博弈论教材2013-3

例 2 情侣博弈 丈夫（H）和妻子（W）决定周末去看足球（F）还是去剧院（O） 。丈夫不 愿意和妻子分开，但是他对妻子的性格不甚了解，妻子可能喜欢独处，也可 能对丈夫充满深情要在一起。 表 4-2 深情 W 独处 W O F O F O 3，1 0,0 H O 3，0 0,1H F 0,0 1,3 F 0,3 1,0 作为现实生活中的一个情景，考虑委员会选举（比如参议院中的小组委 员会） ；两位委员会成员的投票决定两个对立议案 F 和 O 的命运。规则要求一 致同意；参与人 H 希望通过 F。第一种类型的 W 希望通过 O，第二种类型的 W 希望没有议案得到通过。此外，如果 W 投了 H 喜欢的议案的票，而投票结果 又出现分散现象，她将得到最大的乐趣，因为看上去她很宽容。 三 贝叶斯纳什均衡 潜存于例 2 之下的三个假设： 假设 1：妻子知道自己的最优选择，即她知道“正确的博弈”是左表还 是右表； 假设 2：丈夫不知道她的妻子真正的优先选择，他对他的真实类型附加 了概率 ； 假设 3：妻子知道她的丈夫关于她的优先选择的估计，即她知道 的取 值。 三个假设中最容易引起争议的是最后一个假设，它叫做公公先验假设。 让我们转到均衡分析。在约翰海萨尼于 1967 年和 1968 年所写的三篇论文 中，他提出了适合不完全信息博弈的纳什均衡的推广，他的建议分为两部分： 1 将不完全信息博弈转为不完美信息博弈 一个虚拟参与人（自然）选择妻子的类型（类型 1 深情，类型 2 独处） ， 将之告诉妻子但是不告诉丈夫，于是得到了对应的展开型博弈： - 2 - 2 使用这个不完美信息形式的纳什均衡解作为原博弈的解 在不完全信息博弈中，赋予纳什均衡一个专用名词，成为贝叶斯-纳什均 衡。注意到丈夫的纯策略是选择 F 或 O，混合策略是置于 F 的概率的选取， 并且将这个概率表示为 。妻子的策略是成对的。她的第一个分量是类型 1 的妻子的选择，第二个分量是类型 2 的妻子的选择。因此妻子的纯策略是 （F,F）,（F,O）,（O,F）,（O,O） 。而混合策略是( ),其中 是21， 21， 类型 1 妻子和类型 2 妻子将采取 F 的概率。 定义 博弈的贝叶斯-纳什均衡是三个部分 ，其中每个参与），（ 21 人及其每种类型将采取最佳反应如下：（1）如果丈夫以概率 采取 F，那么 概率 最大化类型 i 妻子的效用；（2）如果丈夫相信他以概率 遇到类型i 1 的妻子，并且她以概率 采取 F，而已概率 遇到类型 2 的妻子，并且1-1 她以概率 采取 F，那么概率 将使得丈夫的效用最大。2 博弈论第 - 3 - 页 共 12 页 - 3 - 四 纯策略贝叶斯-纳什均衡分析 假设丈夫肯定采取 F，类型 1 的妻子最佳反应是 F，类型 2 的妻子最佳反 应为 O，余下惟一问题是丈夫通过采取 F【针对妻子的（F,O） 】是否能够最大 化期望效用？ 容易计算出丈夫选取 F 时期望效用是 ，选 O 是期望效用为 。当3-1 选 F 的效用不低于选 O 的效用时， （F,F,0）将成为一个纯策略纳什均衡。 结论 1 当丈夫对妻子是类型 1 的信念 时，丈夫选择 F， “妻子们”选择4 （F,O）将成为一个纳什均衡。 请你证明如下的结论 2 结论 2 当丈夫对妻子是类型 1 的信念 时，丈夫选择 O， “妻子们”选择43 （O,F）将成为一个纳什均衡。 结论 3 当 时，有 2 个纯策略纳什均衡； 时，只有 1 个纯策略纳4 什均衡， 时，没有纳什均衡。1 五 不完全信息动态博弈举例 例 3 【黔驴技穷】 柳 宗 元 （ “唐 宋 八 大 家 ”之 一 ） 唐 柳 宗 元 三 戒 黔 之 驴 ： “黔 无 驴 ， 有 好 事 者 船 载 以 入 。 至 则 无 可 用 ， 放 之 山 下 。 虎 见 之 ， 庞 然 大 物 也 。 以 为 神 。 蔽 林 间 窥 之 ， 稍 出 近 之 ， 慭 慭 然 ， 莫 相 知 。 