ab0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于 _ 9椭圆 E： 1 内有一点 P(2,1)，则经过 P 并且以 P 为中点的弦所在直线方程为_ 三、解答题 10如图，已知 P 是椭圆 1 (ab0)上且位于第一象限的一点， F 是椭圆的右焦点， O 是椭圆中心， B 是椭圆的上顶点， H 是直线 x c 是椭圆的半焦距 )与 x 轴的交点，若 求椭圆的离心率 e. 3 11已知椭圆 41 及直线 y x m. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程 能力提升 12若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ( ) A 45 B 35 C 25 D 13 13已知在平面直角坐标系 的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 3，0)，且右顶点为 D(2， 0)设点 A 的坐标是 1， 12 . (1)求该椭圆的标准方程； (2)若 P 是椭圆上的动点，求线段 中点 M 的轨迹方程 1椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用 2椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用 3椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率的值或范围 4在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系 4 2 圆的简单几何性质 答案 知识梳理 1. 焦点的 位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准方程 1 1 范围 a x a， b y b b x b， a y a 顶点 ( a,0)， (0， b) ( b,0)， (0， a) 轴长 短轴长 2b，长轴长 2a 焦点 ( c,0) (0， c) 焦距 2c 2 称性 对称轴是 坐标轴 ，对称中心是 原点 离心率 e 0 没有 2， 成立， 由椭圆性质知 | b，其中 b 为椭圆短半轴长， bc， b0)， 将点 ( 5,4)代入得 25161， 又离心率 e 55 ，即 15， 解之得 45， 36，故椭圆的方程为 1. 5 解析 由题意知椭圆的焦点在 x 轴上，又直 线 x 2y 2 0 与 x 轴、 y 轴的交点分别为(2,0)、 (0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以 b 1， c 2，从而 a 5， e 2 55 . 9 x 2y 4 0 解析 设弦的两个端点为 M( N( 则 11， 两式相减，得 x2 y2 0. 又 4， 2， 12，由点斜式可得弦所在直线的方程为 y 12(x 2) 1，即 x 2y 4 0. 10解 依题意知 H 0 ， F(c,0)， B(0， b) 设 P(且 c，代入到椭圆的方程， 得 Pc， b 00 e e 2 1. 1 0. 0e1， e 5 12 . 11解 (1)由 41，y x m， 得 521 0. 因为直线与椭圆有公共点， 所以 420(1)0. 6 解得 52 m 52 . (2)设直线与椭圆交于 A( B( 由 (1)知， 521 0， 由根与系数的关系得 2 15(1) 设弦长为 d，且 (m) (m) d 4 2 45 25 10 8 当 m 0 时， d 最大，此时直线方程为 y x. 12 B 由题意知 2b a c，又 4( 2 3250. 5230. 52e 3 0. e 35或 e 1(舍去 ) 13 解 (1) a 2， c 3， b 1. 椭圆的标准方程为 1. (2)设 P( M(x， y)，由中点坐标公式， 得 x 12 ，y122 ， 2x 1，2y 12. 又 1， x 24 2y 122 1 即为中点 M 的轨迹方程 1 曲线及其标准方程 课时目标 何图形和标准方程的推导过程 握双曲线的标准方程 利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题 1双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义 平面内与两个定点 小于 _)的点的轨迹叫做双曲线 平面内与两个定点 差的绝对值等于 |的点的轨迹为 _ 平面内与两个定点 的点的轨迹 _ (2)双曲线的焦点和焦距 双曲线定义中的两个定点 做 _，两焦点间的距离叫做_ 2双曲线的标准方程 (1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程是 _，焦点 2_. (2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是 _，焦点 2_. (3)双曲线中 a、 b、 c 的关系是 _ 一、选择题 1已知平面上定点 ，命题甲： | | 2a(a 为常数 )，命题乙：M 点轨迹是以 甲是乙的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分 条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2若 b(中心和左焦点 ,点 P 