【步步高】2013-2014学年高中数学课件（打包8套） 新人教A版必修5
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【步步高】2013-2014学年高中数学课件（打包8套） 新人教A版必修5,步步高,学年,高中数学,课件,打包,新人,必修
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本讲栏目开关 1 1 1 正弦定理 ( 一 ) 【学习目标】 1 掌握正弦定理的内容 2 了解正弦定理的证明方法 3 能初步运用正弦定理解三角形 【学法指导】 1 学习本节内容时，要善于运用平面几何知识以及平面向量知识证明正弦定理 2 应熟练掌握利用正弦定理进行三角形中的边角关系的相互转化 本讲栏目开关 1 在 A ， A B C ，2 . 2 在 ， C 2，则 ， . 3 一般地，把三角形的三个角 A ， B ， C 和它们的对边a ， b ， c 叫做三角形的 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 4 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正 弦的比相等，即 ，这个比值是 _ . 2 A B 元素 解三角形 三角形外接圆的直径 2R 填一填 知识要点、记下疑难点 本讲栏目开关 探究点一 正弦定理的提出和证明 问题 在直角三角形和等边三角形中，容易验证AB一结论对更一般锐角三角形和钝角三角形还成立吗？ 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 证明 根据三角函数的定义， 探究 1 在锐角 ，根据右图证明： A B C . b a . 同理，在 ， . 成立 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 探究 2 在钝角 ( 不妨设 A 为钝角 ) ， 根据右图证明：A B C . 证明 过 C 作 垂足为 D ， D 是 延长线上一点，根据正弦函数的定义知： 80 A ) ， . b a . . 同理 ， . 故 . 小结 综上可知，对于任意三角形，均有 ，此即正弦定理 研一研 问题探究、课堂更高效 D 本讲栏目开关 探究点二 正弦定理的几何解释 问题 如图所示，在 中，斜边 c 等于 接圆的直径 2 R ，故有A BC 2 R ，这一关系对任意三角形 也成立吗？ 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 探究 1 如图所示，锐角三角形 它的 外接圆 O ，外接圆半径为 R ，等式ABC 2 R 成立吗？ 证明 如图，因为 锐角三角形， 连接 圆 O 于 D ，连接 因为 A D ，则在 B ， 2 R . 同理， 2 R ， 所以 2 R 成立 研一研 问题探究、课堂更高效 D 本讲栏目开关 探究 2 如图所示，钝角三角形 A 为钝 角，圆 O 是它的外接圆，半径为 R ，等式 ABC 2 R 还成立吗？ 证明 如图，当 钝角三角形时， 连接 圆 O 于 D ，连接 研一研 问题探究、课堂更高效 A 180 D ，所以 180 D 2 R . 同理， 2 R ， 所以 2 R 仍成立 小结 综上所述，对于任意 2 R 恒成立 本讲栏目开关 【典型例题】 例 1 在 ，角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ，若 A B C 1 2 3 ，则 a b c 等于 ( ) A 1 2 3 B 2 3 4 C 3 4 5 D 1 3 2 解析 A B C ， A B C 1 2 3 ， A 6 ， B 3 ， C 2 ， 12 ， 32 ， 1. 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 设 A B C k ( k 0) ，则 a k b k 32 k ； c k k ； a b c 12 32 1 1 3 2 ，故选 D. 答案 D 小结 正弦定理在实现三角形的边角转化中非常方便，需要进行边角转化时，首先要考虑通过正弦定理来实现 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 跟踪训练 1 在 ，已知 ( b c ) ( c a ) ( a b ) 4 5 6 ，则 A si n B si n C 等于 ( ) A 6 5 4 B 7 5 3 C 3 5 7 D 4 5 6 解析 ( b c ) ( c a ) ( a b ) 4 5 6 ， b c a 令 b c a k ( k 0 ) ， 则b c 4 a 5 b 6 k，解得a 725232k. a b c 7 5 3. B 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 例 2 在 ，求证：a c c b c c A . 