【步步高】（广东专用）2016高考数学一轮复习 第四章 第1-7讲 文（含解析）（打包7套）
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【步步高】（广东专用）2016高考数学一轮复习 第四章 第1-7讲 文（含解析）（打包7套）,步步高,广东,专用,高考,数学,一轮,复习,温习,第四,解析,打包
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1 第四章 三角函数、解三角形 第 1 讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数 一、选择题 1 的值 ( ) A小于 0 B大于 0 C等于 0 D不存在 解析 0， 0， 0， 0. 答案 A 2已知点 P( 落在角 的终边上，且 0,2) ，则 是第 _象限角 ( ) A一 B二 C三 D四 解析 因 P 点坐标为 ( 22 ， 22 )， P 在第三象限 答案 C 3若一扇形的圆心角为 72 ，半径为 20 扇形的面积为 ( ) A 40 B 80 C 40 D 80析 72 25 ， S 扇形 12R 2 12 25 20 2 80() 答案 B 4给出下列命题： 第二象限角大于第一象限角； 三角形的内角是第一象限角或第二象限角； 不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关； 若 ，则 与 的终边相同； 若 0， 1. 若 2 ，则 1. 由已知 00. 13一个扇形 面积是 1 的周长是 4 圆心角的弧度数和弦长 解 设圆的半径为 r 长为 l 则 121，l 2r 4，解得 r 1，l 2. 圆心角 2. 如图，过 O 作 H，则 1 1 ( 2 ( 14 如图所示， A， B 是单位圆 O 上的点，且 B 在第二象限， x 轴正半轴的交点， A 点的坐标为 35， 45 ， 正三角形 (1)求 (2)求 解 (1)根据三角函数定义可知 45. (2) 正三角形， 60 ， 又 45， 35， 60) 0 0 5 35 12 45 32 3 4 310 . 1 第 2 讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 一、选择题 1 203 ( ) B. 32 C 12 D 32 解析 203 6 23 3 12，故选 C. 答案 C 2已知 2，则 2 ( ) A 43 C 34 析 由于 2 ，则 2 2 2 1 22 2 222 1 45. 答案 D 3若 12，则 ( ) A 34 C 43 析 由 12，得 1 1 12，所以 3，所以 21 34. 答案 B 4已知 f(x) x，则 f(0) 的值为 ( ) A 0 B 1 C 1 D. 32 解析 f(x) x， f(0) f(0) 80 1. 答案 C 5若 ， 是方程 42m 0 的两根，则 m 的值为 ( ) A 1 5 B 1 5 C 1 5 D 1 5 解析 由题意知： 又 ( )2 1 2 ， 2 1 解得： m 1 5，又 416m0 ， m0 或 m4 ， m 1 5. 答案 B 6若 7 7 n N*)，则在 ， 数的个数是( ) A 16 B 72 C 86 D 100 解析 由 7 7 ， 7 7 ， ， 7 37 ， 7 47 0，所以 0. 同理 0，共 14 个，所以在 2， ， 余各项均大于 0，个数是 100 14 86(个 )故选 C. 答案 C 二、填空题 7已知 513，且 是第二象限的角，则 ) _. 解析 由 是第二象限的角，得 1 1213， 125 ，则 ) 125. 答案 125 8已知 为第二象限角，则 1 1 1 _. 解析 原式 1 1 1 1 1 1 0. 答案 0 9已知 12 ，且 0， 2 ，则 4的值为 _ 解析 依题意得 12，又 ( )2 ( )2 2，即 ( )2 12 2 2，故 ( )2 74；又 0， 2 ，因此有 3 72 ，所以 4 2( ) 142 . 答案 142 10 f(x) x ) x ) 4(a， b， ， 均为非零实数 )，若 f(2 012) 6，则 f(2 013) _. 解析 f(2 012) 012 ) 012 ) 4 4 6， 2， f(2 013) 013 ) 013 ) 4 4 2. 