【步步高】（广东专用）2015届高考数学二轮复习 专题突破训练 理（含2014年高考真题）（打包27套）
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【步步高】（广东专用）2015届高考数学二轮复习 专题突破训练 理（含2014年高考真题）（打包27套）,步步高,广东,专用,高考,数学,二轮,复习,温习,专题,突破,训练,年高,考真题,打包,27
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1 第 1 讲 集合与常用逻辑用语 考情解读 常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题 考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断 1集合的概念、关系 (1)集合中元素的特性：确定性、互异性、 无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验 (2)集合与集合之间的关系： AB， BCAC，空集是任何集合的子集，含有 n 个元素的集合的子集数为 2n，真子集数为 2n 1，非空真子集数为 2n 2. 2集合的基本运算 (1)交集： A B x|x A，且 x B (2)并集： A B x|x A，或 x B (3)补集： x|x U，且 xA 重要结论： A B AAB； A B ABA. 3四种命题及其关系 四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命 题同真同假，遇 到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理 4充分条件与必要条件 若 pq，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件；若 pq，则 p， q 互为充要条件 5简单的逻辑联结词 (1)命题 p q，只要 p， q 有一真，即为真；命题 p q，只有 p， q 均为真，才为真；綈 p 和p 为真假对立的命题 (2)命题 p q 的否定是 (綈 p)( 綈 q)；命题 p q 的否定是 (綈 p)( 綈 q) 6全称量词与存在量词 “ x M， p(x)” 的否定为 “ M，綈 p( ； “ M， p( 的否定为 “ x M，綈 p(x)”. 2 热点一 集合的关系及运算 例 1 (1)(2014 四川 )已知集合 A x|x 20 ，集合 A ) A 1,0,1,2 B 2， 1,0,1 C 0,1 D 1,0 (2)(2013 广东 )设整数 n4 ，集合 X 1,2,3， ， n，令集合 S (x， y， z)|x， y， z X，且三条件 是 “ a|a|b|b|” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条 件 (2)(2014 江西 )下列叙述中正确的是 ( ) A若 a， b， c R，则 “ c0” 的充分条件是 “ 4” B若 a， b， c R，则 “ 的充要条件是 “ ac” C命题 “ 对任意 x R，有 ” 的否定是 “ 存在 x R，有 ” D l 是一条直线， ， 是两个不同的平面，若 l ， l ，则 思维启迪 要明确四种命题的真假关系；充要条件的判断，要准确理解充分条件、必要条件的含义 答案 (1)C (2)D 解析 (1)当 bba|a|b|b|； 当 b 0 时，显然有 aba|a|b|b|； 当 b0 时， ab 有 |a|b|，所以 aba|a|b|b|. 综上可知 aba|a|b|b|，故选 C. (2)由于 “ 若 4 ，则 c0” 是假命题，所以 “ c0” 的充分条件不是 “ 4” ， A 错； 因为 ，所以 ac.而 ac 时，若 0，则 此知 “ “ ac” 的充分不必要条件， B 错； “ 对任意 x R，有 ” 的否定是 “ 存在 x R，有x，命题 q： x R， 0，即 81，故命题 p 为真命题；对于命题q，取 x 2 ，则 x 2) 1，此时 xx，故命题 q 为假命题，因此命题 p 题 p q 是假命题，命题 p( 綈 q)是真命题，命题 p( 綈 q)是真命题，故选C. (2)命题 p： x A,2x B 是一个全称命题，其命题的否定綈 p 应为 x A,2xB，选 D. 思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立； (2)判断命题的真假要先明确命题的构成由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算 (1)已知命题 p：在 ， “ CB” 是 “” 的充分不必要条件；命题 q： “ ab” 是 “ 的充分不必要条件，则下列选项中正确的是 ( ) A p 真 q 假 B p 假 q 真 C “ p q” 为假 D “ p q” 为真 (2)已知命题 p： “ x1,2 ， a0” ，命题 q： “ R， 20x 22 a 0” 若命题 “( 綈 p) q” 是真命题，则实数 a 的取值范围是 ( ) A a 2 或 a 1 B a2 或 1 a2 C a1 D 2 a1 答案 (1)C (2)C 解析 (1) ， CBcb22(R 为 接圆半径 )， 所以 CB. 故 “ CB” 是 “” 的充要条件，命题 p 是假命题 若 c 0，当 ab 时，则 0 ab 5 必有 c0 ，则 ，则有 ab，所以 ab，故 “ ab” 是 “ 必要不充分条件，故命题 q 也是假命题，故选 C. (2)命题 p 为真时 a1 ； “ R， 20x 22 a 0” 为真，即方程 22 a 0有实根，故 44(2 a)0 ，解得 a1 或 a 2.