【步步高】2011届高考数学一轮复习 第十一章 概率 文 课件(打包5套)人教大纲版
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【步步高】2011届高考数学一轮复习 第十一章 概率 文 课件(打包5套)人教大纲版,步步高,高考,数学,一轮,复习,温习,第十一,概率,几率,课件,打包,大纲
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1 1 . 2 互斥事件有一个发生的概率 基础知识 自主学习 要点梳理 1 互斥事件 ( 1 ) 概念: 的两个事件叫做互斥事件 ( 2 ) 集合解释:从集合的角度看,几个事件彼此互斥, 是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此 . ( 3 ) 概率公式: 如果事件 A 、 B 互斥,则 P ( A B ) . 如果事件 、 彼此互斥 ) ,那么 事件 于这 n 个事件分别 发生的概率的和,即 P ( . 不可能同时发生 互不相交 P(A) P(B) P( P( P(2 对立事件 概念 对于两个事件,其中必有一个发生的 叫做对立事件 集合解释 由事件 全集中由事件 条件 A、 是对立事件,则 A、 是 事件; 发生 公式 是对立事件, 则 P(A ) P(A) 一个 A)( 互 斥事件 们一定互斥,反之,两个事件互 斥,它们未必对立“事件互斥”是“事件对立” 的 条件 必要不充分 补集 基础自测 1 下列说法正确的是 ( ) A 事件 A 、 B 中至少一个发生的概率一定比 A 、 B 恰有一个发生的概率大 B 事件 A 、 B 同时发生的概率一定比事件 A 、 B 中 恰有一个发生的概率小 C 互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是 互斥事件 D 互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是 互斥事件 D 2 甲、乙两人下棋,甲获胜的概率是 40% ,甲不输 的概率为 90% ,则甲、乙二人下成和棋的概率为 ( ) A 60% B 30% C 10% D 50% 解析 甲不输即为甲获胜或甲、乙二人下成和棋, 90% 40% P , P 50%. D 3 将一颗质地均匀的骰子 ( 它是一种各面上分别标有 点数 1,2,3,4,5,6 的正方体玩具 ) 先后抛掷 3 次,至 少出现一次 6 点向上的概率是 ( ) 设 “ 出现 1 次 6 点向上 ” 为事件 A , “ 出现 2 次 6 点向上 ” 为事件 B , “ 出现 3 次 6 点向上 ” 为事 件 C , “ 至少出现一次 6 点向上 ” 为事件 D ,则事件 A 、 B 、 C 彼此互斥,它们包含的基本事件分别为 75 、 15 、 1 个,基本事件空间中共有 216 个基本事件,由概率 的加法公式: P ( D ) P ( A ) P ( B ) P ( C ) 91216. D 4 某商场开展促销抽奖活动,摇奖器摇出的一组中奖 号码是 6,5,2,9,0,4 ,参加抽奖的每位顾客从 0,1 , , 9 这十个号码中抽出六个组成一组,如果顾客抽出 的六个号码中至少有 5 个与摇奖摇出的号码相同 ( 不计顺序 ) 就可以得奖,某位顾客可能获奖的概率 为 ( ) 中奖可分为两个互斥事件:恰有 5 个与摇奖摇 出的号码相同, 6 个与摇奖摇出的号码相同,概率分别 是 P 1 144210, P 2 210. 所以中奖的概率是 P P 1 P 2 542. D 5 抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为出 现奇数点,事件 B 为出现 2 点,已知 P ( A ) 12, P ( B ) 16,则出现奇数点或 2 点的概率之和为 _ 解析 出现奇数点或 2 点的事件为 A B . P ( A B ) P ( A ) P ( B ) 12 16 46 23 . 