中考专题复习之正多边形和圆

1 中考专题复习之正多边形和圆 知识考点： 1、掌握正多边形的边长、半径、中心角、边心距、周长、面积等的计算； 2、掌握圆周长、弧长的计算公式，能灵活运用它们来计算组合图形的周长； 3、掌握圆、扇形、弓形的面积计算方法，会通过割补、等积变换求组合图形的面积； 4、掌握圆柱、圆锥的侧面展开图的有关计算。 精典例题： 【例 1】如图，两相交圆的公共弦 AB 为 ，在O 1 中为内接正三角形的一边，32 在O 2 中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。 分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只须求出两圆的半径 与3R 的平方比即可。6R 解：设正三角形外接圆O 1 的半径为 ，正六边形外接圆O 2 的半径为 ，由3R6 题意得： ， ， ；O 1 的面积O 2 的面积13。AB3636 【例 2】已知扇形的圆心角为 1500，弧长为 ，求扇形的面积。2 分析：此题欲求扇形的面积，想到利用扇形的面积公式， ，由条件 150 0， 看到，lRnS2360扇 形 n2l 不管是用前者还是用后者都必须求出扇形的半径，怎么求？由条件想到利用弧长公式不难求出扇形半径。 解：设扇形的半径为 ，则 ， 150 0，R18nl 2l ，18052 24 。0lS扇 形 【例 3】如图，已知 PA、PB 切O 于 A、B 两点，PO 4cm，APB60 0，求阴影部分的周长。 分析：此题欲求阴影部分的周长，须求 PA、PB 和 的长，连结 OA、OB，根据切线长定理得 PA PB，PAOPBORt ，APO BPO 30 0，在 RtPAO 中可求出 PA 的长，根据四边形内角和定理可 得AOB 120 0，因此可求出 的长，从而能求出阴影部分的周长。 解：连结 OA、OB PA、PB 是O 的切线，A、B 为切点 PAPB，PAOPBORt APO APB30 021 在 Rt PAO 中， AP 3243cos0P OA PO2，PB1 APO 30 0，PAO PBORt 2O1 例 1图 B A 例 3图 O P BA 2 AOB30 0， 341802ABl 阴影部分的周长PAPB cm34)34( 答：阴影部分的周长为 cm。)4( 【例 4】如图，已知直角扇形 AOB，半径 OA2cm ，以 OB 为直径在扇形内作半圆 M，过 M 引 MPAO 交 于 P，求 与半圆弧及 MP 围成的阴影部分面积 。 AB 阴S 分析：要求的阴影部分的面积显然是不规则图形的面积，不可能直接用公式，只有用“割补法”，连结 OP。POAMBQAOSSS扇扇扇阴 解：连结 OP AOOB，MPOA，MPOB 又 OMBM1，OPOA2 160 0，230 0 PM 3OP 而 ，1602RSPA扇 2321PMOSPM 设 PM 交半圆 M 于 Q，则直角扇形 BMQ 的面积为 412rSBQ扇 )(POAMBAOSSS扇扇扇阴 312412R235 探索与创新： 【问题】如图，大小两个同心圆的圆心为 O，现任作小圆的三条切线分别交于 A、B 、C 点，记ABC 的面积为 ，以 A、B、C 为顶点的三个阴影部分的面积分别为 、 、 ，试判断 是否为定值，若是，求S 1S23 SS321 出这个定值；若不是，请说明理由。 分析：这是一道开放性试题，所考查的结果是否为定值，我们首先应明白已知条件中有哪些定值。为此设大小圆 半径分别为 和 （ 和 均为定值），小圆的每条切线与大圆所夹小弓形的面积相等且为定值，设这个定值为 P，Rr 如图有： ， ，PS321 PS321 PS321 )()( 又 2321321 R SSRS )( 把代入得： （定值）2321P 为定值，这个定值为 。