(綈 p) q 为真 命题，即綈 p 真且 a1. 1解答有关集合问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键；其次关注元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助数轴和加以解决 2判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条 件判断中可以使用命题的等价转化方法 3含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断 4一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立的、一真一假的 . 真题感悟 1 (2013 广东 )设集合 M x|2x 0， x R， N x|2x 0， x R，则 M ) A 0 B 0,2 C 2,0 D 2,0,2 答案 D 解析 M x|x 0 或 x 2 0， 2， N 0,2， M N 2,0,2 2 (2014 重庆 )已知命题 p：对任意 x R，总有 2x0； q： “ x1” 是 “ x2” 的充分不必要条件 则下列命题为真命题的是 ( ) A p q B綈 p 綈 q C綈 p q D p 綈 q 答案 D 解析 因为指数函数的值域为 (0， ) ，所以对任意 x R， y 2x0 恒成立，故 p 为真命题； 6 因为当 x1 时， x2 不一定成立，反之当 x2 时，一定有 x1 成立，故 “ x1” 是 “ x2” 的必要不充分条件，故 q 为假命题，则 p q、綈 p 为假命题，綈 q 为真命题，綈 p 綈 q、綈 p p 綈 q 为真命题，故选 D. 押题精练 1若全集 U R，集合 M x| x 21， N x| x|x1 x|x1 2若命题 p：函数 y 2x 的单调递增区间是 1， ) ，命题 q：函数 y x 11， ) ，则 ( ) A p q 是真命题 B p q 是假命题 C綈 p 是真命题 D綈 q 是真命题 答案 D 解析 因为函数 y 2x 的单调递增区间是 1， ) ，所以 p 是真命题；因为函数 y x 1 ， 0)和 (0， ) ，所以 q 是假命题所以 p q 为假命题， p p 为假命题，綈 q 为真命题，故选 D. 3函数 f(x) x0， 2x a， x0 有且只有一个零点的充分不必要条件是 ( ) A 案 A 解析 因为函数 f(x)过点 (1,0)，所以函数 f(x)有且 只有一个零点 函数 y 2x a(x0)没有零点 函数 y 2x(x0) 与直线 y a 无公共点由数形结合，可得 a0 或 a1. 所以函数 f(x)有且只有一个零点的充分必要条件是 a0 或 a1，应排除 D；当 00” 是 “” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 8 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 B 解析 (m 1)(a 1)0 等 价 于 m1，a1 或 价 于 m1，a1 或 0x B x(0 ， 2)，使得 x x C x(0 ， 2)，使得 xx D x(0 ， 2)，使得 x x 答案 C 解析 原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题而 “x x” 的否定是 “xx” ，故选 C. 6在 ， “ A 60” 是 “ 12” 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条 件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 C 解析 在 A 60 时，有 12，因为角 A 是 内角，所以，当 12时，也只有 A 60 ，因此，是充分必要条件 7 (2013 湖北 )已知全集为 R，集合 A x 12 x1 ， B x|6x 80 ，则 A ) A x|x0 B x|2 x4 C x|0 D x|04 或 8已知集合 A (x， y)|x y 1 0， x， y R， B (x， y)|y 1， x， y R，则集合 A B 的元素个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 答案 C 解析 集合 A 表示直线 l： x y 1 0 上的点的集合，集合 B 表示抛物线 C： y 1 上的点的集合 由 x y 1 0，y 1 消去 y 得 x 0， 由于 0，所以直线 l 与抛物线 C 有两个交点 即 A B 有两个元素故选 C. 9设命题 p：函数 y x 的最小正周期为 2 ；命题 q：函数 y x 的图象关于直线 x 2 对称则下列判断正确的是 ( ) A p 为真 B綈 q 为假 C p q 为假 D p q 为真 答案 C 解析 p 是假命题， q 是假命题，因此只 有 C 正确 10已知 p： x R， 20 ， q： x R， 210，若 p q 为假命题，则实数 ) A 1， ) B ( ， 1 C ( ， 2 D 1,1 答案 A 解析 p q 为假命题， p 和 q 都是假命题 由 p： x R， 20 为假命题， 得綈 p： x R， 20 为真命题， m0. 由 q： x R， 210 为假命题， 10 得綈 q： x R， 210 为真命题， ( 2m)2 40 m 1 或 m1. 由 和 得 m1. 