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【步步高】2015届高考数学第一轮密集复习（基础知识+题型分类+练出高分，单独配设思想方法详细点拨）第七章 7.5直接证明与间接证明名师课件 文 新人教A版.ppt
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【步步高】2015届高考数学第一轮密集复习（基础知识+题型分类+练出高分，单独配设思想方法详细点拨）第七章名师课件 文（打包5套）新人,步步高,高考,数学,第一轮,密集,复习,温习,基础知识,题型,分类,练出,高分,单独,思想,方法,法子,详细,点拨,第七,名师,课件,打包,新人
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数学 R A（文） 第七章 不等式、推理与证明 等关系与一元 二次不等式 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 1 . 不等式的定义 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号 连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式 . 、 0 a b 0 a b 1 a 1 a . b b b ， b c ； ( 3) 可加性： a b a c b c ， a b ， c d a c b d ； ( 4) 可乘性： a b ， c 0 a b 0 ， c d 0 ( 5) 可乘方： a b 0 n N ， n 1) ； ( 6) 可开方： a b 0 ( n N ， n 2) . ac 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 4 . “ 三个二次 ” 的关系 判别式 4 0 0 0 ) 的图象 一元二次方程 c 0( a 0 ) 的根 有两相异实根( a 0 ) 的解集 x | x R c 0 ) 的解集 x| x|x x|x1 b 1 ， c o g a ( b c ). 其中所有正确结论的序号是 ( ) A. B. C. D. 【 例 1 】 ( 1 ) 设 a b 1 ， c o g a ( b c ). 其中所有正确结论的序号是 ( ) A. B. C. D. 题型分类 深度剖析 题型一 不等式的性质及应用 思维启迪 利用不等式的性质进行变形，比较大小时要注意题设条件 . 解析 ( 1 ) a b 1 ， 1a 故结论 正确； 函数 y x c ( c b ， a c lo g b ( b c ) lo g a ( b c ) ，故 正确 . 正确结论的序号是 . D (2 ) (2 0 1 2 四川 ) 设 a ， b 为正实数 . 现有下列命题： 若 1 ，则 a b 1 ，不合题意，故 正确 . 中， 1b 1a a 1 ，只需 a b 可 . 如取 a 2 ， b 23 满足上式，但 a b 43 1 ，故 错 . (2 ) (2 0 1 2 四川 ) 设 a ， b 为正实数 . 现有下列命题： 若 1 ，则 a b | a b | 1 ， 且 | a b | |( a b )( a b )| | a b | 1 ，故 错 . 中， | a 3 b 3 | |( a b )( a 2 b 2 )| | a b |( a 2 b 2 ) 1. 若 | a b | 1 ，不妨取 a b 1 ，则必有 a 2 b 2 1 ，不合题意，故 正确 . 题型分类 深度剖析 题型一 不等式的性质及应用 思维升华 判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明 见的反例构成方式可从以下几个方面思考： 不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或 0 ； 不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变； 不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等 . 跟踪训练 1 ( 1) 若 a 22， b 33， c 55，则 ( ) A . a 0 ； a 1a b 1b； l n 确的不等式是 ( ) A . B . C . D . 解析 ( 1 ) 易知 a ， b ， c 都是正数， 2 33 2 lo g 8 9 1 ， 题型分类 深度剖析 所以 b a ； 5 22 5 5 3 2 1 ，所以 a c . 即 c 0 ，所以 1a b 0 . C 跟踪训练 1 ( 1) 若 a 22， b 33， c 55，则 ( ) A . a 0 ； a 1a b 1b； l n 确的不等式是 ( ) A . B . C . D . 故有 1a b a 0 . 故 b | a |，即 |a | b b 1b ，故 正确； C 跟踪训练 1 ( 1) 若 a 22， b 33， c 55，则 ( ) A . a 0 ； a 1a b 1b； l n 确的不等式是 ( ) A . B . C . D . 