关 键 词：

步步高 高考 数学 一轮 复习 温习 第十二 统计 课件 打包 大纲

资源描述：

【步步高】2011届高考数学一轮复习 3第十二章 统计 文 课件（打包3套）人教大纲版,步步高,高考,数学,一轮,复习,温习,第十二,统计,课件,打包,大纲

内容简介：

第十二章 统计 1 2. 1 抽样方法 基础知识 自主学习 要点梳理 1 简单随机抽样 (1) 定义：一般地，设一个总体的个体数为 N ，如 果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每 次抽取时各个个体被抽到的概率 ，就称这样 的抽样为简单随机抽样 (2) 实施简单随机抽样的常用方法有： ； . 相等 抽签法 随机数表法 2 分层抽样 当已知总体由 的几部分组成时，为了使 样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几 部分，然后按照 进行抽样，这种 抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层 差异明显 各部分所占的比 3 两种抽样方法的比较 类型 共同点 相互联系 适用范围 简单随 机抽样 总体中的个体数较少 分层抽样 抽样过程中每个个体被抽取的概率相等 各层抽样时采用简单随机抽样 总体由差异明显的几部分组成 基础自测 1 在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性 ( ) A 与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最大 B 与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最小 C 与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等 D 与第几次抽样无关，与抽取几个样本有关 解析 在简单随机抽样中，每个个体被抽到的概率是相等 的，与第几次抽样无关 C 2 ( 2009 陕西 ) 某单位共有老、中、青职工 430 人，其中有青年职工 160 人，中年职工人数是老年职工人数的 2 倍为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工 32 人，则该样本中的老年职工人数为 ( ) A 9 B 18 C 27 D 36 解析 设老年职工为 x 人，则 430 3 x 160 ， x 90 ， 设抽取的样本为 m ，则160430m 32 ， m 86 ， 则抽取样本中老年职工人数为90430 86 18( 人 ) B 3 某企业共有职工 150 人，其中高级职称 15 人，中 级职称 45 人，初级职称 90 人现采用分层抽样抽 取容量为 30 的样本，则抽取的各职称的人数分别为 ( ) A 5,10,15 B 3,9,18 C 3,10,17 D 5,9,16 解析 高级、中级、初级职称的人数所占的比例分别 为15150 10% ，45150 30% ，90150 60% ， 则所抽取的高级、中级、初级职称的人数分别为 10% 30 3( 人 ),30% 30 9( 人 ),60% 30 18( 人 ) B 4 ( 2008 广东 ) 某校共有学生 2 000 名，各年级男、女 生人数如下表已知在全校学生中随机抽取 1 名， 抽到二年级女生的概率是 现用分层抽样的方 法在全校抽取 64 名学生，则应在三年级抽取的学生 人数为 ( ) 一年级 二年级 三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z B 48 C 16 D 12 解析 依题意知二年级的女生有 380 名，那么三年级 学生的人数应该是 2 000 373 377 380 370 500 ，即总体中各个年级的人数比例为 3 3 2 ，故在 分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为 64 28 16. 5 某工厂生产 A 、 B 、 C 三种不同型号的产品，其相 应产品数量之比为 2 3 5 ，现用分层抽样方法抽 出一个容量为 n 的样本，样本中 A 型号产品有 16 件，那么此样本的容量 n _. 解析 设分 别抽取 B 、 C 型号产品 m 1 ， m 2 件， 则由分层抽样的特点可知2163m 15m 2， m 1 24 ， m 2 40 ， n 16 m 1 m 2 80. 