证明 因为 2 R ，所以 左边 2 R 2 R c 2 R 2 R c B C c A C c c c 右边 所以等式成立 小结 正弦定理的变形公式使三角形的边与边的关系和角与角的关系之间的相互转化的功能更加强大，更加灵活 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 跟踪训练 2 在单位圆上有三点 A ， B ， C ，设 三边长分别为 a ， b ， c ，则AB2 C . 解析 外接圆直径为 2 R 2 ， 2 R 2 ， 2 2 1 4 7. 7 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 例 3 在 ，已知 a 2 2 ， A 30 ， B 45 ，解三角形 解 ， b a 2 2 502 2 2212 4. C 180 ( A B ) 180 ( 30 45 ) 105 ， c a 2 2 050 2 2 512 4 2 30 45 ) 2 2 3 . 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 小结 已知两角与任一边，利用正弦定理解三角形，有以下两种情况： ( 1) 若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边； ( 2) 若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 跟踪训练 3 在 ， a 5 ， B 45 ， C 105 ，解三角形 解 由三角形内角和定理知 A B C 180 ， 所以 A 180 ( B C ) 180 ( 45 10 5 ) 30 . 由正弦定理 ， 得 b a 5 5 0 5 2 ； c a 5 05 0 5 60 45 0 5 0 c 4 5 c 6 0 5 0 52 ( 6 2 ) 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 1 在 A ， a ， b ， c 分别是 A ， B ， C 所对的边，若 A 105 ， B 45 ， b 2 2 ，则 c 等于 ( ) A 1 B 2 C. 2 D. 3 解析 A 105 ， B 45 ， C 30 . 由正弦定理得 c b 2 2 0 5 2. B 练一练 当堂检测、目标达成落实处 本讲栏目开关 2 在 A ，已知 A 150 ， a 3 ，则其外接圆的半径 R 的值为 ( ) A 3 B. 3 C 2 D 不确定 解析 在 ，由正弦定理得 3 50 6 2 R ， R 3. A 练一练 当堂检测、目标达成落实处 本讲栏目开关 3 在 A ， si n A C ，则 ( ) A 直角三角形 B 等腰三角形 C 锐角三角形 D 钝角三角形 解析 由 知 a c ， 等腰三角形 B 练一练 当堂检测、目标达成落实处 本讲栏目开关 4 在 A ， A 60 ， a 4 3 ， b 4 2 ，则 B 等于 解析 由正弦定理，得 22 ， a b ， A B . B 只有一解 B 45 . 45 练一练 当堂检测、目标达成落实处 本讲栏目开关 1 利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题： ( 1) 已知两角和任一边，求其它两边和一角 ( 2) 已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角 2 利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决 练一练 当堂检测、目标达成落实处 本讲栏目开关 1 . 1 . 1 正弦定理 ( 二 ) 【学习目标】 1 熟记正弦定理的有关变形公式 2 探究三角形面积公式的表现形式，能结合正弦定理解与面积有关的斜三角形问题 3 能根据条件，判断三角形解的个数 【学法指导】 1 已知两边及其中一边对角解三角形，其解不一定唯一，应注意运用大边对大角的理论判断解的情况 2 判断三角形形状时，不要在等式两边轻易地除以含有边角的因式，造成漏解 本讲栏目开关 1 正弦定理：ABC 2 R 的常见变形： ( 1) A si n B C ； ( 2)ABCa b A B s C ； ( 3) a ， b ， c ； ( 4) A ， si n B ， C . 2 三角形面积公式： S . 