题型分类 深度剖析 中，因为 b a 2 0 ， 而 y x 在定义域 (0 ， ) 上为增函数， 所以 b 2 a 2 ，故 错误 . 由以上分析，知 正确 . C C 题型二 一元二次不等式的解集 思维启迪 思维升华 解析 题型分类 深度剖析 【 例 2 】 求下列不等式的解集： ( 1 ) 8 x 3 0 ； ( 2 ) ( a 1) x 1 0 ； ( 2 ) ( a 1) x 1 0 ； ( 2 ) ( a 1) x 1 0 ， 所以方程 x 2 8 x 3 0 有两个不相等的实根 x 1 4 13 ， x 2 4 13 . 题型分类 深度剖析 又二次函数 y x 2 8 x 3 的图象开口向下， 所以原不等式的解集为 x |4 130 ； ( 2 ) ( a 1) x 1 1 . 若 a 0 ，解得 x 1 . 若 a 0 ，原不等式等价于 ( x 1a )( x 1 ) 1 时，1a 0 ； ( 2 ) ( a 1) x 1 1 ，解 ( x 1a )( x 1 ) 1 ； 当 a 0 时，解集为 x |x 1 ；当 01 时，解集为 x |1a 0 ； ( 2 ) ( a 1) x 1 0 ； ( 2 ) ( a 1) x 1 0 的解为120 的解为120 时， g ( x ) 在 1 , 3 上是增函数， 所以 g ( x ) m a x g ( 3 ) 7 m 6 0 ， 又因为 m ( x 2 x 1) 6 0 恒成立，试求实数 a 的取值范围 . 题型分类 深度剖析 解 因为 x 1 ， ) 时， f ( x ) x 2 2 x 0 恒成立，即 2 x a 0 恒成立 . 即当 x 1 时， a ( x 2 2 x ) g ( x ) 恒成立 . 而 g ( x ) ( x 2 2 x ) ( x 1) 2 1 在 1 ， ) 上单调递减， 所以 g ( x ) m a x g ( 1 ) 3 ，故 a 3. 所以，实数 a 的取值范围是 a | a 3 . 典例 ： ( 10 分 ) ( 1 ) ( 201 2 江苏 ) 已知函数 f ( x ) b ( a ， b R) 的值域为 0 ， ) ，若关于 x 的不等式 f ( x )0 恒成立，则 x 的取值范围为 _ . 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 思想与方法系列 9 转化与化归思想在不等式中的应用 题型分类 深度剖析 典例 ： ( 10 分 ) ( 1 ) ( 201 2 江苏 ) 已知函数 f ( x ) b ( a ， b R) 的值域为 0 ， ) ，若关于 x 的不等式 f ( x )0 恒成立，则 x 的取值范围为 _ . ( 1 ) 考虑函数 f ( x ) 、方程 f ( x ) 0 和不等式的关系； 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 题型分类 深度剖析 思想与方法系列 9 转化与化归思想在不等式中的应用 ( 2 ) 可把不等式看作关于 a 的一次不等式 . 典例 ： ( 10 分 ) ( 1 ) ( 201 2 江苏 ) 已知函数 f ( x ) b ( a ， b R) 的值域为 0 ， ) ，若关于 x 的不等式 f ( x )0 恒成立，则 x 的取值范围为 _ . 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 题型分类 深度剖析 ( 1 ) 由题意知 f ( x ) x 2 b x b 思想与方法系列 9 转化与化归思想在不等式中的应用 f ( x ) 的值域为 0 ， ) ， b 0 ，即 b a 24 . f ( x ) x . 又 f ( x )0 恒成立，则 x 的取值范围为 _ . 题型分类 深度剖析 思想与方法系列 9 转化与化归思想在不等式中的应用 c m ， c m 6. ，得 2 c 6 ， c 9. ( 2 ) 把不等式的左端看成关于 a 的一次函数，记 f ( a ) ( x 2) a ( x 2 4 x 4) ， 则由 f ( a ) 0 对于任意的 a 1 , 1 恒成立，易知只需 f ( 1) x 2 5 x 6 0 ，且 f ( 1 ) x 2 3 x 2 0 即可，联立方程解得 x 3 . 9 x |x 3 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 典例 ： ( 10 分 ) ( 1 ) ( 201 2 江苏 ) 已知函数 f ( x ) b ( a ， b R) 的值域为 0 ， ) ，若关于 x 的不等式 f ( x )0 恒成立，则 x 的取值范围为 _ . 题型分类 深度剖析 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 题型分类 深度剖析本题解法中利用了转化与化归思想 . 