二元一次方程组应用题及答案

1 二元一次方程组解应用题 列方程解应用题的基本关系量： 行程问题：速度时间=路程 顺水速度=静水速度水流速度 逆水速度=静水速度水流速度 工程问题：工作效率工作时间=工作量 浓度问题：溶液浓度=溶质 银行利率问题：免税利息=本金利率时间 二元一次方程组解决实际问题的基本步骤： 1、审题，搞清已知量和待求量，分析数量关系. （ 审题，寻找等量关系） 2、考虑如何根据等量关系设元，列出方程组 （设未知数，列方程组） 3、列出方程组并求解，得到答案 （解方程组） 4、检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意 （检验,答） 列方程组解应用题的常见题型： 和差倍总分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数倍量 产品配套问题：加工总量成比例 速度问题：速度时间=路程 航速问题：此类问题分为水中航速和风中航速两类 顺流（风）：航速=静水（无风）中的速度+水（风）速 逆流（风）：航速=静水（无风）中的速度-水（风）速 工程问题：工作量=工作效率工作时间 （一般分为两种，一种是一般的工程问题；另一种是工作总量是单位一的工程问题） 增长率问题：原量（1增长率）=增长后的量 原量（1减少率）=减少后的量 浓度问题：溶液浓度=溶质 银行利率问题：免税利息=本金利率时间 税后利息=本金利率时间本金利率时间税率 利润问题：利润=售价进价，利润率=（售价进价）进价100% 2 盈亏问题：关键从盈（过剩） 、亏（不足）两个角度把握事物的总量 数字问题：首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示 几何问题：必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式 年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的 一元一次方程方程应用题归类分析 1. 和、差、倍、分问题： （1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几， 增长率”来体现。 （2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余”来体现。 例 1.根据 2001 年 3 月 28 日新华社公布的第五次人口普查统计数据，截止到 2000 年 11 月 1 日 0 时，全国每 10 万人中具有小学文化程度的人口为 35701 人，比 1990 年 7 月 1 日 减少了 3.66%，1990 年 6 月底每 10 万人中约有多少人具有小学文化程度？ 分析：等量关系为： 36%9201.年 月 底 有 的 人 数 年 月 日 人 数 解：设 1990 年 6 月底每 10 万人中约有 x 人具有小学文化程度 (.1)5701x 2. 等积变形问题： “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为： 形状面积变了，周 长没变；原料体积成品体积。 例 2. 用直径为 90mm 的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为 1252m内高 为 81mm 的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少 mm？（结果保留整数314. ） 分析：等量关系为：圆柱形玻璃杯体积长方体铁盒的体积 下降的高度就是倒出 水的高度 解：设玻璃杯中的水高下降 xmm 9021528x x69 3. 劳力调配问题： 这类问题要搞清人数的变化，常见题型有： （1）既有调入又有调出； （2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变； （3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。 例 3. 机械厂加工车间有 85 名工人，平均每人每天加工大齿轮 16 个或小齿轮 10 个，已 知 2 个大齿轮与 3 个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使 3 每天加工的大小齿轮刚好配套？ 分析：列表法。 每人每天 人数 数量 大齿轮 16 个 x 人 16x 小齿轮 10 个 85 人 1085x 等量关系：小齿轮数量的 2 倍大齿轮数量的 3 倍 解：设分别安排 x 名、 x名工人加工大、小齿轮 3162085()() 47x 8560x人 例 4. 比例分配问题： 这类问题的一般思路为：设其中一份为 x，利用已知的比，写 出相应的代数式。 常用等量关系：各部分之和总量。 例 4. 三个正整数的比为 1：2：4，它们的和是 84，那么这三个数中最大的数是几？ 解：设一份为 x，则三个数分别为 x，2x，4x 分析：等量关系：三个数的和是 84 x248 例 5. 数字问题 （1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为 a，十位数字是 b，个位数字为 c（其中 a、b、c 均为整数，且 1a9， 0b9， 0c9）则这个三位数表示为： 100a+10b+c。 （2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大 1；偶数用 2N 表示，连续的偶数用 2n+2 或 2n2 表示；奇数用 2n+1 或 2n1 表示。 例 5. 一个两位数，个位上的数是十位上的数的 2 倍，如果把十位与个位上的数对调，那 么所得的两位数比原两位数大 36，求原来的两位数 等量关系：原两位数+36=对调后新两位数 解：设十位上的数字 X，则个位上的数是 2x， 102x+x=（10x+2x）+36 解得 x=4，2x=8. 6. 工程问题： 工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率工作时间 经常在题目中未给出工 作总量时，设工作总量为单位 1。 例 6. 一件工程，甲独做需 15 天完成，乙独做需 12 天完成，现先由甲、乙合作 3 天后， 甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？ 分析设工程总量为单位 1，等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。 解：设乙还需 x 天完成全部工程，设工作总量为单位 1，由题意得，( + ) 115112 4 3+ =1， 解这个方程， + + =1 x12 1514x12 12+15+5x=60 5x=33 x= =6 答：略. 335 35 例 7. 甲、乙两站相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行 90 公里，一列快车从乙 站开出，每小时行 140 公里。 （1）慢车先开出 1 小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相 遇？ （2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距 600 公里？ （3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距 600 公 里？ （4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ （5）慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上 慢车？ 此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分 析。 （1）分析：相遇问题，画图表示为： 甲 乙 等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480 公里。 解：设快车开出 x 小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480 解这个方程，230x=390 x=1 答：略. 1623 分析：相背而行，画图表示为： 60 甲 乙 等量关系是：两车所走的路程和+480 公里=600 公里。 （2）解：设 x 小时后两车相距 600 公里，由题意得，(140+90)x+480=600 解这个方程， 230x=120 x= 1223 （3）分析：等量关系为：快车所走路程慢车所走路程+480 公里=600 公里。 解：设 x 小时后两车相距 600 公里，由题意得，(14090)x+480=600 50x=120 x=2.4 答：略. （4）分析：追及问题，画图表示为： 甲 乙 等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480 公里。 解：设 x 小时后快车追上慢车。由题意得，140x=90x+480 解这个方程，50x=480 x=9.6 答：略. （5）分析：追及问题，等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480 公里。 5 解：设快车开出 x 小时后追上慢车。由题意得，140x=90(x+1)+480 50x=570 解得， x=11.4 8. 利润赢亏问题 （1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等（2）有关关系式： 商品利润=商品售价商品进价=商品标价折扣率商品进价 商品利润率=商品利润/商品进价 商品售价=商品标价折扣率 例 8. 一家商店将某种服装按进价提高 40%后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 15 元，这种服装每件的进价是多少？ 分析：探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为 X 元 进价 折扣率 标价 优惠价 利润 x 元 8 折 （1+40%）x 元 80%（1+40%）x 15 元 等量关系：（利润=折扣后价格进价）折扣后价格进价=15 解：设进价为 X 元，80%X（1+40%）X=15，X=125 答：略. 9. 储蓄问题 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和， 存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的 20%付利息税 利息=本金利率期数 本息和=本金+利息 利息税=利息税率（20%） 例 9. 某同学把 250 元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和 252.7 元， 求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税） 分析：等量关系：本息和=本金（1+利率）解：设半年期的实际利率为 x，250（1+x） =252.7，x=0.0108 所以年利率为 0.01082=0.0216 重点题目： 1、甲、乙两人分别从相距 30 千米的 A、B 两地同时相向而行，经过 3 小时后相距 3 千米， 再经过 2 小时，甲到 B 地所剩路程是乙到 A 地所剩路程的 2 倍，求甲、乙两人的速度 解析： 设甲、乙的速度分别为 x 千米/时和 y 千米/时第一种情况：甲、乙两人相遇前 还相距 3 千米根据题意，得 第二种情况：甲、乙两人是相遇后相距 3 千米根据题意，得 答：甲、乙的速度分别为 4 千米/时和 5 千米/时；或甲、乙的速度 分别为 千米/时和 千米 /时 6 2、甲乙两人做加法，甲在其中一个数后面多写了一个 0，得和为 2342，乙在同一个加数 后面少写了一个 0，得和为 65，你能求出原来的两个加数吗？ 解析：设两个加数分别为 x、y根据题意，得 解得 所以原来的两个加数分别为 230 和 42 3、一批机器零件共 840 个，如果甲先做 4 天，乙加入合做，那么再做 8 天才能完成；如 果乙先做 4 天，甲加入合做，那么再做 9 天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？ 解析：由题意得甲做 12 天，乙做 8 天能够完成任务；而甲做 9 天，乙做 13 天也能完成任 务，由此关系我们可列方程组求解设甲每天做 x 个机器零件，乙每天做 y 个机器零件， 根据题意，得 答：甲每天做 50 个机器零件，乙每天做 30 个机 器零件 4、师傅对徒弟说“我像你这样大时，你才 4 岁，将来当你像我这样大时，我已经是 52 岁 的人了” 问这位师傅与徒弟现在的年龄各是多少岁？ 解析：由“我像你这样大时，你才 4 岁”可知师傅现在的年龄等于徒弟现在的年龄加上徒 弟现在的年龄减 4，由“当你像我这样大时，我已经是 52 岁的人了”可知 52 等于师傅现 在的年龄加上师傅现在的年龄减去徒弟的年龄由这两个关系可列方程组求解设现在师 傅 x 岁，徒弟 y 岁，根据题意，得 答：现在师傅 36 岁，徒弟 20 岁 5、有两个长方形，第一个长方形的长与宽之比为 54，第二个长方形的长与宽之比为 32，第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大 112cm，第一个长方形的宽比第二个 长方形的长的 2 倍还大 6cm，求这两个长方形的面积 解析：设第一个长方形的长与宽分别为 5xcm 和 4xcm，第二个长方形的长与宽分别为 3ycm 和 2ycm 从而第一个长方形的面积为：5x4x20x21620（cm2） ；第二个长方形的面积为： 7 3y2y6y2150（cm2） 答：这两个长方形的面积分别为 1620cm2 和 150cm2 6、一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付两组费用共 3520 元；若先请甲组单独做 6 天，再请乙组单独做 12 天可以完成，需付两组费用共 3480