【步步高】2013-2014学年高中数学 第一章 §1.3.2第1课时奇偶性的概念课件+配套训练（打包2套）新人教A版必修1
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高中数学
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【步步高】2013-2014学年高中数学 第一章 §1.3.2第1课时奇偶性的概念课件+配套训练（打包2套）新人教A版必修1,步步高,学年,高中数学,第一章,课时,奇偶性,概念,课件,配套,训练,打包,新人,必修
- 内容简介：
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1 3 奇偶性 第 1 课时 奇偶性的概念 【学习要求】 1 理解函数的奇偶性及其几何意义； 2 学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3 掌握判断函数奇偶性的方法与步骤 【学法指导】 通过自己动手计算，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇偶函数的概念通过函数奇偶性概念的形成过程，培养观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想，培养从特殊到一般的概括归纳问题的能力 . 1 函数奇偶性的概念 ( 1) 偶函数：如果对于函数 f ( x ) 的定义域内 一个 x ，都有 ，那么函数 f ( x ) 就叫做偶函数 ( 2) 奇函数：如果对于函数 f ( x ) 的定义域内 一个 x ，都有 ，那么函数 f ( x ) 就叫做奇函数 填一填 知识要点、记下疑难点 任意 f( x) f(x) 任意 f( x) f(x) 2 奇、偶函数的图象 ( 1) 偶函数的图象关于 对称，图象关于 对称的函数一 定是偶函数 ( 2) 奇函数的图象关于 对称，图象关于 对称的函数一定是奇函数 3 判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于 对称 . 填一填 知识要点、记下疑难点 原点 原点 原点 问题情境： 美丽的蝴蝶，盛开的鲜花，六角形的雪花晶体，中国的古建筑，我们学校的综合大楼，它们都具有对称的美这种 “ 对称美 ” 在数学中也有大量的反映今天，让我们开启知识的大门，进入更精彩纷呈的函数奇偶性的学习 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点一 偶函数的概念 问题 1 观察下列函数的图象，你能通过函数的图象，归纳出三个函数的共同特征吗？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 三个函数的定义域关于原点对称，三个函数的图象关于 问题 2 关于 y 轴对称的点的坐标有什么关系？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 横坐标互为相反数，纵坐标相等 问题 3 怎样说明函数 y x 2 的图象关于 y 轴对称？ 答 对于 R 上任意的一个 x ，都有 f ( x ) ( x )2 f ( x ) ，即函数 y x ， f ( x ) 关于 y 轴对称的点 ( x ， f ( x )也在函数 y 以 y y 轴对称 问题 4 如果函数 y f ( x ) 的图象关于 y 轴对称，我们就说这个函数是偶函数，那么如何从代数的角度定义偶函数？ 答 如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x ，都有 f ( x ) f ( x ) ，那么函数 f ( x ) 就叫做偶函数 问题 5 通过前面的探究，你能得出偶函数的图象有怎样的对称性质吗？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数为偶函数 例 1 判断下列函数哪些是偶函数 ( 1) f ( x ) x 2 1 ； ( 2) f ( x ) x 2 ， x 1 , 3 ； ( 3) f ( x ) 0. 解 ( 1) 由 解析 式可知函数的定义域为 R ，由于 f ( x ) ( x ) 2 1 x 2 1 f ( x ) ，所以函数为偶函数 ( 2 ) 由于函数的定义域不关于原点对称，故函数不是偶函数 ( 3) 函数的定义域为 R ，由于 f ( x ) 0 f ( x ) ，所以函数为偶函数 小结 利用定义法判断函数是不是偶函数时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个 x ，则 x 也一定是定义域内的一个自变量 跟踪训练 1 判断下列函数是否为偶函数 ( 1) f ( x ) ( x 1) ( x 1) ； ( 2) f ( x ) 1. 研一研 问题探究、课堂更高效 解 ( 1) 函数的定义域为 R ，因函数 f ( x ) ( x 1) ( x 1) x 2 1 ， 又因 f ( x ) ( x ) 2 1 x 2 1 f ( x ) ，所以函数为偶函数 ( 2) 函数 f ( x ) 1不是偶函数，因为它的定义域为 x | x R 且 x 1 ，并不关于原点对称 探究点二 奇函数的概念 问题 1 观察函数 f ( x ) x 和 f ( x ) 1 如图 ) ，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 容易得到定义域关于原点对称，图象关于原点对称 问题 2 求出当 x 取 3 ， 2 ， 1,1,2,3 时，函数 f ( x ) x 的值， 及当 x 分别等于 3 ， 2 ， 1,1,2,3 时函数 f ( x ) 1中你能发现什么规律吗？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 对函数 f ( x ) x 有： f ( 3) 3 f ( 3) ， f ( 2) 2 f ( 2) ， f ( 1) 1 f ( 1) ； 对函数 f ( x ) 1x 有： f ( 3) 13 f ( 3) ， f ( 2) 12 f ( 2) ， f ( 1) 1 f ( 1) 存在的规律是：两个关于原点对称的 x 的值，其函数值互为相反数 问题 3 你能把问题 2 中的由具体的函数值得出的规律抽象成一般形式吗？