思想与方法系列 9 转化与化归思想在不等式中的应用 9 x |x 3 ( 1) 中利用 “ 三个二次 ” 之间的联系，将不等式、函数、方程之间相互转化； ( 2) 中将已知不等式看作关于 a 的一次不等式，体现了主元与次元的转化 . 利用转化与化归思想的原则是熟悉化原则、简单化原则、直观化原则、正难则反原则 . 1 要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条 件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单 . 方 法 与 技 巧 2 . 比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法的主要步骤为作差 变形 判断正负 . 思想方法 感悟提高 3 .“ 三个二次 ” 的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把 a 0 时的情形 . 4 用一元二次不等式的解法进行求解 . 1 . 不等式的性质应用要准确，尤其在不等式两边同乘以或同除以一个数时，一定要搞清符号 . 失 误 与 防 范 2. 对于不等式 c 0 ，求解时不要忘记讨论 a 0时的情形 . 3. 当 0 ( a 0) 的解集是 R 还是 ，要注意区别 . 思想方法 感悟提高 练出高分 专项基础训练 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 1 . 下面四个条件中，使 a b 成立的充分而不必要的条件是 ( ) A . a b 1 B . a b 1 C . 专项基础训练 练出高分 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 A 解析 由 a b 1 ，得 a b 1 b ，即 a b ，而由 a b 不能得出 a b 1 ，因此，使 a b 成立的充分而不必要的条件是 a b 1. 专项基础训练 练出高分 2 . ( 201 3 陕西 ) 设 x 表示不大于 x 的最大整数，则对任意实数x ， y 有 ( ) A . x x B . 2 x 2 x C . x y x y D . x y x y 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解析 特殊值法 . 令 x 1 1 . 5 2 ， 1 . 5 1 ，故 A 错； 2 1 . 5 3 ,2 1 . 5 2 ，故 B 错； 令 x 1 . 5 ， y 0 . 5 ， x y 2 ， x y 1 0 1 ，故 C 错 . D 专项基础训练 练出高分 3 . 已知 p a 1a 2， q 12其中 a 2 ， x R ，则 p ， q 的大小关系是 ( ) A . p q B . p q C . p 12，则 f ( 1 0x) 0 的解集为 ( ) A . x | x l g 2 B . x | 1 l g 2 D . x | x 0 a 2 4 a 0 得 0 ” 连接 ) 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解析 由 1 a . a 专项基础训练 练出高分 7. 函数 y x 2 x 12 的定义域是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解析 由 x 2 x 12 0 得 ( x 3 ) ( x 4) 0 ， x 4 或 x 3. ( ， 4 3 ， ) 专项基础训练 练出高分 8. 已知不等式 x 2 2 x k 2 1 0 对一切实数 x 恒成立，则实数 k 的取值范围为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解析 由题意，知 4 4 1 ( k 2 1 ) 2 ， k 2 或 k 0 的解集是 x |120 的解集 . 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解 ( 1 ) 由题意知 a 0 ， 即 2 x 2 5 x 3 0 的解集为 ( 3 ， 12 ) . 10 . ( 1) 设 x 1b， x y ，求证： a b. 专项基础训练 练出高分 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 ( 1) 解 方法一 ( x 2 y 2 )( x y ) ( x 2 y 2 )( x y ) ( x y ) x 2 y 2 ( x y ) 2 2 x y ) ， x 0 ， x y 0 ， ( x 2 y 2 )( x y ) ( x 2 y 2 )( x y ) . 方法二 x y 2 ， x y 1b， x y ，求证： a b. 0 ( x 2 y 2 )( x y ) . ( 2 ) 证明 a b x a y b . ( x 2 y 2 )( x y ) 1b， x y ，求证： a b. 专项基础训练 练出高分 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 1a 1b 且 a ， b (0 ， ) ， b a 0 ， 又 x y 0 ， 0 ， x a y b 0 ， a b . 