为双曲线右支上的任意一点 ,则 的取值范围为 ( ) A 3 2 3， ) B 3 2 3， ) C 74， ) D 74， ) 13已知双曲线的一个焦点为 F( 7， 0)，直线 y x 1 与其相交于 M， N 两点， 点的横坐标为 23，求双曲线的标准方程 3 1双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得 2和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合 3直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组 (设而不求 )，利用韦达定理，弦长公式等解决 双曲线 2 曲线及其标准方程 答案 知识梳理 1 (1)|以 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距 2 (1)1(a0， b0) ( c,0) (c,0) (2)1(a0， b0) (0， c) (0， c) (3)业设计 1 B 根据双曲线的定义，乙 甲，但甲 乙， 只有当 2b0) 由题知 c 2， 4. 又点 (2,3)在双曲线上， 2221. 由 解得 1， 3， 所求双曲线的标准方程为 1. 4 A 双曲线的焦点为 (2,0)，在 x 轴上且 c 2， m 3 m 4. m 12. 5 C 由题意两定圆的圆心坐标为 ,0)， ,0)，设动圆圆心为 O，动圆半径为 r，则 | r 1， | r 2， | | k 1)(k 1)0， b0)，由题意知 36 27 9， c 3. 又点 A 的纵坐标为 4，则横坐标为 15，于是有 425 2 1，9，解得 4，5. 所以双曲线的标准方程为 1. 方法二 将点 A 的纵坐标代入椭圆方程得 A( 15， 4)， 又两焦点分别为 ,3)， ， 3) 所以 2a | 15 2 2 15 2 2| 4， 即 a 2， 9 4 5， 所以双曲线的标准方程为 1. 11解 设 A 点的坐标为 (x， y)，在 ，由正弦定理，得 2R， 代入 12， 得 |R |R 12 |R ，又 | 8， 所以 | | 4. 因此 A 点的轨迹是以 B、 C 为焦点的双曲线的右支 (除去右顶点 )且 2a 4,2c 8，所以 a 2， c 4， 12. 5 所以 A 点的轨迹方程为 1 (x2) 12 B 由 c 2 得 1 4， 3， 双曲线方程为 1. 设 P(x， y)(x 3)， (x， y)( x 2， y) 2x 2x 1 432x 1(x 3) 令 g(x) 432x 1(x 3)，则 g(x)在 3， ) 上单调递增 g(x)g( 3) 3 2 3. 的取值范围为 3 2 3， ) 13解 设双曲线的标准方程为 1， 且 c 7，则 7. 由 点的横坐标为 23知， 中点坐标为 23， 53 . 设 M( N( 则由 1，1，得 b2( a2( 0. 43 103，且 1， 25 由 ， 求得 2， 5. 所求双曲线的标准方程为 1. 1 曲线的简单几何性质 课时目标 1双曲线的几何性质 标准方程 1 (a0， b0) 1 (a0， b0) 图形 性 质 焦点 焦距 范围 对称性 顶点 轴长 实轴长 _，虚轴长 _ 离心率 渐近线 一般地，设直线 l： y m (m0) 双曲线 C： 1 (a0， b0) 把 代入 得 (20. (1)当 0，即 k 线 l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线 C 相交于 _ (2)当 ，即 k ( 2 4( 0直线与双曲线有 _公共点，此时称直线与双曲线相交； 0直线与双曲线有 _公共点，此时称直线与双曲线相切； 0， b0)的虚轴长为 2，焦距为 2 3，则双曲线的渐近线方程为 ( ) A y 2x B y 2 x C y 22 x D y 12x 5直线 l 过点 ( 2， 0)且与双曲线 2 仅有一个公共点，则这样的直线有 ( ) A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 6已知双曲线 1 (a0， b0)的左、右焦点分别为 P 在双曲线的右支上，且 | 4|则此双曲线的离心率 e 的最大值为 ( ) C 2 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7两个正数 a、 b 的等差中项是 52，一个等比中项是 6，且 ab，则双曲线 1 的离心率 e _. 8在 ， a， b， c 分别是 A， B， C 的对边，且 a 10， c b 6，则顶点 _ 9与双曲线 1 有共同的渐近线，并且经过点 ( 3， 2 3)的双曲线方程为_ 三、解答题 10根据下列条件，求双曲线的标准方程 (1)经过点 154 ， 3 ，且一条渐近线为 4x 3y 0； (2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为 3. 