32题型一 互斥事件的概率 【例 1 】 国家射击队的某队员射击一次,命中 7 10 环的概率如下表所示: 命中环数 10 环 9 环 8 环 7 环 概率 求该射击队员射击一次 (1) 射中 9 环或 10 环的概率; (2) 至少命中 8 环的概率; (3) 命中不足 8 环的概率 解 记事件 “ 射击一次,命中 k 环 ” 为 k N , k 10) ,则事件 (1) 记 “ 射击一次,射中 9 环或 10 环 ” 为事件 A ,那么当 件 A 发生,由互斥事件的加法公式得 P ( A ) P ( P ( (2) 设 “ 射击一次,至少命中 8 环 ” 的事件为 B ,那么当 件 B 发生由互斥事件概率的加法公式得 P ( B ) P ( P ( P ( (3) 由于事件 “ 射击一次,命中不足 8 环 ” 是事件 B :“ 射击一次,至少命中 8 环 ” 的对立事件,即 B 表示事件 “ 射击一次,命中不足 8 环 ” ,根据对立事件的概率公式得 P ( B ) 1 P ( B ) 1 探究提高 由上题可以看出,解决与互斥事件有关的问题时,首先要分清所求事件由哪些事件组成,然后结合互斥事件的定义分析出是否是互斥事件,再决定用哪一个公式另外,要善于利用对立事件解题 知能迁移 1 (1) 袋中有 9 个编号分别为 1,2,3 , , 9 的小球,从中任意随机取出 2 个,求至少有一个编 号为奇数的概率 (2) 同时掷三个骰子时,求出现的点数的和是 5 的倍 数的概率 解 ( 1) 由题意知,基本事件有 ,从袋中取出 2 个小球,记 “ 只有一个编号为奇数 ” , “ 两个编号全为奇数 ” 分别为事件 A 、 B ,它们分别有 、 ,显然 A 、 B 互斥且是等可能事件 P ( A B ) P ( A ) P ( B ) 6. (2) 设同时掷三个骰子,其和为 5 的事件为 和为10 的事件为 和为 15 的事件为 事件 2、 其和为 5 的点数的组合有 (1,1,3) 、 (1,2,2) 、 (1,3,1) 、(3,1,1) 、 (2,1,2) 、 (2,2,1) , 则 P ( 663 . 其和为 10 的点数的组合有 (1,3,6) 、 (1,4,5) 、 (2,3,5) 、(2,2,6) 、 (2,4,4) 、 (3,3,4) ,由它们组成的序列对前三组是 6 个,对后三组是 3 个;总共是 6 3 3 3 27 个,则 P ( 2763 . 其和为 15 的点数的组合有 (3,6,6) 、 (4,5,6) 、 (5,5,5) ,由它们组成的序列的个数总共有 3 6 1 10 个, 则 P ( 1063 . 故所求的概率为 P ( P ( P ( P ( 663 2763 1063 43216. 所求概率为43216. 题型二 对立事件的概率 【 例 1 】 在一次军事演习中,甲方有两台重型设备需 用两只船从海面送往前方,途中要经过乙方的火力 封锁,乙的火力恰好能够击沉两只船,为了分散敌 人的火力,甲方再增派 n 只形状相同的船只一同前 往,这些船只被击沉的可能性是相同的 (1) 若 n 4 ,求至少有一台设备能够送往前方的概 率; (2) 为使两台设备均成功送往前方的概率不低于 求 n 的最小值 思维启迪 (1) 由于每只船被击沉的可能性相同,所以可用等可能性事件的概率计算公式 P (2) 对于 “ 至多 ” 或 “ 至少 ” 的概率问题可考虑应用对立事件的公式来减少运算量; (3) 求解第 (2) 问时,注意借助不等式的解法,求出 n 的最小值 解 ( 1) 设至少有一台设备能够送往前方记为 A . 则 P ( A ) 15, P ( A ) 1 P ( A ) 1415. (2) 设两台设备均能成功送往前方记为 B . 则 P ( B ) 2n ( n 1 )( n 2 ) ( n 1 ) 17 n 8 0. n 17 3212或 n 17 3212( 舍 ) 由于 n N , n 18 , n 的最小值为 18. 探究提高 (1) “ 互斥 ” 和 “ 对立 ” 事件容易搞混 ,互斥事件是指两事件不能同时发生 , 对立事件是指互斥的两事件中必有一个发生 (2 ) 求复杂事件的概率通常有两种方法 : 一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和 ; 二是先去求对立事件的概率 , 进而再求所要求事件的概率 知能迁移 2 盒中装着标有数字 1 、 2 、 3 、 4 的卡片各 2 张,从盒中任意抽取 3 张,每张卡片被抽出的可 能性都相等,求: (1) 抽出的 3 张卡片上最大的数字是 4 的概率; (2) 抽出的 3 张中有 2 张卡片上的数字是 3 的概率; (3) 抽出的 3 张卡片上的数字互不相同的概率 解 (1) “ 抽出的 3 张卡片上最大的数字是 4 ” 的 事件 记为 A ,则 P ( A ) 26 1614. (2) “ 抽出的 3 张中有 2 张卡片上的数字是 3 ” 的事件记为 B ,则 P ( B ) 1628. (3) “ 抽出的 3 张卡片上的数字互不相同 ” 的事件记为C , “ 抽出的 3 张卡片上有两个数字相同 ” 的事件记为 D , 由题意, C 与 D 是对立事件,因为 P ( D ) 22 7, 所以 P ( C ) 1 P ( D ) 1 3747. 