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 5 1 专项 能力提升 1. 若 a 0 的解集是 ( ) A .( ， a ) (5 a ， ) B .( ， 5 a ) ( a ， ) C.(5 a ， a ) D.( a ， 5 a ) 练出高分 2 3 4 5 1 解析 由 x 2 4 5 a 2 0 得 ( x 5 a )( x a ) 0 ， a a . B 2 . 设函数 f ( x ) 1 ，对任意 x 32， ) ， f ( 4 f ( x ) f ( x 1) 4 f ( m ) 恒成立，则实数 m 的取值范围是 _ _ _ _ _ . 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 5 1 解析 依据题意得x 2m 2 1 4 m 2 ( x 2 1) ( x 1) 2 1 4( m 2 1) . 即 1m 2 4 m 2 3x 2 2x 1 在 x 32 ， ) 上恒成立 . 在 x 32 ， ) 上恒成立， 2 . 设函数 f ( x ) 1 ，对任意 x 32， ) ， f ( 4 f ( x ) f ( x 1) 4 f ( m ) 恒成立，则实数 m 的取值范围是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 5 1 所以 1m 2 4 m 2 53 ，即 (3 m 2 1 ) ( 4 m 2 3) 0 ， m |m 32 或 m 32 解得 m 32 或 m 32 . 当 x 32 时函数 y 3x 2 2x 1 取得最小值 53 ， 专项 能力提升 3 . 设 f ( x ) 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，若 f ( 1) 1 ， f ( 2) 2 a 3a 1，则实数 a 的取值范围是 _ . 练出高分 2 3 4 5 1 解析 f ( x 3) f ( x ) ， f ( 2 ) f ( 1 3) f ( 1) f ( 1 ) 0 ， | a | 1 恒成立的 x 的取值范围 . 练出高分 2 3 4 5 1 解 将原不等式整理为形式上是关于 a 的不等式 ( x 3) a x 2 6 x 9 0. 令 f ( a ) ( x 3) a x 2 6 x 9. 因为 f ( a ) 0 在 | a | 1 时恒成立，所以 ( 1 ) 若 x 3 ，则 f ( a ) 0 ，不符合题意，应舍去 . ( 2) 若 x 3 ，则由一次函数的单调性，可得 f 1 0f 1 0， 即 7 x 12 0x 2 5 x 60，解得 x 4. 专项 能力提升 5. 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品 x ( 百台 ) ，其总成本为 G ( x ) 万元，其中固定成本为 2 万元，并且每生产 1 0 0 台的生产成本为 1 万元 ( 总成本固定成本生产成本 ) ，销售收入 R ( x ) 满足 R ( x ) 0 . 4 4 . 2 x 0 . 8 0 x 5 1 0 . 2 x 5 ， 假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律： (1 ) 要使工厂有盈利，产品数量 x 应控制在什么范围？ (2 ) 工厂生产多少台产品时盈利最大？求此时每台产品的售价为多少？ 练出高分 2 3 4 5 1 专项 能力提升 练出高分 解 依题意得 G ( x ) x 2 ，设利润函数为 f ( x ) ， 所以 f ( x ) 0 .4 x 2 3 .2 x 2 0 x 5 8 x x 5 . 则 f ( x ) R ( x ) G ( x ) ， 2 3 4 5 1 ( 1 ) 要使工厂有盈利，则有 f ( x ) 0 ，因为 f ( x ) 0 0 x 5 0.4 x 2 3.2 x 0或 x x 0 0 x 5x 2 8 x 75 时， f ( x ) 8 . 2 5 3 . 2 . 2 3 4 5 1 所以当工厂生产 400 台产品时，盈利最大，此时只需求 x 4 时，R 4 4 2 万元 / 百台 ) 240( 元 / 台 ). 所以工厂生产 400 台产品时盈利最大，此时每台产品的售价为 240 元 . 数学 R A（文） 第七章 不等式、推理与证明 元一次不等式 (组 )与简单的线性规划问题 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 1 . 二元一次不等式表示的平面区域 ( 1) 一般地，二元一次不等式 C 0 在平面直角坐标系中表示直线 C 0 某一侧所有点组成的 . 我们把直线画成虚线以表示区域 边界直线 . 