【步步高】（广东专用）2015届高考数学二轮复习 专题三 三角函数与
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三角函数
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【步步高】（广东专用）2015届高考数学二轮复习 专题三 三角函数与,步步高,广东,专用,高考,数学,二轮,复习,温习,专题,三角函数
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专题三 三角函数与平面向量 第 1讲 三角函数的图象与性质 主 干 知 识 梳 理 热 点 分 类 突 破 真 题 与 押 题 3 考查三角函数的最值 、 单调性 、对称性 、 周期性 . 三角函数的图象和性质 、 角的求值 ,重点考查分析 、 处理问题的能力 ,是高考的必考点 考 情 解 读 主干知识梳理 1 三角函数定义 、 同角关系与诱导公式 (1)定义：设 是一个任意角 ， 它的终边与单位圆交于点 P(x，y)， 则 y， x， 全正 ， 二正弦 ， 三正切 ， 四余弦 (2)同角关系： 1， . (3)诱导公式：在 ， k 奇变偶不变 ，符号看象限 ” yx 2 三角函数的图象及常用性质 函数 y x y x y x 图象 单调性 在 22(k Z)上单调递增；在2 2k Z) 上单调递减 对称性 对称中心： (0) (k Z)； 对称轴： x k Z) 对称中心： ( )(k Z)； 对称轴： x k Z) 对称中心： ( ， 0) (k Z) 在 2 2 k ，2 2 k ( k Z ) 上单调递增；在2 2 k ，32 2 k ( k Z ) 上单调递减 在 (2 k , 2 k )( k Z )上单调递增 2 2 (1 ) y s x 向左 0 或向右 0， 0) (2)y x y s i n x 向左 0 或向右 0， 0) 热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角 热点二 函数 y x )的图象及解析式 热点三 三角函数的性质 热点分类突破 三角函数的基本关系 热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系 例 1 ( 1 ) 点 P 从 ( 1 , 0 ) 出发，沿单位圆 1 逆时针方向运动23弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐标为 ( ) A ( 12，32) B ( 32，12) C ( 12，32) D ( 32，12) 思维启迪 准确把握三角函数的定义 解析 设 x， y)， 则 x 12， y s 2. Q 点的坐标为 ( 12，32) 答案 A ( 2 ) 已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边上一点 P ( 4 , 3 ) ，则c o s 2 s i n c o s 1 1 2 s i n 92 的值为 _ 思维启迪 利用三角函数定义和诱导公式 解析 原式 s i n s i n s i n c o s t a n . 根据三角函数的定义 ， 得 t a n 34 ， 原式34. 答案 34(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题 (如钟表 、 摩天轮 、 水车等 )， 常常借助三角函数的定义求解 应用定义时 ， 注意三角函数值仅与终边位置有关 ， 与终边上点的位置无关 (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则 ， 如切化弦 、 化异为同 、 化高为低 、 化繁为简等 思 维 升 华 变式训练 1 ( 1 ) 如图， 以 始边作角 ( 0 0 ， c o s 340 ， 0 ， | |0， 0)的图象求解析式时 ， 常采用待定系数法 ， 由图中的最高点 、 最低点或特殊点求 A；由函数的周期确定；确定 常根据 “ 五点法 ” 中的五个点求解 ，其中一般把第一个零点作为突破口 ， 可以从图象的升降找准第一个零点的位置 思 维 升 华 (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换 ，还是先周期变换 变换只是相对于其中的自变量 如果 ， 就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向 思 维 升 华 变式训练 2 (1)如图 ， 函数 f(x) x )(其中 A0， 0， | )与坐标轴的三个交点 P、 Q、 (2,0)， ， 2 ， 则 ) 2 4 5 C 8 D 16 解析 由题意设 Q(a,0)， R(0， a)(a0). 