中考数学圆复习专题

例 1 如图 7-1，在 中，弦 平行于弦 ，若 ，则 _度OADBC80AODAB 【考点要求】本题主要考查圆中圆心角与圆周角之间的关系 【思路点拔】B= AOC ，1280A B=40 ADBC B =40DA 【答案】填：40 【方法点拨】本题部分学生不能很快发现所求角与已知角之间的关系突破方法：抓 住题中的所在条件，如本题中的两条弦平行，由此可将DAB 转化为ABC，然后再利用 圆周角与圆心的角关系求解 解题关键：本题要求学生要熟悉同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，即同弧所对 的圆周角等于圆心角的一半，同时还要根据平行线的性质进行解题 例 2 如图 8-2，AB 是的O 的直径，BC、CD、DA 是O 的弦，且 BC=CD=DA，则 BCD= （ ） A100 0 B110 0 C 1200 D135 0 【考点要求】本题考查了圆中弧、弦、圆心（周）角之间的关系，以及直径所对的弧 是半圆等基本知识 【思路点拔】AB 是的O 的直径 度数是 1800AC BC=CD=DA = =BD BCD= =120001(86)2 【答案】选填 C 【方法点拨】本题要求学生要能比较熟悉圆中的弧、弦和圆心角之间的有关系，即同 圆中相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等，同时还要知道直径是圆的一条特殊的 弦，其所对的圆心角等于 180，以及圆心角与圆周角之间的关系，综合运用这些知识，容 易理解要求某个圆周角，只需求得其所对的弧的度数 例 3 已知：AB 和 CD 为O 的两条平行弦，O 的半径为 5cm，AB=8cm ，CD=6cm，求 AB、CD 间的距离是 【考点要求】本题考查圆中弦、弦心距等与弦有关的计 算问题 【思路点拔】由于圆内的的两条弦均小于圆的直径，因 此可确定出圆中的两条平行弦的位置关系有两种：一是位于 圆心的同侧；二是位于圆心的异侧如图 8-3：过 O 作 EFAB，分别交 AB、CD 于 E、F，则 AE=4，CF=3， 由勾股定理可求出 OE=3，OF=4故当 AB、CD 在圆心 异侧时，距离为 7，在圆心同侧时，距离为 1 【答案】填：7或 1 【方法点拨】本题难点有两个：一是有不少学生容易只考虑其中的一种情形，而忽视 AD CB O 图 7-1 图 7-2 BA (A) (B) C D E F 图 7-3 另一情形；二是辅助线的添加突破方法：一般几何填空题中，如果不配图，在自己作图 时，应全面考虑各种可能情况圆中与弦有关的计算或证明问题，往往需要连结半径和弦 心距，以构造直角三角形，从而应用勾股定理进行计算 例 4 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道， 需确定管道圆形截面的半径，如图 7-5 图是水平放置的破裂管道有水 部分的截面 （1）请你补全这个输水管道的圆形截面； （2）若这个输水管道有水部分的水面宽 AB16cm，水面最深地方的高度 为 4cm，求这个圆形截面的半径 【考点要求】本题考查圆内心的确定，及与弦有关计算问题，同时考查学 生动手操作图形的能力和利用基本知识解决简单问题的能力 【思路点拔】（1）正确作出图形，如图 7-6 并做答 （2）过 O 作 OCAB 于 D ，交弧 AB 于 C， OCAB ， BD AB 168cm 21 由题意可知，CD4cm 设半径为 x cm，则 OD（x4）cm 在 Rt BOD 中，由勾股定理得： OD2BD 2OB 2， ( x4) 28 2x 2 x10 【答案】这个圆形截面的半径为 10cm 【方法点拨】这是一道作图与解答相结合的中考题，部分学生不会补全整个圆面或者 补全之后不知如何进行计算突破方法：补全圆面的关键在于确定圆心，然后再利用勾股 定理进行计算 解题关键：确定圆心时，主要根据圆的定义，取弧上的两条弦，作出两条弦的垂直平 分线，交点即为圆心，然后连结半径构造直角三角形 例 5 如图 7-9，AB 是O 的直径，BD 是O 的弦， 延长 BD 到点 C，使 DC=BD，连接 AC 交O 与点 F （1）AB 与 AC 的大小有什么关系?