填一填 知识要点、记下疑难点 a b c 2R 2 R 2 R 2 R 2 ab 12 bc 12 ac 本讲栏目开关 3 在 A ，若 A B ，则角 A 与角 B 的大小关系为 ( ) A A B B A 2 R 2 R a b A B . A 本讲栏目开关 4 在 A ， a 10 ， b 8 ， C 30 ，则 面积 S . 填一填 知识要点、记下疑难点 解析 S 12 ab s 12 10 8 0 20. 20 本讲栏目开关 探究点一 已知两边及其中一边的对角，判断三角形解的个数 问题 我们应用正弦定理解三角形时，已知三角形的两边及其中一边的对角往往得出不同情形的解，有时一解，有时两解，有时又无解，这究竟是怎么回事？ 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 探究 1 在 A ，已知 a ， b 和 A ，若 A 为直角，讨论三角形解的情况 ( 请完成下表 ) 关系式 a b a b 图形 解的个数 解 解 研一研 问题探究、课堂更高效 无 一 本讲栏目开关 探究 2 在 A ，已知 a ， b 和 A ，若 A 为钝角，讨论三角形解的情况 ( 请完成下表 ) 关系式 a b a b 图形 解的个数 解 解 研一研 问题探究、课堂更高效 无 一 本讲栏目开关 探究 3 在 A ，已知 a ， b 和 A ，若 A 为锐角，讨论三角形解的情况 ( 请完成下表 ) 关系式 a b A a b A b A a b a b 图形 解的个数 解 解 解 解 研一研 问题探究、课堂更高效 无 一 两 一 本讲栏目开关 探究点二 三角形的面积公式 问题 我们已经知道 S 12ah a 12bh b 12ch c ( 其中 h a ， h b ，h c 分别为 a ， b ， c 边上的高 ) 学习了正弦定理后，你还能得到哪些计算三角形面积的公式？ 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 证明 作 垂足为 D ， 研一研 问题探究、课堂更高效 探究 1 当 A 锐角三角形时，证明： S 12 ab C 12 bc A 12 ac B . 则 ，又 ， c b . S 12 12 ac 12 ab . 同理 S 12 ab 12 bc . S 12 ab 12 bc 12 ac . D 本讲栏目开关 探究 2 当 A 钝角三角形时，证明： S 12ab C 12bc A 12ac B . 研一研 问题探究、课堂更高效 证明 不妨设 B 为钝角，如图所示，过 A 作 上的高线 则 18 0 B ) AB c . 又 b ， c b ， S 12 12 ac 12 ab . 同理 S 12 bc 12 ac . 所以 S 12 ab 12 bc 12 ac . D 本讲栏目开关 【典型例题】 例 1 已知一三角形中 a 2 3 ， b 6 ， A 30 ， 判断三角形是否有解 ， 若有解 ， 解该三角形 研一研 问题探究、课堂更高效 解 a 2 3 ， b 6 ， a b ， 所以本题有两解 ， 由正弦定理得 ， b a 6 02 3 32 ， 故 B 60 或 120 . 当 B 60 时 ， C 90 ， c a 2 b 2 4 3 ； 当 B 120 时 ， C 30 ， c a 2 3 . 所以 B 60 ， C 90 ， c 4 3 或 B 120 ， C 30 ， c 2 3 . 本讲栏目开关 研一研 问题探究、课堂更高效 小结 已知三角形两边和其中一边的对角，解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，需对角的情况加以讨论 本讲栏目开关 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 1 在 ，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，已知 A 60 ， a 3 ， b 1 ，则 c 等于 ( ) A 1 B 2 C. 3 1 D. 3 解析 由正弦定理 ， 可得 3 0 1 ， 12 ， 故 B 30 或 15 0 . 由 a b ， 得 A B ， B 30 ，故 C 90 ， 由勾股定理得 c 2. B 本讲栏目开关 研一研 问题探究、课堂更高效 例 2 在 ，若 A 120 ， 5 ， 7 ，求 的面积 解 如图，由正弦定理，得 720 5 ， 5 314 ，且 C 为锐角 ( A 12 0 ) c 1114 . 80 120 C ) 0 C ) 32 c 12 32 1114 12 5 314 3 314 . S 12 12 5 7 3 314 15 34 . 