则 M (，由两点间距离公式得， 2 2 2 2 5 ，解得 a 8 ， 由 此得，8 2 6 ，即 T 12 ，故 6， 由 P ( 2 , 0 ) 得 3，代入 f ( x ) A s i n ( x ) 得， f ( x ) A s i n (6x 3) ， 从而 f ( 0 ) A s i n ( 3) 8 ， 得 A 1633 . 答案 B ( 2 ) 若将函数 y t a n ( x 4)( 0 ) 的图象向右平移6个单位长度后，与函数 y t a n ( x 6) 的图象重合，则 的最小正值为 ( ) y t a n ( x 4) 的图象向右平移6， 得到 y x 4 6) 的图象，与 y x 6)重合，得4 6 k 6， k Z ， 故 6 k 12 ， k Z ， 的最小正值为12 . 答案 D 例 3 设函数 f(x) 2x a(a R). (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间； 热点三 三角函数的性质 思维启迪 先化简函数解析式 ， 然后研究函数性质 (可结合函数简图 ). 解 f(x) 2x a 1 x x a x ) 1 a， 2 4 则 f(x)的最小正周期 T ， 22 且当 2 k 2 2 x 4 2 k 2( k Z) 时 f ( x ) 单调递增， 即 k 38 x k 8( k Z) . 所以 k 38 ， k 8 ( k Z) 为 f ( x ) 的单调递增区间 . (2)当 x 0， 时 ， f(x)的最大值为 2， 求 并求出 y f(x)(x R)的对称轴方程 . 6 解 当 x 0 ，6 时 4 2 x 4 712 ， 当 2 x 4 2 ，即 x 8 时 s i n ( 2 x 4 ) 1. 所以 f ( x ) m a x 2 1 a 2 a 1 2 . 由 2 x 4 k 2 得 x k 2 8 ( k Z) ， 故 y f ( x ) 的对称轴方程为 x k 2 8 ， k Z. 函数 y x )的性质及应用的求解思路 第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成 y x ) 第二步：把 “ x ” 视为一个整体 ， 借助复合函数性质求 y x ) 最值 、 对称性等问题 . 思 维 升 华 变式训练 3 已知函数 f(x) 2x 2 (0)的最小正周期为 . (1)求函数 f(x)的单调增区间； 3 3 解 由题意得： f ( x ) 2 s i n x c o s x 2 3 s i n 2 x 3 s i n 2 x 3 c o s 2 x 2 s i n ( 2 x 3 ) ， 由周期为 ，得 1 ，得 f ( x ) 2 s i n ( 2 x 3 ) ， 函数的单调增区间为 2 k 2 2 x 3 2 k 2，k Z ， 整理得 k 12 x k 512， k Z ， 所以函数 f ( x ) 的单调增区间是 k 12， k 512 ，k Z. (2)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位长度 ， 再向上平移 1个单位长度 ， 得到函数 y g(x)的图象；若 y g(x)在 0， b(b0)上至少含有 10个零点 ， 求 6 解 将函数 f(x)的图象向左平移 个单位长度 ， 6 再向上平移 1个单位长度 ， 得到 y 2x 1的图象 , 所以 g(x) 2x 1， 令 g ( x ) 0 ，得 x k 712或 x k 1 1 12( k Z) ， 所以在 0， 上恰好有两个零点 ， 若 y g(x)在 0， b上有 10个零点 ， 则 0个零点的横坐标即可 ， 即 b 的最小值为 4 1 1 125912. y x )(或 y x )， 或 yx )的单调区间 (1)将 化为正 . (2)将 x 看成一个整体 ， 由三角函数的单调性求解. 本讲规律总结 y x ) B(A0， 0)的图象求解析式 ( 1 ) A y m y m i B y m y m i ( 2 ) 由函数的周期 T 求 ， 2T. (3)利用与 “ 五点法 ” 中相对应的特殊点求 . y x )的对称轴一定经过图象的最高点或最低点 . (1)将三角函数式化为 y x ) 进而结合三角函数的性质求解 . (2)将三角函数式化为关于 x， 进而借助二次函数的性质求解 . 