80 题型一 简单随机抽样 【例 1 】 某大学为了支援我国西部教育事业，决定 从 2009 应届毕业生报名的 18 名志愿者中，选取 6 人组成志愿小组请用抽签法和随机数表法设计抽 样方案 思维启迪 考虑到总体中个体数较少，利用抽签法或随机数表法均可容易获取样本须按这两种抽样方法的操作步骤进行抽签法应 “ 编号、制签、搅匀、抽取 ” ；随机数表法应 “ 编号、确定起始数、读数、取得样本 ” 解 抽签法： 第一步：将 18 名志愿者编号，编号为 1,2,3 ， ， 18 ； 第二步：将 18 个号码分别写在 18 张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签； 第三步：将 18 个号签放入一个不透明的盒子里，充分搅匀； 第四步：从盒子中逐个抽取 6 个号签，并记录上面的编号； 第五步：所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员 随机数表法： 第一步：将 18 名志愿者编号，编号为 01,02,03 ， ， 18. 第二步：在随机数表中任选一数作为开始，按任意方向读数，比如第 8 行第 29 列的数 7 开始，向右读； 第三步：从数 7 开始，向右读，每次取两位，凡不在 01 18中的数，或已读过的数，都跳过去不作记录，依次可得到12,07,15,13,02,09. 第四步：找出以上号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员 探究提高 (1) 一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀，一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法 (2) 随机数表中共随机出现 0,1,2 ， ， 9 十个数字，也 就是说，在表中的每个位置上出现各个数字的机会都 是相等的在使用随机数表时，如遇到三位数或四位 数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起， 每三个或每四个作为一个单位，自左向右选取，有超 过总体号码或出现重复号码的数字舍去 知能迁移 1 某大学为了支持 2010 年亚运会，从报名 的 24 名大三的学生中选 6 人组成志愿小组，请用抽 签法和随机数表法设计抽样方案 解 抽签法 第一步：将 24 名志愿者编号，编号为 1 , 2 , 3 ， ， 24 ； 第二步：将 24 个号码分别写在 24 张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签； 第三步：将 24 个号签放入一个不透明的盒子中，充分搅匀； 第四步：从盒子中逐个抽取 6 个号签，并记录上面的编号； 第五步：所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员 随机数表法 第一步：将 24 名学生编号，编号为 01,02,03 ， ， 24 ； 第二步：在随机数表中任选一数开始，按某一确定方向读数； 第三步：凡不在 01 24 中的数或已读过的数，都跳过去不作记录，依次记录得数； 第四步：找出号码与记录的数相同的学生组成志愿小组 题型 二 抽样方法 【例 2 】 某政府机关有在编人员 100 人，其中副处 级以上干部 10 人，一般干部 70 人，工人 20 人上 级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一 个容量为 20 的样本，试确定用何种方法抽取，请 具体实施抽取 思维启迪 (1) 机构改革关系到各种人不同的利益； ( 2) 不同层次的人员情况有明显差异，故采用 分层抽样 解 用分层抽样方法抽取 具体实施抽取如下： (1) 20 100 1 5 ， 105 2 ，705 14 ，205 4 ， 从副处级以上干部中抽取 2 人，从一般干部中抽取14 人，从工人中抽取 4 人 (2) 因副处级以上干部与工人的人数较少，他们分别按 1 10 编号与 1 20 编号，然后采用抽签法分别抽取 2 人和 4 人；对一般干部 70 人采用 00,01,02 ， ， 69 编号，然后用随机数表法抽取 14 人 (3) 将 2 人， 4 人， 14 人的编号汇合在一起就取得了容量为 20 的样本 探究提高 分层抽样的操作步骤及特点 (1) 操作步骤 将总体按一定标准进行分层； 计算各层的个体数与总体数的比，按各层个体数占总体数的比确定各层应抽取的样本容量； 在每一层进行抽样 时 可用简单随机抽样 法 . (2) 特点 适用于总体由差异明显的几部分组成的情况； 更充分地反映了总体的情况； 等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是 知能迁移 2 (2009 天津 ) 某学院的 A ， B ， C 三 个专业共有 1 200 名学生，为了调查这些学生勤工 俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量 为 120的样本，已知该学院的 A 专业有 380 名学生， B 专业有 420 名学生，则在该学院的 C 专业应抽取_ 名学生 解析 C 专业有学生 1 200 380 420 400 ( 名 ) ， 则 C 专业应抽取的学生数为4001 200 120 40( 名 ) 40 题型三 抽样方法的灵活应用 【例 3 】 为了考察某校的教学水平，将抽查这个学 校高 三年级的部分学生本年度的考试成绩为了全 面反映实 际情况，采取以下两种方式进行抽查 ( 已 知该校高三年级 共有 20 个班，并且每个班内的学 生已经按随机方式编好 了学号，假定该校每班学生 的人数相同 ) ： 从高三年级 20 个班中任意抽取一 个班，再从该班中任意抽取 20 名学 生，考察他们 的学习成绩； 把学生按成绩分成优秀、 良好、普 通三个级别，从其中共抽取 100 名学生进行考 察 ( 已知该校高三学生共 1 000 人，若按成绩分，其 中优 秀生共 150 人， 良好生共 600 人，普通生共 250 人 ) 根据上面的叙述，试回答下列问题： (1) 上面两种抽取方式的总体、个体、样本分别是什么？每一种抽取方式抽取的样本中，样本容量 分别是多少？ (2) 上面两种抽取方式各自采用的是何种抽取样本的方法？ (3) 试分别写出上面两种抽取方式各自抽取样本的步骤 解 (1) 这两种抽取方式的总体都是指该校高三全体 学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学 生本年度的考试成绩 其中第一种抽取方式的样本为 所抽取的 20 名学生本年度的考试成绩，样本容量为 20 ；第二种抽取方式的样本为所抽取的 100 名学生本 年度的考试成绩，样本容量为 100. ( 2) 两种抽取方式中，第一种采用的是简单随机抽样法； 第二种采用的是分层抽样法和简单随机抽样法 ( 3) 第一种方式抽样的步骤如下： 第一步，首先用抽签法在这 20 个班中任意抽取一个班 第二步，然后从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取 20 名学生，考察其考试成绩 第二种方式抽样的步骤如下： 第一步，分层，因为若按成绩分，其中优秀生共 150 人，良好生共 600 人，普通生共 250 人，所以在抽取样本时，应该把全体学生分成三个层次 第二步，确定各个层次抽取的人数因为样本容量与总体的个体数之比为 100 1 000 1 10 ，所以在每个层次中抽取的个体数依次为15010，60010，25010，即 15,60,25. 本题主要考查统计中一些基本的概念和方法做这种题目时，应该注意叙述的完整性和条理性 第三步，按层次分别抽取在优秀生中用简单随机抽样法抽取 15 人；在良好生中用简单随机抽样法抽取 60 人；在普通生中用简单随机抽样法抽取 25 人 探究提高 知能迁移 3 某学院有四个饲养房，分别养有 18,54,24,48 只白鼠供实验用某项实验需抽取 24 只，你认为最合适的抽样方法为 ( ) A 在每个饲养房各抽取 6 只 B 给所有白鼠都加上编有不同号码的颈圈，用随 机抽样法确定 24 只 C 在四个饲养房分别随机抽取 3,9,4,8 只 D 先确定这四个饲养房应分别抽取 3,9,4,8 只样 品，再由各饲养房自己加号码颈圈，用简单随机 抽样法确定各自要抽取的对象 解析 依据公平性原则，根据实际情况确定适当的抽 样方法是本题的主旨 A 中对四个饲养房平均摊派， 但由于各饲养房所养数量不一，从而造成了各个个体入选概率的不均衡，是错误的方法； B 中保证了各个个体入选概率相等，但由于没有注意到处在四个不同环境中的个体会产生差异，不如采用分层抽样可靠性高，且统一编号、统一选择加大了工作量； C 中总体采用了分层抽样，但在每个层次中没有考虑到个体的差异 ( 如健壮程度、灵活程度 ) ，貌似随机，实则各个个体被抽取的概率不等而选项 D 采用了分层抽样，且考虑到个体差异，保证了每个个体被抽到的概率相等 . 答案 D 思想方法 感悟提高 方法与技巧 1 简单随机抽样是 分层抽样的基础，是一种等概率的抽样，由定义应抓住以下特点： ( 1 ) 它要求总体个数较少； ( 2 ) 它是从总体中逐个抽取的； ( 3) 它是一种不放回抽样 2 抽样方法经常交叉使用，比如分层抽样中，每层中仍 可用随机抽样 失误与防范 分析总体特征、选择合理的抽样方法 一、选择题 1. （ 2 0 0 8 重庆 ） 某校高三年级有男生 500 人， 女生 400 人，为了解该年级学生的健康情况，从男 生中任意抽取 25 人，从女生中任意抽取 20 人进行 调查，这种抽样方法是 ( ) A. 简单随机抽样法 B. C. 随机数表法 D. 