为什么? （2）按角的大小分类， 请你判断ABC 属于哪一类 三角形，并说明理由 【考点要求】本题考查与圆有关的性质在三角中的应 用 【思路点拔】（1）（方法 1）连接 DO ，OD 是 ABC 的中位线， DOCA，ODB C，ODBO ，OBDODB， OBDACB，ABAC （方法 2）连接 AD， AB 是O 的直径，AOBC， BDCD ，AB AC （方法 3）连接 DOOD 是ABC 的中位线，OD= AC 21 图 7-5 图 7-9 O F D CB A 图 7-6 ，OB=OD= AB，AB=AC21 （2） 连接 AD，AB 是O 的直径，ADB 90 BACB90CACB90B、C 为锐角 AC 和O 交于点 F，连接 BF， ABFC90ABC 为锐角三角形 【答案】（1）ABAC；（2）ABC 为锐角三角形 【方法点拨】部分学生第（1）题会做出判断，但不知如何证明，而第（2）题又容易 将问题结果简单、特殊化，易错误的判断为等边三角形突破方法：判断或证明线段的大 小关系时，一般结论是相等，在同一个三角形中可根据等角对等边证明，如果在两个三角 形中，往往会根据三角形全等证明，同时还要看清题目要求，如本题就是要求按角的大小 分类进行判断，而不是边的大小关系 解题关键：证明同一个三角形中的两边相等，一般根据等角对等边进行证明 例 6 如图 7-13，已知 AB 为O 的直径，弦 CDAB，垂足为 H （1）求证：AH AB =AC2； （2）若过 A 的直线与弦 CD（不含端点）相交于点 E，与O 相交于 点 F，求证：AE AF=AC2； （3）若过 A 的直线与直线 CD 相交于点 P，与O 相交于点 Q，判断 APAQ=AC2 是否成立 (不必证明 ) 【考点要求】本题考查与圆有关的三角形相似问题，是一道几何综合证 明题 【思路点拔】（1）连结 CB， AB 是O 的直径，ACB=90 而CAH=BAC，CAH BAC ， 即 AHAB=AC2 ACHB （2）连结 FB，易证AHE AFB， AE AF=AHAB， AE AF=AC2 (也可连结 CF，证AECACF ) （3）结论 APAQ=AC2 成立 【答案】 （3）结论 APAQ=AC2 成立 【规律总结】等积式的证明往往要转化为比例式进行，部分学生不知改写为何种比例 式比较合适突破方法：把等积式转化为比例式时，要结合图形书写，如证明 AH AB=AC2 时，可将其先转化为 ，然后从比例式中对应边的比容易看出证明的目ACHB 标为CAHBAC，从而使得解题变得有的放矢 解题关键：证明圆中的等积式或比例式问题时，往往会利用三角形的相似，因为圆中 容易证明角相等 图 7-13 一、选择题 1已知O 的半径为 5cm， A 为线段 OP 的中点，当 OP=6cm，点 A 与O 的位置关系时 （ ） A点 A 在O 内 B点 A 在O 上 C点 A 在O 外 D不能确定 2已知O 1 与O 2 的半径分别为 3cm 和 4cm，圆心距=10cm，那么O 1 与O 2 的位置关 系是（ ） A内切 B相交 C外切 D外离 3下列语句中正确的有（ ） 相等的圆心角所对的弧相等 平分弦的直径垂直于弦 长度相等的两条弧是等弧 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 4已知圆的半径为 65cm，如果一条直线和圆心的距离为 9cm，那么这条直线和这个圆 的位置关系是（ ） A相交 B相切 C 相离 D相交或相离 5如图，点 P 是O 的直径 BA 延长线上一点，PC 与O 相切于点 C，CDAB，垂足为 D，连结 ACBCOC，那么下列结论中： PC 2=PAPB；PCOC =OPCD；OA 2=ODOP正确的有（ ） A 0 个 B1 个 C 2 个 D3 个 6AB 是O 的直径，点 DE 是半圆的三等分点，AEBD 的 延长 线交于点 C，若 CE=2，则图中阴影部分的面积是（ ） A B 43 C D 213 二、填空题 7直角三角形的两条边长分别为 6 和 8，那么这个三角形的外接圆半 径等 于 8如图，已知 AB 是O 的直径，CD 是弦，且 CDAB，BC=6，AC=8，则 sinABD的值是 9用 48m 长的竹篱笆在空地上，围成一个绿化场地，现有两种设计方 案， 一种是围成正方形场地；另一种是围成圆形场地现请你选择，围成 （圆形正方形两者选一）场地的面积较大 10某落地钟钟摆的摆长为 05m ，来回摆动的最大夹角为 20，已知在钟摆的 摆动过程中，摆锤离地面的最低高度为 am，最大高度为 bm，则 ba m（不取近似值） 11如图，圆锥的底面半径为 6cm，高为 8cm，则将该圆锥沿母线剪开后所得扇 形对应的圆心角为 12“圆材埋壁” 