进行三角函数的图象变换时 ， 要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身 . 真题感悟 押题精练 真题与押题 1 2 真题感悟 1 . ( 2 0 1 4 辽宁 ) 将函数 y 3 s i n ( 2 x 3) 的图象向右平移2个单位长度，所得图象对应的函数 ( ) A . 在区间 12，712 上单调递减 B . 在区间 12，712 上单调递增 C . 在区间 6，3 上单调递减 D . 在区间 6，3 上单调递增 1 2 真题感悟 解析 y 3 s i n ( 2 x 3) 的图象向右平移2个单位长度得到 y 3 s i n 2 ( x 2) 3 3 s i n ( 2 x 23) . 令 2 k 2 2 x 23 2 k 2， k Z ， 得 k 12 x k 712 ， k Z ， 则 y 3 s i n ( 2 x 23 ) 的增区间为 k 12 ， k 712 ， k Z. 1 2 真题感悟 令 k 0 得其中一个增区间为 12，712 ，故 B 正确 . 可知 y 3 s i n ( 2 x 23) 在 6，3 上不具有单调性， 故 C ， D 错误 . 画出 y 3 s i n ( 2 x 23) 在 6，3 上的 简图，如图， 答案 B 真题感悟 2 1 2 . ( 2 0 1 4 北京 ) 设函数 f ( x ) A s i n ( x )( A ， ， 是常数， A 0 ， 0 ) . 若 f ( x ) 在区间6，2上具有单调性，且 f2 f23 f6，则 f ( x ) 的最小正周期为_ . 真题感悟 2 1 解析 f ( x ) 在6，2上具有单调性， 26， T 23. f2 f23， f ( x ) 的一条对称轴为 x 2232712. 真题感悟 2 1 又 f2 f6， f ( x ) 的一个对称中心的横坐标为2623. 14T 71234， T . 答案 押题精练 1 2 f(x) 2x )(0)的部分图象如图 ， 其中 M(m,0)， N(n,2)， P(， 0)， 且 ) ， 直线 x x y f ( x ) 图象的任意两条对称轴，且| 的最小值为4. ( 1 ) 求 f ( x ) 的表达式； 押题精练 1 2 解 f ( x ) 12s i n 2 x 3 1 c o s 2 212s i n 2 x 32c o s 2 x s i n ( 2 x 3) ， 由题意知，最小正周期 T 2 42， T 22 2，所以 2 ， f ( x ) s i n4 x 3 . 押题精练 1 2 (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度后 ， 再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍 ，纵坐标不变 ， 得到函数 y g(x)的图象 ， 若关于 g(x) k 0在区间 0， 上有且只有一个实数解 ，求实数 8 2 押题精练 1 2 解 将 f(x)的图象向右平移 个单位长度后 ， 得到 y x )的图象 ， 8 6 再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的 2倍 ，纵坐标不变 ， 得到 y x )的图象 . 6 所以 g(x) x ). 6 押题精练 1 2 令 2 x 6 t， 0 x 2， 6 t56. g(x) k 0在区间 0， 上有且只有一个实数解 ， 2 即函数 g(t) t与 y 上有且只有一个交点 . 如图 ， 6 ，56 押题精练 1 2 由正弦函数的图象可知12 k 12或 k 1. 12 k 12或 k 1. 专题三 三角函数与平面向量 第 2讲 三角变换与解三角形 主 干 知 识 梳 理 热 点 分 类 突 破 真 题 与 押 题 3 常和同角三角函数的关系 、 诱导公式结合 . 求值等 ， 经常和三角恒等变换结合进行综合考查 考 情 解 读 主干知识梳理 1 两角和与差的正弦 、 余弦 、 正切公式 (1) ) . (2) ) . ( 3 ) t a n ( ) t a n t a n 1 t a n t a n . 