【步步高】2015届高考数学第一轮密集复习（基础知识+题型分类+练出
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【步步高】2015届高考数学第一轮密集复习（基础知识+题型分类+练出,步步高,高考,数学,第一轮,密集,复习,温习,基础知识,题型,分类,练出
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数学 R A（文） 第六章 数 列 差数列及其前 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 1 . 等差数列的定义 如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示 . 2 . 等差数列的通项公式 如果等差数列 的首项为 差为 d ，那么它的通项公式是 . 从第 2项起，每一项与它的前一项的差等 于 同一个常数 公差 d a n a 1 ( n 1) d 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 3 . 等差中项 如果 ，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 . 4 . 等差数列的常用性质 ( 1) 通项公式的推广： ， ( n ， m N*) . ( 2) 若 为等差数列，且 k l m n ， ( k ， l ， m ， n N*) ，则 . ( 3) 若 是等差数列，公差为 d ，则 a2 n 也是等差数列，公差为 . ( 4) 若 ， 是等差数列，则 也是等差数列 . ( 5) 若 是等差数列，公差为 d ，则 m， 2 m， ( k ，m N*) 是公差为 的等差数列 . (n m)d a k a l a m a n 2d a 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 5 . 等差数列的前 n 项和公式 设等差数列 的公差为 d ，其前 n 项和 或 . 6 . 等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 Sna1 数列 是等差数列 ( A 、 B 为常数 ) . 7 . 等差数列的前 n 项和的最值 在等差数列 中， ， d 0 ，则 值 . n a 1 a n 2 n n 1 2 d 大 小 题号 答案 解析 1 2 3 4 5 B C 基础知识 自主学习 B ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) 夯实基础 突破疑难 夯基释疑 49 题型一 等差数列的基本运算 【 例 1 】 在等差数列 a n 中， a 1 1 ， a 3 3. ( 1 ) 求数列 a n 的通项公式； ( 2 ) 若数列 a n 的前 k 项和 S k 35 ，求 k 的值 . 思维启迪 思维升华 解析 题型分类 深度剖析 【 例 1 】 在等差数列 a n 中， a 1 1 ， a 3 3. ( 1 ) 求数列 a n 的通项公式； ( 2 ) 若数列 a n 的前 k 项和 S k 35 ，求 k 的值 . 思维升华 解析 思维启迪 等差数列基本量的计算，基本思想就是根据条件列方程，求等差数列的首项与公差 . 题型分类 深度剖析 题型一 等差数列的基本运算 【 例 1 】 在等差数列 a n 中， a 1 1 ， a 3 3. ( 1 ) 求数列 a n 的通项公式； ( 2 ) 若数列 a n 的前 k 项和 S k 35 ，求 k 的值 . 思维启迪 思维升华 解析 (1) 设等差数列 a n 的公差为 d ，则 a n a 1 ( n 1) d . 由 a 1 1 ， a 3 3 ，可得 1 2 d 3 ，解得 d 2. 题型分类 深度剖析 从而 a n 1 ( n 1) ( 2) 3 2 n . 题型一 等差数列的基本运算 【 例 1 】 在等差数列 a n 中， a 1 1 ， a 3 3. ( 1 ) 求数列 a n 的通项公式； ( 2 ) 若数列 a n 的前 k 项和 S k 35 ，求 k 的值 . 思维启迪 思维升华 解析 ( 2 ) 由 ( 1 ) 可知 a n 3 2 n ， 题型分类 深度剖析 所以 S n n 1 3 2 n 2 2 n n 2 . 由 S k 35 ，可得 2 k k 2 35 ， 即 k 2 2 k 35 0 ，解得 k 7 或k 5. 又 k N * ，故 k 7. 题型一 等差数列的基本运算 【 例 1 】 在等差数列 a n 中， a 1 1 ， a 3 3. ( 1 ) 求数列 a n 的通项公式； ( 2 ) 若数列 a n 的前 k 项和 S k 35 ，求 k 的值 . 思维启迪 思维升华 解析 ( 1) 等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a 1 ， a n ， d ， n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题 . 