是我国古代著名数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材， 埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题 的实质就是解决下面的问题：“如图 8，CD 为O 的直径，弦 ABCD 于点 O D E C BA E，CE=1，AB=10，求 CD 的长”根据题意可得 CD 的长为 三、解答题 13如图，在ABC 中，C=90 0，AC=8，AB=10 ，点 P 在 AC 上，AP=2，若O 的圆心 在线段 BP 上，且 O 与 ABAC 都相切，求O 的半径 14已知: 如图， AB 是O 的直径， O 过 AC 的中点 D， DE 切O 于点 D， 交 BC 于点 E (1)求证: DEBC; (2)如果 CD=4， CE=3， 求O 的半径 15如图所示，外切于 P 点的O 1 和O 2 是半径为 3cm 的等圆， 连心线交O 1 于点 A，交O 2 于点 B，AC 与O 2 相切于点 C，连接 PC，求 PC 的长 16如图，已知：C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点，CHAB 于点 H，直线 AC 与过 B 点的切线相交于点 D，E 为 CH 中点，连接 AE 并延长交 BD 于点 F，直线 CF 交直线 AB 于点 G （1）求证：点 F 是 BD 中点； （2）求证：CG 是O 的切线； （3）若 FB=FE=2，求O 的半径 17已知：AB 为O 的直径，P 为 AB 弧的中点 （1）若O与 O 外切于点 P（见图甲），AP BP 的延长线分别交O于点 CD， 连接 CD，则PCD 是 三角形； （2）若O与 O 相交于点 PQ （见图乙），连接 AQBQ 并延长分别交O于点 EF，请选择下列两个问题中的一个作答： 问题一：判断PEF 的形状，并证明你的结论； 问题二：判断线段 AE 与 BF 的关系，并证明你的结论 我选择问题 ，结论： 、 习题答案专题七圆 1.【答案】A 点拨：根据圆的定义及点和圆的位置关系进行分析 2.【答案】D 点拨：根据圆与圆的位置关系进行判断 3.【答案】A 点拨：这是一道概念辨析题，正确理解等弧的概念是解此类题目的关 键等弧只能在同圆中，长度相等或度数相等的两条弧都不能判断是等弧，因此 都 是错误的，圆内任意两条直径都互相平分，但不一定垂直，故不正确 4.【答案】C 点拨：根据已知条件圆心到直线的距离为 9cm，大于圆的半径 6.5cm，所 以直线与圆相离 5.【答案】D 点拨：由题目已知条件，容易证明 PCAPBCOCDOPC，所 以 ， ， ，又由于 OA=OC，从而可推得三个结论全部PBACDOOPC 正确 6.【答案】A 点拨： ， A= ABC=60 0，ABC 是等边三角形，AEB 又 AB 是O 的直径，AEB=90 0 ，即 BEAE ，AC=2CE=4=AB， S 阴 =S 扇形 OBE S ABE= 43 7.【答案】5 点拨：直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点上，且半径等于斜边的一半 8.【答案】 由已知已知 AB 是O 的直径，得ACB=90 O，AB 垂直平分 CD， BCD 为等腰三角形， ABD=ABC，sinABD=sin ABC= 45ACB 9.【答案】圆 点拨：用同样长度的材料，圆形场地的面积较大 10.【答案】 点拨：根据垂径定理计算0.5(1cos) 11.【答案】216 o （cm），C=2r=12，n= 26810l001826CL 12.【答案】26 点拨：由垂径定理可知，CD 平分弦 AB，所以 ，设O5AEB 的半径为 R，连结 OA，在 RtAOE 中， ，所以22AO ，解之，得 R=13，所以 CD=2R=26225(1) 13.【答案】解：由题意，BC= =6， 过 O 分别作 ODAB，OEOE ，则2BC DE 分别是 ABAC 与O 相切的切点，则 AD=AE，OD=OE ， ， ，26APCAP,EPBC又 BP OE ，EP=OE，设 OE=x，则 BD=AB-AD=AB-AE=10-(2+x)=8-x，OB=BP-OP= ， (8-2 x)2+x2=2(6-x)2 ，x =1，O 的半径为 1 14.【答案】解：（1）连结 ODDE 切O 于点 D， DEOD， ODE=90