【步步高】2013-2014学年高中数学 1.3中国古代数学中的算法案例课件+训练（打包2套）新人教B版必修3
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【步步高】2013-2014学年高中数学 1.3中国古代数学中的算法案例课件+训练（打包2套）新人教B版必修3,步步高,学年,高中数学,中国古代,数学,中的,算法,案例,课件,训练,打包,新人,必修
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学习要求】 1 . 了 解 中国古代数学中 “ 更相减损之术 ” 的算法 , 并能根据这些原理进行算法分析 ; 2. 理 解 割圆术中蕴含的数学原理 ; 3. 了 解 秦九韶算法的计算过程 , 并理 解 利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质 . 【学法指导】 通过对 “ 更相减损之术、割圆术和秦九韶算法 ” 的学习 , 更好的理 解 将要 解 决的 问题 “ 算法化 ” 的思维方法 , 理 解 将抽象的数学思维转 变为具体的步骤化的思维方法 ,提高逻辑思维能力 ,体会中国古代数学对世界数学发展的贡献 , 增强爱国主义情怀 . 一填 知识要点、记下疑难点 1 . 求两个正整数最大公约数的算法 更相减损之术 ( 等值算法 ) 用两个数中较大的数减去较小的数 ,再用 和 构成新的一对数 , 再用大数减小数 ,以同样的操作一直做下去 ,直到产生 , 这个数就是最大公约数 . 2 . 割圆术 割圆术就是用 的算法来计算圆周率 的一种方法 . 数 较小的数 一对相等的数 正多边形面积逐渐逼近圆面积 填一填 知识要点、记下疑难点 3 . 秦九韶算法 把一个一元 n 次多项式 P ( x ) 1 1 P ( x ) 1 1 ( 1 1 2 x ( 2 1 3 x x ( ( 1) x 2) x x , 则递推公式为, 其中 k 1,2 , , n . ( a n x a n 1 ) x a n ( k 1) ) x a n k an v k v k 1 x a n k 研一研 问题探究、课堂更高效 问题情境 我国人民在长期的生活、生产和劳动过程中 ,创造了整数、分数、小数、正负数及其计算 ,以及无限逼近任一实数的方法 何学方面 ,我国在宋、元之前也都处于世界的前列 中学学到的算术、代数 ,从记数到多元一次联立方程组以及方程的求根方法 ,都是我国古代数学家最先创造的 也就是 “ 寓理于算 ” ,即把解决的问题 “ 算法化 ”. 一研 问题探究、课堂更高效 探究点 一 求两个正整数最大公约数的算法 问题 1 对于两个整数 a , b , b 是 a 的约数是怎样定义的？ 如果整数 a 能被整数 b 整除 , 则 b 称为 a 的一个约数 . 问题 2 整数 1 6 , 1 2 分别有哪些约数 , 它们的公约数有哪些？它们的最大公约数是什么？ 答 整数 16 的约数有 1 , 2 , 4 , 8 , 1 6 ; 整数 12 的约数有 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 1 2 6 , 1 2 的公约数有 2 和 4; 最大公约数为 4. 问题 3 设两个正整数 m n , 若 m n k , 则 m 与 n 的最大公约数和 n 与 k 的最大公约数有怎样的关系？为什么？ 答 相等 . 设 m 与 n 的最大公约数为 b , 则 m 与 n 可以用 b 的倍数表示 , 不妨设为 m n k m n ( a c ) b , 由于 ( a c ) b 的最大公约数也是 b , 所以 m 与 n 的最大公约数和n 与 k 的最大公约数相等 . 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 4 根据问题 3 的结论 , 写出求 1 6 ,1 2 这两个数的最大公约数的过程 . 以两数中较大的数减去较小的数 , 即 16 12 4, 以差数4 和较小的数 12 构成新的一对数 , 对这一对数再用大数减去小数 , 即 12 4 8, 继续这一过程 , 直到产生一对相等的数 , 这个数就是最大公约数 . 整个操作如下 : (16,12) (4, 12) (4,8) (4,4). 研一研 问题探究、课堂更高效 例 1 求 78 和 36 的最大公约数 . 操作如下 : ( 7 8 ,3 6 ) ( 4 2 ,3 6 ) ( 6 ,3 6 ) ( 3 0 ,6 ) ( 2 4 ,6 ) ( 1 8 ,6 ) ( 1 2 ,6 ) ( 6 ,6 ) . 