题型三 互斥事件与对立事件概率的综合应用 【 例 3 】 (12 分 ) 甲乙两袋装有大小相同的红球和白 球,甲袋装有 2 个红球, 2 个白球;乙袋装有 2 个 红球, n 个白球从甲乙两袋中各任取 2 个球 (1) 若 n 3 ,求取到的 4 个球全是红球的概率; (2) 若取到的 4 个球中至少有 2 个红球的概率为34, 求 n . 思维启迪 第 ( 1) 问要注意乘法公式的正确应用,而第 ( 2) 问要考虑到各种情况,不能有遗漏 解题示范 解 ( 1) 记 “ 取到的 4 个球全是红球 ” 为事件 A , 则 P ( A ) 226110160. 2 分 ( 2) 记 “ 取到的 4 个球至多有 1 个红球 ” 为事件 B , “ 取到的 4 个球只有 1 个红球 ” 为事件 “ 取到的 4 个球全是白球 ” 为事件 由题意得 P ( B ) 1 3414. 4 分 由条件知 n 0. 当 n 1 时取出 4 个球至少有两个红球的概率为 1 934. 6 分 当 n 2 时, P ( 122 212 22 n 1 ) ( n 2 ); P ( 2 2n ( n 1 )6 ( n 1 ) ( n 2 ); 9 分 所以, P ( B ) P ( P ( 2 n 1 ) ( n 2 )n ( n 1 )6 ( n 1 ) ( n 2 )14, 10 分 化简,得 7 11 n 6 0 , 解得 n 2 ,或 n 37( 舍去 ) ,故 n 2. 12 分 探究提高 此类问题,先是已知概率,再求元素个数,一般运用逆向思维解题,综合考查互斥事件、等可能性事件等概率公式以及排列、组合的基础知识,考查灵活运用数学知识分析问题、解决问题的能力,对逻辑思维能力要求较高,是今后高考考查的命题趋势 知能迁移 3 在袋里装 30 个小球,其中彩球的颜色分 为: n 个红色、 5 个蓝色、 10 个黄色,其余为白球求: (1) 如果已经从中取出 5 个黄球和 3 个蓝球,并将它 们编上不同的号码后排成一排,那么使蓝色小球互 不相邻的排法有多少种? (2) 如果从袋里取出 3 个都是相同颜色彩球 ( 无白色 ) 的概率是13406,且 n 2 ,计算红球有几个? (3) 根据 (2) 的结论,计算从袋中任取 3 个小球至少有 一个是红球的概率 解 (1) 将 5 个黄球排成一排,有 3 个蓝球放在 5 个黄球所形成的 6 个空位上,有 由分步计数原理,共有 14 400 种排法 (2) 记 “ 3 个球全为红色 ” 为事件 A , “ 3 个球全为蓝色 ” 为事件 B , “ 3 个球全为黄色 ” 为事件 C ,则 A 、B 、 C 互斥, P ( B ) 406, P ( C ) 2406, P ( A B C ) P ( A ) P ( B ) P ( C ) , 即13406 P ( A ) 140612406, P ( A ) 0. 所以红球的个数 n 2 ,又 n 2 , 红球有 2 个 (3) 记 “ 3 个球中至少有一个红球 ” 为事件 D ,则事件D 为 “ 3 个球中没有红球 ” P ( D ) 17145. 3 个球中至少有一个红球的概率为: P ( D ) 1 P ( D ) 28145. 思想方法 感悟提高 方法与技巧 1 互斥事件与对立事件的关系 在一次试验中,两个互斥的事件有可能都不发生如 果两个互斥的事件在一次试验中必然有一个发生, 那么这样的两个互斥事件就是对立事件 2 求较复杂问题的概率时,可将所求事件的概率化为 一些彼此互斥的事件的概率的和,但应注意分类时 不能重复,也不能遗漏 3 当某事件 A 所包含的基本事件较多,而它的对立事 件所包含的情形 ( 基本事件 ) 较少时,利用公式 P ( A ) 1 P ( A ) 计算比较方便若题中有 “ 至多 ” 或 “ 至少 ” 要求时,多应用此公式 失误与防范 1 正确区别互斥事件与对立事件的关系:对立事件是 互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一 定是对立事件, “ 互斥 ” 是 “ 对立 ” 的必要不充分 条件 2 从集合的角度看,几个事件彼此互斥,是指由各个 事件所含的结果组成的集合彼此互不相交,事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合,是全集中由 事件 A 所含的结果组成的集合的补集 3 需准确理解题意,特别留心 “ 至多 ” , “ 至 少 ” , “ 不少于 ” 等语句的含义 定时检测 一、选择题 1 