【步步高】2011届高考数学一轮复习课件：第四章_三角函数 理 （打包10套）人教版
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第四
三角函数
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【步步高】2011届高考数学一轮复习课件：第四章_三角函数 理 （打包10套）人教版,步步高,高考,数学,一轮,复习,温习,课件,第四,三角函数,打包,10,人教版
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备课资讯 10 构造函数与方程解决三角 函数问题 函数与方程思想是中学数学的基本思想，几乎渗 透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应 用现就三角函数中的有关问题说明其应用 一、构造方程证明三角等式 【 例 1 】 已知 ( 0 ， ) ，证明 1 s i n 1 s i n 2 c o 证明 方程 1 x 1 x 2 co 边平方整理 得 1 2 co 1 co s . 再平方得 1 c si 注意到 x 0 ，得 x si n . 将 x si n 代入方程得 1 si n 1 si n 2c 点评 在所证等式中反复出现某一代数式，因此可考 虑将其换成 x ，从而构造出关于 x 的方程再比如：求 证 2 (1 s ) (1 c ) (1 s co s )2， 将 1 si n 换成 x ，从而构造出方程 2 x (1 co s ) ( x co s )2，解得 x s . 将 x s 代入方程即 可得所证等式 二、构造函数证明条件等式 观察题设条件，运用函数的单调性证明等式 【 例 2 】 已知 k 2， k ( k Z ) ，且 ( 3 t a n c o t )3 4 t a n c o t 0 ，证明： 4 t a n c o t 0. 证明 由 (3 )3 4 0 得 (3 )3 (3 ) ( ( ) 设函数 f( x ) x ，易知 f( x ) 在 R 上为单调增函数 式 可视为 f(3 ) f( ) ， 则有 3 ta n c t ， 所以 4 ta n c 0. 点评 函数在它的某一单调区间上其自变量与函数值是一一对应的，函数值相等时其对应地自变量也是相等的在解题中要时刻关注代数式的变形及其结构，及时发现其蕴含的函数关系并加以充分利用 三、构造函数求值 【 例 3 】 已知 ， (0 ， ) ， co s c 32 c ) ，求 c 2及 的值 解 条件等式可化为 2 2 2322 2 1 ，即 4 2 4 2 2 1 0 ， 所以 2 214 2. 因为20 ， 所以 c 20 . 当 x 0 时，函数 y x 14 x2 x 14 x 1 ， 当且仅当 x 12时， y 1 ，即 co 2 1. 此时 c 212，又 0 2 ， 所以 23，得 2 3. 四、构造函数求最值 【 例 4 】 求 y 2 co s 2 x 94s 解 y 1 94考察函数 u x 94 x，易知 其在0 ，32上为单调递减函数由题意可知 01 ，所以当 1 时， y 1 1 94174. y 无最大 值 点评 利用函数求最值是求三角函数最值的常用方 法，特别是在比较复杂的问题中利用函数求最值显得尤为重要且过程简捷，只要平时注意观察，有意识地利用函数与方程的思想处理问题，就会逐渐培养起函数与方程的思想意识，充分利用其解决问题 返回 要点梳理 （ 1）角的概念的推广 按旋转方向不同分为 、 、 . 按终边位置不同分为 和 . （ 2）终边相同的角 终边与角 相同的角可写成 . 第四章 三角函数 任意角和弧度制及任意角的三 角函数 正角 负角 零角 象限角 轴线角 360k (k Z)基础知识 自主学习 （ 3）弧度制 1弧度的角： _ 叫做 1弧度的角 . 规定：正角的弧度数为 ,负角的弧度数为 ，零角的弧度数为 , , 作为圆心角时所对圆弧的长， 用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制 与所取的 ,仅与 有关 . 弧度与角度的换算： 360 = 弧度； 180 = 弧度 . 弧长公式： , 扇形面积公式： = . 