故选 A. 二、填空题 11已知集合 P x|x(x 1)0 ， Q x|y ln(x 1)，则 P Q _. 答案 (1， ) 解析 由 x(x 1)0 可得 x0 或 x1 ， 则 P ( ， 01 ， ) ； 又由 x 10 可得 x1， 则 Q (1， ) ， 所以 P Q (1， ) 12 “ mn0” 是 “ 方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆 ” 的 _条件 答案 充要 解析 mn01n1m0 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，故填充要 13由命题 “ x R， 2x m0” 是假命题，求得实数 m 的取值范围是 (a， ) ，则实数 a 的值是 _ 答案 1 解析 根据题意可得： x R， 2x m0 是真命题，则 1，故 a1. 14给出下列四个命题： 命题 “ 若 ，则 ” 的逆否命题； “ R，使得 20x ” 的否定是： “ x R，均有 的否定应是： 11 “ x R，均有 x0” ，故 错； 对 ，因由 “ 4” 得 x 2 ， 所以 “ 4” 是 “ x 2” 的必要不充分条件，故 错； 对 ， p， q 均为真命题，由真值表判定 p 且 q 为真命题，故 正确 15已知集合 M 为点集，记性质 P 为 “ 对 (x， y) M， k(0,1) ，均有 ( M” 给出下列集合： ( x， y)|y， ( x， y)|2， ( x， y)|x 2y 0， ( x，y)|0，其中具有性质 P 的点集序号是 _ 答案 解析 对于 ：取 k 12，点 (1,1)( x， y)|y，但 (12， 12)(x， y)|y，故 是不具有性质 P 的点集 对于 ： (x， y)( x， y)|2，则点 (x， y)在椭圆 21 内部，所以对 0k1，点 (在椭圆 21 的内部，即 ( x， y)|2，故 是具有性质 P 的点集 对于 ： (x 12)2 (y 1)2 54，点 (12， 12)在此圆上，但点 (14， 14)不在此圆上，故 是不具有性质 P 的点集 对于 ： (x， y)( x， y)|0，对于 k(0,1) ，因为 ( ( ( 00，所以 ( x， y)|0，故 是具有性质 P 的点集综上，具有性质 P 的点集 是 . 1 第 2 讲 不等式与线性规划 考情解读 用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题 与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题 1四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式 c0(a0) ，再求相应一元二次方程 c 0(a0) 的根，最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集 (2)简单分式不等式的解法 变形 f xg x 0(0(1 时， af(x)ag(x)f(x)g(x)； 当 0ag(x)f(x)1 时， x)x)f(x)g(x)且 f(x)0， g(x)0； 当 0x)f(x)0， g(x)0. 2五个重要不等式 (1)|a|0 ， ( a R) (2) ab(a、 b R) (3)a ab(a0， b0) (4)(a 2(a， b R) (5) a b(a0， b0) 3二元一次不等式 (组 )和简单的线性规划 (1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等 2 (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤： 画出可行域； 根据线性目标函数的几何意义确定最优解； 求出目标函数的最大值或者最小值 4两个常用结论 (1)c0(a0) 恒成立的条件是 a0， 12 ，则 f(10x)0的解集为 ( ) A x|x B x| 1 D x|解集为 ( ) A x|x2 或 D x|00.(2)利用 f(x)是偶函数求 b，再解 f(2 x)0. 答案 (1)D (2)C 解析 (1)由已知条件 00. f(2 x)0 即 ax(x 4)0，解得 故选 C. 思维升华 二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识，也是高考的热点， “ 三个二次 ” 3 的相互转化体现了转化与化归的数学思想方法 (1)不等式 x 12x 10 的解集为 ( ) A ( 12， 1 B 12， 1 C ( ， 12)1 ， ) D ( ， 121 ， ) (2)已知 p： R， 10 ， q： x R， 10.若 p q 为真命题，则实数 m 的取值范围是 ( ) A ( ， 2) B 2,0) C ( 2,0) D 0,2 答案 (1)A (2)C 解析 (1)原不等式等价于 (x 1)(2x 1)0，且 1. 所以 m32(当且仅当 m32，即 m32， n 2 时，取等号 )所以m34，即 ， 5 所以 最大值为 3. (2)2x 2x a 2(x a) 2x a 2a 2 x a 2x a 2a 4 2a， 由题意可知 4 2a7 ，得 a 32， 即实数 a 的最小值为 32，故选 B. 