【步步高】2011届高考数学一轮复习 第十编 计数原理 理 课件（打包六套）苏教版
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二项式定理 _ . 这个公式叫做二项式定理 ， 右边的多项式叫做(a+b) 其中的系数 （ r=0， 1，2， ， n） 叫做第 r+1项的二项式系数 用 表示 ，即展开式的第 项； = . 基础知识 自主学习 要点梳理 110)N(C nb r+1 （ 1） 项数为 . （ 2） 各项的次数都等于二项式的幂 指数 n， 即 a与 . （ 3） 字母 排列 ， 从第一项开始 ， 次数由 直到零；字母 排列 ， 从第一项起 ， 次数由零逐项增 1直到 n. （ 4） 二项式的系数从 ， ， 一直到 ， . n+1 n 降幂 升幂0C（ 1） = ； （ 2） = ； （ 3） 当 r 时 ， ;当 r 时 ， ; （ 4） = ； （ 5） 二项式展开式中 ， 偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和 ， 即 = = . C21n 1C1n 1C 531 420 .（ 16=a0+ +则 |+ +|值为 . 解析 | +|为 (1+2x)6展开式中各项系数的和 ， 令 x= | +|(1+2)6=36=729. 基础自测 729 的展开式中 ， 则下列说法错误的有 个 . 没有常数项 当且仅当 n=2时 ， 展开式中有常数项 当且仅当 n=5时 ， 展开式中有常数项 当 n=5k（ k N*） 时 ， 展开式中有常数项 解析 若有常数项 ， 则 2r=0, r= n. n r, 没有常数项 . 2( 312 3 ,)2(C)2()( 3523121 1+x)n（ n N*） 的二项展开式中 ， 若只有 则 n= . 解析 (1+x) 只有 又 n N*， n=10. 10 ,61514151,得 9 n 11. (x+1) （ x+1） +(-1)r （ x+1） +(-1)n = + a0+ + . 解析 (x+1) (x+1) +(-1)r (x+1) +(-1)n =(x+1-1)n= ， a1= =， a0+ +. 0例 1】 （ 2010 徐州调研 ） 求二项式 (a+2b)4的展开式 . 分析记准 、 记熟二项式 (a+b) 对较复杂的二项式 ， 有时先化简再展开会更简便 . 解 根据二项式定理 (a+b)n= 得 （ a+2b） 4= =426典型例题 深度剖析 10 C 3342224314404 )2(C)2(C)2(CC 444 )2(C b跟踪练习 1 （ 1） 求 (1+2x)7的展开式中的第 4项的系数 . （ 2） 求 ( )9的展开式中 解 （ 1） 展开式的第 4项为 (2x)3=280所以第 4项的系数是 280. （ 2） 设展开式的第 r+1项为含 则 = )r=( 所以 9， 即 r=3, 即展开式中的第 4项含 其系数为 ( =例 2】 (1+2x)项与第 7项的系数相等 ，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项 . 根据已知条件可求出 n， 再根据 确定二项式系数最大的项 . 解 (2x)5, (2x)6， 依题意有 25= 26， 即 n=8. 所以 (1+2x)8的展开式中 ， 二项式系数最大的项为 ( 2x)4=1 120设第 r+1项系数最大 ， 则有 2r 2 2r 2r+1 分析 5得 5 r 6. 所以 r=5或 r=6， 所以系数最大的项为 7927=1 792跟踪练习 2 在 (30的展开式中 ， 求： （ 1） 二项式系数最大的项； （ 2） 系数绝对值最大的项； （ 3） 系数最大的项 . 解 （ 1） 二项式系数最大的项是第 11项 ， (3C 101010102010101010102011 （ 2） 设系数绝对值最大的项是第 r+1项 ， 3202r 3192r+1 3202r 3212 3(r+1) 2（ 20 2(21 3r 所以 r=8, 即 28 于是 ， 解得 C（ 3） 由于系数为正的项为奇数项 ， 故可设第 2系数最大 ， 于是 32222 32422 32222 32022r， 104377 0 10630. 解之得 r=5,即 2 5项系数最大 . 312 28 2220C r 4220C r 820C【 例 3】 （ 14分 ） 已知 (3 （ 3=a0+ + 试求 a0+a2+ + 拿到此题的第一感觉 ， 可能会联想到二项式定理 ， 但是仔细观察会发现 3至此 ， 不少同学可能会思想受阻 . 再回到已知 ， 不妨比较一下 3 不难发现 而 这时我们便联想到函数的奇偶性 . 分析 解 设 f(x)=(3( 34, 则 f(f(x)， 所以 f(x)为偶函数 ， 4分 所以 a1=a3= =. 因为 f（ 1） =(3+7+4( 3+7 =25 25=a0+a1+a2+a3+ +所以 a0+a2+ +5 25=1 024. 14分 解题示范 跟踪练习 3 求 x(1+2x)5+展开式中各项系数的和 . 解 设 x(1+2x)5+ =a0+ +原式中 ， 令 x=1, 则 1 (1+12 (1+2)5+13 (1=115, 展开式中各项系数的和为 115. 二项式定理也是几乎每年高考的必考内容 ， 一般以填空题的形式出现 ， 试题难度不大 ， 常见类型有：应用二项式定理的通项公式求系数或指定项 ，赋值法在二项展开式中的应用 ， 二项式定理在其他知识方面的应用 . 思想方法 感悟提高 高考动态展望 是解题的基础 . 应根据式子的特点 ，转化为二项式来解决 ,转化的方法通常为集项 、 配方 、因式分解 ， 集项时要注意结合的合理性和简捷性 . 