把长度等于半径长的弧所对的圆心角rl无关 角的大小 |21 r正数 负数 零 |(1)任意角的三角函数定义 设 是一个任意角，角 的终边上任意一点 P(x,y),它与原点的距离为 r (r0） ,那么角 的正弦、余弦、正切分别是： 它们都是以角为 ，以比值为 的函数 . (2)三角函数在各象限内的符号口诀是： . , , 函数值 一全 正、二正弦、三正切、四余弦 自 设角 的顶点在坐标原点 ,始边与 合 ,终边与单位圆相交于点 P，过 x 轴于 M,则点 在 函数的定义知，点 , 即 ,其中 = , 单位圆与 ,单位圆在 的切线与 的终边或其反向延长线相交于点 T，则 M、 的 、 、 . )c o s )c o s P M , T 余弦线 正弦线 正切线 正射影 (1)平方关系： . (2)商数关系 : . 三角函 数线 有向线段 为正弦线 有向线段 为余弦线 有向线段 为正切线 M ta nc o 1c o ss 2 基础自测 =k180 +45 (k Z)，则 在（ ） 解析 当 k=2m+1 (m Z)时， =2m180 +225 =m360 +225 ,故 为 第三象限角；当 k=2m (m Z)时， =m360 +45 ,故 为第一象限角 . A 终边过点 (),则 等于（ ） 解析 ,52)1( 22 定义C 的终边经过点 ( ， 则角 的最 小正值是（ ） 解析 ,2)1()3( 22 23c o s的最小正值是是第四象限角又由题意知则 积是 2 扇形 的圆心角的弧度数是（ ） 解析 设此扇形的半径为 r，弧长为 l， ,24,1,221,62 或从而或解得则C 为第四象限角，且 解 为第四象限角，且 ,21.t a n 1t a 2 的值求 ,21(1)3(1t c o ss 3)21(1c o 题型一 三角函数的定义 已知角 的终边在直线 3x+4y=0上 ,求 的值 . 本题求 的三角函数值 数的定义 ,可在角 的终边上任取一点 P(4t, (t0), 求出 r,由定义得出结论 . ta n,c os,s 【 例 1】 解 ,043 上的终边在直线角 ,5,0|,|5)3()4(,3,4),0)(3,4(2222时当则的终边上任取一点在角 题型分类 深度剖析 4c o s,53s i n,0;43t 4c o s,53s i n,0,454c o s,5353s i n,5,0;4343t 454c o s,5353s i n时时综上可知时当 某角的三角函数值只与该角终边所在 位置有关，当终边确定时三角函数值就相应确定 . 但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有 两个，因此对应的函数值有两组要分别求解 . 知能迁移 1 设 为第四象限角 ,其终边上的一个 点是 P（ x， - ），且 解 为第四象限角， x0，且 探究提高.t 2co s 和求x ,52 10s ,3:,425c o 故解得则 三角函数值的符号及判定 (1)如果点 P(， 2)位 于第三象限，试判断角 所在的象限 . (2)若 是第二象限角，试判断 的符 号 . (1)由点 可知 的符号，进而判断 所在的象限 . (2)由 可判断 的范围 ,把 看作一个角，再判断 的符号 . 【 例 2】 )2co s (s co ss 思维启迪 c 2s 2s in,c c o s ( s s c o s 解 .,0co i n,0co co ss i n,)co s2,co s( s i n)1(为第二象限角所以即所以位于第三象限因为点P.)2c o s ( s i n)s i n ( c o c o s ( s i n)s i n ( c o c o s ( s i n,0)s i n ( c o s,02s i 424,0c o (222)2(的符号是负号 (1)熟练掌握三角函数的符号法则是 解决此类问题的关键 . (2)由三角函数符号判断角所在象限 ,在写角的 集合时 ,注意终边相同的角 . 知能迁移 2 若 则 角 的终边落在 （ ） 解析 探究提高,0c o ss ,0s o st a n .,0co s,0co ss C ,0c a n 且题型三 三角函数线及其应用 在单位圆中画出适合下列条件的角 的 终边的范围 ,并由此写出角 的集合 : 作出满足 的角的终边 ,然后根据已知条件确定角 终边的 范围 . 【 例 3】 s)2(;2 3s ( 思维启迪21co s,23s 解 (1)作直线 交单位圆于 A、 B 两点 ,连结 成的区域即为角 的终边的范围 , 故满足条件的角 的集合为 (2)作直线 交单位圆于 C、 连结 (图中阴影部分 )即为角 终边的范围 . 故满足条件的角 的集合为 23y.,32232| 21x.,342322| 本题的实质是解三角不等式的问题： （ 1）可以运用单位圆及三角函数线； （ 2）也可以用三角函数图象 . 体现了数形结合的数学思想方法 . 探究提高知能迁移 3 求下列函数的定义域： ).s )2(;1c o ( 2 解 1c ( 三角函数线画出 范围 (如图阴影所示 ). ).