小结 题目条件或结论中若涉及三角形的面积，要根据题意灵活选用三角形的面积公式 本讲栏目开关 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 2 在 ，已知 a 3 2 ， c 13 ， S 4 3 ，则 b . 解析 c 13 ， 2 23 ， 12 ab 4 3 ， b 2 3 . 2 3 本讲栏目开关 研一研 问题探究、课堂更高效 例 3 在 ，已知 a 2 t b 2 t ，试判断 形状 解 设三角形外接圆半径为 R ， 则 a 2 ta n B b 2 ta n A a2 c b 2 c 4 R2 A c 4 R 2 B c c A c B A B 2 A 2 B 或 2 A 2 B A B 或 A B 2 . 等腰三角形或直角三角形 小结 条件是边角混合关系式，应用正弦定理化边为角，再由角的关系判断三角形的形状 本讲栏目开关 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 3 已知方程 x 2 ( b c ) x a c 0 的两根之积等于两根之和，且 a 、 b 为 A 两边， A 、 B 为两内角，试判断这个三角形的形状 解 设方程的两根为 x 1 、 x 2 ， 由根与系数的关系得 x 1 x 2 b c ，x1 x 2 a c ， b c o s A a c o s B . 由正弦定理得 2 R B c o s A 2 R A c o s B ， A c o s B c o s A B 0 ， A B ) 0. A 、 B 为 内角， 0 22 ，所以 B 45 ， 所以 B C 18 0 ，故三角形无解 本讲栏目开关 1 已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，也可能一解或两解 . 例如：已知 a 、 b 和 A ，用正弦定理求 B 时的各种情况 . a b A 为直角 或钝角 无解 一解 ( 锐角 ) 2 判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是否是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为 “ 边 ” 之间的关系式或 “ 角 ” 之间的关系式 练一练 当堂检测、目标达成落实处 本讲栏目开关 1. 余弦定理 ( 一 ) 【学习目标】 1 理解余弦定理的证明 2 初步运用余弦定理及其变形形式解三角形 【学法指导】 1 教材给出了用向量法证明余弦定理的方法，体现了向量在解决三角形度量问题中的重要作用 2 利用向量作为工具推导余弦定理时，向量知识可能被遗忘，要注意复习，要准确运用向量的减法法则和向量夹角的概念 3 余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例 本讲栏目开关 1 余弦定理 三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的 的余弦的积的 即 _ ， ， . 2 余弦定理的推论 c ； c ； c . 平方 两倍 2 c 2 a 2 2 ca co s B a 2 b 2 2 ab c 夹角 b 2 c 2 a 22 c 2 a 2 b 22 a 2 b 2 c 22 平方 填一填 知识要点、记下疑难点 本讲栏目开关 在 ， ( 1) 若 0 ，则 C ； ( 2) 若 则 C ； ( 3) 若 2 则 C . 在 ，已知 a 1 ， b 2 ， C 60 ，则 c 等于 ( ) A. 3 B 3 C. 5 D 5 90 60 135 A 填一填 知识要点、记下疑难点 本讲栏目开关 问题情境 我们知道已知两边和一边的对角，或者已知两角和一角的对边能用正弦定理解三角形，如果已知两边和夹角怎样解三角形求第三边和其他两角呢？或者已知三边怎么解三角形求三个角呢？这是余弦定理所能解决的问题，这一节我们就来学习余弦定理及其应用 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 探究点一 利用向量法证明余弦定理 问题 如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形如何利用已知的两边和夹角计算出三角形的另一边呢？ 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 探究 如图所示，设 a ， b ， c ，由 c a b . 根据 这一关系，试用向量的数量积证明余 弦定理 证明 | c | 2 c c ( a b ) ( a b ) a a b b 2 a b a 2 b 2 2| a | b | c . 