定时检测 解析 由分层抽样的定义可知 , 该抽样为按比例的抽样 . D 2 要完成下列两项调查： 从某社区 125 户高收入家庭， 280 户中等收入家 庭， 95 户低收入家庭中选出 100 户调查社会购买 力的某项指标； 从某中学高一年级的 12 名体育特长生中选出 3 人调查学习负担情况 应采用的抽样方法是 ( ) A 都用随机抽样法 B 用分层抽样法， 用简单随机抽样法 C 都用分层抽样法 D 用简单随机抽样法， 用分层抽样法 解析 由简单随机抽样和分层抽样的特点可知 应用分层抽样， 由于个体较少，采用简单随机抽样即可 B 3 某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取 90 名 学生进行家庭情况调查，经过一段时间后再次从这 个年级随机抽取 100 名学生进行学情调查，发现有 20 名同学上次被抽到过，估计这个学校高一年级的 学生人数为 ( ) A 180 B 400 C 450 D 2 000 解析 90x 20100 ， x 450. C 4 某林场有树苗 3 0 0 0 0 棵，其中松树苗 4 0 0 0 棵，为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为 1 5 0 的样本，则样本中松树苗的数量为 ( ) A 30 B 25 C 20 D 15 解析 松树苗的数量为 15030 000 4 000 20. C 5 某校现有高一学生 210 人，高二学生 270 人，高 三学生 300 人，学校学生会用分层抽样的方法从这 三个年级的学生中随机抽取 n 名学生进行问卷调 查，如果已知从高一学生中抽取的人数为 7 人，那 么从高三学生中抽取的人数应为 ( ) A 10 B 9 C 8 D 7 解析 每名学生被抽取的概率为7210130，故应从高三学生中抽取 300 130 10( 人 ) A 6 具有 A 、 B 、 C 三种性质的总体，其容量为 63 ， A 、 B 、 C 三种性质的个体之比为 1 2 4 ，现按分层抽 样法抽取个体进行调查，如果抽取的样本容量为 21 ， 则 A 、 B 、 C 三种元素分别抽取 ( ) A 12,6,3 B 12,3,6 C 3,6,12 D 3,12,6 解析 由于每个个体被抽取的概率相等，所以每层抽取的个体数与该层的个体数成正比，于是 A 、 B 、 C 三种元素分别抽取 21 17， 21 27， 21 47，即 3,6,12 个 C 二、填空题 7 (2009 湖南 ) 一个总体分为 A ， B 两层，用分 层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本， 已知 B 层中每个个体被抽到的概率都为112，则总体 中的个体数为 _ 解析 由分层抽样定义知，任何个体被抽到的概率都 是一样的，设总体中个体数 为 x ，则10x112， x 120. 120 8 在 120 个零件中，一级品 24 个，二级品 36 个， 三级品 60 个，用分层抽样方法从中抽取容量为 20 的样本，则三级品 a 被抽到的可能性为 _ 解析 每一个个体被抽到的概率都是样本容量除以总体，即2012016. 619 某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、 婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼儿奶 粉、成人奶粉分别有 30 种、 10 种、 35 种、 25 种不 同的品牌现采用分层抽样的方法从中抽取一个容 量为 n 的样本进行三聚氰胺安全检测，若抽取的婴 幼儿奶粉的品牌数是 7 ，则 n 为 _ 解析 婴幼儿奶粉占总数之比等于样本中其占比例 3530 10 35 257n . n 20. 20 三、解答题 10 某企业共有 3 200 名职工，其中中、青、老年职 工的比例为 5 3 2 ，从所有职工中抽取一个样本 容量为 400 的样本，应采用哪种抽样方法更合理？ 中、青、老年职工应分别抽取多少人？ 解 由中、青、老年职工有明显的差异，采用分层抽样更合理 按照比例抽取中、青、老年职工的人数分别为 510 400 200 ，310 400 120 ，210 400 80 ， 因此应抽取的中、青、老年职工分别为 200 人， 120人， 80 人 11 在 100 件产品中，一等品 20 个，二等品 30 个，三 等品 50 个，现要抽取一个容量为 30 的样本，请说明 其抽样过程，并说明其公平性和合理性 解 先将产品按等级分成三层：第一层，一等品 20 个； 第二层，二等品 30 个；第三层，三等品 50 个 然后确定 每一层抽取的样本容量 因为 20 30 50 2 3 5 ，所 以应在第一层中抽取产品 6 个，在第二层中抽取产品 9 个，在第三层中抽取产品 1 5 个，再分层给这些产品编号并贴上标签，用抽签法或随机数表法分层抽取样本，得到一等品 6 个，二等品 9 个，三等品 15 个，这样我们就通过分层抽样法得到一个容量为 30 的样本 在 100 个产品中抽取 30 个，因此总体中每个个体入样的概率 P 30100310. 