答案 2 三、解答题 11 已知 1 1 3 2 2， 求 ) 32 2 2 )的值 解析 由已知得 1 1 3 2 2， 2 2 24 2 2 1 22 2 22 . ) 32 2 2 ) ( )( ) 2 2 2 1 21 22 11 12 4 23 . 12 已知 ) 2 32 ， 求下列各式的值 ： (1) 45 2 ； (2) . 4 解 法一 由 ) 2 32 ，得 2. (1)原式 45 2 2 452 2 16. (2)原式 2 2 2 1 85. 法二 由已知得 2 . (1)原式 2 452 2 16. (2)原式 2 1485. 13是否存在 2 ， 2 ， (0， ) ，使等式 ) 2 2 ， 3 ) 2 )同时成立？若存在，求出 ， 的值；若不存在，请说明理由 解 假设存在角 ， 满足条件， 则由已知条件可得 2 ，3 2 . 由 2 2，得 3 2. 12， 22 . 2 ， 2 ， 4. 当 4 时，由 式知 32 ， 又 (0， ) ， 6 ，此时 式 成立； 当 4 时，由 式知 32 ， 又 (0， ) ， 6 ，此时 式不成立，故舍去 存在 4 ， 6 满足条件 14已知函数 f(x) 2x 4 . (1)求 f(x)的定义域与最小正周期； 5 (2)设 0， 4 ，若 f 2 2 ，求 的大小 解 (1)由 2x 4 2 k Z，得 x 8 k f(x)的定义域为x R|x 8 k Z ， f(x)的最小正周期为 2. (2)由 f 2 2 ，得 4 2 ， 4 4 2( ， 整理得 2( )( ) 因为 0， 4 ，所以 0. 因此 ( )2 12，即 12. 由 0， 4 ，得 2 0， 2 6 ，即 12. 1 第 3 讲 三角函数的图象与性质 一、选择题 1函数 f(x) 2x 是 ( ) A最小正周期为 2 的奇函数 B最小正周期为 2 的偶函数 C最小正周期为 的奇函数 D最小正周期为 的偶函数 解析 f(x) 2x x. f(x)是最小正周期为 的奇函数 答案 C 2已知函数 f(x) x ) 3x ) 2 ， 2 是偶函数，则 的值为 ( ) A 0 解析 据已知可得 f(x) 2 x 3 ，若函数为偶函数，则必有 3 2(k Z)，又由于 2 ， 2 ，故有 3 2 ，解得 6 ，经代入检验符合题意 答案 B 3函数 y 2 6x 3 (0 x9) 的最大值与最小值之和为 ( ) A 2 3 B 0 C 1 D 1 3 解析 0 x9 ， 3 6 x 3 76 ， 32 6x 3 1 ， 32 6x 3 2. 函数 y 2 3 (0 x9) 的最大值与最小值之和为 23. 答 案 A 4函数 f(x) (1 3x)x 的最小正周期为 ( ) A 2 C 解析 依题意，得 f(x) x 3x 2 x 6 . 答案 A 2 5函数 y x 1 的值域为 ( ) A 1,1 B. 54， 1 C. 54， 1 D. 1， 54 解析 (数形结合法 )y x 1，令 x t，则有 y t 1， t 1,1，画出函数图像如图所示，从图像可以看出，当 t 12及 t 1 时，函数取最值，代入 y t 1 可得 y 54， 1 . 答案 C 6已知 0,0，则 钝角三角形； 若 a b 0，则函数 y x x 的图象的一条对称轴方程为 x 4. 其中是真命题的序号为 _ 解析 2 3(k Z) 3， 而 3/ 2 3(k Z)， 正确 f(x ) |2x ) 1| | 2x 1| |2x 1| f(x)， 错误 ， 0， 4 即 B)0， 00， 2 2x 6 2a， a f(x) b,3a b， 又 5 f(x)1 ， b 5,3a b 1， 因此 a 2， b 5. (2)由 (1)得 a 2， b 5， f(x) 4 2x 6 1， g(x) f x 2 4 2x 76 1 4 2x 6 1， 又由 lg g(x) 0，得 g(x) 1， 4 2x 6 1 1， 2x 6 12， 2 6 2x 6 2 56 ， k Z， 其中当 2 6 2x 6 2 2 ， k Z 时， g(x)单调递增，即 x 6 ，k Z， g(x)的单调增区间为 6 ， k Z. 又 当 2 2 2x 6 2 56 ， k Z 时， g(x)单调递减，即 6 x 3 ， k Z. g(x)的单调减区间为 6 ， 3 ， k Z. 