热点三 简单的线性规划问题 例 3 (2013 湖北 )某旅行社租用 A、 B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行， A、 B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1 600 元 /辆和 2 400 元 /辆，旅行社要求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆则租金最少为 ( ) A 31 200 元 B 36 000 元 C 36 800 元 D 38 400 元 思维启迪 通过设变量将实际问题转化为线性规划问题 答案 C 解析 设租 A 型车 x 辆， B 型车 y 辆时租金为 z 元， 则 z 1 600x 2 400y, x、 y 满足 x y21y x736x 60y900 ，x， y0 ， x、 y 直线 y 23x 00过点 A(5,12)时纵截距最小， 所以 51 600 2 40012 36 800， 故租金最少为 36 800 元 思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围 (2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解 (3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数 错误 !未找到引用源。 (1)已知实数 x， y 满足约束条件 x04x 3y4y0，则 w y 1x 的最小值是 ( ) 6 A 2 B 2 C 1 D 1 (2)设 z y，其中实数 x， x y 20 ，x 2y 40 ，2x y 40 ，若 2，则 k _. 答案 (1)D (2)2 解析 (1)画出可行域，如图所示 错误 !未找到引用源。 w y 1x 表示可行域内的点 (x， y)与定点 P(0， 1)连线的斜率，观察图形可知 斜率最小为 1 00 1 1，故选 D. (2)首先画出可行域如下图所示，可知当 x y 4 时， z 取最大值 12， 12 4k 4， k 2. 错误 !未找到引用源。 1几类不等式的解法 一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与 x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点；分式不等式可转化为整式不等式 (组 )来解；以函数为背景的不等式可利用函数的单调性进行转化 2基本不等式的作用 二元基本不等式具有将 “ 积式 ” 转化为 “ 和式 ” 或将 “ 和式 ” 转化为 “ 积式 ” 的放缩功能，常常用于比较数 (式 )的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创造基本不等式的应用背景，如通过 “ 代换 ” 、 “ 拆项 ” 、 “ 凑项 ” 等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件利用 基本不等式求最值时要注意 “ 一正、二定、三相等 ” 的条件，三个条件缺一不可 3线性规划问题的基本步骤 (1)定域 画出不等式 (组 )所表示的平面区域，注意平面区域的边界与不等式中的不等号的对应； (2)平移 画出目标函数等于 0 时所表示的直线 l，平行移动直线，让其与平面区域有公共点，根据目标函数的几何意义确定最优解，注意要熟练把握最常见的几类目标函数的几何意义； (3)求值 利用直线方程构成的方程组求解最优解的坐标，代入目标函数，求出最值 . 7 真题感悟 1 (2014 山东 )已知实数 x， y 满足 1 B ln(1)ln(1) C xy D x3案 D 解析 因为 A 中，当 x 1， y 0 时， 120)，所以 y 17 ( 4x 1 x 1)17 2 4x 1 x 13(当且仅当 4x 1 x 1，即 x 1 时取等号 )，所以促销费用投入 1万元时，厂家的利润最大，故选 A. 2若点 P(x， y)满足线性约束条件 3x y0 ，x 3y 20 ，y0 ，点 A(3， 3)， O 为坐标原点，则 的最大值为 _ 答案 6 解析 由题意，知 (3， 3)，设 (x， y)，则 3x 3y. 令 z 3x 3y， 如图画出不等式组所表示的可行域， 可知当直线 y 3x 33 z 经过点 B 时， z 取得最大值 由 3x y 0，x 3y 2 0，解得 x 1，y 3， 即 B(1， 3)，故 z 的最大值为 31 3 36. 即 的最大值为 6. (推荐时间： 50 分钟 ) 一、选择题 9 1 (2014 四川 )若 ab0， 2x B 2xlg xC 2xlg x D 2xlg x 答案 D 解析 分别画出函数 y 2x， y y lg x 的图象，如下图，由图象可知，在 x(0,1)时，有 2xlg x， 故选 D. 错误 !未找到引用源。 3 (2013 重庆 )关于 x 的不等式 28解集为 ( 且 15， 则a 等于 ( ) 案 A 解析 由 28以不等式的解集为 ( 2a,4a)， 10 即 4a， 2a，由 15，得 4a ( 2a) 15，解得 a 52. 4 (2014 重庆 )若 a 4b) a b 的最小值是 ( ) A 6 2 3 B 7 2 3 C 6 4 3 D 7 4 3 答案 D 解析 由题意得 ， ，3a 4b0，所以 a0，b0. 又 a 4b) 所以 a 4b) 所以 3a 4b 4a 3b 1. 所以 a b (a b)(4a 3b) 7 3 47 2 3 4 7 4 3， 当且仅当 3 4取等号故选 D. 5已知变量 x， y 满足约束条件 x y 50x 2y 10x 10，则 z x 2y 1 的最大值为 ( ) A 9 B 8 C 7 D 6 答案 B 解析 约束条件 x y 50x 2y 10x 10所表示的区域如图， 由图可知，当目标函数过 A(1,4)时取得最大值，故 z x 2y 1 的最大值为 1 24 1 8. 