在第一层中每个个体入样的概率 P 1 620310； 在第二层中每个个体入样的概率 P 2 930310； 在第三层中每个个体入样的概率 P 3 1550310. 因此，可以说明每个个体被抽到的概率是相同的，即抽样方法是合理的、公平的 12 ( 2009 天津 ) 为了了解某市工厂开展群众体育活动的 情况，拟采用分层抽样的方法从 A ， B ， C 三个区中抽 取 7 个工厂进行调查已知 A ， B ， C 区中分别有 18,27,18 个工厂 (1) 求从 A ， B ， C 区中应分别抽取的工厂个数； (2) 若从抽得的 7 个工厂中随机地抽取 2 个进行调查结 果的对比，用列举法计算这 2 个工厂中至少有 1 个来 自 A 区的概率 解 (1) 工厂总数为 18 27 18 63 ，样本容量与总体中 的个体数比为76319，所以从 A ， B ， C 三个区中应分别 抽取的工厂个数为 2,3,2. (2) 设 区中抽得的 2 个工厂， 区中抽得的 3 个工厂， 区中抽得的2 个工厂，在这 7 个工厂中随机抽取 2 个，全部可能的结果有： ( ， ( ， ( ， ( ， ( 1) ， ( ， ( ， ( ， ( ， ( ，( ， ( ， ( ， ( ， ( ， ( 3) ， ( ， ( ， ( ， ( ， ( ，共有 21 种 随机地抽取的 2 个工厂至少有 1 个来自 A 区的结果 ( 记为事件 X ) 有： ( ， ( ， ( ， ( ， ( 1) ， ( ， ( ， ( ， ( ， ( ，( 共有 11 种，所以这 2 个工厂中至少有 1 个来自A 区的概率为 P ( X ) 1121. 返回 1 2. 2 总体分布的估计、总体期望和方 差的估计 基础知识 自主学习 要点梳理 1 总体分布的估计 (1) 频率分布表与频率分布直方图 当总体中的个体取的不同数值很少时，可以用样本 的频率分布表和频率分布直方图来估计总体分布， 前者在数量上比较 ，后者比较 ，两者 放在一起可以相互补充 确切 直观形象 (2) 样本与总体 从总体中抽取一个样本，用样本的 估计总体的分布，样本容量越大估计越 . (3) 求一组数据的频率分布的一般步骤为 计算数据中最大值与最小值的 ； 确定组距与 ； 决定 ( 比数据多一位小数 ) ； 列频率 ； 绘频率分布 . 频率分布 准确 差 组数 分点 分布表 直方图 2 总体期望值和方差的估计 ( 1) 总体期望值的估计 对于一个总体的期望值 ，可用样本期望值 对它进行估计 ( 2) 总体方差的估计 对于一个总体的方差，可用样本方差 对它进行估计 )( 21 212 21 ()()( 22322 n 解析 频率频数容量. 频数频率 容量 32 12. C 1 一个容量为 32 的样本，已知某组样本的频率为 则该组样本的频数为 ( ) A 4 B 8 C 12 D 16 基础自测 2 ( 2009 福建 ) 一个容量为 100 的样本，其数据的分组 与各组的频数如下： 组 别 (0,10 (10,20 (20,30 (30,40 (40,50 (50,60 (60,70 频 数 12 13 24 15 16 13 7 则样本数据落在 (10,40 上的频率为 ( ) A B C D 解析 (10,40 包含 (10,20 ， (20,30 ， (30,40 三部分，共 13 24 15 52( 个 ) 样本数据故数据落在 (10,40 上的频率为52100 C 3 某雷达测速区规定：凡车速大于或等于 70 km/h 的汽车视为 “ 超速 ” ，并将受到处罚，如图是某路 段的一个检测点对 200 辆汽车的车速进行检测所得 结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚 的汽车大约有 ( ) A 30辆 B 40辆 C 60辆 D 80辆 4 甲、乙两位同学参加了由学校举办的篮球比赛， 它们都参加了全部的 7 场比赛，平均得分均为 16 分，标准差分别为 则甲、乙两同学在 这次篮球比赛活动中，发挥得更稳定的是 ( ) A 甲 B 乙 C 甲、乙相同 D 不能确定 B 解析 平均数相同，看谁的标准差小，标准差小的就稳定 5 某商场买来一车苹果，从中随机抽取了 10 个苹果， 其重量 ( 单位：克 ) 分别为： 150,152,153,149,148, 146,151,150,152,147. 