321 R 例 4图 21O QM P B A 32S1 问 题 图 O CB A 3 跟踪训练： 一、选择题： 1、正六边形的两条平行边之间的距离为 1，则它的边长为（ ） A、 B、 C、 D、6343323 2、如图，两同心圆间的圆环的面积为 ，过小圆上任一点 P 作大圆的弦 AB，则 的值是（ ）16 PBA A、16 B、 C、4 D、 4 3、如图，AB 为半圆 O 的直径，C 为半圆上一点，且 为半圆的 ，设扇形 AOC、COB、弓形 B C 的面积分 A31m 别为 、 、 ，则下列结论正确的是（ ）1S23 A、 B、 2S13 C、 D、 231 3 第 2题 图 O P B A 3S21m 第 3题 图 O C BA 2O1 第 4题 图 P BA 4、如图，O 1 和O 2 外切于 P，它们的外公切线与两圆分别相切于点 A、B ，设O 1 的半径为 ，O 2 的半径为 ，1r2r 的长为 ， 的长为 ，若 ，则（ ） APlB2l21r A、 B、 C、 D、213 213l21l 5、如图，A 是半径为 1 的 O 外一点，OA2，AB 切O 于 B，弦 BCOA，连结 AC，则图中阴影部分的面积为 （ ） A、 B、 C、 D、96836834 第 5题 图 C O B A 第 6题 图 CO B A 6、如图，在ABC 中，BAC30 0，AC ，BC ，以直线 AB 为轴旋转一周得到一个几何体，则这个几何体a2b 的表面积是（ ） A、 B、 C、 D、2aab3)2(ba 二、填空题： 4 1、扇形的圆心角为 1500，扇形的面积为 cm2，则扇形的弧长为 。40 2、一个圆锥形零件底面圆半径 为 4 cm，母线 长为 12 cm，则这个零件的展开图的圆心角 的度数是 。rl 3、如图，正ABC 的中心 O 恰好为扇形 ODE 的圆心，要使扇形 ODE 绕 O 无论怎样旋转，ABC 与扇形重叠部分 的面积总等于ABC 的面积的 ，则扇形的圆心角应为 。31 第 3题 图 D E C O B A 第 4题 图 DC O B A 第 5题 图 4、如图，A、B、C、D 是圆周上的四个点， ，且弦 AB8，CD4，则图中两个弓形（阴影） BAC 面积的和是 （结果保留三个有效数字）。 5、目前，全国人民都在积极支持北京的申奥活动，你们知道吗？国际奥委会会旗上的图案是由代表五大洲的五个圆 环组成，每个圆环的内、外圆直径分别为 8 和 10，图中两两相交成的小曲边四边形（阴影部分）的面积相等，已知 五个圆环覆盖的面积是 122.5 平方单位，请你计算出每个小曲边四边形的面积为 平方单位（ 取 3.14） 三、计算或证明题： 1、如图，O 内切于ABC，切点分别为 D、E、F，若C90 0，AD 4，BD 6，求图中阴影部分的面积。 第 1题 图 E F A B O C D 第 2题 图 EA BOCD 第 3题 图 A B O C 2、如图，在 RtABC 中，C90 0，O 点在 AB 上，半圆 O 切 AC 于 D，切 BC 于 E，AO 15cm ，BO 20cm ，求 的长。 DE 3、如图，有一个直径是 1 米圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为 900 的扇形 ABC，求： （1）被剪掉（阴影）部分的面积； （2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？ 4、如图，O 与 外切于 M，AB、CD 是它们的外公切线，A、B、C、D 为切点， OA 于 E，且 O AOC 120 0。 （1）求证： 的周长等于 的弧长； （2）若 的半径为 1cm，求图中阴影部分的面积。 5 O 第 4题 图 M D E A B O C 跟踪训练参考答案 一、选择题：DABCBD 二、填空题： 1、 cm；2、120 0；3、120 0；4、15.4；5、