11设双曲线 1 上两点 A、 B， 点 M(1， 2)，求直线 方程 3 能力提升 12设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 ( ) A 2 B 3 C 3 12 D 5 12 13设双曲线 C： 1 (a0)与直线 l： x y 1 相交于两个不同的点 A、 B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围； （ 2）若设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且 512，求 a 的值 1双曲线 1 (a0， b0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为 ( a，0)，实轴长为 2a，虚轴长为 2b；其上任一点 P(x， y)的横坐标均满足 |x| a. 2双曲线的离心率 e 1， ) ，其中 1，离心率 e 越大，双曲线的开口越大可以通过 a、 b、 c 的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围 3双曲线 1 (a0， b0)的渐近线方程为 y 可记为0；与双曲线 1 具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为 ( 0) 2 曲线的简单几何性质 答案 知识梳理 1. 标准方程 1(a0， b0) 1(a0， b0) 图形 性 质 焦点 c,0)， F2(c,0) ， c)， ， c) 焦距 | 2c 范围 x a 或 x a， y R y a 或 y a， x R 对称性 关于 x 轴、 y 轴和原点对称 顶点 ( a,0)， (a,0) (0， a)， (0， a) 轴长 实轴长 2a，虚轴长 2b 离心率 e ca(e1) 4 渐近线 y y .(1)一点 (2)两个 一个 没有 作业设计 1 B e 62 ， 2， 2. 2 A 3 C 由于椭圆 41 的焦点坐标为 0， 32 ， 则双曲线的焦点坐标为 0， 32 ，又由渐近线方程为 y 2x，得 2，即 2由 32 2 12， 14，又由于焦点在 y 轴上，因此双曲线的方程为 24. 4 C 由题意知， 2b 2,2c 2 3，则 b 1， c 3， a 2；双曲线的渐近线方程为 y 22 x. 5 C 点 ( 2， 0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与 x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点 6 B | | 2a，即 3| 2a， 所以 | 2 c a，即 2a3 c 3a，即 5a3 c， 则 53. 7. 133 解析 a b 5， 6，解得 a， b 的值为 2 或 3. 又 ab， a 3， b 2. c 13，从而 e 133 . 1(x3) 解析 以 在直线为 x 轴， 中点为原点建立直角坐标系，则 B( 5,0)， C(5,0)，而 | | 63) 1 解析 所求双曲线与双曲线 1 有相同的渐近线， 可设所求双曲线的方程为 ( 0) 点 ( 3,2 3)在双曲线上， 29 3 216 14. 所求双曲线的方程为 1. 5 10解 (1)因直线 x 154 与渐近线 4x 3y 0 的交点坐标为 154 ， 5 ，而 30 时，设 A( B( 则 1 k k 1，满足 0， 直线 方程为 y x 1. 方法二 (用点差法解决 ) 设 A( B(则 11， 两式相减得 ( 12( 21222 1， 直线 方程为 y x 1， 代入 1 满足 0. 6 直线 方程为 y x 1. 12. D 设双曲线方程为 1(a0， b0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为 y 而 1， 整理得 0，两边同除以 e 1 0， 解得 e 1 52 或 e 1 52 (舍去 ) 13解 (1)由双曲线 C 与直线 l 相交于两个不同的点得 1，x y 1有两个不同的解， 消去 y 并整理得 (1 a2)220， 1 ， 48 解得 20， 0 62 且 e 2. 双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是 62 ， 2 ( 2， ) (2)设 A( B( P(0,1) 512， (1) 512(1)， 由此可得 512 的根， 且 1 ， 1712 2 512 2去 8960 ， 即 289169. 7 又 a0， a 1713. 1 物线及其标准方程 课时目标 种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对应的几何图形 利用定义求抛物线方程 1抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离 _的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的 _，直线 l 叫做抛物线的 _ 2抛物线的 标准方程 (1)方程 2 2 py(p0)叫做抛物线的 _方程 (2)抛物线 2px(p0)的焦点坐标是 _，准线方程是 _，开口方向_ (3)抛物线 2px(p0)的焦点坐标是 _，准线方程是 _，开口方向 _ (4)抛物线 2py(p0)的焦点坐标是 _，准线方程是 _，开口方向_ (5)抛物线 2py(p0)的焦点坐标是 _，准线方程是 _，开口方向_ 一、选择题 1抛物线 ax(a0) 的焦点到其准线的距离是 ( ) A.|a|4 B.