综上， g(x)的递增区间为 6 (k Z)；递减区间为 6 ， 3 (kZ) 1 第 4 讲 函数 y x )的图象及性质 一、选择题 1已知函数 f(x) x 3 ( 0)的最小正周期为 ，则该函数的图像 ( ) A关于点 3 ， 0 对称 B关于直线 x 4 对称 C关于点 4 ， 0 对称 D关于直线 x 3 对称 解析 由已知， 2，所以 f(x) 2x 3 ，因为 f 3 0，所以函数图像关于点3 ， 0 中心对称，故选 A. 答案 A co s( 2 1)的图像，只要将函数 的图像（ ） A. 向左平移 1 个单位 B. 向右平移 1 个单位 C. 向左平移 12个单位 12个单位 解析 因为 1c o s ( 2 1 ) c o s ( 2 ( )2y x x ,所以将 向左平移 12个单位 ,故选C. 答案 C 3. 函数 f(x) x )A0， 0， | |0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则 的最小值为 ( ) 析 将函数 y 个单位，得到函数 y (x ) x 2 )的图象，由题意得 2 2 k Z)，故 的最小值为 4. 答案 C 5 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置 P(x， y)若初始位置为 32 ， 12 ，当秒针从 ：此时 t 0)正常开始走时，那么点 P 的纵坐标 y 与时间t 的函数关系 为 ( ) A y 30t 6 B y 60t 6 C y 30t 6 D y 30t 3 解析 由题意可得，函数的初相位是 6 ，排除 B， 0(秒 )且秒针按顺时针旋转，即 T 2 60，所以 | | 30，即 30，故选 C. 答案 C 6电流强度 I(安 )随时间 t(秒 )变化的函数 I t )(A0， 0,00， 2 2 的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为 2 2，则 _. 解析 由已知两相邻最高点和最低点的距离为 2 2，而 f(x)f(x)2，由勾股定理可得 2 2 22 2， T 4， 2T 2. 答案 2 8已知函数 f(x) 3 x 6 ( 0)和 g(x) 2x ) 1 的图象的对称轴完全相同，若 x 0， 2 ，则 f(x)的取值范围是 _ 解析 f(x)与 g(x)的图象的对称轴完全相同， f(x)与 g(x)的最小正周期相等， 0， 2， f(x) 3 2x 6 ， 0 x 2 ， 6 2 x 6 56 ， 12 2x 6 1 ， 323 2x 6 3 ，即 f(x)的取值范围是 32， 3 . 答案 32， 3 9已知函数 f(x) 2x )(| |) ，若 8 ， 58 是 f(x)的一个单调递增区间，则 的值为 _ 解析 令 2 2 x 32 2 k Z， k 0 时，有 4 2 x 34 2 ，此时 函 数 单 调 递 增 ， 若 8 ， 58 是 f(x) 的 一 个 单 调 递 增 区 间 ， 则 必 有 4 4 2 8 ，34 2 58 ，解得 4 ， 4 ，故 4. 答案 4 10在函数 f(x) x )(A 0， 0)的一个周期内，当 x 9 时有最大值 12，当x 49 时有最小值 12，若 0， 2 ，则函数解析式 f(x) _. 解析 首先易知 A 12，由于 x 9 时 f(x)有最大值 12，当 x 49 时 f(x)有最小值 12，所以 T 49 9 2 23 ， 2 3 9 12， 0， 2 ，解得 6 ，故 f(x) 12 3x 6 . 答案 12 3x 6 三、解答题 11已知函数 f(x) 32(1)将 f(x)的图像向右平移 12个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数 g(x)的图像，求 g(x)的解析式； (2)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间 解 (1)依题意 f(x) 32 12 31 2 2x 6 1， 将 f(x)的图像向右平移 12个单位长度，得到函数 f1(x) 2 2 x 12 6 121 的图像，该函数的周期为 ，若将其周期变为 2 ，则得 g(x) 21. (2)函数 f(x)的最小正周期为 T ， 5 当 2 2 2 x 6 2 2(k Z)时，函数单调递增， 解得 3 x 6(k Z)， 函数的单调递增区间为 3 ， 6 (k Z) 12已知向量 m (x,1)， n ( 3x， x)(A 0)，函数 f(x) m n 的最大值为 6. (1)求 A； (2)将函数 y f(x)的图象向左平移 12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 12倍，纵坐标不变，得到函数 y g(x)的图象，求 g(x)在 0， 524 上的值域 解 (1)f(x) m n 3x x A 32 x 12x A 2x 6 . 