(32,32 Z i 3s i n,0s i (22用三角函数线画出 如右图阴影 ), ).(3,3Z 题型四 同角三角函数的基本关系式 （ 12分）已知 是三角形的内角，且 （ 1）求 的值； （ 2） 用 表示出来，并求其值 . （ 1）由 【 例 4】 22 s o 思维启迪 ,1c o ss i o ss i n 22 及;c os,s 值可求 母同除以,(2) 222 c o sc o ss 解 (1)方法一 1c o ss 1c o ss 3co 012,s2是三角形内角整理得将其代入得由 2分 3分 6分 解题示范 方法二 ,)51()c o s( s 1c o ss 2 3c o 7c o ss o ss 7c o ss c o ss c o s,0s 02512c o ss o ss c o s( s 524c o ss 51c o ss 得由且即 3分 6分 (1)对于 这三个式子 ,已知其中一个式子的值 ,其余二式的 值可求 (2)关于 的齐次式 ,往往化为关于 的式子 . 10分 12分 4(11)34(t a a ns o ,34t a nt a a nc o ss o sc o sc o ss o sc o ss o (22222222222222探究提高 c o ss in,c o ss in,c o ss ;c o ss c o s( s 知能迁移 4 分别求 的值： )|c o s)2(;1312c o s)1( 解 a n,135s 125c o ss a n,135c o ,01312c o s)1(2是第三象限角时当是第二象限角时当是第二或第三象限角s 1t s 1|0;t s (2,0;0t s (,11|)2(2222则四象限的角是第三若则二象限的角是第一若时当不存在时当此时时即当 感悟提高 方法与技巧 点 如有可能则取终边与单位圆的交点 .|是正值 . 的问题时 ,常 常用到 用单位圆及三角 函数线是一个小技巧 . c o ss in,c o ss .c o ss c o s( s 失误与防范 一象限角、锐角、小 于 90 的角是概念不同的三类角 限角，第二、第三类是区间角 . 80 = 在同一个式子中，采用的度量制度必须一致 , 不可混用 . 360 间特殊角的弧度表示 . 一、选择题 和角 的终边关于 则角 可以用 角 表示为 （ ） A. (k Z) B. (k Z) C. (k Z) D. (k Z) 解析 因为角 和角 的终边关于 所 以 (k Z) (k Z). 定时检测 k k 在第三象限 ,则角 的终边在 第几象限 （ ） 解析 P 在第三象限， 由 0，得 在第二、四象限， 由 0,得 在第二、三象限， 在第二象限 . )c ta n )c ta n ,0c B ,且扇形弧所对的弦长 也是 2,则这个扇形的面积为 （ ） 解析 由题意得扇形的半径为 又由扇形面 积公式得，该扇形的面积为 2c o o A 的终边过点 P（ 0 ） ,且 则 （ ） 解析 ,54c o s ,964 2 519644,0,549648c o B 是第二象限角，且 （ ） 解析 由 是第二象限角知 , 是第一或第三 象限角 . 是则角2,2c o s|2c o s| 22co s,2co C 是第一象限角 , 等于（ ） s 3ta n 则)s c o ss 3c o ss 得由解析 B 二、填空题 (m,n)(n0) 为角 600 终边上一点，则 = . 解析 由三角函数的定义知 60t a a n)240360t a n (600t a n在 1秒钟内转过的角度为 （ 0 180 ）， 经过 2秒钟到 达 第三象限，经过 14秒钟后又恰好回到 出发点，则 = . 解析 0 180 k360 +180 2 k360 +270 (k Z), 则必有 k=0，于是 90 135 , 又 14 =n360 (n Z)， ,1807 n4,42127,135180790或故或 的终边落在直线 y=则 = . 解析 c o sc o 2,c os|s c os|s 2 角 的终边落在直线 y= 角 是第二或第四象限角 . o ss i nc o ss i nc o s|s i n|c o s|s i n,0c o ss i nc o ss i nc o s|s i n|c o s|s i n,是第四象限角时当是第二象限角时当0 三、解答题 终边上的点 (a,2a)关于 a0), 角 终边上的点 关于直线 y=x 对称 ,求 的值 . 