|a|2 C |a| D 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，焦点在双曲线 1 上 ，则抛物线方程为 ( ) A 8x B 4x C 2x D 8 x 3抛物线 2px(p0)上一点 M 到焦点的距离是 a(a则点 M 的横坐标是 ( ) A a B a a p D a p 4过点 M(2,4)作与抛物线 8x 只有一个公共点的直线 l 有 ( ) A 0 条 B 1 条 C 2 条 D 3 条 5已知抛物线 2px(p0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、 B 两点，若线段 中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为 ( ) A x 1 B x 1 C x 2 D x 2 6设抛物线 2x 的焦点为 F，过点 M( 3， 0)的直线与抛物线相交于 A， B 两点，与抛物线的准线相交于点 C， | 2，则 面积之比 S ) A 45 B 23 C 47 D 12 题号 1 2 3 4 5 6 答案 二、填空题 7抛物线 12y 0 的准线方程是 _ 2 8若动点 P 在 y 21 上，则点 P 与点 Q(0， 1)连线中点的轨迹方程是 _ 9已知抛物线 y 1 上一定点 A( 1,0)和两动点 P， Q，当 ，点 Q 的横坐标的取值范围是 _ 三、解答题 10已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，抛物线上的点 M( 3， m)到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程 11求焦点在 x 轴上且截直线 2x y 1 0 所得弦长为 15的抛物线的标准方程 能力提升 12已知抛物线 2px(p0)的准线与圆 (x 3)2 16 相切，则 p 的值为 ( ) A 12 B 1 C 2 D 4 13求与圆 (x 3)2 9 外切，且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程 1四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向 为坐标轴的负方向 2焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程 2常又可以写成 y 与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程 y 须先化成标准形式 3 抛物线 2 物线及其标准方程 答案 知识梳理 1相等 焦点 准线 2 (1)标准 (2)(0) x 右 (3)( 0) x 左 (4)(0， y 上 (5)(0， y 下 作业设计 1 B 因为 以 p |a|2 ，即该抛物线的焦点到其准线的距离为 |a|2 ，故选 B. 2 D 由题意知抛物线的焦点为双曲线 1 的顶点，即为 ( 2,0)或 (2,0)，所以抛物线的方程为 8x 或 8x. 3 B 由抛物线的定义知：点 M 到焦点的距离 a 等于点 M 到抛物线的准线 x 以点 M 的横坐标即点 M 到 y 轴的距离为 a 4 C 容易发现点 M(2,4)在抛物线 8x 上，这样 l 过 M 点且与 x 轴平行时，或者 点处与抛物线相切时， l 与抛物线有一个公共点，故选 C. 5 B 2焦点坐标为 (0)， 过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y x x y 其代入 2 2 2( B(则 2p， p 2， 抛物线的方程为 4x，其准线方程为 x 1. 6 A 如图所示，设过点 M( 3， 0)的直线方程为 y k(x 3)，代入 2x 并整理， 得 (2 32)x 30， 则 2 32 因为 | 2，所以 | 2. 4 不妨设 2 12 32是方程的一个根， 可得 332 32， 所以 2. S 2| C| d | | 22 12 45. 7 y 3 解析 抛物线 12y 0，即 12y，故其准线方程是 y 3. 8 y 4 ( ， 3 1， ) 解析 由题意知，设 P(1)， Q(1)， 又 A( 1,0)， *6 ( x， 2 y)， 0， 即 ( 1 ( 0， 也就是 ( 1 ( (1 ( 0. 1， 上式化简得 11 11 (1 1， 由基本不等式可得 或 3. 10解 设抛物线方程为 2p0)， 则焦点 F 0 ，由题意， 得 6p， 3 5，解得 p 4，m 2 6， 或 p 4，m 2 6. 故所求的抛物线方程为 8x， m 2 6. 抛物线的焦点坐标为 ( 2,0)，准线方程为 x 2. 11解 设所求抛物线方程为 a0) 直线方程变形为 y 2x 1， 设抛物线截直线所得弦为 代入 ，整理得 4(4 a)x 1 0， 则 | 22 a 44 2 4 14 15. 解得 a 12 或 a 4. 所求抛物 线方程为 12x 或 4x. 12 C 本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 方法一 由抛物线的标准方程得准线方程为 x 准线与圆相切，圆的方程为 (x 3)2 16， 5 3 4， p 2. 方法二 作图可知，抛物线 2p0)的准线与圆 (x 3)2 16 相切于点 (1,0)， 所以 1， p 2. 13解 设定圆圆心 M(3,0)，半径 r 3，动圆圆心 P(x， y)，半径为 R，则 由已知得下列等式 | R 3|x| R ， | |x| 3. 当 x0 时，上式几何意义为点 P 到定点 M 的距离与它到直线 x 3 的距离相等， 点 P 轨迹为抛物线，焦点 M(3,0)，准线 x 3， p 6，抛物线方程为 12x. 