因为 A 0，由题意知 A 6. (2)由 (1)知 f(x) 6 2x 6 . 将函数 y f(x)的图象向左平移 12个单位后得到 y 6 2 x 12 6 6 2x 3 的图象； 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的 12倍，纵坐标不变，得到 y 6 4x 3 的图象 因此 g(x) 6 4x 3 . 因为 x 0， 524 ，所以 4x 3 3 ， 76 ， 故 g(x)在 0， 524 上的值域为 3,6 13 已知函数 f(x) 2 3 4 4 x ) (1)求 f(x)的最小正周期； (2)若将 f(x)的图象向右平移 6 个单位，得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)在区间 0， 6 上的最大值和最小值 解 (1)因为 f(x) 3 x 2 x 3x x 2 32 x 12x 2 x 3 ， 所以 f(x)的最小正周期为 2. (2) 将 f(x)的图象向右平移 6 个单位，得到函数 g(x)的图象， g(x) f x 6 2 x 6 3 2 x 6 . x 0， ， x 6 6 ， 76 ， 当 x 6 2 ，即 x 3 时， x 6 1， g(x)取得最大值 2. 当 x 6 76 ，即 x 时， x 6 12， g(x)取得最小值 1. 14设函数 f(x) 22 2x 4 (1)求 f(x)的最小 正周期； (2)设函数 g(x)对任意 x R，有 g x 2 g(x)，且当 x 0， 2 时， g(x) 12 f(x)求g(x)在区间 ， 0上的解析式 解 (1)f(x) 22 2x 4 22 x x 1 12 12x， 故 f(x)的最小正周期为 . (2)当 x 0， 2 时， g(x) 12 f(x) 12x，故 当 x 2 ， 0 时， x 2 0， 2 . 7 由于对任意 x R， g x 2 g(x)， 从而 g(x) g x 2 12 2 x 2 12 2x) 12x. 当 x ， 2 时， x 0， 2 . 从而 g(x) g(x ) 12(x ) 12x. 综合 、 得 g(x)在 ， 0上的解析式为 g(x) 12x， x ， 2 ， 12x， x 2 ， 0 . 1 第 5 讲 两角和与差的正弦、余弦和正切 一、选择题 1. 已知锐角 满足 4 ，则 等于 ( ) B 12 C. 22 D 22 解析 由 4 得 ( )( ) 22 ( ) 由 为锐角知 0. 22 ，平方得 1 12. 12. 答案 A 2若 1 12，则 等于 ( ) B 54 D 43 解析 1 2 12， 2， 21 41 4 43，故选 D. 答案 D 3 已知 ， 都是锐角，若 55 ， 1010 ，则 ( ) 和 34 D 4 和 34 解析 由 ， 都为锐角，所以 1 2 55 ， 1 3 1010 ) 22 ，所以 4. 2 答案 A 4已知 43 02)的两根为 ， ，且 A， B 2 ， 2 ，则 A B _. 4 解析 由题意知 3 0， 0， B) 1 3a 1. A， B 2 ， 2 ， A， B 2 ， 0 ， A B ( ， 0)， A B 34 . 答案 34 三、解答题 11已知函数 f(x) 2x 3 2x 3 21， x R. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求函数 f(x)在区间 4 ， 4 上的最大值和最小值 解 (1)f(x) x 3 x 3 x 3 x 3 x x x 2 2x 4 . 所以， f(x)的最小正周期 T 22 . (2)因为 f(x)在区间 4 ， 8 上是增函数，在区间 8 ， 4 上是减函数又 f 4 1， f 8 2， f 4 1， 故函数 f(x)在区间 4 ， 4 上的最大值为 2，最小值为 1. 12已知 3 55 ， 0， 4 ， 4 35， 4 ， 2 . (1)求 和 的值； (2)求 2 )的值 解 (1)由题意得 ( )2 95， 即 1 95， 45. 又 2 0， 2 ， 1 35， 43. 