题型分类 深度剖析 ( 2) 数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a 1和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法 . 题型一 等差数列的基本运算 跟踪训练 1 ( 1) 若等差数列 a n 的前 5 项和 S 5 25 ，且 a 2 3 ， 则 a 7 等于 ( ) A . 12 B . 13 C . 14 D . 15 ( 2) 记等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ，若 a 1 12， S 4 20 ，则 S 6等于 ( ) A . 16 B . 24 C . 36 D . 48 解析 ( 1 ) 由题意得 S 5 5 a 1 a 5 2 5 a 3 25 ， 题型分类 深度剖析 故 a 3 5 ，公差 d a 3 a 2 2 ， a 7 a 2 5 d 3 5 2 13. ( 2 ) S 4 2 6 d 20 ， d 3 ，故 S 6 3 15 d 48. B D ( 3 ) 已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ，且满足S 33S 22 1 ，则数列 a n 的公差是 ( ) 1 C . 2 D . 3 解析 S n n a 1 a n 2 ， 题型分类 深度剖析 S a 1 a 又 S 33 S 22 1 ， 得 a 1 a 32 a 1 a 22 1 ，即 a 3 a 2 2 ， 数列 a n 的公差为 2. C 题型分类 深度剖析 题型二 等差数列的性质及应用 思维启迪 解析 答案 思维升华 【 例 2 】 ( 1 ) 设等差数列 的前 n 项和为 9 ， 36 ，则 ( ) A . 63 B . 4 5 C . 3 6 D . 2 7 ( 2 ) 若一个等差数列前 3 项的和为 34 ，最后 3 项的和为 146 ，且所有项的和为 3 9 0 ，则这个数列的项数为 ( ) A . 13 B . 1 2 C . 1 1 D . 1 0 ( 3 ) 已知 的前 n 项和，若 2 0 1 4 ， 142 0 1 4 082 0 0 8 6 ，则 1 3等于 ( ) A . 2 0 1 3 B. 2 0 1 3 C. 4 0 2 6 D . 4 0 2 6 【 例 2 】 ( 1 ) 设等差数列 的前 n 项和为 9 ， 36 ，则 ( ) A . 63 B . 4 5 C . 3 6 D . 2 7 ( 2 ) 若一个等差数列前 3 项的和为 34 ，最后 3 项的和为 146 ，且所有项的和为 3 9 0 ，则这个数列的项数为 ( ) A . 13 B . 1 2 C . 1 1 D . 1 0 ( 3 ) 已知 的前 n 项和，若 2 0 1 4 ， 142 0 1 4 082 0 0 8 6 ，则 1 3等于 ( ) A . 2 0 1 3 B. 2 0 1 3 C. 4 0 2 6 D . 4 0 2 6 题型分类 深度剖析 ( 1 ) 根据 S 3 ， S 6 S 3 ， S 9 S 6 为等差数列解此题； 思维启迪 解析 答案 思维升华 ( 2 ) 利用 a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 求 n ； ( 3 ) 数列 S 为等差数列 . 题型二 等差数列的性质及应用 【 例 2 】 ( 1 ) 设等差数列 的前 n 项和为 9 ， 36 ，则 ( ) A . 63 B . 4 5 C . 3 6 D . 2 7 ( 2 ) 若一个等差数列前 3 项的和为 34 ，最后 3 项的和为 146 ，且所有项的和为 3 9 0 ，则这个数列的项数为 ( ) A . 13 B . 1 2 C . 1 1 D . 1 0 ( 3 ) 已知 的前 n 项和，若 2 0 1 4 ， 142 0 1 4 082 0 0 8 6 ，则 1 3等于 ( ) A . 2 0 1 3 B. 2 0 1 3 C. 4 0 2 6 D . 4 0 2 6 题型分类 深度剖析 (1) 由 a n 是等差数列，得 S 3 ，S 6 S 3 ， S 9 S 6 为等差数列 . 即 2( S 6 S 3 ) S 3 ( S 9 S 6 ) ， 得到 S 9 S 6 2 S 6 3 S 3 45 ，故选 B. 思维启迪 解析 答案 题型二 等差数列的性质及应用 思维升华 【 例 2 】 ( 1 ) 设等差数列 的前 n 项和为 9 ， 36 ，则 ( ) A . 63 B . 4 5 C . 3 6 D . 2 7 ( 2 ) 若一个等差数列前 3 项的和为 34 ，最后 3 项的和为 146 ，且所有项的和为 3 9 0 ，则这个数列的项数为 ( ) A . 13 B . 1 2 C . 1 1 D . 