2 二倍角的正弦 、 余弦 、 正切公式 (1) 2. (2) 21 1 2( 3 ) t a n 2 2 t a n 1 t a 3 三角恒等式的证明方法 (1)从等式的一边推导变形到另一边 ， 一般是化繁为简 (2)等式的两边同时变形为同一个式子 (3)将式子变形后再证明 4 正弦定理 as i n Abs i n Bcs i n C 2 R ( 2 R 为 接圆的直径 ) 变形 ： a 2 R s i n A ， b 2 R s i n B ， c 2 R s i n C . s i n A ， s i n B ， s i n C . a b c s i n A s i n B s i n C . 5 余弦定理 2， 2， 2. 推论 ： c o s A c o s B c o s C 变形： 2， 2，2. 6 面积公式 S 12bc s i n A 12ac s i n B 12ab s i n C . 7 解三角形 (1)已知两角及一边 ， 利用正弦定理求解 (2)已知两边及一边的对角 ， 利用正弦定理或余弦定理求解 ， 解的情况可能不唯一 (3)已知两边及其夹角 ， 利用余弦定理求解 (4)已知三边 ， 利用余弦定理求解 热点一 三角变换 热点二 解三角形 热点三 正、余弦定理的实际应用 热点分类突破 热点一 三角变换 例 1 ( 1 ) 已知 s i n ( 3) s i n 4 35，2 0 ， 则 c o s ( 23) 等于 ( ) A . 45B . 利用和角公式化简已知式子 ， 和 )进行比较 . 23 解析 s i n ( 3) s i n 4 35，2 0 ， 32s i n 32c o s 4 35， 32s i n 12c o s 45， c o s ( 23) c o s c o s i n s i 12c o s 32s i n 45. 答案 C ( 2 ) ( 2 0 1 4 课标全国 ) 设 (0 ，2) ， (0 ，2) ，且 t a n 1 s i n c o s ，则 ( ) A . 3 2B . 2 2C . 3 2D . 2 2思维启迪 先对已知式子进行变形 , 得三角函数值的式子 ， 再利用范围探求角的关系 . 解析 由 t a n 1 si n c o s 得s i n c o s 1 s i n c o s ， 即 ， s i n ( ) c o s s i n (2 ) . (0 ，2) ， (0 ，2) ， ( 2 ，2 ) ，2 (0 ，2 ) ， 由 s i n ( ) s i n (2 ) ， 得 2 ， 2 2. 答案 B (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦 、 余弦 、正切公式 ， 二倍角公式 ， 三角恒等变换公式的熟记和灵活应用 ， 要善于观察各个角之间的联系 ， 发现题目所给条件与恒等变换公式的联系 ， 公式的使用过程要注意正确性 ， 要特别注意公式中的符号和函数名的变换 ， 防止出现张冠李戴的情况 . (2)求角问题要注意角的范围 ， 要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小 ， 避免产生增解 . 思 维 升 华 变式训练 1 设函数 f(x) x ) (1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值； 3 解 f ( x ) c o s ( 2 x 3) s i c o s 2 x c o s i n 2 x s i c o s 2 232s i n 2 x . 所以 f ( x ) 的最小正周期为 T 2 2 ， 最大值为1 32. ( 2 ) 若 是第二象限角，且 f (2) 0 ，求c o s 2 1 c o s 2 s i n 2 的值 . 解 因为 f (2) 0 ， 所以1232s i n 0 ， 即 s i n 33， 又 是第二象限角 ， 所以 c o s 1 s i 63. 所以c o s 2 1 c o s 2 s i n 2 c s i c o 2 s i n c o s c o s s i n c o s s i n 2 c o s c o s s i n c o s s i n 2 c o s 63332 636 32 62 24. 热点二 解三角形 c o s Bc o s C 2 例 2 在 角 A， B， a，b， c， 满足 a 2， 0. (1)求边 思维启迪 将 0中的边化成角 ， 然后利用和差公式求 ， 进而求 c. c o s Bc o s C 2 解 c o s Bc o s C2 ac0 ， 2 0， 2 0， 2 0， 0， c o s C 12， C (0 ， ) C 2 3 ， c as i n A s i n C 3 . (2)求 思维启迪 只需求 可利用 和基本不等式求解 . a 2 b 2 c 22 解 c o s C 12a 2 b 2 32 3， 33， 即 1. S 12ab s i n C 34. 