解 由题意得，点 a, 点 2a,a). t a nt a nc o ss ,52)2(2s ,5)2(c c (525552t o ss i nc o ss i n,212t 2)2(2c o s,5)2(s i n,22t 故有 为第三象限角 ,试判断 解 o ,为第三象限角o s,02s 32222,)(2).(4322),(2322在第二象限此时时当 o 因此4722232),(43)12(22)12(,)(12在第四象限此时即时当o 2c o 2c o s,02s 综上可知因此12. 求下列各式的值 : 解 由已知得 ,11 o ss i ns i n)2(;c o ss i nc o i n)1(2 ss i i n)1( 1(221)21(31t ss i ss i ns i n3)s i n(co ss i ns i ss i ns i n)2(222222222222返回 三角函数的诱导公式 要点梳理 的终边的关系 角 图示 与 角终边的关系 )(2Z 相同 关于原点对称 关于 基础知识 自主学习 角 图示 与 角终 边的关系 2 2关于 对称 关于直线 y=x 对称 六组诱导公式的记忆口诀为 :函数名不 (改 )变、 符号看象限 是把 看作锐角时， 原函数值的符号即为变化后的三角函数值的符号 . 组数 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变符号看象限 函数名改变符号看象限 )(2Z 2 2基础自测 则 ） 解析 ),2,(,53)c o s ( ,53c o s)c o s ( D,34t 4s 23,(o D 2. 1c o s)c o s()s 2 原式的值为1)c o s ()c o s ()(s ( ) 解析 o ss 2 D i 3. 的值是 ( ) 解析 )417s )417c o s ( )417s )417c o s ( o s)4s )4c o s ()44s )44c o s (A 4. 等于 ( ) 解析 )23s )5s ,2co ss in co ss ,3t a n,2c o ss in c o ss ss i ss i n)co s)(s i n()23s i n ()5s i n (222C 5. . 解析 )32s ,32)6c o s ( c o s ()6(2s (2s 2s 32 题型一 三角函数式的化简 化简： (k Z). 化简时注意观察题设中的角出现了 需讨论 解 【 例 1】)c o s ()1s ()1c o s ()s k,)(2 时当 Z c o s)s )c o s ()s )2c o s ()12s ()12c o s ()2s 深度剖析 1)c o s(s o ss in)c o s (s o s)s )12c o s ()112s ()112c o s ()12s (,)(12;1c o ss in)c o s(s 原式综上原式时当探究提高 熟练应用诱导公式 原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了 . 知能迁移 1 解 .)s )c o s ()23s )2c o s ()t a n (:化简)s )c o s ()2s )(c o s )t a n(o sc o ss o st a ns o s)c o s(c o st a ns in)c o s()2s )c o s ()t a n(题型二 三角函数式的求值 【 例 2】 )2)2c o s ()12( 已知分.)27s 3)25c o s (5)c o s ()(s 的值求思维启迪 化简已知条件 化简所求三角函数式 ,用已知表示 代入已知求解 解 ),2s 2)2c o s ( 3t i i ss i n)2s i n (3)2co s (5co ss i n)24s i n (3)22co s (5co ss i n)27s i n (3)25co s (5)co s ()(s i an,co i n),2s i n (2s i 即 2分 4分 7分 解题示范 (1)诱导公式的使用将三角函数式中 的角都化为单角 . (2)弦切互化是本题的一个重要技巧 ,值得关注 . 4(714)1( t a a n)c o s( s o ss in)c o s( s c o s( s 探究提高9分 12分 知能迁移 2 (1)化简 f 解 ;)s i n ()t a n ( )t a n ()2c o s ()s i n ()( (.)(,51)23c o s (,)2( 的值求且是第三象限角若 fss t an(co ss )1( ,652515c o s,51s in,s 3c o s ()2(22f题型三 三角恒等式的证明 观察被证式两端 ,左繁右简 ,可以从左 端入手 ,利用诱导公式进行化简 ,逐步地推向右边 . 