【步步高】2013-2014学年高中数学 第一章 1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征(二)课件+训练（打包2套）新人教B版必修2
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步步高
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【步步高】2013-2014学年高中数学 第一章 1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征(二)课件+训练（打包2套）新人教B版必修2,步步高,学年,高中数学,第一章,棱柱,棱锥,以及,结构,特征,特点,课件,训练,打包,新人,必修
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1 柱、棱锥和棱台的结构特征 (二 ) 一、基础过关 1 下列说法中，正确的是 ( ) A有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 B用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 2 若棱台上、下底面的对应边之比为 12 ，则上、下底面的面积之比是 ( ) A 12 B 14 C 21 D 4 1 3 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是 ( ) A三棱锥 B四棱锥 C五棱锥 D六棱锥 4 正四棱锥 S 所有棱长都等于 a，过不相邻的两条侧棱作截面 截面面积为 ( ) B 在下面 4 个平面图形中，哪几个是各侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是_ (把你 认为正确的序号都填上 ) 6 正三棱台的上、下底面边长及棱台的高分别为 1,2,2，则它的斜高是 _ 7 如图所示的是一个三棱台 何用两个平面把这个三 棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥 2 8 如图所示，侧棱长为 2 3的正三棱锥 V ， 40 ，过 A 作截面 截面 长的最小值 二、能力提升 9 正四棱锥的侧棱长是底面边长的 k 倍，则 k 的 取值范围是 ( ) A (0， ) B. 12， C ( 2， ) D. 22 ， 10有一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们所有的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，则所得到的这个组合体是 ( ) A底面为平行四边形的四棱柱 B五棱锥 C无平行平面的六面体 D斜三棱柱 11在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何体的 4 个顶点，这些几何体是_(写出所有正确结论的编号 ) 矩形； 不是矩形的平行四边形； 有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； 每个面都是等边三角形的四面体； 每个面都是直角三角形的四面体 12 如图，已知正三棱锥 S 高 h，斜高 l，求经过 中点且平行于底面的截面 A B C 的面积 三、探究与拓展 13一棱锥的底面积为 一个平行于底面的平面去截棱锥，其截面 面积为 用一个平行于底面的平面将截面和底面间的高分成两部分，且上、下两 部分之比为 ，求截面面积 3 答案 1 A 6 7解 过 B、 C 三点作一个平面，再过 B、 把三棱台 成的三个三棱锥分别是 B 8 解 将三棱锥沿侧棱 开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图所示，线 段 长的最小值，取 ，则 60 ，可求 3，则 长的最小值为 6. 9 D 10 D 11 12解 在 ， 因为棱锥 S 正棱锥，所以点 O 是正 中心， 220 2 3 S 34 34 43( 3 3( 因为 A B C 过 中点， 所以三棱锥 S A B C 的高 h 12h. 根据一般三棱锥的截面性质，有 S A B CS h214， 所以 S A B C 3 34 ( 13解 设截面面积为 由棱锥截面的性质得 4 由此可得 . 2. 1 1 . 2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征 ( 二 ) 【学习要求】 1 认识棱锥、棱台的结构特征 2 掌握其定义及性质 【学法指导】 通过直观感受空间物体，从实物中概括出棱锥、棱台的几何结构特征，提高观察、讨论、归纳、概括的能力；感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学习的积极性，培养空间想象能力 填一填 知识要点、记下疑难点 1 棱锥： ( 1) 棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有 棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做 ；各侧面的公共顶点叫做 ；相邻两侧面的公共边叫做 ；多边形叫做 ；顶点到底面的距离，叫做 ( 2) 如果棱锥的底面是正多边形，它的顶点又 在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做 一 个公共顶点的三角形 棱锥的侧面 棱锥的顶点 棱锥的侧棱 棱锥 的底面 棱锥的高 正棱锥 填一填 知识要点、记下疑难点 2 棱台： ( 1) 棱锥被平行于底面的截面所截，截面和底面间的部分叫做 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面；其它各面叫做棱台的 ；相邻两侧面的公共边叫做 ；两底面间的距离叫做 ( 2) 由正棱锥截得的棱台叫做 正棱台各侧面都是 的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做正棱台的斜高 . 棱台 侧面 棱台的侧棱 棱台 的高 正棱台 全等 研一研 问题探究、课堂更高效 问题情境 观察下面的几何体，你可能会判定它们是一些棱锥为什么你会判定它们是棱锥呢？ 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点一 棱锥的结构特征 问题 1 棱锥有哪些性质？哪些性质可以作为棱锥集合的特征性质？ 答 通过观察，我们可以得到棱锥的主要特征性质：棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形 . 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 2 类比棱柱，棱锥的侧面、顶点、侧棱、底面、高分别指什么？ 答 如下图，棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面； 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点； 相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； 多边形叫做棱锥的底面； 顶点到底面的距离，叫做棱锥的高 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 3 如何用字母表示棱锥？ 答 棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母来表示如问题 2 中图中棱锥可表示为棱锥 S D 或者棱锥 S 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 4 依据棱锥底面多边形的边数如何分类？ 答 棱锥按底面是三角形、四边形、五边形 分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥 问题 5 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状关系如何？ 