当我们在坐标系中画不等式 C 0 所表示的平面区域时，此区域应 边界直线，则把边界直线画成 . ( 2) 由于对直线 C 0 同一侧的所有点 ( x ， y ) ，把它的坐标 ( x ， y ) 代入 C ，所得的符号都 ，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点 ( 作为测试点，由 C 的 即可判断 C 0 表示的直线是 C 0 哪一侧的平面区域 . 平面区域 不包括 包括 实线 相同 符号 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 2 . 线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 由变量 x ， y 组成的一次不等式 线性约束条件 由 x ， y 的 不等式 ( 或方程 ) 组成的不等式组 目标函数 欲求 或 的函数 线性目标函数 关于 x ， y 的 解析式 一次 最大值 最小值 一次 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 可行解 满足 的解 可行域 所有 组成的集合 最优解 使目标函数取得 或 的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的 或 问题 线性约束条件 可行解 最大值 最小值 最大值 最小值 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 3. 应用 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是 (1) 在平面直角坐标系内作出可行域 . (2) 考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形 . (3) 确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解 . (4) 求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值 . 题号 答案 解析 1 2 3 4 5 C C 基础知识 自主学习 C 2 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) 夯实基础 突破疑难 夯基释疑 题型分类 深度剖析 题型一 二元一次不等式 (组 )表示的平面区域 思维启迪 解析 答案 思维升华 【 例 1 】 若不等式组x 0 ，x 3 y 4 ，3 x y 4所表示的平面区域被直线 y 43分为面积相等的两部分，则 k 的值是 ( ) 例 1 】 若不等式组x 0 ，x 3 y 4 ，3 x y 4所表示的平面区域被直线 y 43分为面积相等的两部分，则 k 的值是 ( ) 深度剖析 画出平面区域，显然点0 ，43在已知的平面区域内，直线系过定点0 ，43，结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可 . 思维启迪 解析 答案 思维升华 题型一 二元一次不等式 (组 )表示的平面区域 【 例 1 】 若不等式组x 0 ，x 3 y 4 ，3 x y 4所表示的平面区域被直线 y 43分为面积相等的两部分，则 k 的值是 ( ) 深度剖析 不等式组表示的平面区域如图所示 . 由于直线 y 43过定点0 ，B 中点时，直线y 43能平分平面区域 . 思维启迪 解析 答案 思维升华 题型一 二元一次不等式 (组 )表示的平面区域 【 例 1 】 若不等式组x 0 ，x 3 y 4 ，3 x y 4所表示的平面区域被直线 y 43分为面积相等的两部分，则 k 的值是 ( ) 深度剖析 因为 A (1 ,1 )， B (0 ,4 )， 所以 点 D12，52. 当 y 43过点12，52时， 523， 所以 k 73 . 题型一 二元一次不等式 (组 )表示的平面区域 思维启迪 解析 答案 思维升华 【 例 1 】 若不等式组x 0 ，x 3 y 4 ，3 x y 4所表示的平面区域被直线 y 43分为面积相等的两部分，则 k 的值是 ( ) 深度剖析 A 思维启迪 解析 答案 思维升华 题型一 二元一次不等式 (组 )表示的平面区域 因为 A (1 , 1 )， B (0 , 4 )， 所以 点 D12，52. 当 y 43过点12，52时， 523， 所以 k 73 . 【 例 1 】 若不等式组x 0 ，x 3 y 4 ，3 x y 4所表示的平面区域被直线 y 43分为面积相等的两部分，则 k 的值是 ( ) 题型分类 深度剖析 二元一次不等式 (组 )表示平面区域的判断方法： 直线定界，测试点定域 . 注意不等式中不等号有无等号 ,无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线 可以选多个 ,若直线不过原点 ,则测试点常选取原点 . 思维启迪 解析 答案 思维升华 题型一 二元一次不等式 (组 )表示的平面区域 跟踪训练 1 如图，在平面直角坐标系中，已知 个顶点的坐标分别为 A ( 0, 1) ， B ( 2, 2) ，C ( 2, 6) ，试写出 其内部区域所对应的二元一次不等式组 . 