所以 c 2 a 2 b 2 2 ab c o s C . 同理可以证明： a 2 b 2 c 2 2 bc c A ， b 2 c 2 a 2 2 ca c B . 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 b a c 探究点二 利用坐标法证明余弦定理 问题 我们可以把三角形放在平面直角坐标系中来研究，写出各个顶点的坐标，能否利用平面内两点间的距离公式来推导余弦定理？ 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 探究 如图，以 A 为原点，边 在直 线为 x 轴建立直角坐标系，则 A ( 0,0) ， B ( c, 0) ， C ( b c ， b A ) ，试根据 两点间的距离公式证明余弦定理 证明 B ( c, 0) ， C ( b c o s A ， b ) b 2 c A 2 bc c A c 2 b 2 A ， 即 a 2 b 2 c 2 2 bc c A . 同理可证 ： b 2 c 2 a 2 2 ca c B ， c 2 a 2 b 2 2 ab c C . 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 【典型例题】 例 1 在 ，已知 a 2 ， b 2 2 ， C 15 ，求 A . 解 由余弦定理得 c 2 a 2 b 2 2 ab c C 8 4 3 ， 所以 c 6 2 ， 由正弦定理得 a c 12 ， 因为 b a ，所以 B A ， 所以 A 30 . 小结 解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理，本例中的条件是已知两边及其夹角，而不是两边及一边的对角，所以本例的解法应先从余弦定理入手 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 跟踪训练 1 在 ，边 a ， b 的长是方程 x 2 5 x 2 0的两个根， C 60 ，求边 c . 解 由题意知 a b 5 ， 2. 由余弦定理得 c 2 a 2 b 2 2 ab c a 2 b 2 ( a b ) 2 3 5 2 3 2 19. c 19 . 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 例 2 已知三角形 三边长为 a 3 ， b 4 ， c 37 ，求 的最大内角 解 c a ， c b ， 角 C 最大由余弦定理， 得 c 2 a 2 b 2 2 ab c C ， 即 37 9 16 24 c ， c 12 ， 0 0 ) c 最大， c 2 k 2 4 k 2 5 k 22 2 k 4 k b c ， C 为最小角， 由余弦定理 c b 2 c 22 7 2 4 3 2 13 22 7 4 3 32 . C 6 . B 练一练 当堂检测、目标达成落实处 本讲栏目开关 3 在 A ，已知 A 60 ，最大边长和最小边长恰好是方程 x 2 7 x 11 0 的两根，则第三边的长为 _ 解析 设最大边为 x 1 ，最小边为 x 2 ， 则 x 1 x 2 7 ， x 1 x 2 11 ， 第三边长 x 21 x 22 2 x 1 x 2 c x 1 x 2 2 2 x 1 x 2 1 c 4. 4 练一练 当堂检测、目标达成落实处 本讲栏目开关 4 在 A ，已知 7 ， 8 ， 9 ，试求 上的中线长 解 由条件知： c 2 9 2 8 2 7 22 9 8 23 ， 设中线长为 x ，由余弦定理知： x 2 2 2 AB c 4 2 9 2 2 4 9 23 49 ， 所以 x 7. 所以 上的中线长为 7. 练一练 当堂检测、目标达成落实处 本讲栏目开关 1 利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： ( 1) 已知两边和夹角，解三角形 ( 2) 已知三边求三角形的任意一角 2 判断三角形的形状，当所给的条件是边角混合关系时，基本解题思想：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系 练一练 当堂检测、目标达成落实处 本讲栏目开关 1 . 1 . 2 余弦定理 ( 二 ) 【学习目标】 1 熟练掌握余弦定理及其变形形式 2 会用余弦定理解三角形 3 能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题 【学法指导】 1 正、余弦定理都反映了任意三角形边角之间的具体关系，它们不是孤立的，而是相互密切联系的，处理三角形中的问题时，要注意两个定理的综合运用 2 已知三角形的两边和一边的对角解三角形时，一般用正弦定理求解，这时需讨论解的个数，也可用余弦定理求解，这时需转化成未知边的一元二次方程来求解 本讲栏目开关 1 余弦定理及其变形形式： c ； c ； c . 