把红、黑、蓝、白 4 张纸牌随机地分给甲、乙、丙、 丁四个人,每人分得 1 张,事件 “ 甲分得红牌 ” 与 事件 “ 乙分得红牌 ” 是 ( ) A 对立事件 B 不可能事件 C 互斥事件但不是对立事件 D 以上答案都不对 解析 由互斥事件和对立事件的概念可判断 C 2 盒中有 10 只螺丝钉,其中有 3 只是坏的,现从盒 中随机地抽取 4 只螺丝钉,那么310等于 ( ) A 恰有 1 只是坏的概率 B 4 只全是好的概率 C 恰有 2 只是好的概率 D 至多有 2 只是坏的概率 解析 恰有 1 只是坏的概率为 P 1 372, 4 个全是好的概率 P 3 6, 恰有 2 只是好的概率为 P 2 2710, 至多 2 只是坏的概率为 P 4 12310162930. C 3 一辆班车送职工下班,有 10 个站,车上有 30 个人, 如果某站无人下车,则班车在此站不停,则班车停 车次数不少于 2 次的概率为 ( ) A 1 11029 C 1 9301030 解析 记 “ 班车停车次数不少于 2 次 ” 为事件 A , 则 “ 班车停车 1 次 ” 为 A . P ( A ) 101030 11029 , P ( A ) 1 P ( A ) 1 11029 . A 4 ( 2 0 0 8 全国 ) 从 20 名男同学, 10 名女同学 中任选 3 名参加体能测试,则选到的 3 名同学中既 有男同 学又有女同学的概率为 ( ) 1029C 2029解析 方法一 从 30 名同学中选 3 人的选法有 中全是男同学的选法有 是女同学的选法有 故所求概率为 P 1 1 1264062029. 方法二 从 10 名女同学, 20 名男同学中选出 3 名同学,既有男同学又有女同学的选法包括两种: 1 男 2女, 2 男 1 女 共有 因此满足条件的概率为029. D 5 一个口袋内装有一些大小和形状都相同的白球、黑 球和红球,从中摸出一个球,摸出红球的概率是 摸出白球的概率是 则摸出黑球的概率是 ( ) A B C D 解析 从中摸出白球、黑球或红球是两两彼此互斥事件,且 “ 摸出黑球 ” 的对立事件是 “ 摸出白球或摸出红球 ” ,所以摸出黑球的概率 P 1 ( B 6 一个盒子中装有相同大小的红球 32 个,白球 4 个, 从中任取两个,则概率为14 ) A 没有白球 B 至少有一个是红球 C 至少有一个是白球 D 至多有一个是白球 解析 至少有一个是白球的种数是 C 132 C 14 C 24 , 则至少有一个是白球的概率为C 132 C 14 C 24C 236 . C 二、填空题 7 某射手的一次射击中,射中 10 环、 9 环、 8 环的概 率分别为 则此射手在一次射击中不 超过 8 环的概率为 _ 解析 依题意知,此射手在一次射击中不超过 8 环的概率为 1 ( ( 2 0 0 9 安徽 ) 从长度分别为 2 、 3 、 4 、 5 的四 条线段 中任意取出三条,则以这三条线段为边可以 构成三 角形的概率是 _ _ _ _ _ _ _ _ 解析 从长度为 2,3,4,5 的四条线段中任意取出三条共有 4 种不同的取法,其中可以构成三角形的有 (2,3,4) 、(2,4,5) 、 (3,4,5) 三种,故所求概率为 P 34. 439 有 10 个外表相同的圆球,其中 8 个各重 a 克, 2 个各重 b 克 ( a b ) ,从这 10 个圆球中任取 3 个放在 天平一端的盘中,再从剩余的 7 个中任取 3 个放到 天平另一盘中,则天平平衡的概率为 _ 解析 天平平衡的条件有两种可能:一是两边都放 3个重 a 克的球;二是两边各放两个重 a 克的球,再各放一个 b 克的球这两类事件是互斥事件,分别记作事件 A 、 B . 故所求的概率 P P ( A B ) P ( A ) P ( B ) 353712113713. 31三、解答题 10 某单位 36 人的血型类别是: A 型 12 人, B 型 10 人, 8 人, O 型 6 人现从这 36 人中任选 2 人,求此 2 人血型不同的概率 解 这 2 人血型不同的情况有: 1 人 A 型 1 人 B 型; 1人 A 型 1 人 ; 1 人 A 型 1 人 O 型; 1 人 B 型 1人 ; 1 人 B 型 1 人 O 型; 1 人 1 人 O 型,共 6 种情况,而其反面是血型相同,只有 4 种情况 方法一 从 36 人中任选 2 人,共有 2 人血型不同的概率为: P 11211 211011018445. 方法二 由于 “ 2 人血型不同 ”
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