解 由已知得直线 方程分别为直线 x 2 y 2 0 ，直线 x y 4 0 ，直线 5 x 2 y 2 0 ， 题型分类 深度剖析 原点 ( 0,0 ) 不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为x y 4 0x 2 y 2 05 x 2 y 2 0. 题型二 求线性目标函数的最值 【 例 2 】 设 x ， y 满足约束条件：x 4 y 33 x 5 y 25x 1，求 z x y 的最大值与最小值 . 思维启迪 思维升华 解析 题型分类 深度剖析 【 例 2 】 设 x ， y 满足约束条件：x 4 y 33 x 5 y 25x 1，求 z x y 的最大值与最小值 . 思维升华 解析 思维启迪 作可行域后，通过平移直线l 0 ： x y 0 来寻找最优解，求出目标函数的最值 . 题型分类 深度剖析 题型二 求线性目标函数的最值 【 例 2 】 设 x ， y 满足约束条件：x 4 y 33 x 5 y 25x 1，求 z x y 的最大值与最小值 . 思维启迪 思维升华 解析 先作可行域，如图所示中 求得 A (5 , 2 )、 B ( 1 , 1 )、C (1 ，225)， 作出直线 l 0： x y 0 ， 题型分类 深度剖析 题型二 求线性目标函数的最值 【 例 2 】 设 x ， y 满足约束条件：x 4 y 33 x 5 y 25x 1，求 z x y 的最大值与最小值 . 题型分类 深度剖析 故 z m i n 2 ， z m a x 7. 题型二 求线性目标函数的最值 思维启迪 思维升华 解析 再将直线 l 0 平移，当 l 0 的平行线l 1 过点 B 时，可使 z x y 达到最小值；当 l 0 的平行线 l 2 过点 使 z x y 达到最大值 . 【 例 2 】 设 x ， y 满足约束条件：x 4 y 33 x 5 y 25x 1，求 z x y 的最大值与最小值 . 思维启迪 思维升华 解析 (1 )线性目标函数的最大 (小 )值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得 . 题型分类 深度剖析 (2 ) 求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系 . 题型二 求线性目标函数的最值 跟踪训练 2 ( 1 ) 已知平面直角坐标系 x O y 上的区域 D 由不等式组 0 x 2 ，y 2 ，x 2 若 M ( x ， y ) 为 D 上的动点，点 A 的坐标为 ( 2 ， 1) ，则 z 的最大值为 ( ) A . 3 B . 4 C . 3 2 D . 4 2 解析 ( 1 ) 由线性约束条件 0 x 2 ，y 2 ，x 2 标函数 z 2 x y ，将其化为 y 2 x z ，结合图形可知，目标函数的图象过点 ( 2 ， 2)时， z 最大，将点 ( 2 ， 2) 的坐标代入 z 2 x y 得 z 的最大值为 4. 题型分类 深度剖析 B ( 2) ( 2013 课标全国 ) 已知 a 0 ， x ， y 满足约束条件x 1 ，x y 3 ，y a x 3 ，若 z 2 x y 的最小值为 1 ，则 a 等于 ( ) 1 D . 2 解析 ( 2 ) 作出不等式组表示的可行域，如图 ( 阴影部分 ) . 题型分类 深度剖析 易知直线 z 2 x y 过交点 A 时， z 取最小值， 由 x 1 ，y a x 3 ， ( 2) ( 2013 课标全国 ) 已知 a 0 ， x ， y 满足约束条件x 1 ，x y 3 ，y a x 3 ，若 z 2 x y 的最小值为 1 ，则 a 等于 ( ) 1 D . 2 得 x 1 ，y 2 a ， 题型分类 深度剖析 B z m i n 2 2 a 1 ， 解得 a 12 ，故选 B. 题型分类 深度剖析 题型三 实际生活中的线性规划问题 【 例 3 】 ( 2012 江西 ) 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 亩，投入资金不超过 54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量 / 亩 年种植成本 / 亩 每吨售价 黄瓜 4 吨 元 元 韭菜 6 吨 元 元 为使一年的种植总利润 ( 总利润总销售收入总种植成本 ) 最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积 ( 单位：亩 ) 分别为 ( ) A. 50,0 B 0 C. 20,30 D. 0,50 题型分类 深度剖析 题型三 实际生活中的线性规划问题 思维 启迪 根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题 . 解析 设种植黄瓜 x 亩，韭菜 y 亩，则由题意可知x y 50 ，1.2 x 0.9 y 54 ，x ， y N ，求目标函数 z x 0.9 y 的最大值，根据题意画可行域如图阴影所示 . 