当 y 0 (x0) 1 物线的简单几何性质 课时目标 道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法 解抛物线的简单应用 1抛物线的简单几何性质 设抛物线的标准方程为 2px(p0) (1)范围：抛物线上的点 (x， y)的横坐标 x 的取值范围是 _，抛物线在 y 轴的_侧， 当 x 的值增大时， |y|也 _，抛物线向右上方和右下方无限延伸 (2)对称性：抛物线关于 _对称，抛物线的对称轴叫做 _ (3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的 _抛物线的顶点为_ (4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的_，用 e 表示，其值为 _ (5)抛物线的焦点到其准线的距离为 _，这就是 p 的几何意义，顶点到准线的距离为 点到顶点的距离为 _ 2直线与抛物线的位置关系 直线 y b 与抛物线 2px(p0)的交点个数决定于关于 x 的方程 _的解的个数当 k0 时，若 0，则直线与抛物线有 _个不同的公共点；当 0 时，直线与抛物线有 _个公共点；当 0)， 过焦点的一条弦， A( B( 中点 M(x0，则有以下结论 (1)以 直径的圆与准线相切 (2)| 2(焦点弦长与中点坐标的关系 ) (3)| p. (4)A、 B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即 一、选择题 1顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点 ( 2,3)，它的方程是 ( ) A 92y 或 43x B 92x 或 43y C 92x D 43y 2若抛物线 2p0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点 F 的距离的关系是 ( ) A成等差数列 B既成等差数列又成等比数列 C成等比数列 2 D既不成等比数列也不成等差数列 3已知点 P 是抛物线 2x 上的一个动点，则点 P 到点 (0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( ) A. 172 B 3 C. 5 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 ax(a0) 的焦点 F，且和 y 轴交于点 A，若 为坐标原点 )的面积为 4，则抛物线方程为 ( ) A 4 x B 8 x C 4x D 8x 5设直线 y 2x，直线 点 P(2,1)，抛物线 C： 4x，已知 共有三个交点，则满足条件的直线 ) A 1 B 2 C 3 D 4 6过抛物线 a0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、 Q 两点，若 长分别为 p、 q，则 1p 1 ) A 2a B 12a C 4a D 4a 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7已知抛物线 C 的顶点为坐标原点，焦点在 x 轴上，直线 y x 与抛物线 C 交于 A， P(2， 2)为 中点，则抛物线 C 的方程为 _ 8已知 F 是抛物线 C： 4x 的焦点， A、 B 是抛物线 C 上的两个点，线段 中点为M(2,2)，则 面积等于 _ 9过抛物线 2p0)的焦点 F 作倾斜角为 30 的直线，与抛物线分别交于 A、 点 A 在 y 轴的左侧 )，则 | _. 三、解答题 10设抛物线 y m0) 的准线与直线 y 1 的距离为 3，求抛物线的标准方程 11过点 Q(4,1)作抛物线 8x 的弦 被 Q 所平分，求 在的直线方程 能力提升 12设抛物线 8x 的焦点为 F，准线为 l， P 为抛物线上一点， l， A 为垂足，如果直线 斜率为 3，那么 |于 ( ) A 4 3 B 8 C 8 3 D 16 13已知直线 l 经过抛物线 4x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A、 B 两点 (1)若 | 4，求点 A 的坐标； 3 (2)求线段 长的最小值 1抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离 2直线与抛物线的位置关系，可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解来判定； “ 中点弦 ” 问题也可使用 “ 点差法 ” 2 物线的简单几何性质 答案 知识梳理 1 (1)x0 右 增大 (2)x 轴 抛物线的轴 (3)顶点 坐标原点 (4)离心率 1 (5)p 2(p)x 0 两 一 没有 平行或重合 一 作业设计 1 B 由题意知所求抛物线开口向上或开口向左，利用待定系数法可求得方程 2 A 设三点为 P1( P2( P3( 则 222 因为 2以 2 即 | | 2 | 所以 | | 2| 3 A 如图所示，由抛物线的定义知，点 x 12的距离 到焦点的距离 |因此点 P 到点 (0,2)的距离与点 P 到准线的距离之和可转化为点 P 到点 (0,2)的距离与点 的距离之和，其最小值为点 M(0,2)到点 F 12， 0 的距离，则距离之和的最小值为 4 14 172 . 4 B 焦点坐标为 0 ，过焦点且斜率为 2 的直线方程为 y 2 x 令x 0 得 y 12 |a|4 |a|2 4， 64， a 8. 