【步步高】（广东专用）2015届高考数学二轮复习 专题九 数学思想方
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【步步高】（广东专用）2015届高考数学二轮复习 专题九 数学思想方,步步高,广东,专用,高考,数学,二轮,复习,温习,专题,思想
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丏题九 数学思想方法 第 1讲 函数与方程思想 思 想 方 法 概 述 热 点 分 类 突 破 真 题 与 押 题 3 思想方法概述 (1)函数的思想 ， 是用运动和变化的观点 ， 分析和研究数学中的数量关系 ， 是对函数概念的本质认识 ， 建立函数关系或构造函数 ， 运用函数的图象和性质去分析问题 、 转化问题 ， 从而使问题获得解决 奇偶性 、 周期性 、 最大值和最小值 、 图象变换等 . (2)方程的思想 ， 就是分析数学问题中变量间的等量关系 ，建立方程或方程组 ， 或者构造方程 ， 通过解方程或方程组 ， 或者运用方程的性质去分析 、 转化问题 ， 使问题获得解决 研究运动中的等量关系 . (1)函数与不等式的相互转化 ， 对函数 y f(x)， 当 y0 时 ， 就化为不等式 f(x)0， 借助于函数的图象和性质可解决有关问题 ， 而研究函数的性质也离不开不等式 . (2)数列的通项与前 用函数的观点去处理数列问题十分重要 . (3)在三角函数求值中 ， 把所求的量看作未知量 ，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式 ，那么问题就能化为未知量的方程来解 . (4)解析几何中的许多问题 ， 例如直线与二次曲线的位置关系问题 ， (5)立体几何中有关线段 、 角 、 面积 、 体积的计算 ，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决 ， 建立空间直角坐标系后 ， 立体几何与函数的关系更加密切 . 热点一 函数与方程思想在不等式中的应用 热点二 函数与方程思想在数列中的应用 热点三 函数与方程思想在几何中的应用 热点分类突破 例 1 (1)f(x) 3x 1对于 x 1,1总有f(x) 0成立 ， 则 a _. 热点一 函数与方程思想在不等式中的应用 解析 若 x 0， 则不论 f(x) 0显然成立； 当 x0即 x (0,1时 ， f ( x ) 3 x 1 0 可化为 a 31 设 g ( x ) 3x 21x 3，则 g ( x ) 3 1 2 x x 4， 所以 g ( x ) 在区间0 ，12上单调递增，在区间12， 1 上单调递减， 因此 g ( x ) m g12 4 ，从而 a 4 ； 当 且 g( 3) 0，则不等式 f(x)g(x)0， 所以 F(x)也是增函数 . 因为 F( 3) f( 3)g( 3) 0 F(3). 所以 ， 由图可知 F(x)0或 f(x)0或 f(x)m 32D. m 0 恒成立， 所以 f(x)在 1， )上是增函数 ， 故当 x 1时 ， f(x)f(1) 3， 即当 n 1 时， ( b n ) m a x 16， 要使对任意的正整数 n， 不等式 则须使 k ( b n ) m a x 16， 所以实数 k 的最小值为16. (1)等差 (比 )数列中各有 5个基本量 ， 建立方程组可 “ 知三求二 ” ； (2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数 ,数列的通项公式即为相应的解析式 ，因此在解决数列问题时 ， 应注意利用函数的思想求解 . 思 维 升 华 变式训练 2 (1)(2014江苏 )在各项均为正数的等比数列 ， 若1， 2则 _. 解析 因为 所以由 22消去 得到关于 2 0， 解得 2， 1 22 4. 4 ( 2 ) 已知函数 f ( x ) (13)x，等比数列 a n 的前 n 项和为 f ( n ) c ，则 a n 的最小值为 ( ) A. 1 B . 1 23解析 由题设，得 a 1 f ( 1 ) c 13 c ； a 2 f ( 2 ) c f ( 1 ) c 29； a 3 f ( 3 ) c f ( 2 ) c 227 . 又数列 等比数列 ， ( 29) 2 (13 c ) ( 227) ， c 1. 