所以最大公约数为 6. 小结 上述求两个正整数的最大公约数的方法称为 “ 更相减损之术 ” , 用更相减损之术求最大公约数 , 运算简单 , 程序易编 . 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 1 求 98 与 63 的最大公约数 . 操作如下 : ( 9 8 , 6 3 ) ( 3 5 , 6 3 ) ( 2 8 , 3 5 ) ( 7 , 2 8 ) ( 2 1 , 7 ) ( 1 4 , 7 ) ( 7 , 7 ) . 所以 98 与 63 的最大公约数为 7. 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 5 ( 1) 用更相减损之术可以求两个正整数的最大公约数 , 那么用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？ ( 1 ) 用循环结构来构造算法 , 算法步骤如下 : 输入两个正整数 a , b ( a b ); 如果 a b , 则执行 S 3 , 否则转到 S 5 ; 将 a b 的值赋予 r ; 若 b r , 则把 b 赋予 a , 把 r 赋予 b , 否则把 r 赋予 a , 重新执行 输出最大公约数 b . 研一研 问题探究、课堂更高效 ( 2 ) 该算法对应的程序如何表述？ 程序 : a in p u t “ a ” ； b in p u t “ b ” ； w h il e a b a a b ； e l s e b b a ； e n d e n d pr in t % 2 ， a ， b ； 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 6 古希腊求两个正整数的最大公约数的方法是辗转 相除法 : 用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成的一对数 ,继续做上面的除法 ,直到大数被小数除尽 , 这个较小的数就是最大公约数 你能写出求 288和 123 的最大公约数的操作过程吗？ ( 2 8 8 ,1 2 3 ) ( 4 2 ,1 2 3 ) ( 4 2 ,3 9 ) ( 3 ,3 9 ) ,3 9 能被 3 除尽 , 所以 3 就是最大公约数 . 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点 二 割圆术 导引 魏晋时期数学家刘徽说过 : “ 割之弥细 ,所失弥少 , 割之又割 , 以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣 ” ,即从圆内接正六边形开始 ,让边数逐次加倍 ,逐个算出这些内接正多边形的面积 ,从而得到一系列逐渐递增的数值 ,来一步一步地逼近圆面积 ,最后求出圆周率的近似值 . 问题 1 阅读教材 纳求圆周率的近似值的步骤 . 步骤如下 : 第一 , 从半径为 1 的圆内接正六边形开始 , 计算它的面积 S 6 . 第二 , 逐步加倍圆内接正多边形的边数 , 分别计算圆内接正十二边形、正二十四边形、正四十八边形 的面积 , 到一定的边数 ( 设为 2 m ) 为止 , 得到一列递增的数 S 6 , S 12 , S 24 , , S 2 m . 研一研 问题探究、课堂更高效 第三 ,在第二步中各正 n 边形每边上作一高为余径的矩形 , 把其面积 ( S 2 n S n ) 与相应的正 n 边形的面积 S 2 n 相加 ,得 S 2 n ( S 2 n S n ), 这样又得到一列递增数 : S 12 ( S 12 S 6 ), S 24 ( S 24 S 12 ), S 48 ( S 48 S 24 ), , S 2 m ( S 2 m S m ). 四 , 圆面积 S 满足不等式 S 2 m S S 2 m ( S 2 m S m ). 估计 S 的近似值 , 即圆周率的近似值 . 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 2 阅读教材 ,回答如何计算圆内接正 2 n 边形的面积S 2 n ？如何求圆内接正 2 n 边形的边长？ 设圆的半径为 1, 圆内接正 n 边形面积为 S n , 边长为 x n , 边心距为 h n , 由勾股定理得 h n 1 x , S 2 n S n 12 n x n (1 h n )( n 6) x 2 n x 1 h n 2 ( n 6 ) . 