由此估计这车苹果单个重量的 期望值是 ( ) A B C D B 解析 0 2 3 1 2 4 1 0 2 310 150 题型分类 深度剖析 题型一 利用频率分布直方图分析总体分布 【例 1 】 在学校开展的综合实践活动中，某班进行 了小制作评比，作品上交时间为 5 月 1 日至 30 日， 评委会把同学们上交作品的件数按 5 天一组分组统 计，绘制了频率分布直方图 ( 如图所示 ) ，已知从左 到右各长方形的高的比为 2 3 4 6 4 1 ，第三 组的频数为 12 ，请解答下列问题： (1) 本次活动共有多少件作品参加评比？ (2) 哪组上交的作品数量最多？有多少件？ (3) 经过评比，第四组和第六组分别有 10 件、 2 件作品获奖，问这两组哪组获奖率高？ 思维启迪 本题是考查频率分布直方图的应用和识图能力，充分利用频率分布直方图所提供的信息解题 解 ( 1 ) 依题意知第三组的频率为 又因为第三组的频数为 12 ， 本次活动的参评作品数为 ,511464324 )(605112件(2) 根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共有 (3) 第四组的获奖率是 第六组上交的作品数量为 第六组的获奖率为 显然第六组的获奖率高 ).(18146432 660 件,951810 ),(3146432 160 件959632 探究提高 通过本例可以看出，通过频率分布直方图来传递信息时，识图掌握信息是解题的关键在频率分布直方图中，组距是固定值，所以各长方形高的比就是各组上交作品的频率比，每组上交的作品数等于容量乘以各组作品占总容量的比例 知能迁移 1 某校高三文科分为四个班，高三数学调 研测试后，随机地在各班抽取部分学生进行测试成 绩统计，各班被抽取的学生人数恰好成等差数列， 人数最少的班被抽取了 22 人抽取出来的所有学 生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所 示，其中 120 130( 包括 120 分但不包括 130 分 ) 的 频率为 此分数段的人数为 5 人 (1) 各班被抽取的学生人数各为多少人？ (2) 在抽取的所有学生中，任取一名学生，求分数不小于 90 分的概率 解 (1) 由频率分布条形图知，抽取的学生总数为 各班被抽取的学生人数成等差数列，设其公差为 d ，由 4 22+6d=100 ，解得 d=2. 各班被抽取的学生人数分别是 22 人， 24 人， 26 人，28 人 (2) 在抽取的学生中，任取一名学生，分数不小于 90分的概率为 人题型二 频率分布直方图在总体估计中的应用 【例 2 】 为了了解高一学生的体能情况，某校抽取 部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整 理后，画出频率分布直方图，图中从左到右各小长 方形面积之比为 2 4 17 15 9 3 ，第二小组频 数为 12. (1) 第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ (2) 若次数在 1 10 以上 ( 含 1 10 次 ) 为达标，试估计该学 校全体高一学生的达标率是多少？ 思想启迪 解 (1) 由已知可设每组的频率为 2 x ,4 x ,17 x ,15 x ,9 x ,3 x . 则 2 x +4 x +17 x +15 x +9 x +3 x =1 解得 x = 则第二小组的频率为 4= 样本容量为 12 50. (2) 次数在 1 10 次以上 ( 含 1 10 次 ) 的频率和为 17 5 = 则高一学生的达标率约为 100%=88%. 探究提高 用频率分布直方图解决相关问题时，应正确理解图表中各个量的意义，识图掌握信息是解决该类问题的关键频率分布直方图有以下几个要点： (1)纵轴表示频率 / 组距 (2 ) 频率分布直方图中各长方形高的比也就是其频率之比 ( 3) 直方图中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上的频率，所有的小矩形的面积之和等于 1 ，即频率之和为 1. 