又 公比 q a 3a 213， a n 23(13) n 1 2(13) n ， n N * . 且数列 递增数列 ， n 1 时， a n 有最小值 a 1 23 . 答案 D 热点三 函数与方程思想在几何中的应用 例 3 已知椭圆 C ： 1( a b 0 ) 的一个顶点为A ( 2 , 0 ) ，离心率为22. 直线 y k ( x 1) 与椭圆 C 交于不同的两点 M ， N . (1)求椭圆 解 由题意得a 2 ，2，得 b 2 . 所以椭圆 C 的方程为x 24y 22 1. ( 2 ) 当 A M N 的面积为103时，求 k 的值 . 解 由y k x 1 ，1得 (1 2 4 2 4 0. 设点 M， ( 则 x 1 x 2 4 k 21 2 k 2， x 1 x 2 2 k 2 41 2 k 2. 所以 | x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 1 k 2 x 1 x 2 2 4 x 1 x 2 2 1 k 2 4 6 k 2 1 2 k 2. 又因为点 A ( 2 , 0 ) 到直线 y k ( x 1) 的距离 d | k |1 k 2， 所以 A M N 的面积为 S 12| d | k | 4 6 k 21 2 k 2. 由| k | 4 6 k 21 2 k 2103，解得 k 1 . 所以 ， 或 1. 几何最值是高考的热点 ， 在圆锥曲线的综合问题中经常出现 ， 求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中 ， 抓住函数关系 ,将目标量表示为一个 (或者多个 )变量的函数 ， 然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决 . 思 维 升 华 变式训练 3 ( 1 ) ( 2 0 1 4 安徽 ) 设 ： x2 1 ( 0 1 ，则双曲线a 1 2 1 的离心率 e 的取值范围是 ( ) A . ( 1 ， 2 ) B . ( 2 ， 5 ) C . 2 ， 5 D . ( 3 ， 5 ) 解析 ( a 1 2 1 (1 1a)2， 因为当 a 1 时， 0 b c B. a c b C. c a b D. c b a 121lo 0 1 ， 1211， 所以 cab. C 1321 2 真题感悟 3 4 2 . ( 2 0 1 4 福建 ) 设 P ， Q 分别为圆 ( y 6)2 2 和椭圆1 上的点，则 P ， Q 两点间的最大距离是 ( ) A . 5 2 B. 46 2 C . 7 2 D . 6 2 1 2 真题感悟 3 4 解析 如图所示 ， 设以 (0,6)为圆心 ， 以 (y 6)2 r2(r 0)， 与椭圆方程 1联立得方程组 ， 消掉 12y 46 0. 122 4 9(46) 0， 解得 50， 1 2 真题感悟 3 4 即 r 5 2 . 由题意易知 P ， Q 两点间的最大距离为 r 2 6 2 ， 故选 D. 答案 D 3.(2014江苏 )在平面直角坐标系 若曲线 y (a， 过点 P(2， 5)， 且该曲线在点 x 2y 3 0平行 ， 则 a _. 1 2 真题感悟 3 4 析 y 导数为 y 2 ， 直线 7 x 2 y 3 0 的斜率为 72 . 由题意得4 a 5 ，4 a 72，解得a 1 ，b 2 ，则 a b 3. 3 4.(2014福建 )要制作一个容积为 4 高为 1 已知该容器的底面造价是每平方米 20元 ，侧面造价是每平方米 10元 ， 则该容器的最低总造价是_.(单位：元 ) 1 2 真题感悟 3 4 解析 设该长方体容器的长为 x m ，则宽为4 又设该容器的造价为 则 y 20 4 2( x 4x) 10 ， 1 2 真题感悟 3 4 即 y 80 20( x 4x)( x 0 ) . 因为 x 4x 2 x 4x 4( 当且仅当 x 4x，即 x 2 时取“ ” ) ， 所以 80 20 4 160(元 ). 答案 160 押题精练 1 2 3 f(x)的定义域为 R， f( 1) 2， 对任意 x R，f (x)2， 则 f(x)2x 4的解集为 ( ) A.( 1,1) B.( 1， ) C.( ， 1) D.