二、填空题 11 6已知 f(x)是 R 上的减函数， A(3， 1)， B(0,1)是其图象上两点，则不等式 |f(1 ln x)|0，则 1m 1_ 答案 32 2 解析 点 A(1,1)在直线 22 0 上， 2 m n 2， 1m 1n (1m 1n)2m 12(2 2 1) 12(3 2 2 32 2， 当且仅当 2 n 2m 时取等号， 1m 12 2. 三、解答题 12 9设集合 A 为函数 y 2x 8)的定义域，集合 B 为函数 y x 1x 1的值域，集合C 为不等式 (1a)(x 4)0 的解集 (1)求 A B； (2)若 C a 的取值范围 解 (1)由 2x 80 得 40，即 x 1 时 y2 1 1， 此时 x 0，符合要求； 当 x 10 时， C x| 4 x 1不可能 C 当 a0 时， C x|x 4 或 x 1 若 C 1 ， 12， 22 a0.故 a 的取值范围为 22 ， 0) 10投资生产 A 产品时，每生产 100 吨需 要资金 200 万元，需场地 200 平方米，可获利润 300万元；投资生产 B 产品时，每生产 100 吨需要资金 300 万元，需场地 100 平方米，可获利润200 万元现某单位可使用资金 1 400 万元，场地 900 平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？ 解 设生产 A 产品 x 百吨，生产 B 产品 y 百吨，利润为 S 百万元， 则约束条件为 2x 3y14 ，2x y9 ，x0 ，y0 ，目标函数为 S 3x 错误 !未找到引用源。 13 作直线 3x 2y 0，将 S 3x 2y 随之增大， 当它经过直线 2x y 9 和 2x 3y 14 的交点 (134 ， 52)时， S 最大，此时， 3 134 2 52 因此，生产 A 产品 325 吨，生产 B 产品 250 吨时， 利润最大为 1 475 万元 11某工厂生产某种产品，每日的成本 C(单位：万元 )与日产量 x(单位：吨 )满足函数关系式C 3 x ，每日的销售额 S( 单位 ：万元 ) 与日产量 x 的 函 数 关 系 式 S 3x 8 5， 0x6，14， x S C，且当 x 2 时， L 3. (1)求 k 的值； (2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值 解 (1)由题意可得 L 2x 8 2， 0x6，11 x， xx 2 时， L 3，所以 3 22 8 2， 解得 k 18. (2)当 0x6 时， L 2x 18x 8 2，所以 L 2(x 8) 18x 8 18 2(8 x) 188 x 18 2 x 188 x 18 6， 当且仅当 2(8 x) 188 x，即 x 5 时取得等号 当 x6 时， L 11 x5. 所以当 x 5 时 L 取得最大值 6. 所以当日产量为 5 吨时，每日的利润可以达到最大，最大值为 6 万元 1 第 1 讲 排列、组合与二项式定理 考情解读 列、组合的考查以基本概念、基本方法 (如“ 在 ”“ 不在 ” 问题、相邻问题、相间问题 )为主，主要涉及数字问题、样品问题、几何问题、涂色问题、选取问题等；对二项式定理的考查，主要是利用通项求展开式的特定项，利用二项式定理展开式的性质求有关系数问题主要考查分类与整合思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑思维能力 列、组合、两个计数原理往往通过实际问题进行综合考查，一般以选择、填空题的形式出 现，难度中等，还经常与概率问题相结合，出现在解答题的第一或第二个小题中，难度也为中等；对于二项式定理的考查，主要出现在选择题或填空题中，难度为易或中等 1分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘 2排列与组合 (1)排列：从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一个排列从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数公式是 n(n 1)(n 2)( n m 1)或写成 n！n m ！ . (2)组合：从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素组成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数公式是 n n n n mm！ 或写成 n！m！ n m ！ . (3)组合数的性质 C C 1 1n . 3二项式定理 (1)二项式定理： (a b)n 1b 2 r 0,1,2， ，n) (2)二项展开式的通项 1 r 0,1,2， ， n，其中 (3)二项式系数的性质 2 对称性：与首末两端 “ 等距离 ” 两项的二项式系数相等， 即 1n ， ， . 最大值： 当 n 为偶数时，中间的一项的二项式系数 2 n 为奇数时，中间的两项的二项式系数 12， 12相等，且同时取得最大值 各二项式系数的和 a 2n； b 1n 122 n 2n 1. 热点一 两个计数原理 例 1 (1)将 1,2,3， ， 9 这 9 个数字填在如 图的 9 个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大当 3,4 固定在图中的位置时，填写空格的方法为 ( ) A 6 种 B 12 种 C 18 种 D 24 种 (2)如果一个三位正整数 “ 满足 52m0 在区间 22 ， 2上恒成立， 所以 m( 52 x2)区间 22 ， 2上，易知当 x 2时， 52大值为 5，所以 m5. 