5 (2) 4 ， 2 ， 4 0， 4 ， 4 35， 4 45， 于是 4 2 4 4 2425. 又 4 ， 2425， 又 2 2 ， ， 725， 又 1 2 45， 0， 4 ， 2 55 ， 55 . 2 ) 2 55 2425 55 725 11 525 . 13函数 f(x) 6 3x 3( 0)在一个周期内的图象如图所示， A 为图象的最高点， B、 C 为图象与 x 轴的交点，且 正三角形 (1)求 的值及函数 f(x)的值域； (2)若 f( 8 35 ，且 103 ， 23 ，求 f(1)的值 解 (1)由已知可得， f(x) 3x 3x 2 3 x 3 ， 又正三角形 高为 2 3，从而 4， 所以函数 f(x)的周期 T 42 8，即 2 8， 4. 函数 f(x)的值域为 2 3， 2 3 (2)因为 f( 8 35 ， 由 (1)有 f( 2 3 3 8 35 ， 即 3 45. 由 103 ， 23 ，知 3 2 ， 2 ， 6 所以 3 1 45 2 35. 故 f(1) 2 3 4 3 2 3 3 4 2 3 3 3 2 3 45 22 35 22 7 65 . 14 (1) 证明两角和的余弦公式 C( )： ) ； 由 C( )推导两角和的正弦公式 S( )： ) . (2)已知 45， ， 32 ， 13， 2 ， ， 求 ) 解 (1)证明 如图，在直角坐标系 作单位圆 O，并作出角 ， 与 ，使角 的始边为 非负半轴，交 O 于点 边交 O 于点 的始边为 边交 O 于点 的始边为 边交 O 于点 则 ,0)， P2( ， )， P3( )， )， P4( )， ) 由 ) 12 ) ) 2 ) 2，展开并整理，得 2 2 ) 2 2( ) ) . 由 易得， 2 ， 2 . ) 2 2 2 ) 2 ) . 7 ) . (2) ， 32 ， 45， 35. 2 ， ， 13， 3 1010 ， 1010 . ) 45 3 1010 35 1010 3 1010 . 1 第 6 讲 正弦定理和余弦定理 一、选择题 1在 ， C 60 ， 3， 2，那么 A 等于 ( ) A 135 B 105 C 45 D 75 解析 由正弦定理知 ，即 2 30 ，所以 22 ，又由题知， A 45. 答案 C 2已知 a， b， c 是 边之长，若满足等式 (a b c)(a b c) 角 C 的大小为 ( ) A 60 B 90 C 120 D 150 解析 由 (a b c)(a b c) (a b)2 2， 12， C 120. 答案 C 3在 ，角 A， B， C 所对应的边 分别为 a， b， c，若角 A， B， C 依次成等差数列，且a 1， b 3，则 S ( ) A. 2 B. 3 C. 32 D 2 解析 A， B， C 成等差数列， A C 2B， B 60. 又 a 1， b 3， ， b 32 13 12， A 30 ， C 90. S 121 3 32 . 答案 C 4在 ， 7， 2， B 60 ，则 上的高等于 ( ) A. 32 2 C. 3 62 D. 3 394 解析 设 c， 上的高为 h. 由余弦定理，得 20 ，即 7 4 40 ，即 2 2c 3 0， c 3(负值舍去 ) 又 h c0 3 32 3 32 ，故选 B. 答案 B 5在 ，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，且 a ， b 3 ( 0)， A 45 ，则满足此条件的三角形个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D无数个 解析 直接根据正弦定理可得 ，可得 a 3 5 62 1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为 0. 答案 A 6已知 面积为 32 ， 3， 3 ，则 周长等于 ( ) A 3 3 B 3 3 C 2 3 2 解析 由余弦定理得 2，即 面积为 123 32 ，即 2，所以 29，所以 a c 3，即 a c b 3 3，故选 A. 答案 A 二、填空题 7如图， ， 2， 2 3，点 D 在 上， 45 ，则 长度等于 _ 解析 在 ， 2， 2 3， 32 ， 12；在 ，由正弦定理得， 25 12 2. 答案 2 8已知 三边长成公比为 2的等比数列，则其最大角的余弦值为 _ 3 解析 依题意得， 三边长分别为 a， 2a,2a(a0)，则最大边 2a 所对的角的余弦值为： 2a 2 a 22a 2a 24 . 