他 日 ， 驴 一 鸣 ， 虎 大 骇 ， 远 遁 ， 以 为 且 噬 己 也 ， 甚 恐 。 然 往 来 视 之 ， 觉 无 异 能 者 。 益 习 其 声 。 又 近 出 前 后 ， 终 不 敢 搏 。 稍 近 益 狎 ， 荡 倚 冲 冒 。 驴 不 胜 怒 ， 蹄 之 。 虎 因 喜 ， 计 之 曰 ： “技 止 此 耳 ！ ”因 跳 踉 大 ， 断 其 喉 ， 尽 其 肉 ， 乃 去 。 ” 这 则 富 有 时 代 特 色 与 战 斗 精 神 的 寓 言 故 事 ， 被 后 人 广 为 传 诵 ， 并 派 生 出 汉 语 圈 中 认 知 率 最 高 的 成 语 之 一 “黔 驴 技 穷 ”。 上 述 寓 言 和 成 语 ， 有 其 明 确 的 内 涵 ， 表 达 了 积 极 的 理 念 ， 用 来 讽 喻 貌 似 强 大 的 东 西 并 不 可 怕 ， 只 要 敢 于 斗 争 ， 善 于 斗 争 ， 就 一 定 能 战 而 胜 之 。 如 果 正 确 地 理 解 上 述 寓 言 和 成 语 的 内 涵 和 理 念 ， 是 无 可 厚 非 的 ， 不 会 产 生 什 么 争 议 、 更 不 会 衍 生 出 什 么 历 史 公 案 。 但 是 一 些 后 人 ， 却 不 求 甚 解 、 生 搬 硬 套 ， 不 知 彼 “黔 ” 非 此 “黔 ”。 况 这 则 寓 言 故 事 的 “领 衔 主 演 ”应 该 是 “黔 之 虎 ”， 对 原 文 最 正 确 的 解 读 应 该 是 “黔 之 驴 技 穷 ”或 “驴 黔 技 穷 ”！ - 4 - 行 省 制 始 于 元 朝 ， 现 在 的 贵 州 在 元 朝 分 属 湖 广 行 省 、 四 川 行 省 和 云 南 行 省 。 基 于 这 一 史 实 ,现 在 的 贵 州 在 文 化 传 统 上 ， 应 当 归 属 于 湘 楚 文 化 圈 、 巴 蜀 文 化 圈 和 滇 文 化 圈 的 交 叉 融 合 。 贵 州 建 省 始 于 明 朝 洪 武 年 间 ， 当 时 的 管 辖 范 围 与 现 在 也 略 有 出 入 。 柳 宗 元 创 作 黔 之 驴 一 文 ， 应 该 是 公 元 800 年 左 右 的 唐 朝 中 晚 期 ， 当 时 地 方 行 政 区 划 为 “道 州 县 ” 三 级 。 黔 之 驴 一 文 所 涉 及 的 “黔 中 道 ”， 包 括 了 湖 南 西 部 、 重 庆 东 南 部 、 贵 州 北 部 和 湖 北 西 南 部 一 带 地 区 ， 治 黔 州 （ 今 重 庆 市 彭 水 苗 族 土 家 族 自 治 县 ） 。 请你找出参与人，参与人的类型，策略与行动，并赋予相应的效用。 例 4 信号博弈（Signaling game） ，是一种由一个发送者（S）和另一个接收 者（R）所组成的动态博弈。一开始这个发送者有一个给定的类型（t） ，接着 发送者会观察这个没有其他人（好比说接收者）知道的类型，去从讯息堆 M = m1, m2, m3,., mj 中选择送出一个讯息（m） ，接着接收者会观察这个讯 息后从他可行的动作中 A = a1, a2, a3, ak 选一个作为反应动作（ a） ，这 里要注意的是接收者除了讯息之外其他都无法得知（如发送者的类型 t） ，接 着根据（t, m, a）的组合来决定双方会获得的报酬或回报。 1 在经济学中，信息不完全又可等同于信息不对称，几乎所有的信息不完 全模型都与信息不对称相关，逆向选择和道德风险就是信息不对称的两种表 现形式。信号博弈是研究逆向选择的一个重要模型，最早由斯彭思(spence) 提出并加以讨论，斯彭思也因此获得了 2001 年的诺贝尔经济学奖。 博弈论第 - 5 - 页 共 12 页 - 5 - 5.2 拍卖 一 英国式拍卖 English auction 是我们非常熟悉的拍卖类型，竞买者相继出价，且出价是 逐步提高的。通常拍卖人会在每次出价之前确定提高的价格，直到有人愿意 支付更高的价格为止。 假设帕特和昆西在英国式拍卖中竞买一架照相机，他们买照相机自己用， 不是要转手卖掉。