( ， ) 4 5 6 押题精练 1 2 3 4 5 6 解析 f (x)2转化为 f (x) 20， 构造函数 F(x) f(x) 2x， 得 F(x)在 又 F( 1) f( 1) 2 ( 1) 4， f(x)2x 4， 即 F(x)4 F( 1)， 所以 x 1. 答案 B 押题精练 1 2 3 4 5 6 2. 设直线 x t 与函数 f ( x ) g ( x ) l n x 的图象分别交于点 M 、 N ，则当 | 达到最小时 t 的值为 ( ) A . 1 可知 | f(x) g(x) ln x. 令 F ( x ) x 2 l n x ， F ( x ) 2 x 1x2 x 2 1x， 押题精练 1 2 3 4 5 6 所以当 022时， F ( x ) 0 ， F ( x ) 单调递增， 故当 x t22时， F ( x ) 有最小值，即 | 达到最小 . 答案 D 押题精练 1 2 3 4 5 6 3 . ( 2 0 1 4 辽宁 ) 当 x 2 , 1 时，不等式 4 x 3 0 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. 5 ， 3 B . 6 ，98 C. 6 ， 2 D. 4 ， 3 押题精练 1 2 3 4 5 6 解析 当 x 0时 ， 4x 3 0变为 3 0恒成立 ， 即 a R. 所以 a x 2 4 x 3x 3 m 当 x ( 0 , 1 时， x 2 4 x 3 ， a x 2 4 x 3x 3， 设 ( x ) x 2 4 x 3x 3， 押题精练 1 2 3 4 5 6 所以 ( x ) 2 x 4 4 x 3 3 8 x 9 x 9 x 1 0 ， 所以 (x)在 (0,1上递增 ， (x)(1) 6. 所以 a 6. 当 x 2, 0) 时， a 4 x 3 所以 a x 2 4 x 3x3 m 押题精练 1 2 3 4 5 6 仍设 ( x ) 4 x 3 ( x ) x 9 x 1 当 x 2， 1)时 ， (x)0， (x)在 ( 1,0)上单调递增 . 所以当 x 1时 ， (x)有极小值 ， 即为最小值 . 押题精练 1 2 3 4 5 6 而 ( x ) m i n ( 1) 1 4 3 1 2 ，所以 a 2. 综上知 6 a 2. 答案 C 2 2 |x 2|)2 2 则实数 _. 押题精练 1 2 3 4 5 6 解析 令 f(x) (2 2 |x 2|)f(x) 2 只需 2 a是 f(x)的值域内的值 . f(x)的值域为 1,4)， 1 a 20， 即 (a 1)2 4 32a 1 (3a 1)( a 1)0， 押题精练 1 2 3 4 5 6 1 0 ， x 1 x 2 a 1a. 设点 O 到直线 g ( x ) x a 的距离为 d ，则 d | a |2， 押题精练 1 2 3 4 5 6 S 121 12| x 1 x 2 | a |212 3 2 a 1 12 3a 132 43. 1 1 ) ， M ： ( x 1)2 1 ， P 为椭圆 G 上一点， 过 P 作 M 的两条切线 E 、 F 分 别为切点 . 押题精练 1 2 3 4 5 6 ( 1 ) 求 t | 的取值范围； 解 设 P ( x 0 ， y 0 ) ，则1 1( a 1 ) ， ( 1)1 | 2 ( x 0 1)2 ( x 0 1)2 ( 1)1 1 t1 a . a a， a 1 t a 1(a1). 押题精练 1 2 3 4 5 6 ( 2 ) 把 示成 t 的函数 f ( t ) ，并求出 f ( t ) 的最大值、最小值 . 解 | | c o s E P F | 2( 2 c o E P M 1) (| 2 1)2 | 2 1 | 2 1押题精练 1 2 3 4 5 6 ( t 2 1)2 t 2 1 t 2 1 2t 2 3 ， f ( t ) t 2 2t 2 3( a 1 t a 1) . 对于函数 f ( t ) 3( t 0 ) ，显然在 t (0 ，42 时，f ( t ) 单调递减， 在 t 42 ， ) 时， f ( t ) 单调递增 . 押题精练 1 2 3 4 5 6 对于函数 f ( t ) t 2 2t 2 3( a 1 t a 1) ，
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