知能迁移 2 有一容量为 100 的样本，数据的分组及 各组的频数如下： 6 ； 16 ； 18 ； ， 22 ； 20 ； 10 ； 8. (1) 列出样本的频率分布表； (2) 画出频率分布直方图； (3) 估计数据小于 概率 解 (1) 样本的频率分布如下： 分组 频数 频率 6 16 18 22 20 10 8 合计 100 (2) 频率分布直方图如下图所示： (3) 数据大于等于 频率是 所以小于 的频率是 所以数据小于 概率约为 题型三 用样本估计总体 【 例 3 】 (12 分 ) 甲乙二人参加某体育项目训练，近 期的五次测试成绩得分情况如图 (1) 分别求出两人得分的平均数与方差； (2) 根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价 思维启迪 (1) 先通过图象统计出甲、乙二人的成绩； (2) 利用公式求出平均数、方差，再分析两人的成绩，作出评价 解题示范 解 (1) 由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲： 10 分， 13 分， 12 分， 14 分， 16 分； 乙： 13 分， 14 分， 12 分， 12 分， 14 分 2 分 x 甲 10 13 12 14 165 13 ， x 乙 13 14 12 12 145 13 ， 5 分 15(10 13)2 (13 13)2 (12 13)2 (14 13)2(16 13)2 4 ， 15 (13 13)2 (14 13)2 (12 13)2 (12 13)2(14 13)2 8 分 (2) 由 知乙的成绩较稳定 10 分 从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高 12 分 探究提高 (1) 平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小 (2) 平均数、方差的公式推广 若数据 ， x ，那么 a ，a ， a ， ， a 的平均数是 m x a . 数据 ， a n( n ； b 数据 a ， a ， ， a 的方差也为 c 数据 ， 知能迁移 3 甲、乙两台机床同时加工直径为 10 m m 的零件，为了检验产品的质量，从产品中各随机抽 取 6 件进行测量，测得数据如下 ( 单位： ： 甲： 99 ， 100 ， 98 ， 100 ， 100 ， 103 乙： 99 ， 100 ， 102 ， 99 ， 100 ， 100 (1) 分别计算上述两组数据的平均数和方差； (2) 根据 (1) 的计算结果，说明哪一台机床加工的这种 零件更符合要求 解 (1) x 甲 99 100 98 100 100 1036 100 ， x 乙 99 100 102 99 100 1006 100 ， 16(99 100)2 (100 100)2 (98 100)2 (100 100)2 (100 100)2 (103 100)2 73. 16(99 100)2 (100 100)2 (102 100)2 (99 100)2 (100 100)2 (100 100)2 1. (2) 因为 说明甲机床加工的零件波动比较大， 因此乙机床加工的零件更符合要求 . 思想方法 感悟提高 方法与技巧 1 用样本频率分布来估计总体分布的重点是：频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计 总体分布，难点是频率分布表和频率分布直方图的理解 及应用在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计 2 几种表示频率分布的方法的优点与不足 (1) 频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，分析数据分布的总体态势不太方便 ( 2) 频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式但从直方图本身得不出原始的数据内容，也就是说，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了 ( 3) 频率分布折线图的优点是它反映了数据的变化趋势，如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，那么折线图就趋向于总体分布的密度曲线 ( 4) 用茎叶图优点是原有信息不会抹掉，能够展示数据的分布情况，但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图则显得不太方便了 3 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动 的大小标准差、方差越大，数据的离散程度越大，标准差、方差越小，数据的离散程度越小，因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差 失误与防范 不要把直方图错以为条形图，两者的区别在于条形图是离散随机变量，纵坐标刻度为频数或频率，直方图是连续随机变量，纵坐标刻度为频率 / 组距，这是密度连续随机变量在某一点上是没有频率的 . 