有理项和系数最大的项时 ， 要根据通项公式讨论对 有理项时要注意到指数及项数的整数性 . 是组合数公式 的再现 ， 性质 2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性 ， 性质 3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和 . 方法规律总结 所以在解题时根据题意 ， 给字母赋值 ， 是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法 . 项数 、 二项式系数等方面的内在联系 ， 涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题 ， 只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个分析 ， 对于与组合数有关的和的问题 ， 赋值法是常用且重要的方法 ， 同时注意二项式定理的逆用 . 一 、 填空题 1. （ 2010 扬州调研 ） 设 m N*,n N*, 若f(x)=(1+2x)m+(1+3x)3，则 . 解析 由已知 ， 2+ 3=13， 即 2m+3n=13. 其正整数解为 m=2， n=3或 m=5， n=1. 因此 22+ 32=31或 22=40. 31或 40 13C 252.（ 2009 湖北文 ） 已知 (1+=1+10x+ + b= . 解析 由题意知 1+展开式中 由 (ax)r= x=2时 ， b= 又 a x=10x, a=2.故 b=40. 40 2010 泰州月考 ） (1+x)6(1展开式中 . 解析 (1+x)6(1=(1+x)4(1(1+x)2 =(1(1+x)2=(1)(1+2x+=1+2 .（ 2008 全国 改编 ） （ 1- ） 6（ 1+ ） 4的展开式中 . 解析 (1- )6(1+ )4=(1- )4 (1+ )4( 1- )2=(1( +1), 展开式中 =C 2009 湖南文 ） 在 (1+ )4的展开式中 ， 为 （ 用数字作答 ） . 解析 (1+ )4的展开式中通项为 = ( )r = , r=2时得 =6. x6 x 46.（ 2010 盐城模拟 ） 若 (1+5x2)数之和是 2)系数之和为 的值为 . 解析 由已知可得 1+5)n=6n， n， 1 2008 天津改编 ） 的二项展开式中 .（ 用数字作答 ） 解析 的二项展开式的通项为 令 5- r=2， 得 r=2, 22 =40. 5)2(40 25()2()1(C 2355551 328.（ 2009 广州梅州二模 ） 的展开式中的常数项为 . 解析 的通项公式为 ， 的通项公式为 ,由 =0,得 r=0 r=3 r=6 k=0 k=4 k=8 63 )1( x 104)11(x4 246 63 )1( x 36x 104)11(x410x )4(3kr, , 共三项 ， 所以常数项为 6410664103601006 9.（ 2010 娄底模拟 ） 已知 （ n N*） 的展开式中第 5项的系数与第 3项的系数之比为 10 项 . 解析 依题意 ， 第 5项的系数为 24， 第 3项的系数为 22， 则有 解得 n=8. 设展开式中第 r+1项的系数最大 ， 则 2r 2 2r 2r+1， 解得 5 r 6. 第 6项和第 7项的系数相等且最大 ， 即系数最大为 56 25=1 792. 2(21 792 410 解答题 10.（ 2009 福建泉州模拟 ） 已知 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 解 令 x=1， 得各项的系数和为 (1+3)n=4n， 而各项的二项式系数和为 4n=2n+992. （ 2（ 2n+31） =0 2n=32（ 2n= ， n=5 设第 r+1项的系数最大 ， 则 3( 23 2 ,20 r ， 又 r Z， r=4， 系数最大的项是 = ;1351,613;3(C 326423245 2010 山东威海一模 ） 在 (20的展开式中 ，求： （ 1） 二项式系数的和； （ 2） 各项系数的和； （ 3） 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； （ 4） 奇数项系数和与偶数项系数和； （ 5） 解 设 (20= +) 各项系数和即为 a0+ +数项系数和为a0+ +数项系数和为 a1+a3+ +a9,a1+a3+ +a9,a2+ +由于 （ *） 是恒等式 ， 故可用 “ 赋值法 ” 求出相关的 系数和 . （ 1） 二项式系数和为 （ 2） 令 x=y=1,各项系数和为 (20=(0=1. （ 3） 奇数项的二项式系数和为 偶数项的二项式系数和为 （ 4） 设 (20= + x=y=1,得到 a0+a1+ + 令 x=1,y=或 x=-1,y=1） 得 +10 + 得 2(a0+ +1+510, 01010110010 ,21010210010 910310110 奇数项的系数和为 - 得 2(a1+ +1 偶数项的系数和为 （ 5） a1+a3+ +a0+a2+ +;251 10251 10;251 10012.（ 2010 广东韶关一模 ） （ 1） 求 的展开式中的常数项； （ 2） 已知 的展开式中 ，求常数 （ 3） 求 (x+2)5的展开式中含 解 （ 1） 设第 r+1项为常数项 ， 则 = 令 18,得 r=6, 即第 7项为常数项 . 92 )21(9)2( 49189929 C)
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