答案 24 9在 ， C 90 ，且 A， B， C 所对的边 a， b， c 满足 a b 实数 x 的取值范围是 _ 解析 x a 2 A 4 0， 2 ， 4A 434 ， 22 A 4 1 ，即 x (1， 2 答案 (1， 2 10若 2， 2 S _ 解析 (数形结合法 )因为 2(定长 )，可以令 在的直线为 x 轴，其中垂线为 A( 1,0)， B(1,0)，设 C(x， y)，由 2 得 x 2 2 x 2 简得 (x 3)2 8， 即 C 在以 (3,0)为圆心， 2 2为半径的圆上运动， 所以 S 12| | |2 2，故答案为 2 2. 答案 2 2 三、解答题 11叙述并证明余弦定理 解 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍或：在 ， a， b， c 为 A， B， C 的对边，有 2， 2， 2， 法一 如图 (1)， 图 (1) ( )( ) 2 2 2 2 2| | 2 4 2 2. 同理可证 2， 2. 法二 图 (2) 已知 A， B， C 所对边分别为 a， b， c，以 A 为原点， 在直线 为 x 轴建立直角坐标系，如图 (2)则 C(， )， B(c,0)， | ( c)2 ()2 2 2. 同理可证 2， 2. 12 在 ， 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， 23， 5. (1)求 的值； (2)若 a 2，求 面积 解 (1)因为 0 A ， 23， 得 1 53 . 又 5 C) 53 23. 所以 5. (2)由 5， 得 56， 16. 于是 5 56. 由 a 2及正弦定理 ， 得 c 3. 设 面积为 S，则 S 12 52 . 13 在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，点 (a， b)在直线 x( ) 上 5 (1)求角 C 的值； (2)若 6(a b) 18，求 面积 解 (1)由题意得 a( ) ， 由正弦定理，得 a(a b) 即 由余弦定理，得 12， 结合 0C ，得 C 3. (2)由 6(a b) 18，得 (a 3)2 (b 3)2 0， 从而得 a b 3， 所以 面积 S 123 2 3 9 34 . 14 在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， 4 ， 4 C 4 B a. (1)求证： B C 2 ； (2)若 a 2，求 面积 (1)证明 由 4 C 4 B a 应用正弦定理，得 4 C 4 B ， 22 22 22 22 22 ， 整理得 1，即 C) 1. 由于 0 B， C 34 ，从而 B C 2. (2)解 B C A 34 ，因此 B 58 ， C 8 . 由 a 2， A 4 ， 得 b 28 ， c 2 8 ， 所以 面积 S 12 2 2 12. 1 第 7 讲 解三角形应用举例 一、选择题 1在某次测量中，在 A 处测得同一平面方向的 B 点的仰角是 50 ，且到 A 的距离为 2， 0 ，且到 A 的距离为 3，则 B、 C 间的距离为 ( ) A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 解析 因 120 ， 2， 3. 2 4 9 22320 19. 19. 答案 D 2如图所示，为了测量某障碍物两侧 A， B 间的距离，给定下列四组数据，不能确定 A， ) A ， a， b B ， ， a C a， b， D ， ， b 解析 选项 B 中由正弦定理可求 b，再由余弦定理可确定 中可由余弦定理确定 同 B 类似，故选 A. 答案 A 3 一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40 的方向直线航行， 30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70 ，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65 ，那么 B， C 两点间的距离是 ( ) A 10 2海里 B 10 3海里 C 20 3海里 D 20 2海里 解析 如图所示，易知，在 ， 20 海里， 30 ， 45 ，根据正弦定理 得 0 5 ，解得 10 2(海里 ) 2 答案 A 4. 