2 正弦定理的公式表达形式： _ 2 R ( 其中 R 是 A B C 外接圆的半径 ) b 2 c 2 2 bc c o s A b 2 c 2 a 22 c 2 a 2 2 ca c o s B c 2 a 2 b 22 a 2 b 2 2 ab c o s C a 2 b 2 c 22 填一填 知识要点、记下疑难点 本讲栏目开关 3 已知锐角三角形的三边长分别为 2,3 ， x ，则 x 的取值范围是 解析 x 满足：102 2 x 2 3 2 0，解得 5 0 ，所以 62 p 2 . 本讲栏目开关 【典型例题】 例 1 在 ， a ， b ， c 分别为 A ， B ， C 所对的三边，已知 ( a b c )( a b c ) 求 A . 解 ( a b c )( a b c ) a ( b c ) a ( b c ) a 2 ( b c ) 2 a 2 b 2 c 2 2 b 2 c 2 a 2 c A b 2 c 2 a 22 12 . 0 A ， A 3 . 小结 余弦定理的变形形式比较多，解题时应根据题目条件的不同，灵活选择 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 跟踪训练 1 已知 三边 a 、 b 、 c ，且 面积 Sc 2 a 2 b 24 3，求 C . 解 S 12 ab ， a 2 b 2 c 2 2 ab c ， 12 ab 2 ab c 4 3 ， 3 c . ta n C 33 . 0 C ， C 56 . 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 例 2 在 ，若 B 30 ， 2 3 ， 2 ，求 的面积 解 方法一 2 3 ， 2 ， B 30 ， 根据正弦定理，有 32 . 由已知 所以 C B ，则 C 有两解， 当 C 为锐角时， C 60 ， A 90 . 根据三角形面积公式，得 S 12 2 3 . 当 C 为钝角时， C 120 ， A 30 . S 12 12 2 3 230 3 . 面积是 2 3 或 3 . 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 方法二 设 a ， b ， c ，由余弦定理， 得 b 2 a 2 c 2 2 ac c B ， 2 2 a 2 (2 3 ) 2 2 a 2 3 c 3 0 ， 即 a 2 6 a 8 0 ， 解得 a 2 或 a 4. 当 a 2 时 ， S 12 ac 12 2 2 3 0 3 ； 当 a 4 时 ， S 2 3 . 面积是 2 3 或 3 . 小结 本例是已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 跟踪训练 2 已知 a ， b ， c 是 A ， B ， C 的对边， S 是 的面积若 a 4 ， b 5 ， S 5 3 ，求 c 的长度 解 S 12 ab 12 4 5 5 3 ， 32 . 0 C 180 ， C 60 或 1 2 0 . 当 C 60 时， c 2 a 2 b 2 2 ab c 4 2 5 2 2 4 5 c 0 21 ， c 21 . 当 C 120 时， c 2 a 2 b 2 2 ab c 4 2 5 2 2 4 5 c 2 0 61 ， c 61 . c 的长度为 21 或 61 . 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 例 3 在 ， a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、 C 的对边， 4 c A 72. ( 1) 求 A 的度数 ( 2) 若 a 3 ， b c 3 ，求 b 和 c 的值 解 ( 1) 由 4s B c 2 A 72 及 A B C 180 ， 得 2 1 c B C ) 2c A 1 72 ， 4( 1 c ) 4c A 5 ，即 4c A 4c 1 0 ， ( 2c 1) 2 0 ， 解得 c 12 . 0 A 180 ， A 60 . 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 ( 2) 由余弦定理，得 c b 2 c 2 a 22 c 12 ， c 2 a 22 12 ， 化简并整理，得 ( b c ) 2 a 2 3 将 a 3 ， b c 3 代入上式，得 2. 则由 b c 3 ， 2. 