面积最大值为34. 三角形问题的求解一般是从两个角度 ， 即从 “ 角 ”或从 “ 边 ” 进行转化突破 ， 实现 “ 边 ” 或 “ 角 ” 的统一 ， 问题便可突破 . 几种常见变形： (1)a b c ； (2)a 2， b 2， c 2， 其中 (3) B) ， B) . 思 维 升 华 变式训练 2 ( 1 )( 2014 广 东 ) 在 ， 角 A ， B ， C 所对应的边分别为 a ， b ， c ， 已知 b C c B 2 b ， 则_. 解析 (1)方法一 因为 2b， 所以 b a 2 b 2 c 22 c a 2 c 2 b 22 2 b ， 化简可得2. 方法二 因为 2b， 所以 2， 故 C) 2， 故 A 2s B ， 则 a 2 b ， 即2. 答案 2 ( 2 ) ( 2 0 1 4 江西 ) 在 ，内角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c . 若 ( a b )2 6 ， C 3，则 ) A . 3 2D . 3 3 解析 (a b)2 6， 26. C 3， c 2 a 2 b 2 2 ab c o s 3 a 2 b 2 由 得 6. S 12ab s i n C 12 6 323 32. 答案 C 例 3 (2013江苏 )如图 ， 游客从某旅游景 区的景点 处有两种路径 种是从 ， 另一种是先从 然后从 乙两位游客从 甲沿 速度为 50 m/ 乙从 ， 在 再从 30 m/山路 260 m， 经测量 ， . 热点三 正、余弦定理的实际应用 1213 35 (1)求索道 思维启迪 直接求 ， 利用正弦定理求 解 在 ， 因为 c o s A 1213， c o s C 35， 所以 s i n A 513， s i n C 45. 从而 (A C) C) 513351213456365. 由正弦定理i n Ci n B，得 i n B s i n C 1 2 6 0636545 1 0 4 0 ( m ) . 所以索道 040 m. (2)问：乙出发多少分钟后 ， 乙在缆车上与甲的距离最短 ？ 思维启迪 利用余弦定理和函数思想 ， 将甲乙距离表示为乙出发后时间 解 假设乙出发 甲 、 乙两游客距离为 d， 此时 ， 甲行走了 (100 50t)m， 乙距离 30t m， 所以由余弦定理得 ( 1 0 0 50 t )2 ( 1 3 0 t )2 2 1 3 0 t ( 1 0 0 50 t ) 1213 2 0 0 ( 3 7 70 t 50) ， 由于 0 t 1 0 4 0130，即 0 t 8 ， 故当 t 3537m i n 时，甲、乙两游客距离最短 . (3)为使两位游客在 分钟 ， 乙步行的速度应控制在什么范围内 ？ 解 由正弦定理i n Ai n B， 得 i n B s i n A 1 2 6 06365513 5 0 0 ( m ) . 乙从 甲已走了 50 (2 8 1) 550(m)，还需走 710 . 设乙步行的速度为 v m/ 由题意得 3 500v71050 3 ，解得1 2 5 043 v 62514， 所以为使两位游客在 乙步行的速度应控制在 (单位：m/围内 . 1 2 5 043 ，62514 求解三角形的实际问题 ， 首先要准确理解题意 ，分清已知与所求 ， 关注应用题中的有关专业名词 、 术语 ， 如方位角 、 俯角等；其次根据题意画出其示意图 ， 示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中 ，通过合理运用正 、 余弦定理等有关知识建立数学模型 ， 从而正确求解 ， 演算过程要简练 ， 计算要准确；最后作答 . 思 维 升 华 变式训练 3 如图 ， 中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼 作业 ， 中国海监船在 在南偏 东 60 方向的 有一艘某国军舰正以每 小时 13海里的速度向正西方向的 企图抓捕正在此时 ， 方向的 10海里处 ， 中国海监船以每小时 30海里的速度赶往 能不能及时赶到 ？ ( 2 3 6 解 过点 D 交 . 