如图，两座相距 60 m 的建筑物 高度分别为 20 m、50 m， 水平面，则从建筑物 顶端 A 看建筑物 ( ) A 30 B 45 C 60 D 75 解析 依题意可得 20 10(m)， 30 5(m)，又 50(m) ， 所 以 在 ， 由 余 弦 定 理 得 5 2 10 2 502230 520 10 6 0006 000 222 ，又 0 80 ，所以 45 ，所以从顶端 A 看建筑物 张角为 45. 答案 B 5如图，设 A、 B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 距离为 50 m， 45 ， 105 后，就可以计算出 A、 B 两点的距离为 ( ) A 50 2 m B 50 3 m C 25 2 m 2 m 解析 由题意，得 B 30. 由正弦定理，得 AC 50 2212 50 2(m) 答案 A 6. 如图，在湖面上高为 10 m 处测得天空中一朵云的仰角为 30 ，测得湖中之影的俯角为 45 ，则云距湖面的高度为 (精确到 0.1 m) ( ) A 2.7 m B 17.3 m C 37.3 m D 373 m 解析 在 ， 0 10 100 (m) 3 在 ， 5 10 105 (m)， 100 105 ， 33 1 10(2 3)37.3(m) 答案 C 二、填空题 7如图，为测得河对岸塔 高，先在河岸上选一点 C，使 C 在塔底 B 的正东方向上，测得点 A 的仰角 为 60 ，再由点 C 沿北偏东 15 方向走 10 米到位置 D，测得 45 ，则塔 高是 _米 解析 在 ， 10， 45 ， 15 90 105 ， 30 ，5 0 ， 50 10 t ， 0 0 10 6(米 ) 答 案 10 6 8如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从 A 处沿正北方向行进 x m 到达 B 处发现一个生命迹象，然后向右转 105 ，进行 10 m 到达 C 处发现另一生命迹象，这时它向右转 135 后继续前行回到出发点，那么 x _. 解析 由题知， 75 ， 45 ， 180 75 45 60 ， 5 100 . x 10 63 m. 答案 10 63 m 9. 在 2012年 7 月 12日伦敦奥运会上举行升旗仪式如图， 4 在坡度为 15 的观礼台上，某一列座位所在直线 旗杆所在直线 面，在该列的第一个座位 A 和最后一个座位 B 测得旗杆顶端 N 的仰角分别为 60 和 30 ，且座位 A，B 的距离为 10 6米，则旗杆的高度为 _米 解析 由题可知 105 ， 30 ，由正弦定理得 5 10 60 ，解得20 3(米 )，在 ， 20 3 0 30(米 )故旗杆的高度为 30 米 答案 30 10. 如图，一船在海上自西向东航行，在 A 处测得某岛 M 的方位角为北偏东 角，前进 m 海里后在 B 处测得该岛的方位角为北偏东 角，已知该岛周围 n 海里范围内 (包括边界 )有暗礁，现该船继续东行，当 与 满足条件_时，该船没有触礁危险 解析 由题可知，在 ，根据正弦定理得 ，解得 ， 要 使 该 船 没 有 触 礁 危 险 需 满 足 0 ) n，所以当 与 的关系满足 )时，该船没有触礁危险 答案 ) 三、解答题 11如图所示，甲船由 5 的方向作匀速直线航行，速度为 15 2 n h，在甲船从 A 岛出发的同时，乙船从 A 岛正南 40 n 的 B 岛出发，朝北偏东 12 的方向作匀速直线航行，速度为 m n h. (1)若两船能相遇，求 m. (2)当 m 10 5时，求两船出发后多长时间距离最近，最近距离为多少 n 解 (1)设 t 小时后，两船在 M 处相遇， 由 12，得 55 ， 2 55 ， 5 所以 5 ) 1010 . 由正弦定理， 40 2， 同理得 40 5. t 40 215 2 83， m 40 583 15 5. (2)以 A 为原点， 在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设 在 t 时刻甲、乙两船分别在 P( Q(，则 | 15 2t， | 10 5t. 由任意角三角函数的定义，可得 15 2 15t，15 2 15t，即点 P 的坐标是 (15t,15t)
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