帕特的估价是 114 美元，他不知道昆西的估价，但猜想是 102 美元或 108 美元。 现在昆西出价 100 美元，竞价涨幅为 5 美元，从博弈论的观点出发，帕 特应如何出价？ 图 4-1 照相机拍卖 【练习】使用倒推法，找出该博弈的纳什均衡。 如果在一个拍卖中两个竞买者理性地出价，即他们依据子博弈完美均衡 出价，那么估价高的人总能得到拍卖品，我们称拍卖是有效率的。 结论：在英国式拍卖中，只要出价小于你的估价，按最小竞价增幅提高 出价，总能得到子博弈完美均衡，这是英国式拍卖最大的优点，且估价高者 得到拍卖品，英国式拍卖是有效率的。 二 第二价格拍卖 每个竞争者报一个价格，出价最高的人将得到这一物品，但其所付的价 格仅是第二高价。这种类型的拍卖叫做第二价格拍卖（second-price auction） 。 第二价格拍卖通常以密封拍卖（sealed-bid auction）的方式进行，竞争者不必 - 6 - 出席竞标，所以这种拍卖形式很方便。 【例 1】 易趣拍卖 鲁斯和萨拉竞买一件物品的投标博弈，鲁斯的估价是 100 美元，萨拉的 估价是 70 美元。拍卖底价是 50 美元。双方并不知道彼此的估价，即对鲁斯 来说，萨拉的估价是未知数 。鲁斯认为 的概率为 ，而 得x10xp10x 概率为 。对于萨拉来说，鲁斯的估价也是未知数，设为 。 的1p y7 概率为 ，而 的概率为 .q70y1q 鲁斯先出价，她有三种行动可以选择：出价 50 美元，出价 100 美元或等 到第三阶段出价。接下来，萨拉出价 70 美元或弃拍。第三阶段，鲁斯可以再 次出价，但需要花一点功夫，假设成本为 3 美元。 图 4-2 易趣拍卖博弈 此处的收益以数学期望的形式表示，萨拉出价被表示成未知数 ，使用x 倒推法可分析该博弈： 博弈论第 - 7 - 页 共 12 页 - 7 - 图 4-3 倒推法解易趣博弈 因此，鲁斯应出价 100 美元，得到 的期望收益，萨拉应出价 70 美元，30p 得到 的期望收益。以估价进行出价即可。20q 以上两例都是私有价值拍卖，有时竞拍者是为了中标后拿去转卖，此时 价值变为共同价值。 三 共同价值拍卖 【例 2】三个石油开发商以密封价格拍卖形式竞争一片油田的勘探权。 称为甲方、乙方和丙方，他们都是风险中性的。而该油田的实际市场价值为 1000 万美元。甲的估价为 70 万，乙的估价为 1100 万，丙的估价为 1200 万。 若是第二密封价格拍卖，丙是赢家，但是将损失 100 万，这就是胜利者的灾 祸。 因此，共同价值物品的拍卖，投标者出价时要综合考虑各种因素，往往 不以自己的估价出价。 四 荷兰式拍卖 拍卖历史悠久，种类繁多。英国式拍卖是一种最普通的增价拍卖。而荷 兰式拍卖（Duth aucion）则是降价拍卖，直到有人接受该价格并获得拍卖品。 五 密封拍卖 有单轮第一价格，单轮第二价格和多伦拍卖等。荷兰式拍卖与密封第一 价格等价，英国式拍卖与两者不同。拍卖的策略和结果不仅取决于拍卖类型， 还取决于拍卖环境，即拍卖的收益和拍卖者掌握的信息。 - 8 - 5.3 合作博弈及其应用 一 合作博弈 到目前为止，我们探讨的都是博弈的非合作解。对于博弈问题，最优解 不是唯一的，一类是不考虑他人，只需最大化个人收益的非合作解；另一类 是以整体收益最优化为目标，参与者相互协调的合作解，整体收益最优是一 个含糊的概念。由于可能存在多个整体收益最优的策略组合，博弈问题的合 作解也可能有多个。 参与者可以协调相互之间的策略选择的博弈叫做合作博弈，得到的解称 为合作博弈解。现在的问题是：“如果参与人的策略可以相互协调，怎样选择 策略才会带来整体最大收益呢？” 二 自行车交易 乔伊有一辆自行车但身无分文需要一些钞票，他估计自己的自行车的价 值是 80 元。米奇有 100 元但没有自行车，他认为一辆自行车值 100 元。这样 就存在着一笔潜在的交易，但是双方都不清楚对方的信誉。 