证明 【 例 3】.t a n)5s )c o s ( )6c o s ()2s )2t a n (: 求证思维启迪)s )c o s ()c o s ()s t a n左边.t s)s in(t 三角恒等式的证明在高考大题中并不 多见 ,但在小题中 ,这种证明的思想方法还是常考的 . 一般证明的思路为由繁到简或从两端到中间 . 探究提高知能迁移 3 )4c o s ()3s i n ()23(c o s)2(s i n:333c o s ()25s 证明 s o sc o ss s in(c o 左边.i nc o ss i nc o i nc o ss i nc o s)s i ns i nc o s) ( c o ss i n( c o 方法与技巧 同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础 ,主要是 变名、变式 . 符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函 数值时，进行开方时要根据角的象限或范围， 判断符号后，正确取舍 . 简是三角函数的基础 ,在求值与化 简时，常用方法有：（ 1）弦切互化法：主要利 用公式 化成正弦、余弦函数； ss 思想方法 感悟提高 (2)和积转换法 :如利用 的关系进行变形、转化； (3)巧用“ 1” 的变换 : 注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、 整式化 . c o ss c o s( s an)t s in)t c o sc o ss (1)左右互推法 : 由较繁的一边向简单一边化简； (2)左右归一 法 ,使两端化异为同；把左右式都化为第三个 式子； (3)转化化归法 :先将要证明的结论恒等 变形，再证明 . 失误与防范 先利用公式化任 意角的三角函数为锐角三角函数 ,其步骤 :去负 脱周 化锐 . 特别注意函数名称和符号的确定 . 开方 ,要 特别注意判断符号 . 一、选择题 1.（ 2009 全国 文， 1） 85 的值为 ( ) 解析 85 =60 +225 ) =80 +45 )= 定时检测 、 终边关于 则下列等式成立的是 （ ） = = = =析 方法一 、 终边关于 + = +2k 或 + =- +2k ,k Z， =2k + - 或 =2k - - ,k Z, =. 方法二 设角 终边上一点 P（ x， y） ,则点 于 ( -x,y),且点 到原 点的距离相等设为 r，则 .s in A 3.(2009 重庆文 ,6)下列关系式中正确的是 ( ) 1 0 68 68 1 0 1 68 0 68 0 1 解析 68 =80 )=2 , 0 =0 )=0 . 由三角函数线得 1 2 0 , 即 1 68 0 . C f(x)= x+ )+ x+ ),且 f(2 009)=3,则 f(2 010)的值是 ( ) 析 f(2 009)= 009 + )+ 009 + ) = + )+ + ) = =3. + = f(2 010)= 010 + )+ 010 + ) =+= C 5. 解析 ,54)2s 已知 等于则co ss ss 2,23( ) 4s s ss ss s),2,23(又A 6. 解析 ,2,31)125c 且已知 等于则 )12c o s ( ( ) D )125(2c o s)12c o s ( 2c o s (,322)125s ,12125127,2)二、填空题 7. 的值是 . 解析 )335)312c o s (335c o s)335c o s ( o s 218. 解析 ),23,(,178)c 已知 c 7 8c c o ss a o 23,(2 是方程 5的根 , 是第三象限角 , 则 解析 方程 5的两根为 )2s )2c o s ()23c o s ()23s . ,2,53 21 o ss o ss in)s in(c o st o ss c o s ()2s )(t s )2c o s ()23c o s ()23s ,54c o s,53s 169 )(ta n 2 ,是第三象限角由 三、解答题 10. ,31)3s 已知.)23s )c o s ()23s )2c o s ( 的值解 ,31s 1s s 1(2s o o o o sc o sc o sc o o s)c o s ()23s )2c o s ()1c o s(c o sc o 原式1) co s (co s)co s (求11. )c )s 已知).2(c o s)2(s (;c o ss (33 解 ,3 2)co s ()s o ss o s,0s ,97c o ss 2c o ss o ss 又故得式两边平方将得 )2 :o ss 16)97(1c o ss c o s) ( s 871()34()s o s) ( c o ss c o ss o s)2(c o s)2s (223333 , ，其中 ),0(),2,2( )3s 使得等式 )c o s (3),2c o s (2 若存在，求出 , 的值；若不存在，请说 明理由 . 