即实数 m 的取值范围是 5， ) (推荐时间： 60 分钟 ) 一、选择题 1 (2014 安徽 )从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 60 的共有 ( ) A 24 对 B 30 对 C 48 对 D 60 对 答案 C 解析 如图 ，在正方体 面对角线 60 角的面对角线有 8 条，同理与 60角的面对角线也有 8 条因此一个面上的 2 条面对角线与其相邻的 4 个面上的 8 条对角线共组成 16 对又正方体共有 6 个面，所以共有 166 96(对 )又因为每对被计算了 2 次，因此成 60 角的面对角线有 1296 48(对 ) 2在 (x 2x)5的二项展开式中， ) A 40 B 40 C 80 D 80 答案 A 解析 (x 2x)5的展开式的通项为 1 r( 2x)r ( 2)5 2， 9 令 5 3 2，得 r 2，故展开式中 2)240，故选 A. 3从 8 名女生和 4 名男生中，抽取 3 名学生参加某档电视节目 ，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为 ( ) A 224 B 112 C 56 D 28 答案 B 解析 根据分层抽样，从 8 个人中抽取男生 1 人，女生 2 人；所以取 2 个女生 1 个男生的方法： 112. 4若 (1 2x)5 ) A 122 B 123 C 243 D 244 答案 B 解析 在已知等式中分别取 x 0、 x 1 与 x 1，得 1， 35， 1，因此有 2( 35 1 244， 122， 123， 故选 B. 5 (2014 四川 )在 x(1 x)6的展开式中，含 ) A 30 B 20 C 15 D 10 答案 C 解析 因为 (1 x)6的展开式的第 r 1 项为 1 x(1 x)6的展开式中含 2615以系数为 15. 6计划展出 10 幅不同的画，其中 1 幅水彩画、 4 幅油画、 5 幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有 ( ) A B D 案 D 解析 先把 3 种品种的画看成整体，而水彩画受限制应优先考虑，不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有 考虑国画与油画本身又可以全排列，故排列的方法有 7二项式 ( x 13 x) 项为常数项，则常数项为 ( ) A 10 B 10 C 20 D 20 10 答案 B 解析 由题意可知二项式 ( x 13 x)n 的展开式的常数项为 x)n 3( 13 x)3 ( 1)356 ， 令 3n 15 0，可得 n 5. 故所求常数项为 ( 1)3 10，故选 B. 8有 A、 B、 C、 D、 E 五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次 A、 B 两位学生去问成绩，老师对 A 说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对 B 说：你是第三名请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为 ( ) A 6 B 18 C 20 D 24 答案 B 解析 由题意知，名次排列的种数为 18. 9在二项式 (1x)n 的展开式中，所有二项式系数的和是 32，则展开式中各项系数的和为( ) A 32 B 32 C 0 D 1 答案 C 解析 依题意得所有二项式系数的和为 2n 32，解得 n 5. 因此，令 x 1，则该二项展开式中的各项系数的和等于 (12 11)5 0，故选 C. 10用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在 “ 田 ” 字形的 4 个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，则所有涂色方法的种数为 ( ) A 60 B 80 C 120 D 260 答案 D 解析 如图所示，将 4 个小方格依次编号为 1,2,3, 种颜色，则只能是第 1,4 个小方格涂一种，第 2,3 个小方格涂一种，方法种数是 20；如果使用 3 种颜色，若第 1,2,3 个小方格不同色，第 4 个小方格只能和第 1 个小方格相同，方法种数是 60，若第 1,2,3 个小方格只用 2 种颜色，则第 4 个方格只能用第 3 种颜色，方法种数是 2 60；如果使用 4 种颜色，方法种数是 理，知总的涂法种数是 20 60 60 120 260，故选 D. 二、填空题 11 11 “ 雾霾治理 ”“ 光盘行动 ”“ 网络反腐 ”“ 法治中国 ”“ 先看病后付费 ” 成为 2013 年社会关注的五个焦点小王想利用 2014“ 五一 ” 假期的时间调查一下社会对这些热点的关注度若小王准备按照顺序分别调查其中的 4 个热点，则 “ 雾霾治理 ” 作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的调查顺序总数为 _ 答案 72 解析 先从 “ 光盘行动 ”“ 网络反腐 ”“ 法治中国 ”“ 先看病后付费 ” 这 4个热点选出 3个，有 调查时， “ 雾霾治理 ” 安排的调查顺序有 余三个热点调查顺序有 不同调查顺序的总数为 72. 