可供两人选择的策略是出让或保留，也就是说，乔伊可以把自行车给米 奇，也可以不给；而米奇可以用任意数量的人民币交换自行车或者一分不给。 下面是米奇愿意出让 90 元交换自行车的情况： 表 4-3 乔伊 出让 保留 米 出让 110,90 10,170 奇 保留 200,0 100,80 若将之看作非合作博弈， （保留，保留）是纳什均衡。但（出让，出让） 却可以使双方获得更多的收益，问题是双方互不信任。不过，市场上确实存 在能促使双方顺利进行互利交易的机构，这样就可以得到我们所期望的合作 博弈解。 当乔伊和米奇在第三机构的参与下对交易问题达成一致，他们就结成了 博弈论第 - 9 - 页 共 12 页 - 9 - 联盟，将协调各自的策略，视（出让，出让）为联盟的统一决策。 这种买卖需要强制性的协议，买卖双方的转让支付与协议联系在一起， 称为旁支付。前文将自行车价格定为 90 元只是一种情况，其价格仍可适当提 高或降低，那么价格定为多少合适呢？图 5-4 阐述了限定条件： 图 4-5 合作博弈的解集 乔伊和米奇的收益分别用横轴和纵轴表示，两人收益之和最多为 200 元， 如直线 AB 所示。不过，并非直线上所有的点都是解。在非合作博弈中，乔 伊可得到 80 元，米奇可以得到 100 元。一旦合作博弈时的收益小于这两个值， 他们可退出联盟以获得更高的收益。因此，两人的收益必然落在线段 AB 之 上。 从某种意义来说，线段 AB 上的点都是合作博弈的可行解。冯诺依曼和 摩根斯坦称博弈问题的合作博弈解为解集。即允许旁支付的情况下，在保证 每个参与人至少获得非合作博弈收益的基础上，使总收益达到最大值的所有 合作联盟。 三 房地产开发 杰伊是一个房地产开发商，他希望把两块或者更多的地产聚集到一起联 合开发。凯、劳拉和马克各有一块地产，分别以 K、L、 M 表示。杰伊希望这 三人能够以某种方式稳定地合并，即结盟。杰伊详细列出了各种联盟形式及 相应的收益： 表 4-4 房地产联盟的收益 联盟 收益 1 （KLM） (10) 2 (KL)(M) (6)(4) - 10 - 3 (KM)(L) (4)(4) 4 (LM)(K) (4)(4) 5 (K)(L)(M) (3)(3)(3) 表 5-2 中每一行都代表一种可能的联盟结构，第一行是所有人组成的三 人联盟，称为大联盟，第五行是非合作博弈的情形，称为单人联盟。 该博弈的解是(KLM) 和(KL)(M) 。在大联盟中，每个人均可退出而获得收 益 4，因此每个人的收益应不小于 4。但总收益仅为 10，从而大联盟不稳定。 如果凯和劳拉能够通过旁支付调整，第二行的联盟是稳定的，3,3,4 是三人的 收益。在第二行，由凯和劳拉、马克组成的联盟结构是稳定的，称为该博弈 的核（core ） 。 四 解集与核 博弈论创立之初，冯诺依曼和摩根斯坦引用新古典经济学中有效率的概 念，认为合作博弈的解必须是有效率的。有效率意味着博弈的所有可能潜力 已被挖掘，如果要使某些人变得更好，就不得不损害其他人的利益，经济学 上这种资源配置状态称为帕累托最优。 许多情况下有效配置不止一种。通常来讲，合作博弈的核包含所有使团 体成员不能从联盟重组中获益的分配方案。 五 应用 1 议会政治：英国、加拿大和德国都是议会制度的代表，在这些国家里，除 非得到议会的多数票支持，就不能组阁政府，议会中的部分党派通常结为联 盟以获得绝对多数票的支持。假设中欧共和国是一个拥有议会政府的典型国 家，该国议会由三个实力强大的党派组成： 表 4-5 中欧议会的政党 党派 投票权 立场 保守党（CC） 40% 该党派对道德和家庭问题十分保守，经济态度温和， 赞成有利于小型工商业和农业的政策 社会劳动党(SL) 40% 该党派赞成有利于劳动者的决策，提倡经济系统的 中央集权，对道德与家庭态度中立。 激进党 (R) 20% 该党派支持市场自由化，限制政府权力，大力提倡 博弈论第 - 11 - 页 共 12 页 - 11 - 家庭价值观和道德观的解放。 中欧议会政府的形成是一个合作博弈的过程，这里假定禁止腐败现象， 排除了旁支付的可能：