解 假设满足题设要求的 ， 存在，则 ， c o o i i 2+ 2，得 3(1=2, c o s( 2 1或即,23c o s,4)1(,.,6,23c o s,4)2(使两个等式同时成立存在综上可知故舍去式但不适合得由时当，返回 角和与差的三角函数 要点梳理 = + ( ) + )= ( ) = ( ) + )= ( ) + 基础知识 自主学习 前面 4个公式对任意的 ， 都成立，而后面两个 公式成立的条件是 ( 需满足 ), ( 需满足 ) k 则是不成立的 、 或 ）的值不存在时， 不能使用公式 ,处理有关问题，应改用诱导 公式或其它方法来解 . )(Tt an)t )(Tt an)t Z, 2,2 2 据需要，可以进 行适当的变换： =( + ) =( + ， 2 =（ + ） +（ ， 2 =（ + ） -（ 等等 . = ; = = = ; = . 2 1 12灵活运用 公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用 等 可变形为： = , = f（ ） = + (a,，可以 化为 f（ ） = 或 f（ ） = ，其中 可由 a， 确定 . )(1 ) )ta n (ta = 1)ta n (ta n . )s 22 ba)c o s (22 3 7 +3 67 的值为 （ ） A. B. C. D. 解析 原式 =3 0 ) +3 80 ) =3 3 3 3 =3 )=0 = 21213131 2. ( ) 解析 由已知可得 等于则且已知 )4t a n (),2(54c o s ,43t 3s t 从而C 3.（ 2009 陕西理， 5） 若 3 + =0, 则 的值为（ ） A. B. C. 析 3 + =0,则 2s o 3103532,31 c 1(211)31(t a a A + )=3， =5，则 等于（ ） A. B. C. D. 解析 =( + )+( 818174743)t a n ()t a n (1 )t a n ()t a n ( D 5.（ 2009 上海理， 6） 函数 y=2小值是 . 解析 y=2x=1+x+x 1- . ),42s 21 题型一 三角函数式的化简、求值 (1)从把角 变为 入手 ,合理使用 公式 . (2)应用公式把非 10 角转化为 10 的角 ,切 化弦 . 【 例 1】 c o c o ( s i nc o 1(化简)a a n 1(10s i i 0c o ( 求值思维启迪 2);0( 题型分类 深度剖析 解 （ 1）原式 s,02co s,220,s)2co s2(s i co s i i 222i i i 0s i 10co i 030s i n (210co i i i i i i i i i i s)5co i i s(10s i i (222原式 （ 1）三角函数式的化简要遵循 “ 三看 ” 原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征 . （ 2）对于给角求值问题，往往所给角都是非特 殊角，解决这类问题的基本思路有： 化为特殊角的三角函数值； 化为正、负相消的项，消去求值； 化分子、分母出现公约数进行约分求值 . 探究提高知能迁移 1 解 s)10t 0s i n:求值)10t a 0s i s)10t 0s i i i i s,110co i i i i 题型二 三角函数的给值求值 角的变换：所求角分拆成已知角的 和、差、倍角等，综合上述公式及平方关系 . 解 【 例 2】 2,32)2s i n (,91)2c o s ( s,20, 的值求 思维启迪,2)2()2( 20,2 s i n ()2s i n ()2(co s)2co s (2co (s i co s (,954)2(co s i n (422 角的变换 ：转化为同角、特殊角、已 知角或它们的和、差、两倍、一半等；如 =( + )( + ,2 =( + )+ ( 等； 函数变换：弦切互化，化异名为同名 . 综合运用和、差、倍角与平方关系时注意角的范 围对函数值的影响 补关系，利用 诱导公式转化 . 