因为 45 ， 10海里 ， 所以 所以 2222 10 5 2 ( 海里 ) . 在 因为 60 ， 所以 t a n 6 0 5 2 3 5 6 ( 海里 ) . 所以 (5 6 5 2 )( 海里 ). 因为中国海监船以每小时 30海里的速度航行 ， 某国军舰正以每小时 13海里的速度航行 ， 所以中国海监船到达 C 点所用的时间 03013( 小时 ) ，某国军舰到达 C 点所用的时间 6 2 135 2 . 45 1 . 41 13 0 . 4( 小时 ). 因为13 0 . 4 ，所以中国海监船能及时赶到 . 一角二名三结构 ， 即用化归转化思想 “ 去异求同 ”的过程 ， 具体分析如下： (1)首先观察角与角之间的关系 ， 注意角的一些常用变换形式 ， 角的变换是三角函数变换的核心 . (2)其次看函数名称之间的关系 ， 通常 “ 切化弦 ” . (3)再次观察代数式的结构特点 . 本讲规律总结 (1)正 、 余弦定理是实现三角形中边角互化的依据 ，注意定理的灵活变形 ， 如 a 2， (其中 2， 2等 ， 灵活根据条件求解三角形中的边与角 . )三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用 ， 如利用 “ 三角形的内角和等于 ” 和诱导公式可得到 B) ， 等 ， 利用“ 大边对大角 ” 可以解决解三角形中的增解问题等 . 余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题 ， 抽象出三角形模型 . A 真题感悟 押题精练 真题与押题 1 2 真题感悟 1 . ( 2 0 1 3 浙江 ) 已知 R ， s i n 2 c o s 102， 则 t a n 2 等于 ( ) 34D . 431 2 真题感悟 解析 s i n 2 c o s 102， s i n 2 4 s i n c o s 4 c o s 2 52. 用降幂公式化简得： 4 3， t a n 2 s i n 2 c o s 2 34. 故选 C. 答案 C 真题感悟 2 1 2.(2014江苏 )若 2， 则 的最小值是 _. 2 解析 由 s i n A 2 s i n B 2 s i n C ， 结合正弦定理得 a 2 b 2 c . 由余弦定理得 c o s C a 2 b 2 c 22 2 1 a 2 b 242 42 3412 24， 故6 24 c o s C 1 ， 且 3 a 2 2 b 2 时取 “ ” . 真题感悟 2 1 故 c o s C 的最小值为6 24. 答案 6 24押题精练 1 2 1 . 如果 15， 且 是第一象限的角 ， 那么 3 2) _ . 解析 15， 为第一象限角 ， si n 1 co s 2 1 15 2 2 65， 3 2) 2 65. 2 65 押题精练 1 2 角 A， B， a， b，c， q (2a,1)， p (2b c， )， 且 q p. (1)求 的值； 解 q (2a,1)， p (2b c， )且 q p， 2b c 2， 由正弦定理得 2 2 ， 又 C) ， 押题精练 1 2 12s i n C c o s A s i n C . s i n C 0 ， c o s A 12， 又 0 A ， A 3， s i n A 32. 押题精练 1 2 (2)求三角函数式 1的取值范围 . 2 c o s 2 t a n 原式 2 c o s 2 t a n C 1 1 2 c o s i 1 s i n Cc o s C 1 2 c o 2 s i n C c o s C s i n 2 C c o s 2 C 2 s i n ( 2 C 4) ， 押题精练 1 2 0 C 23 ， 42 C 41312 ， 22 s i n ( 2 C 4) 1 ， 1 2 s i n ( 2 C 4) 2 ， 即三角函数式 2 c o s 2 t a n C 1 的取值范围为 ( 1 ， 2 . 专题三 三角函数与平面向量 第 3讲 平面向量 主 干 知 识 梳 理 热 点 分 类 突 破 真 题 与 押 题 3 高考中常以小题形式进行考查 . 