12 (x 1)(414)3的展开式中的常数项为 _ 答案 160 解析 (x 1)(414)3 (x 1)(2x 1x)6，其 中 (2x 1x)6 展开式的第 r 1 项为 1 x)6 r( 1x)r ( 1)rC 6 r 2r， 令 r 3，可得 ( 1)3 3 160， 所以二项式 (x 1)(414)3的展开式中常数项为 ( 1)( 160) 160. 13 (2014 北京 )把 5 件不同产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相邻， 则不同的摆法有 _种 答案 36 解析 将产品 A 与 B 捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有 产品 A， B， C 捆绑在一起，且 A 在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有 是符合题意的排法共有 36(种 ) 14 (2014 课标全国 )( x a)10 的展开式中， 系数为 15，则 a _.(用数字填写答案 ) 答案 12 解析 设通项为 1 10 r 7， r 3， 31015， 18， a 12. 15某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，且甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为 _ 答案 36 解析 若甲、乙分到的车间不再分人，则分法有 22C 13 18 种；若甲、乙分到的车间再分一人，则分法有 3C 13A 22 18 种所以满足题意的分法共有 18 18 36 种 12 16已知 (x (a0)的展开式中常数项为 240，则 (x a)(x 2a)2的展开式中 _ 答案 6 解析 (x 的二项展开式的通项为 1 r( ax)r 6 2，令 6 3 0，得 r 4，则其常数项为 15240，则 16，由 a0，故 a x a)(x 2a)2的展开式中， 3 3)2 6. 1 第 2 讲 概率、随机变量及其分布 考情解读 典概型、条件概率，而几何概型常与平面几何、定积分交汇命题，古典概型常与排列、组合交汇命题；常考内容还有离散型随机变量的分布列、期望 (均值 )、方差，常与相互独立事件的概率、 n 次独立重复试验交汇考查 考查形式上来看，三种题型都有可能出现，选择题、填空题突出考查基础知识、基本技能，有时会在知识交汇点处命题；解答题则着重考查知识的综合运用，考查统计、古典概型、二项分布以及离散型随机 变量的分布列等，都属于中、低档题 1随机事件的概率 (1)随机事件的概率范围： 0 P(A)1 ；必然事件的概率为 1；不可能事件的概率为 0. (2)古典概型的概率 P(A) 本事件总数 . (3)几何概型的概率 P(A) 构成事件 积或体积试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积 . 2条件概率 在 A 发生的条件下 B 发生的概率： P(B|A) P . 3相互独立事件同时发生的概率 P( P(A)P(B) 4独立重复试验 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为 Pn(k) p)n k， k 0,1,2， ， n. 5超几何分布 在含有 件产品中，任取 中恰有 P(X k) k 0,1,2， ，m，其中 m ， n，且 n N， M N， n， M， N N* 服从超几何分布超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是 M， N， n. 2 6离散型随机变量的分布列 (1)设离散型随机变量 X 可能取的值为 ， ， X 取每一个值 (X 称下表： X x1 x2 p1 p2 离散型随机变量 X 的分布列 (2)离散型随机变量 X 的分布列具有两个性质： ， 1(i1,2,3， ， n) (3)E(X) 的均值或数学期望 (简称期望 ) D(X) (E(X)2 (E(X)2 (E(X)2 (E(X)2 做随机变量 X 的方差 (4)性质 E(b) ) b， D(b) )； X B(n， p)，则 E(X) D(X) p)； X 服从两点分布，则 E(X) p， D(X) p(1 p) 7正态分布 若 X N( ， 2)，则正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P( E( 1)E( 2) C p1E( 1)E( 2) D 以 p1押题精练 1有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球，从中随机取出 4 个，则取出球的编号互不相同的概率为 ( ) 案 D 解析 有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球，从中随机取出 4 个，有 210 种不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的；设事件 A 为 “ 取出球的编号互不相同， ” 则事件 A 包含了 12C 12C 12C 12 80 个基本事件， 9 所以 P(A) 80210 821. 2箱中装有标号为 1,2,3,4,5,6 且大小相同的 6 个球从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两 球号码之积是 4 的倍数，则获奖现有 4 人参与摸奖 (每人一次 )，则恰好有 3人获奖的概率是 ( ) D. 4625 答案 B 解析 由题意得任取两球有 出两球号码之积是 4 的倍数的情况为 (1,4)， (2,4)，(3,4)， (2,6)， (4,6)， (4,5)共 6 种情况，故每人摸球一次中奖的概率为 625，故 4 人中有3 人中奖的概率为 5)3 35 . 3甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛结束因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为 一场比赛可获得门票收入 40 万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加 10 万元 (1)求总决赛中获得门票总收入恰好为 300 万元的概率； (2)设总决赛中获 得的门票总收入为 X，求 X 的均值 E(X) 解 (1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为 40，公差为 10 的等差数列 设此数列为 则易知 40， 10n 30， n n2 300. 解得 n 12(舍去 )或 n 5， 总决赛共比赛了 5 场 则前 4 场比赛的比分必为 13 ，且第 5 场比赛为领先的球队获胜，其概率为 2)4 14. (2)随机变量 X 可取的值为 220,300,390,490. 又 P(X 220) 2( 12)4 18， P(X 300) 2)4 14， P(X 390) 2)5 516， P(X 490) 2)6 516. 所以， X 的分布列为 X 220 300 390 490 10 P 18 14 516 516 所以 X 的均值为 E(X) 220 18 300 14 390 516 490 516 元 ) (推荐时间： 50 分钟 ) 一、选择题 1 (2014 课标全国 )4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 ( ) 案 D 解析 4 名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有 24 16(种 )，其中仅在周六 (周日 )参加的各有 1 种， 所求概率为 1 1 116 78. 2已知菱形 边长为 4， 150 ，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于 1 的概率为 ( ) B 1 4 D 1 8 答案 D 解析 P 4450 124450 18. 3已知 (x， y)| y0 ，y 4 ，直线 y 2m 和曲线 y 4 们围成的平面区域为 M，向区域 上随机投一点 A，点 A 落在区域 M 内的概率为 P(M)，若 P(M) 22 ， 1，则实数 m 的取值范围为 ( ) A 12， 1 B 0， 33 C 33 ， 1 D 0,1 答案 D 解析 如图，由题意得 m0 ，根据几何概型的意义， 11 知 P(M) 又 P(M) 22 ， 1， 所以 S 弓形 2,2 故 0 m1. 4已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡，这些灯泡的外形与 功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第 1 次抽到的是螺口灯泡的条件下，第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率是 ( ) 案 D 解析 设事件 A 为 “ 第 1 次抽到的是螺口灯泡 ” ，事件 B 为 “ 第 2 次抽到的是卡口灯泡 ” ， 则 P(A) 310， P( 310 79 730. 则所求概率为 P(B|A) P 730310 79. 5将三个骰子各掷一次，设事件 A 为 “ 三个骰子掷出的点数都不同 ” ，事件 B 为 “ 至少有一个骰子掷出 3 点 ” ，则条件概率 P(A|B)， P(B|A)分别是 ( ) 12 6091 6091 12 答案 A 解析 根据条件概率的含义， P(A|B)的含义为在 B 发生的情况下， A 发生的概率，即在 “ 至少有一个骰子掷出 3 点 ” 的情况下， “ 三个骰子掷出的点数都不同 ” 的概率因为 “ 至少有一个骰子掷出 3 点 ” 的情况共有 666 555 91(种 )， “ 三个骰子掷出的点数都不相同且只有一个 3 点 ” 的情况共有 4 60(种 )， 所以 P(A|B) 6091. P(B|A)的含义为在 A 发生的情况下， B 发生的概率，即在 “ 三个骰子掷出 的点数都不同 ” 的情况下， “ 至少有一个骰子掷出 3 点 ” 的概率，所以 P(B|A) 4654 12，故选 A. 6设随机变量 服从正态分布 N(2,9)，若 P( c) P( c) P( c 2)即 c与 c 2 关于 2 对称，则有 c c 22 2c 3. 二、填空题 7 (2014 江西 )10 件产品中有 7 件正品， 3 件次品，从中任取 4 件，则恰好取到 1 件次品的概率是 _ 答案 12 解析 从 10 件产品中取 4 件，共有 到 1 件次品的取法为 古典概型概率计算公式得 P 335210 12. 8将一枚均匀的硬币抛掷 6 次，则正 面出现的次数比反面出现的次数多的概率为 _ 答案 1132 解析 正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现 4 次， 5 次或 6 次，故所求的概率 P 12 6 12 6 12 6 1132. 9 (2014 浙江 )随机变量 的取值为 0,1,( 0) 15， E( ) 1，则 D( )_. 答案 25 解析 设 P( 1) a， P( 2) b， 则
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