题型分类 深度剖析 题型三 实际生活中的线性规划问题 当目标函数线 至点 A ( 3 0 ,2 0 ) 处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植 30 亩，韭菜种植 20 亩时，种植总利润最大 . 答案 B 思维升华 线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成： ( 1) 作图 画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条 l； ( 2 ) 平移 将 确定最优解的对应点 A 的位置； ( 3 ) 求值 解方程组求出 A 点坐标 ( 即最优解 ) ，代入目标函数，即可求出最值 . 跟踪训练 3 某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车 . 某天需送往 A 地至少 72 吨的货物，派用的每辆车需满载且只能送一次 . 派用的每辆甲型卡 车需配 2 名工人，运送一次可得利润 450 元；派用的每辆乙型卡车需 配 1 名工人，运送一次可得利润 350 元，该公司合理计划当天派用两 类卡车的车辆数，可得最大利润 z 为 ( ) A 5 0 元 B 0 0 元 C 0 0 元 D 0 0 元 解析 设该公司合理计划当天派用甲、乙型卡车的车辆数分别为 x ， y ，则根据条件 得 x ， y 满足的约束条件为x y 12 ，2 x y 19 ，10 x 6 y 72 ，x 8 ， y 7 ，x N*， y N*，题型分类 深度剖析 跟踪训练 3 某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车 . 某天需送往 A 地至少 72 吨的货物，派用的每辆车需满载且只能送一次 . 派用的每辆甲型卡 车需配 2 名工人，运送一次可得利润 450 元；派用的每辆乙型卡车需 配 1 名工人，运送一次可得利润 350 元，该公司合理计划当天派用两 类卡车的车辆数，可得最大利润 z 为 ( ) A 5 0 元 B 0 0 元 C 0 0 元 D 0 0 元 题型分类 深度剖析 目标函数 z 450 x 350 y 后平移目标函数对应的直线 450 x 350 y 0( 即 9 x 7 y 0)知，当直线经过直线 x y 12 与 2 x y 19的交点 ( 7,5) 时，目标函数取得最大值，即 z 450 7 350 5 4 900. C 题型分类 深度剖析 题型四 求非线性目标函数的最值 思维启迪 解析 答案 思维升华 【 例 4 】 ( 1 ) 设实数 x ， y 满足x y 2 0 ，x 2 y 4 0 ，2 y 3 0 ，则 _ _ _ _ _ _ _ . ( 2 ) 已知 O 是坐标原点，点 A ( 1 , 0 ) ，若点 M ( x ， y ) 为 平 面 区 域x y 2 ，x 1 ，y 2 ，上的一个动点，则| |的最小值是 _ _ _ _ _ _ _ _ . 【 例 4 】 ( 1 ) 设实数 x ， y 满足x y 2 0 ，x 2 y 4 0 ，2 y 3 0 ，则 _ _ _ _ _ _ _ . ( 2 ) 已知 O 是坐标原点，点 A ( 1 , 0 ) ，若点 M ( x ， y ) 为 平 面 区 域x y 2 ，x 1 ，y 2 ，上的一个动点，则| |的最小值是 _ _ _ _ _ _ _ _ . 题型分类 深度剖析 与二元一次不等式 (组 )表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成 . 思维启迪 解析 答案 思维升华 题型四 求非线性目标函数的最值 【 例 4 】 ( 1 ) 设实数 x ， y 满足x y 2 0 ，x 2 y 4 0 ，2 y 3 0 ，则 _ _ _ _ _ _ _ . ( 2 ) 已知 O 是坐标原点，点 A ( 1 , 0 ) ，若点 M ( x ， y ) 为 平 面 区 域x y 2 ，x 1 ，y 2 ，上的一个动点，则| |的最小值是 _ _ _ _ _ _ _ _ . 题型分类 深度剖析 ( 1)示点 ( x ， y )与原点 ( 0,0 )连线的斜率，在点 (1 ，32 ) 处取到最大值 . 依题意得， ( x 1 ， y ) ，| x 1 2 x ， y ) 与点 ( 1,0) 间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区 域， 思维启迪 解析 答案 思维升华 题型四 求非线性目标函数的最值 【 例 4 】 ( 1 ) 设实数 x ， y 满足x y 2 0 ，x 2 y 4 0 ，2 y 3 0 ，则 _ _ _ _ _ _ _ . ( 2 ) 已知 O 是坐标原点，点 A ( 1 , 0 ) ，若点 M ( x ， y ) 为 平 面 区 域x y 2 ，x 1 ，y 2 ，上的一个动点，则| |的最小值是 _ _ _ _ _ _ _ _ . 