答 是相似多边形 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 6 类比正棱柱的概念，如何定义正棱锥？ 答 如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥 问题 7 正棱锥与棱锥相比较，有什么特殊的性质？ 答 正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高 研一研 问题探究、课堂更高效 例 1 设计一个平面图形，使它能够折成一个侧面与底面都是等边三角形的正三棱锥 解 因为要制作的正三棱锥的侧面与底面都是等边三角形，所以它的棱长都相等 ( 如图 ) 于是作一个等边三 角形及其三条中位线，如图所示沿图中的实线剪下这个三角形，再以虚线 ( 中位线 ) 为折痕就可折成符合题意的几何体 小结 由于三棱锥有一个底面和三个侧面，共四个面组成，所以三棱锥又叫四面体，三棱锥的各个面都是三角形 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 1 若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角 形，侧棱长为 2 ，底面周长为 9 ，求棱锥的高 解 在底面正三角形中，边长为 3 ，高为 3 0 3 32 ， 中心到顶点距离为3 32 23 3 ，则棱锥的高 为 22 3 2 1. 研一研 问题探究、课堂更高效 例 2 已知正四棱锥 V 底面面积为 16 ，一条侧棱长为 2 11 ，计算它的高和斜高 解 设 正四棱锥 V D 的高，作 点 M ，则 M 为 点 连接 则 因为底面正方形 A B 面积为 16 ， 所以 4 ， 2 ， 2 2 2 2 2 2 . 又因为 2 11 ，在 V O B 中，由勾股定理得 2 11 2 2 2 2 6. 研一研 问题探究、课堂更高效 在 V O M ( 或 V 中，由勾股定理得 6 2 2 2 2 10 ( 或 2 11 2 2 2 2 10 ) 即正四棱锥的高为 6 ，斜高为 2 10 . 小结 在正棱锥的有关计算中， 要注意寻找直 角三角形，一般有：正棱锥顶点与底面中心连线，相应的边心距和斜高组成一个直角三角形；正棱锥顶点与底面中心连线，侧棱和底面中心与底面多边形的顶点组成一个直角三角形 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 2 正四棱锥 S A 的高为 3 ，侧棱长为 7 . ( 1) 求侧面上的斜高； ( 2) 求一个侧面的面积； ( 3) 求底面的面积 解 ( 1) 如图所示，在正四棱锥 S D 中，高 3 ，侧棱 7 ， 解 ，得 2 ，则 4 ， 2 2 . 作 E ，则 E 为 中点， 12 2 . 连接 则 斜高 3 ， 5 ，即侧面上的斜高为 5 . 研一研 问题探究、课堂更高效 ( 2) 由 ( 1) 知 5 ， 2 2 ， S 侧面 12 12 5 2 2 10 . ( 3) S 底面 2 2 2 2 8. 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点二 棱台的结构特征 问题 1 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成另一个多面体，这样的多面体叫做棱台那么棱台有哪些结构特征？ 答 有两个面是互相平行的相似多边形，其余各面都是梯形，每相邻两个梯形的公共腰的延长线共点 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 2 类比棱柱的说法，棱台的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？ 答 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面，其余各面叫做棱台的侧面，相 邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点 . 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 3 三棱台、四棱台、五棱台 分别是什么含义？如何用字母表示？ 答 由三棱锥、四棱锥、五棱锥 截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台 ；与棱柱的表示一样棱台也用上、下底面的各顶点的字母表示 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 4 既然棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否相互转化？ 答 它们在结构上的相同点是：它们都是由平面多边形围成的几何体，它们都有底面且底面都是多边形； 不同点是：棱柱和棱台都有两个底面，而棱锥只有一个底面，棱柱的两个底面是全等的，棱台的两个底面是相似的； 能够相互转化，棱台是由棱锥截取得到的，棱台的上底面扩大，使上下底面全等，就是棱柱，棱台的上底面缩为一个点就是棱锥 研一研 问题探究、课堂更高效 例 3 如图，在正三棱台 A 1 B 1 C 1 中，已 知 10 ，棱台一个侧面的面积为20 33， O 1 、 O 分别为上、下底面正三角形的中心， D 1 D 为棱台的斜高， D 1 60 ，求上底面的边长 解 10 ， 32 5 3 ， 13 5 33 . 设上底面边长为 x ，则 O 1 D 1 36 x . 过 D 1 作 D 1 H 点 H ， 则 O 1 D 1 5 33 36 x . 研一研 问题探究、课堂更高效 在 D 1 ， D 1 D 0 2 5 33 36 x ， 在梯形 B 1 C 1 ， S 12 ( B 1 C 1 D 1 D ， 即20 33 12 ( x 10) 2 5 33 36 x ， 解得 x 2 15 ， 上底面的边长为 2 15 . 小结 在正棱台的有关计算中， 要注意寻找直角梯形，一般有：正棱台两底面中心连线， 相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线，侧棱和两底面相应的外接圆半径组成一个直角梯形 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 3 已知正四棱台的上、下底面面积分别为 4 、 16 ， 一侧面面积为 12 ，分别求该棱台的斜高、高、侧棱长 解 如图，设 O ， O 分别为上下底面的中 心，即 为正四棱台的高， E ， F 分别为 B C ， 中点， B C ，即 斜高由上底面面积为 4 ，上底面为正方形，可得 B C 2 ；同理， 4. 四边形 B 的面积为 12, 12 (2 4) 12 ， 4. 研一研 问题探究、课堂更高效 过 B 作 B H H ， 则 B E 2 1 1 ， B H 4. 在 B ， B H 2 17 . 同理，在直角梯形 O O F E 中，计算出 O O 15 . 综上，该正四棱台的侧棱长为 17 ，斜高为 4 ，高为 15 . 练一练 当堂检测、目标达成落实处 1 给出下列几个命题： 棱柱的侧面都是平行四边形； 棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点； 多面体至少有四个面； 棱台的侧棱所在直线均相交于同一点 其中，假命题的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 练一练 当堂检测、目标达成落实处 解析 显然命题 、 均是真命题 对于命题 ，显然一个图形要成为空间几何体，则它至少需要有四个顶点，因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形，当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故命题 是真命题 对于命题 ，棱台的侧棱所在的直线就是被截原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，它便是棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，故命题 为真命题 答案 A 练一练 当堂
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