探究提高知能迁移 2 已知 ,53)co s ( 等于则且 s i n),0,2(),2,0( ( ) ,135解析 35(53131254s i n)co s (co s)s i n ()s i n (s i n,1312co s i n ()(,053)co s ().,0(),0,2(),2,0(且因此又由于因此由于答案 A 题型三 三角函数的给值求角 已知 = , = , 且 , (0, ),求 2 值 . 对角 2 分为 +( ; 拆 分为 ( + ,先求 ,再求 . 解 【 例 3】2171思维启迪)t (t )(),0(an)t 1t an)t 21)t a n (,0,071t a n而 2 +( ( ). = +( )t a n (t a t a n (t a n (1)通过求角的某种三角函数值来求 角 ,在选取函数时 ,遵照以下原则 : 已知正切函数 值 ,选正切函数 ; 已知正、余弦函数值，选正弦 或余弦函数；若角的范围是 ，选正、余弦 皆可；若角的范围是（ 0， ），选余弦较好； 若角的范围为 ，选正弦较好 . （ 2）解这类问题的一般步骤为： 求角的某一个三角函数值； 确定角的范围； 根据角的范围写出所求的角 . 探究提高)2,0( )2,2( 知能迁移 3 已知 (1)求 的值； (2)求 的值 . 解 )c o s ( ,342t (20,1c o ss o ss 所以又因为所以,212t 0 ,2(i n)co s (co s)s i n ()s i n (s i s i n (,102)co s (0)2(所以因为所以所以因为所以因为题型四 三角函数的综合应用 （ 12分）已知 、 为锐角，向量 a= ( , ),b=( , ),c (1)若 a b= ,a c= ,求角 2 值 ; (2)若 a=b+c，求 的值 . （ 1）由 及 a,b, 求出关于 、 的三角函数值，进 而求出角 . （ 2）由 a=b+ 、 的三角恒等式， 利用方程的思想解决问题 . 【 例 4】)1( 22413 思维启迪 4 13,2 2 （ 1） a b=（ ， ） （ ， ） = + 0,i 1,21()s i n,(co co s (4 得由得由 2分 4分 解题示范 25,从而为锐角、6分 31t o ss i nc o ss i o ss i o ss i 1s i nc o s21s i ns i n21c o sc o s)2(222222又得可得由 分 10分 （ 1）已知三角函数值求角，一定要 注意角的范围 . （ 2）求有关角的三角函数问题，有时构造等式， 用方程的思想解决更简单、实用 . a n,0t a n,2 为锐角又 12分 探究提高知能迁移 4（ 2009 广东理， 16） 已知向量 a= ( , b=(1, )互相垂直 ,其中 (1)求 和 的值 ; )( .c o s,20,10 10)s i n ()2( 的值求若 解 o s,5522,0(a n,0c o 1(又(co s co s,10103)co s (co s (,1010)s i n ()2(时当或,),2,0(s i n (s i n)co s (co s)(co s co s,10103)co s (s i n (s i n)co s (co c o s. 舍去 方法与技巧 和差角公式变形： x y=x y) (1 xy); 倍角公式变形 :降幂公式 配方变形： 22 s i n,2 2c o o s;2 2co ,)2co s2(s i ns i i co 2 思想方法 感悟提高 调区间、周期 . y= + = ( + )(其 中 = )有 : 变”：“三变”是指“变 角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽 可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能 减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可 能有理化、整式化、降低次数等 化简、证明问题时 ,一般是观察角度、函数名、 所求（或所证明）问题的整体形式中的差异， 再选择适当的三角公式恒等变形 . |22 单角或和角的三角函数值 的技巧：把已知条件的和角进行加减或 2倍角后 再加减，观察是不是常数角，只要是常数角， 就可以从此入手，给这个等式两边求某一函 数值，可使所求的复杂问题简单化！ 活变换 视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构 , 更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会 公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公 式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用 倍角公式及其变形 . 