有时和三角函数相结合 ， 凸显向量的工具性 ，考查处理问题的能力 考 情 解 读 主干知识梳理 (1)零向量模的大小为 0， 方向是任意的 ， 它与任意非零向量都共线 ， 记为 0. (2)长度等于 1个单位长度的向量叫单位向量 ， . (3)方向相同或相反的向量叫共线向量 (平行向量 ). (4)如果直线 k， 则 a (1， k)是直线 (5)向量的投影： |b|a,b 叫做向量 a|a| (1)向量共线定理：向量 a(a 0)与 ， 使 b a. (2)平面向量基本定理：如果 那么对这一平面内的任一向量 a， 有且只有一对实数 1， 2， 使 a 12其中 若两个非零向量 a ( b ( 则 (1)a ba b0. (2)a bab 00. ( 1 ) 若 a ( x ， y ) ， 则 | a | a a ( 2 ) 若 A ( ， B ( ， 则 | . ( 3 ) 若 a ( ， b ( ， 为 a 与 b 的夹角 ， 则 c a b| a | b | 热点一 平面向量的概念及线性运算 热点二 平面向量的数量积 热点三 平面向量与三角函数的综合 热点分类突破 例 1 (1)(2014福建 )在下列向量组中 ， 可以把向量a (3,2)表示出来的是 ( ) (0,0)， (1,2) ( 1,2)， (5， 2) (3,5)， (6,10) (2， 3)， ( 2,3) 热点一 平面向量的概念及线性运算 思维启迪 根据平面向量基本定理解题 . 解析 由题意知 ， 0， C、 都不符合基底条件 ， 故选 B(事实上 ，a (3,2) 2 答案 B (2)如图所示 ， A， B， 上的三点 ， 线段 圆 ， 若 m n ， 则 m ) A.(0,1) B.(1， ) C.( ， 1) D.( 1,0) B思维启迪 构造三点共线图形 ， 得到平面向量的三点共线结论 ， 将此结论与 对应 . m n 解析 依 题意，由点 D 是圆 O 外一点， 可设 ( 1 ) ， 则 (1 ) . 又 C ， O ， D 三点共线，令 ( 1 ) ， 则 1 ( 1 ， 1 ) ， 所以 m ， n 1 . 故 m n 1 1 ( 1 , 0 ) . 故选 D. 答案 D 对于平面向量的线性运算问题 ， 要注意其与数的运算法则的共性与不同 ， 两者不能混淆 灵活利用三角形法则 、 平行四边形法则 要抓住两条主线：一是基于 “ 形 ” ， 通过作出向量 ， 结合图形分析；二是基于 “ 数 ” ， 借助坐标运算来实现 . 思 维 升 华 变式训练 1 (1)(2014陕西 )设 00， 2 得 2 ， . 12 12 (2) 如图，在 ， 13 D 为 中点， 于点 E . 若 a ， b ，且 x a y b ，则 x y _ _. 解析 如图 ， 设 ， 连接 因为 所以 因为 13 所以 方法一 因为 a ， b ， D 为 中点， 所以 12( a b ) E1214( a b ) . 所以 b 14( a b ) 14a 34b . 所以 x 14， y 34，所以 x y 12. 方法二 易得 12 12 所以 14所以 34 因为 b 13a ， 所以 34( b 13a ) 14a 34b . 所以 x 14， y 34，则 x y 12. 答案 12热点二 平面向量的数量积 例 2 ( 1 ) 如图， 半径为 1 的 圆 O 的两条直径， 2 则 于 ( ) A . 34B . 89C . 14D . 49思维启迪 图 ， 可对题中向量进行转化 ， ； 解析 2 圆 O 的半径为 1 ， | 13， ( ( 2 ( (13)2 0 1 89. 答案 B ( 2 ) ( 2 0 1 3 重庆 ) 在平面上， | | 1 ， 若 | 12，则 | 的取值范围是 ( ) A.0 ，52B.52，72C.52， 2 D.72， 2 思维启迪 利用 | 12，寻找 关系 . 解析 ， ( ( 2 0 ， 2. . . | | | | 1 ， 2 1 1 2 2( 2 2 2( 2) 2 2， | O P|12， 0 | 2 14， 0 2 214， 74 2 2 ，即 | 72， 2 . 答案 D (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义 ， 坐标运算 ， 数量积的几何意义； (2)可以利用数量积求向量的模和夹角 ， 向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算 . 思 维 升 华 变式训练 2 ( 1 ) ( 2 0 1 4 江苏 ) 如图，在平行四边形，已知 8 ， 5 ， 3 2 ，则 值是 _ _ _ _ _ _ _ _ . 解析 由 3 得 1414 14 14 34 因为 2 ，所以 ( 14 ( 34 2 ， 即 2123162 2. 又因为 2 25 ， 2 64 ，所以 22. 