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 对于 R 内任意的一个 x ，都有 f ( x ) f ( x ) 事实上这就是 奇函数的概念 小结 ( 1) 奇函数的定义：一般地，如果对于函数 f ( x ) 的定义域的任意一个 x ，都有 f ( x ) f ( x ) ，那么 f ( x ) 就叫做奇函数 ( 2) 如果一个函数 f ( x ) 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数 f ( x ) 具有奇偶性 问题 4 类比偶函数图象的对称性，奇函数的图象有怎样的对称性质呢？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数 例 2 判断下列函数的奇偶性 ( 1) f ( x ) ( 2) f ( x ) ( 3) f ( x ) x 1x； ( 4) f ( x ) 1 ( 5) f ( x ) x ； ( 6) f ( x ) 1 1 . 解 ( 1) 对于函数 f ( x ) x 4 ，其定义域为 R ，因为对定义域内的每一个 x ，都有 f ( x ) ( x ) 4 x 4 f ( x ) ，所以，函数 f ( x ) x 4 为偶函数 ( 2) 对于函数 f ( x ) 定义域为 R ，因为对定义域内的每一个 x ，都有 f ( x ) ( x )5 f ( x ) 所以，函数 f ( x ) 研一研 问题探究、课堂更高效 ( 3) 函数 f ( x ) x 1 x | x R 且 x 0 ，因为对定义域内的每一个 x ，都有 f ( x ) x 1 xx 1x f ( x ) ， 所以，函数 f ( x ) x 1 ( 4) 函数 f ( x ) 1x 2 的定义域为 x | x R 且 x 0 ，因为对定义域内的每一个 x ，都有 f ( x ) 1 x 21x 2 f ( x ) ，所以，函数 f ( x ) 1x 2 为偶函数 ( 5) 对于函数 f ( x ) x ，其定义域为 x | x 0 ，因为函数的定义域关于原点不对称，所以函数 f ( x ) x 既不是奇函数也不是偶函数 ( 6) 对于函数 f ( x ) 1 1 ，其定义域为 1,1 ，因为对定义域内的每一个 x ，都有 f ( x ) 0 ，所以 f ( x ) f ( x ) ，故函数 f ( x ) 1 1 为偶函数又 f ( x ) f ( x ) ，故函数 f ( x ) 1 1 为奇函数即该函数既是奇函数又是偶函数 研一研 问题探究、课堂更高效 小结 ( 1) 对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：是奇函数但不是偶函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数 ( 2) 用定义判断函数奇偶性的 步骤： 先求定义域，看是否关于原点对称； 再判断 f ( x ) f ( x ) 或 f ( x ) f ( x ) 是否恒成立 跟踪训练 2 判断下列各函数的奇偶性： ( 1) f ( x ) ( x 2)2 x； ( 2) f ( x ) x 2 x 1 问题探究、课堂更高效 解 ( 1) 由2 x 0 ，得定义域为 2,2) ，关于原点不对称，故 f ( x )为非奇非偶函数 ( 2 ) x 1 ， f ( x ) ( x ) 2 x 2 f ( x ) ； x 1 时， f ( x ) x 2 ， x f ( 1) ，又 f ( 3) f ( 3) ， f ( 1) f ( 1) f ( 3) f ( 1) 小结 本题有两种解法，一种是通过图象观察， f ( 3) f ( 1) ，选用偶函数定义，得 f ( 3) f ( 1) ；另一种方法是利用偶函数图象的对称性 跟踪训练 3 如图，给出了奇函数 y f ( x ) 的局部图象，则 f ( 4) _. 研一研 问题探究、课堂更高效 解析 f ( 4) f ( 4) 2. 2 跟踪训练 2 已知 f ( x ) 是二次函数，且满足 f ( 0) 0 ， f ( x 1) f ( x ) 2 x ，求 f ( x ) 的解析式 研一研 问题探究、课堂更高效 解 由题意，设 f ( x ) c ( a 0) ， f ( 0 ) 0 ， c 0 ，又 f ( x 1) f ( x ) 2 x ， a ( x 1) 2 b ( x 1) 2 x ， 即 2 a b 2 x ， a 1 ， b 1 ，从而 f ( x ) x 2 x . 1 下列函数中，既是偶函数又在 (0 ， ) 上单调递增的函数是 ( ) A y y | x | 1 C y 1 D y 2 当堂检测、目标达成落实处 解析 对于函数 y | x | 1 ， f ( x ) | x | 1 | x | 1 f ( x ) ，所以y | x | 1 是偶函数，当 x 0 时， y x 1 ，所以在 (0 ， ) 上单调递增故选 B. 另外函数 y y 1 在 (0 ， ) 上单调递减， y 2 B 2 设函数 f ( x ) 和 g ( x ) 分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 ( ) A f ( x ) | g ( x )| 是偶函数 B f ( x ) | g ( x )| 是奇函数 C | f ( x )| g ( x ) 是偶函数 D | f ( x )| g ( x ) 是奇函数 练一练 当堂检测、目标达成落实处 解析 由 f ( x ) 是偶函数，可得 f ( x ) f ( x ) ， 由 g ( x ) 是奇函数可得 g ( x ) g ( x ) ， 故 | g ( x )| 为偶函数， f ( x ) | g ( x )| 为偶函数 A 3 已知函数 y f ( x ) 为偶函数，其图象与 x 轴有四个交点，则方程 f ( x ) 0 的所有实根之和是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 4 练一练 当堂检测、目标达成落实处 解析 由偶函数的图象关于 y 轴对称，所以偶函数的图象与 x 轴的交点也关于 y 轴对称，因此，四个交点中，有两个在 x 轴的负半轴上，另两个在 x 轴的正半轴上，所以四个实根的和为 0. A 4 偶函数 y f ( x ) 的定义域为 t 4 ， t ，则 t _. 练一练 当堂检测、目标达成落实处 解析 偶函数的定义域应当关于原点对称，故 t 4 t ， 得 t 2. 2 1 两个定义：对于 f ( x ) 定义域内的任意一个 x ，如果都有 f ( x ) f ( x ) f ( x )
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