解得 b 1 ，c 2 或 b 2 ，c 1. 小结 本题解题关键是通过三角恒等变换借助于 A B C 180 ，求出 A ，并利用余弦定理列出关于 b 、 c 的方程组 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 跟踪训练 3 在 ，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、b 、 c ，且 a 2 ， c 35. ( 1) 若 b 4 ，求 si n A 的值； ( 2) 若 的面积为 4 ，求 b 、 c 的值 解 ( 1) c 35 ， 45 . 由正弦定理 得 ab 25 . ( 2) S 12 ac 45 c 4 ， c 5. 由余弦定理得 b 2 a 2 c 2 2 ac c 2 2 5 2 2 2 5 35 17 ， b 17 . 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 1 在 A ，已知面积 S 14( ，则角 C 的度数为 ( ) A 135 B 45 C 60 D 120 解析 S 14 ( a 2 b 2 c 2 ) 12 ab ， a 2 b 2 c 2 2 ab ， c 2 a 2 b 2 2 ab C . 由余弦定理得 c 2 a 2 b 2 2 ab c C ， c C ， C 45 . B 练一练 当堂检测、目标达成落实处 本讲栏目开关 2 在 A ，角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ，若 c 2 ， b 2 a ，且 c 14，则 a 等于 ( ) A 2 B 12C 1 D 13解析 由 c a 2 b 2 c 22 a 2 4 a 2 2 22 a 2 a 14 ， 得 a 1. C 练一练 当堂检测、目标达成落实处 本讲栏目开关 3 在 A ， c 12 ， 0 ，则 A 形状为 三角形 解析 c 12 ， B 60 . b 2 a 2 c 2 2 ac c a 2 c 2 a 2 c 2 2 0 ， ( a c ) 2 0. a c . 等边三角形 等边 练一练 当堂检测、目标达成落实处 本讲栏目开关 4 在 A ， B 120 ， 7 ， 5 ，则 的面积为 解析 在 ，由余弦定理知 2 c B ， 即 49 25 2 5 ( 12 ) ， 整理得 5 24 0 ，解得 3 或 8( 舍去 ) S 12 20 12 5 3 32 15 34 . 15 34 练一练 当堂检测、目标达成落实处 本讲栏目开关 1 在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一 2 余弦定理为求三角形中的有关量 ( 如面积、中线、外接圆等 ) 提供了有力的工具，在一定意义上，比正弦定理应用更加广泛 3 利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件 练一练 当堂检测、目标达成落实处 本讲栏目开关 本讲栏目开关 【学习目标】 1 利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题 2 利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题 3 利用正、余弦定理解决生产实践中的有关角度的测量问题 本讲栏目开关 【学法指导】 1 在我们将所求距离或方向的问题转化为一个求三角形 的边和角的问题时，我们选择的三角形往往条件不够，这时需要我们寻找其他的三角形作为我们解这个三角形的支持，为我们解这个三角形提供必要的条件 2 在测量某物体高度的问题中，很多被测量的物体是一 个立体的图形，而在测量过程中，我们测量的角度也不一定在同一垂面内，因 此还需要我们有一定的空间想象能力，关键是画出图形，把已知量和未知量归结到三角形中来求解 本讲栏目开关 1 基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做 一般来说，基线越长，测量的精确度 2 方位角：指从正北方向线按顺时针方 向旋转到目标方向线所成的水平角 如图中的 A 点的方位角为 . 填一填 知识要点、记下疑难点 基线 越高 本讲栏目开关 3 仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线 方时叫仰角，目标视线在水平线 方时叫俯角 ( 如图所示 ) 填一填 知识要点、记下疑难点 上 本讲栏目开关 下 4 如图，在河岸 量河的宽度 测量下列四组数据，较适宜的是 ( ) A a ， c ， B b ， c ， C c ， a ， D b ， ， 填一填 知识要点、记下疑难点 解析 由 、 、 b ，可利用正弦定理求出 D 本讲栏目开关 问题情境 1 “ 遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？ ” 在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？ 2 现实生活中，人们经常遇到测量不可到达点之间的距离、底部不可到达建筑物的高度，以及在航海中航向的确定这些问题究竟怎样解决？ 恰当利用我们所学过的正弦定理、余弦定理就可以解决上述问题，这节课我们就来探究上述问题 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 探究点一 测量不可达距离的方法 问题 测量不可达距离有哪些基本类型？每种类型的解决方案是怎样的？ 探究 表中是测量距离的基本类型及方案，请你根据所给图形，填写相应的结论： 类别 两点间不可达或不可视 两点间可视但点不可达 两点都不可达 图形 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 方法 用余弦定理 用正弦定理 在 用正弦定理求 在 用正弦定理求 在 用余弦定理求 结论 研一研 问题探究、课堂更高效 a 2 b 2 2 ab co s C a s Cs B C a s s A C D a si n B D n B C D B D C 2 c A 本讲栏目开关 探究点二 测量底部不可到达的建筑物的高度 问题 底部不可到达的高度测量有哪些基本类型？每种类型如何测量？ 探究 下表是测量高度的基本类型及方案，请你根据所给图形，填写相应结论： 类别 点 B 与点 C 、 D 共线 点 B 与点 C 、 D 不共线 图形 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 方法 先用正弦定理求出 再解直角三角形求出 在 先用正弦定理求出 在 A A 而求出 结论 研一研 问题探究、课堂更高效 n 1ta n a ta n 本讲栏目开关 【典型例题】 例 1 为了测量两山顶 M 、 N 间的距离，飞机沿水平方向在 A 、B 两点进行测量， A 、 B 、 M 、 N 在同一铅垂平面内飞机已经测量的数据有 A 点到 M 、 N 点的俯角 1 、 1 ； B 点到 M 、 2 、 2 ； A 、 B 的距离 d ( 如图所示 ) 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 甲乙两位同学各自给出了计算 两种方案 , 请你补充完整 . 甲方案：第一步：计算 由正弦定理 ； 第二步：计算 由正弦定理 ； 第三步：计算 由余弦定理 . 乙方案：第一步：计算 由正弦定理 ； 第二步：计算 由正弦定理 ； 第三步：计算 由余弦定理 . 研一研 问题探究、课堂更高效 d 2 1 2 d 2 2 1 2 AN c 1 1 d 1 1 2 d 1 2 1 2 BN c 2 2 本讲栏目开关 小结 测量两个不可到达的点之间的距离问题首先把求不可到达的两点 A ， B 之间的距离转化为应用余弦定理求三角的边长问题，然后在相关三角形中计算其他边 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 跟踪训练 1 在相距 2 千米的 A 、 B 两点处测量目标点 C ，若 75 ， 60 ，则 A 、 C 两点之间的距离为 千米 研一研 问题探究、课堂更高效 解析 如图所示，由题意知 C 45 ， 由正弦定理得 0 2 5 ， 2 22 32 6 . 6 本讲栏目开关 例 2 如图所示，在山顶铁塔上 B 处测 得地面上一点 A 的俯角为 ，在塔 底 C 处测得 A 处的俯角为 . 已知铁 塔 分的高为 h ，求出山高 研一研 问题探究、课堂更高效 解 在 ， 90 ， 90 ， ， . 根据正弦定理得 即 90 ， BC c h c . 在 ， AC AC h c . 答 山的高度为 h c . 本讲栏目开关 小结 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 跟踪训练 2 如图所示， D 、 C 、 B 三点在 地面同一直线上， a ，从 C 、 D 两点 测得 A 点的仰角分别是 、 ( ) 则 A 点 离地面的高 于 ( ) A.a B.a c C.a c D.a c c c 研一研 问题探究、课堂更高效 解析 设 h ，则 ， 在 ， ， . ， h a . A 本讲栏目开关 例 3 某渔船在航行中不幸遇险，发出
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