答案 22 ( 2 ) 已知点 G 是 重心，若 A 1 2 0 ， 2 ，则 | 的最小值是 _ _ _ _ _ _ _ _ . 解析 在 延长 ， 点 上的中线，且 23 | | c o s 1 2 0 2 ， | | | | 4 ， 23 2 13( ， 2 13( 2 19 2 2 2 19 2 | | 2 ( 2 ) 49， 249， | 23， | 的最小值是23. 答案 23 热点三 平面向量与三角函数的综合 思维启迪 应用向量的数量积公式可得 f(x)的三角函数式 ， 然后利用换元法将三角函数式转化为二次函数式 ， 由此可解得函数的最小值及对应的 例 3 已知向量 a (， )， b (x， x)，c (x 2， x 2)， 其中 0x. (1)若 ， 求函数 f(x) b 4 解 b (x， x)， 4 c (x 2， x 2)， ， f(x) bc x 2 x 2 2x (x x). 2令 t si n x c o s x4 x ， 则 2 s i n x c o s x t 2 1 ，且 1 t 2 . 则 y 2 t 1 t 22232， 1 t 2 ， t 22时， y m i n 32，此时 si n x c o s x 22， 即 2 si nx 422， 4 x ， 2 x 4 54 ， x 476 ， x 1 1 12. 函数 f ( x ) 的最小值为32，相应 x 的值为1 1 12. (2)若 a与 ， 且 a c， 求 的值 . 3 思维启迪 由夹角公式及 a 的三角函数式 ， 通过三角恒等变换可得结果 . 解 a 与 b 的夹角为3 ， c o s 3 a b| a | | b | c o s c o s x si n si n x c o s ( x ) . 0 x ， 0 x ， x 3 . a c， (x 2) (x 2) 0， si n ( x ) 2 s i n 2 0 ，即 si n2 3 2 s i n 2 0. 52si n 2 32c o s 2 0 ， t 2 35. 在平面向量与三角函数的综合问题中 ， 一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题 ， 如利用向量平行 、 垂直的条件表述三角函数式之间的关系 ， 利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题 ， 在解决此类问题的过程中 ， 只要根据题目的具体要求 ， 在向量和三角函数之间建立起联系 ， 就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题 . 思 维 升 华 变式训练 3 (1)当 a 求 已知向量 a s i n x ，34 ， b ( c o s x ， 1) . c x si n 2 x c o s 2 x 2 s i n x c o s xs i n 2 x c o s 2 x1 2t a n t a n 2 x85. 解 a b ， 34c o s x si n x 0 ， t x 34. (2)设函数 f(x) 2(a b)b， 已知在 内角 A，B， a， b， c， 若 a ， b 2， ， 求 f(x) 4A )(x 0， )的取值范围 . 3 63 6 3 解 f ( x ) 2( a b ) b 2 si n2 x 432， 由正弦定理as i n Abs i n B，可得 si n A 22， A 4. f ( x ) 4 c 2 A 6 2 si n2 x 412， x 0 ，3 ， 2 x 4 4，11 12 . 32 1 f ( x ) 4 c o s ( 2 A 6) 2 12. 故所求范围为 32 1 ， 2 12 . 本讲规律总结 要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示 ， 就要根据向量加减法的法则进行 ， 特别是减法法则很容易出错 ， 向量 (其中 ，这个法则就是终点向量减去起点向量 . 对于非零向量 a， b， 当 |ab| |a b|时 ， 平行四边形的两条对角线长度相等 ，此时平行四边形是矩形 ， 条件 |a b| |a b|等价于向量 a， 0， ， 在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是 0或 的情况 ， 如已知两个向量的夹角为钝角时 ， 不单纯就是其数量积
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