题型分类 深度剖析 结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点 ( 1,0 )向直线 x y 2 引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点 ( 1,0) 的距离最小，因此 | 的最小值是| 1 0 2|23 22. 思维启迪 解析 答案 思维升华 题型四 求非线性目标函数的最值 【 例 4 】 ( 1 ) 设实数 x ， y 满足x y 2 0 ，x 2 y 4 0 ，2 y 3 0 ，则 _ _ _ _ _ _ _ . ( 2 ) 已知 O 是坐标原点，点 A ( 1 , 0 ) ，若点 M ( x ， y ) 为 平 面 区 域x y 2 ，x 1 ，y 2 ，上的一个动点，则| |的最小值是 _ _ _ _ _ _ _ _ . 题型分类 深度剖析 思维启迪 解析 答案 思维升华 题型四 求非线性目标函数的最值 结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点 ( 1,0 )向直线 x y 2 引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点 ( 1,0) 的距离最小，因此 | 的最小值是| 1 0 2|23 22. 32 3 22 【 例 4 】 ( 1 ) 设实数 x ， y 满足x y 2 0 ，x 2 y 4 0 ，2 y 3 0 ，则 _ _ _ _ _ _ _ . ( 2 ) 已知 O 是坐标原点，点 A ( 1 , 0 ) ，若点 M ( x ， y ) 为 平 面 区 域x y 2 ，x 1 ，y 2 ，上的一个动点，则| |的最小值是 _ _ _ _ _ _ _ _ . 题型分类 深度剖析 常见代数式的几何意义有 ( 1 ) x 2 y 2表示点 ( x ， y ) 与原点 ( 0 ,0 )的距离； 思维启迪 解析 答案 思维升华 题型四 求非线性目标函数的最值 ( 2 ) x a 2 y b 2表示点 ( x ， y )与点 ( a ， b ) 之间的距离； ( 3) 示点 ( x ， y ) 与原点 ( 0,0 ) 连线的斜率； ( 4 ) y a 表示点 ( x ， y ) 与点 ( a ， b ) 连线的斜率 . 32 3 22 跟踪训练 4 设不等式组x 1 ，x 2 y 3 0 ，y x ，所表示的平面区域是 1 ，平面区域 2 是与 1 关于直线 3 x 4 y 9 0 对称的区域，对 于 1 中的任意一点 A 与 2 中的任意一点 B ， | 的最小值等于 ( ) 4 2 解析 由题意知，所求的 | 的最小值，即为区域 1中的点到直线 3 x 4 y 9 0 的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示， 题型分类 深度剖析 可看出点 ( 1,1 ) 到直线 3 x 4 y 9 0 的距离最小，故 | 的最小值为 2 |3 1 4 1 9|5 4 ，选 B. B 典例 ： (5 分 ) 已知 x ， y 满足约束条件 | x | 2| y | 2 ，且 z y m 0) 的最小值等于 2 ，则实数 m 的值等于 _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 易 错 分 析 规 范 解 答 温 馨 提 醒 易错警示系列 7 线性规划问题中忽视参数范围致误 题型分类 深度剖析 典例 ： (5 分 ) 已知 x ， y 满足约束条件 | x | 2| y | 2 ，且 z y m 0) 的最小值等于 2 ，则实数 m 的值等于 _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 本题容易出现的错误主要有两个方面： 易 错 分 析 规 范 解 答 温 馨 提 醒 ( 1 ) 没有将绝对值不等式转化为不等式组，画不出正确的可行域； ( 2 ) 没有对参数 m 的取值情况进行分类讨论，造成漏解，只得到 m 1. 易错警示系列 7 线性规划问题中忽视参数范围致误 题型分类 深度剖析 典例 ： (5 分 ) 已知 x ， y 满足约束条件 | x | 2| y | 2 ，且 z y m 0) 的最小值等于 2 ，则实数 m 的值等于 _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 易 错 分 析 规 范 解 答 温 馨 提 醒 题型分类 深度剖析 原不等式等价于以下四个不等式组： x 0 ，y 0 ，x 2 y 2 ， x 0 ，y 0 ，x 2 y 2 ， x 0 ，y 0 ， x 2 y 2 ， x 0 ，y 0 ， x 2 y 2 ，因此可画出可行域 (如图 )： 由 z y y z . ( 1 ) 当 m 12 时，由图形可知，目标函数在点 A ( 2 ,0 )处取得最小值， 易错警示系列 7 线性规划问题中忽视参数范围致误 典例 ： (5 分 ) 已知 x ， y 满足约束条件 | x | 2| y | 2 ，且
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