失误与防范 注 意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次 的灵活运用，要注意“ 1” 的各种变通 . 0,)范围内， + )= 所对应的 角 + 不是唯一的 . 往要估计角的范围后求值 . 22 一、选择题 5 5 +25 5 的值 为 （ ） A. B. C. D. 解析 原式 =5 5 5 5 2321C 定时检测 2. ,55)45s 已知 （ ） 解析 ,5522)c o s( s i n)45s i n ( i i 510co ss i n得两边平方B 等于则 2 则已知 ,33)6c o s ( 的值是 （ ） 解析 c o s ()6(c o 5c o s ()6(s i A )65co s ()6(s i n 2 ),1),6(s 34s i n (, ) 解析 s i n ()34s i n (s i n (,03)3s i n (343co i s i n (4,3c o ( 32co s (,31)6s i n ( 则已知 的值是)2 （ ） 解析 (s i (2co s)23co s ()232co s (2A C=120 ,+= ，则 的值为 ( ) A. B. C. D. 解析 +B)=20 = , a nt a n,3t a nt a t a nt a a nt a n)t a n (、填空题 7. . 解析 )t a n (,3c o c o a n,31t a n 1t a nc o c o an)t 1t an)t )t ()2t .2)t ,2)t 故又 34 )2t a n(,2 则8. . 解析 10co 0o 0c o 20c o 0s i 220c o i o i 2 9. 已知 ,53)s i n (),43(, )4co s (,1312 则 . 解析 3()135(54)4s )s )4c o s ()c o s ()4()c o s ()4c o s (,135)4c o s (,54)c o s (,4342,223),43( 、6556)4 三、解答题 )4s 2)1( x.)4(t 21co (22解 )4co s (23)4s i n (2122)1( 原式)s (22)46co s (22)4co s (6co s)4s i n (6s i s)22co s (1t s)2(原式);4co s(6 x(1)求 f(x)的周期和单调递增区间； (2)若关于 f(x)在 上有解 , 求实数 解 )4(s 2 s3 x2,4co (s i )1( 2 o i o 2c o s (1,1)32s 2 x).(125,12,223222,Z解得单调递增区间为令周期 ,3,22,2)()(,1,21)32s i n (,32,632,2,4)2(a=(3 , ),b=(2 , 5 ), (1)求 的值； 解 （ 1） a b， a b=0. 而 a=(3 , ), b=(2 ,5 ), 故 a b=65 0. 由于 0,6 +5 . ),2,23( 且 a b. .)32co s ()2( 的值求 4t s)32co s (,5522co s,552(22t 12t 4t ,43(2),2,23()2(舍去或求得由(21t t 2,23( 舍去故返回 三角函数的图象与性质 要点梳理 1.“ 五点法”作图原理 :在确定正弦函数 y=x 在 0， 2 上的图象形状时 ,起关键作用的五 个点是 、 、 、 、 (0,0) )1,2( )0,( )1,23( )0,2( 基础知识 自主学习 y=x y=x y=x y=x 定义域 图象 值域 函 数 性 质 R R ,2| k Z) ,| (k Z) R R 对称性 周期 单调性 奇偶性 :对称轴 (2 Z k ； :对称中心)(0,( Z对称轴 ( Zk ； 对称中:心 ,22)( Zk:对称中心)( Zk2 2 单调增区间)(2 Zk ； 单调减区间 ,22)(23 Zk单调增区间2,2 )( Zk ； 单调减区间2,2 Z 22 )( Z奇 偶 )0,2( k)0,2( k:对称中心)( Zk)0,2( k单调增区间奇 ),( Zf（ x） ,如果存在一个非零的常 数 T，使得当 都有 f（ x+T） =f（ x），那么函数 f（ x）就叫做周期 函数，非
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