5 C 点 P(2,1)在抛物线内部，且直线 相交于 A， B 两点， 过点 P 4 的直线 或点 B 或与 x 轴平行时符合题意 满足条件的直线 条 6 D 可 采用特殊值法，设 焦点 F 0 且垂直于 x 轴，则 | p a4a4 | q 1p 1q 2a 2a 4a. 7 4x 解析 设抛物线方程为 y x 代入 x 0 或 x a， 2. a 4. 抛物线方程为 4x. 8 2 解析 设 A( B( 则 44 ( 4( 41. 直线 方程为 y 2 x 2，即 y x. 将其代入 4x，得 A(0,0)、 B(4,4) | 4 (1,0)到 y x 的距离为 22 ， S 12 22 4 2 2. 析 抛物线 2p0)的焦点为 F 0， 则直线 方程为 y 33 x 由 2py，y 33 x 消去 x，得 122030，解得 y1由题意可设 A( B(由抛物线的定义，可知 |p2p613. 10解 由 y m0) 可化为 1 其准线方 程为 y 14m. 由题意知 14m 2 或 14m 4， 解得 m 18或 m 116. 则所求抛物线的标准方程为 8y 或 16y. 11解 方法一 设以 Q 为中点的弦 点坐标为 A( B( 则有 8 8 Q(4,1)是 中点， 5 8， 2. ，得 ( 8( 将 代入 得 4( 即 4 k 4. 所求弦 在的直线方程为 y 1 4(x 4)，即 4x y 15 0. 方法二 设弦 在直线方程为 y k(x 4) 1. 由 8x，y k x 1， 消去 x， 得 8y 32k 8 0， 此方程的两根就是线段端点 A、 B 两点的纵坐标，由根与系数的关系和中点坐标公式， 得 8k，又 2， k 4. 所求弦 在的直线方程为 4x y 15 0. 12. B 如图所示，直线 方程为 y 3(x 2)，与准线方程 x 2 联立得 A( 2，4 3) 设 P( 3)，代入抛物线 8x，得 848， 6， | 2 8，选 B. 13解 由 4x，得 p 2，其准线方程为 x 1，焦点 F(1,0)设 A( B( 分别过 A、 B 作准线的垂线，垂足为 A 、 B. (1)由抛物线的定义可知， | 从而 4 1 3. 代入 4x，解得 2 3. 点 A 的坐标为 (3,2 3)或 (3， 2 3) (2)当直线 l 的斜率存在时， 设直线 l 的方程为 y k(x 1) 与抛物线方程联立 y k x4x ， 消去 y，整理得 (24)x 0， 因为直线与抛物线相交于 A、 B 两点， 则 k0 ，并设其两根为 2 4由抛物线的定 义可知， 6 | p 4 4. 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x 1，与抛物线相交于 A(1,2)， B(1， 2)，此时 | 4， 所以， |4 ，即线段 长的最小值为 4. 1 第二章 圆锥曲线与方程章末总结 知识点一 圆锥曲线的定义和性质 对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识， “ 回归定义 ” 是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用 例 1 已知双曲线的焦点在 x 轴上，离心率为 2， 焦点， P 为双曲线上一点，且 60 ， S 12 3，求双曲线的标准方程 知识点二 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切、相离 在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况，即直线与其交于一点和切于一点，二者在几何意义上是截然不同的，反映在代数方程上也是完全不同的，这在解题中既是一个难点也是一个十分容易被忽视的地方 圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无限靠近时的极限情况，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情况 (抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行 )，反映在消元后的方程上，该方程是一次的 例 2 如图所示， O 为坐标原点，过点 P(2， 0)且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 2x 于 M(x1， N(点 (1)求 (2)求证： 2 知识点三 轨迹问题 轨迹是解析几何的基本问题，求解的方法有以下几种： (1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为 (x， y)，根据几何条件直接寻求 x、 y 之间的关系式 (2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点具体地说，就是用所求动点的坐标 x、 y 来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标 x、 y 之间的关系 式 (3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程 (4)参数法：当很难找到形成曲线的动点 P(x， y)的坐标 x， y 所满足的关系式时
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