1 在样本的频率分布直方图中，共有 11 个小长方形， 若中间一个小长方形的面积等于其他 10 个小长方 形面积和的14，且样本容量为 160 ，则中间一组的频 数为 ( ) A 32 B C 40 D 解析 中间一个占总面积的 15 ，即 15 x 32. A 定时检测 2 在某电视台举办的 “ 麦霸 ” 歌手大奖赛上，五位 歌手的分数如下： 则五位 歌手得分的期望与方差分别是 ( ) A B C D 解析 x 15 ( 5 3 ( ( ( D 3 为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班 60 名 学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图 ( 如图 ) ，已知从左到右各长方形高的比为 2 3 5 6 3 1 ，则该班学生数学成绩在 (80,100) 之间的学 生人数是 ( ) A 32 B 27 C 24 D 33 解析 80 100 间两个长方形高占总体的比例： 5 62 3 5 6 3 11120即为频数之比 120. x 33. 答案 D 4 为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查 了该校 100 名高三学生的视力情况，得到频率分布 直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道 后 5 组频数和为 62 ，设视力在 间的学 生数为 a ，最大频率为 则 a 的值为 ( ) A 64 B 54 C 48 D 27 解析 前两组中的频数为 100 ( ) 16. 后五组频数和为 62 ， 前三组为 38. 第三组为 22. 又最大频率为 100 32 ， a 22 32 54. 答案 B 5 ( 2009 山东 ) 某工厂对一批产品 进行了抽样检测，右图是根据抽 样检测后的产品净重 ( 单位：克 ) 数据绘制的频率分布直方图，其 中产品净重的范围是 96,106 ，样 本数据分组为 96,98) ， 98,100) ， 100,102) ， 102,104) ， 104,106 已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36 ，则样本中净重大于或等于 98 克并 且小于 104 克的产品的个数是 ( ) A 90 B 75 C 60 D 45 解析 产品净重小于 100 克的频率为 ( 2 已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36 ，设样本容量为 n ，则36n 所以 n 120 ， 净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的频率 为 ( 2 所以样本中净重 大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是 120 90. 答案 A 6 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班 50 名学 生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果 的频率分布直方图如图所示： 若某高校 A 专业对视力的要求在 上，则该班学 生中能报 A 专业的人数为 ( ) A 10 B 20 C 8 D 16 解析 视力在 上的频率为 ( 故能申报 A 专业的人数为 50 20. 故选 B. B 二、填空题 7 一个容量为 20 的样本数据，分组后，组别与频数 如下： 组别 (10,20 (20,30 (30,40 (40,50 (50,60 频数 2 3 4 5 6 则样本在 (20,50 上的频率为 _ 解析 3 4 520 35 60%. 60% 8 甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选 赛，他们分别射击了 5 次，成绩如下表 ( 单位：环 ) ： 甲 10 8 9 9 9 乙 10 10 7 9 9 如果甲、乙两人中只有 1 人入选，则入选的最佳人 选应是 _ 解析 x 甲 x 乙 9 ， 15 (9 10)2 (9 8)2 (9 9)2 (9 9)2 (9 9)2 25， 15 (9 10)2 (9 10)2 (9 7)2 (9 9)2 (9 9)265 故甲更稳定，故填甲 甲 9 为了了解 “ 预防禽流感疫苗 ” 的使用情况，某市 卫生部门对本地区 5 月份至 7 月份使用疫苗的所有 养鸡场进行了调查，根据下列图表提供的信息，可 以得出这三个月本地区平均每月注射了疫苗的鸡 的数量为 _ 万只 月份 养鸡场 ( 个数 ) 5 20 6 50 7 100 解析 13 (20 1 50 2 100 90 万只 答案 90 三、解答题 10 甲、乙两台机床同时生产一种零