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 3 怎样用 Sc b 语言写出求 的不足近似值的程序？ 程序如下 : 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点 三 秦九韶算法的基本思想 问题 1 怎样计算多项式 f ( x ) x 1 当 x 5 时的值呢？统计所做的计算的种类及计算次数分别是什么？ f ( 5 ) 5 5 5 4 5 3 5 2 5 1 3 9 0 6 . 根据我们的计算统计可以得出我们共需要 10 次乘法运算 ,5 次加法运算 . 问题 2 我们把多项式变形为 f ( x ) 1 x (1 x (1 x ) x 1, 再统计一下计算当 x 5 时的计算的种类及计算次数分别是什么？ 答 从里往外计算仅需 4 次乘法和 5 次加法运算即可得出结果 . 研一研 问题探究、课堂更高效 小结 这种将求一个 5 次多项式 f ( x ) 的值转化成求 5 个一次多项式的值的方法 ,称为秦九韶算法 . 一研 问题探究、课堂更高效 问题 3 怎样利用秦九韶算法把求 n 次多项式 f ( x ) 的值转化为求 n 个一次多项式的值？ f ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a n 2 x n 2 a 1 x a 0 ( a n x n 1 a n 1 x n 2 a n 2 x n 3 a 1 ) x a 0 ( a n x n 2 a n 1 x n 3 a 2 ) x a 1 ) x a 0 ( ( a n x a n 1 ) x a n 2 ) x a 1 ) x a 0 求多项式的值时 , 首先计算最内层括号内一次多项式的值 , 即v 1 a n x a n 1 , 然后由内向外逐层计算一次多项式的值 , 即 v 2 v 1 x a n 2 , v 2 x a n 3 , , v n v n 1 x a 0 , 这样 , 求 n 次多项式 f ( x ) 的值就转化为求 n 个一次多项式的值 . 研一研 问题探究、课堂更高效 例 2 用秦九韶算法求多项式 f ( x ) 1 x 0. 5 x 2 7 x 3 7 x 4 3 x 5 在 x 的值 x 0 . 2 . a 5 0 8 3 3 v 0 a 5 0 8 3 3 a 4 0 1 6 7 v 1 v 0 x a 4 0 a 3 0 6 6 7 v 2 v 1 x a 3 0 8 6 7 a 2 0 v 3 v 2 x a 2 0 8 27 a 1 1 v 4 v 3 x a 1 0 6 35 a 0 1 v 5 v 4 x a 0 0 8 7 3 所以 f ( 0 0 8 7 3 . 研一研 问题探究、课堂更高效 小结 利用秦九韶算法计算多项式的值关键是正确地将多项式改写 ,然后由内向外依次计算 ,由于下一次的计算用到上一次计算的结果 , 只有细心 , 认真 , 保证中间的结果正确才能保证计算准确 一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 2 用秦九韶算法求多项式 f ( x ) 7 x 7 6 x 6 5 x 5 4 x 4 3 x 3 2 x 2 x 当 x 3 时的值 f ( x ) ( ( ( ( ( ( 7 x 6) x 5) x 4) x 3) x 2) x 1) x , 所以 v 0 7 ； v 1 7 3 6 27 ； v 2 27 3 5 86 ； v 3 86 3 4 262 ； v 4 262 3 3 789 ； v 5 789 3 2 2 369 ； v 6 2 369 3 1 7 108 ； v 7 7 1 0 8 3 2 1 3 2 4 , 故 x 3 时 , 多项式 f ( x ) 7 x 7 6 x 6 5 x 5 4 x 4 3 x 3 2 x 2 x 的值为 2 1 3 2 4 . 练一练 当堂检测、目标达成落实处 1 . 转相除法与更相减损之术是求最大公约数的常用方法 , 从计算结果形式上看 , 辗转相除法以相除余数为零得到结果 ,更相减损之术则以 _ 而得到结果 数与差相等 练一练 当堂检测、目标达成落实处 2. 已知 f ( x ) 2 x 3 x 3, 用秦九韶算法求当 x 3 时 v 2 的值 . f ( x ) 2 x 3 x 3 2 x 3 0 x 2 x 3 (2 x 0) x 1) x
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