1 0 ( 3 ) 已知 的前 n 项和，若 2 0 1 4 ， 142 0 1 4 082 0 0 8 6 ，则 1 3等于 ( ) A . 2 0 1 3 B. 2 0 1 3 C. 4 0 2 6 D . 4 0 2 6 题型分类 深度剖析 ( 2) 因为 a 1 a 2 a 3 34 ， a n 2 a n 1 a n 146 ， a 1 a 2 a 3 a n 2 a n 1 a n 34 146 180 ， 又因为 a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ， 所以 3( a 1 a n ) 180 ， 从而 a 1 a n 60 ， 所以 S n n a 1 a n 2 n 6 02 390 ，即 n 13. 题型二 等差数列的性质及应用 思维启迪 解析 答案 思维升华 【 例 2 】 ( 1 ) 设等差数列 的前 n 项和为 9 ， 36 ，则 ( ) A . 63 B . 4 5 C . 3 6 D . 2 7 ( 2 ) 若一个等差数列前 3 项的和为 34 ，最后 3 项的和为 146 ，且所有项的和为 3 9 0 ，则这个数列的项数为 ( ) A . 13 B . 1 2 C . 1 1 D . 1 0 ( 3 ) 已知 的前 n 项和，若 2 0 1 4 ， 142 0 1 4 082 0 0 8 6 ，则 1 3等于 ( ) A . 2 0 1 3 B. 2 0 1 3 C. 4 0 2 6 D . 4 0 2 6 题型分类 深度剖析 ( 3) 由等差数列的性质可得 S 也为等差数列 . 又 S 2 0 1 42 0 1 4 S 2 0 0 82 0 0 8 6 d 6 ， d 1. 故 S 2 0 1 32 0 1 3 S 11 2 0 1 2 d 2 0 1 4 2 0 1 2 2 ， S 2 0 1 3 2 2 0 1 3 4 0 2 6 ，故选 C. 题型二 等差数列的性质及应用 思维启迪 解析 答案 思维升华 【 例 2 】 ( 1 ) 设等差数列 的前 n 项和为 9 ， 36 ，则 ( ) A . 63 B . 4 5 C . 3 6 D . 2 7 ( 2 ) 若一个等差数列前 3 项的和为 34 ，最后 3 项的和为 146 ，且所有项的和为 3 9 0 ，则这个数列的项数为 ( ) A . 13 B . 1 2 C . 1 1 D . 1 0 ( 3 ) 已知 的前 n 项和，若 2 0 1 4 ， 142 0 1 4 082 0 0 8 6 ，则 1 3等于 ( ) A . 2 0 1 3 B. 2 0 1 3 C. 4 0 2 6 D . 4 0 2 6 题型分类 深度剖析 题型二 等差数列的性质及应用 B ( 3) 由等差数列的性质可得 S 也为等差数列 . 又 S 2 0 1 42 0 1 4 S 2 0 0 82 0 0 8 6 d 6 ， d 1. 故 S 2 0 1 32 0 1 3 S 11 2 0 1 2 d 2 0 1 4 2 0 1 2 2 ， S 2 0 1 3 2 2 0 1 3 4 0 2 6 ，故选 C. 思维启迪 解析 答案 思维升华 A C 题型分类 深度剖析 题型二 等差数列的性质及应用 B A C 思维启迪 解析 答案 思维升华 在等差数列 a n 中，数列 S m ，S 2 m S m ， S 3 m S 2 m 也成等差数列； S 也是等差数列 【 例 2 】 ( 1 ) 设等差数列 的前 n 项和为 9 ， 36 ，则 ( ) A . 63 B . 4 5 C . 3 6 D . 2 7 ( 2 ) 若一个等差数列前 3 项的和为 34 ，最后 3 项的和为 146 ，且所有项的和为 3 9 0 ，则这个数列的项数为 ( ) A . 13 B . 1 2 C . 1 1 D . 1 0 ( 3 ) 已知 的前 n 项和，若 2 0 1 4 ， 142 0 1 4 082 0 0 8 6 ，则 1 3等于 ( ) A . 2 0 1 3 B. 2 0 1 3 C. 4 0 2 6 D . 4 0 2 6 B A C 跟踪训练 2 ( 1) 设数列 a n 是等差数列，若 a 3 a 4 a 5 12 ，则 a 1 a 2 a 7 等于 ( ) A B C D ( 2) 已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ，且 S 10 10 ， S 20 30 ，则 S 30 _. 解析 ( 1 ) a 3 a 4 a 5 3 a 4 12 ， 题型分类 深度剖析 a 4 4， C 60 a 1 a 2 a 7 7 a 4 28. ( 2 ) S 10 ， S 20 S 10 ， S 30 S 20 成等差数列 ， 2( S 20 S 10 ) S 10 S 30 S 20 ， 40 10 S 30 30 ， S 30 60. 思维启迪 思维升华 解析 题型分类 深度剖析 题型三 等差数列的前 【 例 3 】 (1) 在等差数列 中，已知 20 ，前 n 项和为 当 n 取何值时，求出它的最大值； (2) 已知数列 的通项公式是4 n 25 ，求数列 | 的前n 项和 . 【 例 3 】 (1) 在等差数列 中，已知 20 ，前 n 项和为 当 n 取何值时，求出它的最大值； (2) 已知数列 的通项公式是4 n 25 ，求数列 | 的前n 项和 . 思维升华 解析 思维启迪 题型分类 深度剖析 题型三 等差数列的前 (1) 由 a 1 20 及 S 10 S 15 可求得 d ，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用 S n 是关于 n 的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解 . (2) 利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号 . 【 例 3 】 (1) 在等差数列 中，已知 20 ，前 n 项和为 当 n 取何值时，求出它的最大值； (2) 已知数列 的通项公式是4 n 25 ，求数列 | 的前n 项和 . 思维启迪 思维升华 解析 题型分类 深度剖析 题型三 等差数列的前 ( 1 ) 方法一 a 1 20 ， S 10 S 15 ， 10 20 10 92 d 15 20 15 142 d ， d 53 . 20 ( n 1) 53 53 n 653 . a 13 0 ，即当 n 12 时， a n 0 ，n 14 时， a n 0 ， a 7 1 0 B. a 2 a 1 0 0 0 ， a 10 a 11 0 ， a 10 a 11 0 ， a 11 0 的 n 的最大值为 ( ) A . 11 B . 19 C . 20 D . 21 练出高分 2 3 4 5 1 解析 a 11a 10 0 ， a 11 0 ， S 20 20 a 1 a 20 2 10( a 10 a 11 ) 0 的 n 的最大值为 19. B 专项 能力提升 2 . 设等差数列 a n ， b n 的前 n 项和分别为 S n ， T n ，若对任意自然数 nT n2 n 34 n 3，则a 9b 5 b 7a 3b 8 b 4的值为 _ . 练出高分 2 3 4 5 1 解析 a n ， b n 为等差数列， S 11a 1 a 11 b 11 2 a 62 2 11 34 11 3 1941 ， a 9 b 7 a 3 b 4 a 92 b 6 a 32 b 6 a 9 a 32 b 6 a 6b 6 . a 61941 . 1941 专项 能力提升 3 . 九章算术 “ 竹九节 ” 问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节 的容积共 4 升，则第 5 节的容积为 _ 升 . 练出高分 2 3 4 5 1 解析 设所构成数列 a n 的首项为 a 1 ，公差为 d ， 依题意 a 1 a 2 a 3 a 4 3 ，a 7 a 8 a 9 4 ， 即 4 a 1 6 d 3 ，3 a 1 21 d 4 ， 解得a 1 1322 ，d 766 ， a 5 a 1 4 d 1322 4 766 6766 . 6766 专项 能力提升 4 . 已知等差数列的前三项依次为 a, 4,3 a ，前 n 项和为 S n ，且 S k 1 10. ( 1) 求 a 及 k 的值； ( 2) 设数列 b n 的通项 b n S 明数列 b n 是等差数列，并求其前 n . 练出高分 2 3 4 5 1 解 (1) 设该等差数列为 a n ，则 a 1 a ， a 2 4 ， a 3 3 a ， 所以 S k k k 1 2 d 2 k k k 1 2 2 k 2 k . 由已知有 a 3 a 8 ，得 a 1 a 2 ，公差 d 4 2 2 ， 由 S k 1 1 0 ，得 k 2 k 1 1 0 0 ， 解得 k 10 或 k 1 1 ( 舍去 ) ，故 a 2 ， k 10. 4 . 已知等差数列的前三项依次为 a, 4,3 a ，前 n 项和为 S n ，且 S k 1 10. ( 1) 求 a 及 k 的值； ( 2) 设数列 b n 的通项 b n S 明数列 b n 是等差数列，并求其前 n . 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 5 1 ( 2) 由 ( 1) 得 S n n 2 2 n 2 n ( n 1) ，则 b n S n 1 ， 即数列 b n 是首项为 2 ，公差为 1 的等差数列， 故 b n 1 b n ( n 2) ( n 1) 1 ， 所以 T n n 2 n 1 2 n n 3 2 . 专项 能力提升 5 . ( 2012 湖北 ) 已知等差数列 a n 前三项的和为 3 ，前三项的积为 8. ( 1) 求等差数列 a n 的通项公式； ( 2) 若 a 2 ， a 3 ， a 1 成等比数列，求数列 | a n | 的前 n 项和 . 练出高分 2 3 4
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