【步步高】2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第8讲（含解析）（打包4套）新人教A版
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【步步高】2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第8讲（含解析）（打包4套）新人教A版,步步高,高考,数学,第一轮,知识点,巩固,题库,解析,打包,新人
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1 第 8讲 二项分布与正态分布 一、选择题 1甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的纪录知，一年中下雨天甲市占 20%，乙市占 18%，两市同时下雨占 12%市也为雨天的概率为 ( ) A B D 析 甲市为雨天记为事件 A，乙市为雨天记为事件 B，则 P(A) P(B) P( P(B|A) P 答案 A 2 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记 “ 硬币正面向上 ” 为事件 A， “ 骰子向上的点数是 3” 为事件 B，则事件 A， B 中至少有一件发生的概率是 ( ) 析 本题涉及古典概型概率的计算本知识点在考纲中为 B 级要求由题意得 P(A) 12， P(B) 16，则事件 A， B 至少有一件发生的概率是 1 P( A )P( B ) 1 12 56 712. 答案 C 3在 4 次独立重复试验中，随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件 A 在一次试验中发生的概率 p 的取值范围是 ( ) A B (0,C (0, D 解析 设事件 p，则 p)3 p)2，解得 p 选 A. 答案 A 4设随机变量 X 服从正态分布 N(2,9)，若 P(Xc 1) P( 1 P(X 1) 1 . X N(0,1)， 0. P( ， P( 11) . P( 1) 2P(X ) 2P(X ) 1， P(X ) . 54 9(人 )， 即 130 分以 上的人数约为 9 人 12在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布 N(60,100)，已知成绩在 90 分以上的学生有 13 人 (1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？ (2)若计划奖励竞赛成绩排在前 228 名的学生，问受奖学生的分数线是多少？ 解 设学生的得分情况为随机变量 X， X N(60,100) 则 60， 10. (1)P(30 X90) P(60 310 X60 310) . 4 P(X 90) 121 P(30 X90) 学生总数为： 10 000(人 ) (2)成绩排在前 228 名的学生数占总数的 . 设分数线为 x. 则 P(X . P(120 x 1 2 . 又知 P(60 210 x 60 210) . 60 210 80(分 ) 13某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示 . 一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12件 13 至 16件 17 件及以上 顾客数 (人 ) x 30 25 y 10 结算时间 (分钟 /人 ) 1 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55 %. (1)确定 x， y 的值，并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望； (2)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过 钟的概率 (注：将频率视为概率 ) 解 (1)由已知得 25 y 10 55， x 30 45，所以 x 15， y 有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本，将频率视为概率得 P(X 1) 15100 320， P(X 30100 310， P(X 2) 25100 14， P(X 20100 15， P(X 3) 10100 110. X 的分布列为 X 1 P 320 310 14 15 110 X 的数学期望为 E(X) 1 320 310 2 14 15 3 110 (2)记 A 为事件 “ 该顾客结算前的等候时间不超过 钟 ” ， Xi(i 1,2)为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则 5 P(A) P(1 且 1) P(1 且 P( 1) 由于各顾客的结算相互独立，且 分布列都与 X 的分布列相同，所以 P(A) P(1) P(1) P(1) P( P( P(1) 320 320 320 310 310 320 980. 故该顾客结算前的等候时间不超过 钟的概率为 980. 14现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为 34，命中得 1 分，没有命中得 0 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 23，每命中一次得 2 分，没有命中得 0 分该射手每次射击的结果相互独立假设该射手完成以上三次射击 (1)求该射手恰好命中一次的概率； (2)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 E(X) 解 (1)记： “ 该射手恰好命中一次 ” 为事件 A， “ 该射手射击甲靶命中 ” 为事件 B， “ 该射手第一次射击乙靶命中 ” 为事 件 C， “ 该射手第二次射击乙靶命中 ” 为事件 D. 由题意，知 P(B) 34， P(C) P(D) 23， 由于 A B C D B C D B C D， 根据事件的独立性和互斥性，得 P(A) P(B C D B C D B C D) P(B C D ) P( B C D ) P( B C D) P(B)P( C )P( D ) P( B )P(C)P(D ) P( B )P( C )P(D) 34 1 23 1 23 1 34 23 1 23 1 34 1 23 23 736. (2)根据题意，知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4, P(X 0) P( B C D ) 1 P(B)1 P(C)1 P(D) 1 34 1 23 1 23 136； P(X 1) P(B C D ) P(B)P( C )P( D ) 34 1 23 1 23 112； P(X 2) P( B C D B C D) P( B C D ) P( B C D) 6 1 34 23 1 23 1 34 1 23 23 19； P(X 3) P( B C D) P( ) P(B C D) 34 23 1 23 34 1 23 23 13； P(X 4) P( B 1 34 23 23 19， P(X 5) P( 34 23 23 13. 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 136 112 19 13 19 13 所以 E(X) 0 136 1 112 2 19 3 13 4 19 5 13 4112. 1 第 8讲 函数与方程 一、选择题 1 “ a0，f(2) 3 2 解得 a3 或 得其中一个零点 _，第二次应计算 _ 解析 f(x) 3x 1是 f(0)0，则 f(x)在 x (0,存在零点，且第二次验证时需验证 f(符号 答案 (0,f( 3 8函数 f(x) x 1， x 0，x0， 则函数 y ff(x) 1 的所有零点所构成的集合为 _ 解析 本题即求方程 ff(x) 1的所有根的集合，先解方程 f(t) 1，即 t 0，t 1 1 或 t0， 1， 得 t 2或 tf(x) 2和 f(x)12. 即 x 0，x 1 2 或 x0， 2 和 x 0，x 1 12 或 x0，12. 得 x 3或 x 14和 x 12或 x 2. 答案 3， 12， 14， 2 9已知函数 f(x) 2x a 有零点，则 a 的取值范围是 _ 解析 由原函数有零点，可将问题转化为方程 2x a 0 有解问题，即方程 a 2x函数 g(x) 2x g( x) 2 g( x) 0，得 x ，所以 g(x)在 ( ， )上是增函数，在 (， ) 上是减函数，所以 g(x)的最大值为： g() 2 a 的取值范围就是函数 g(x)的值域 ，所以， a ( ， 2 2 答案 ( ， 2 2 10若直角坐标平面内两点 P， Q 满足条件： P、 Q 都在函数 f(x)的图象上； P、 Q 关于原点对称，则称点对 (P、 Q)是函数 f(x)的一个 “ 友好点对 ” (点对 (P、 Q)与点对 (Q， P)看作同一个 “ 友好点对 ” )已知函数 f(x) 24x 1， 函数 f(x)的 “ 友好点对 ” ，则 y 2 y 2( x)2 4( x) 1 24x 1， 22x 1 0，在同一坐标系中作函数 2 24x 1的图象， 以 f(x)有 2个 “ 友好点对 ” ，故填 2. 答案 2 三、解答题 11设函数 f(x) 1 1x (x0) (1)作出函数 f(x)的图象； 4 (2)当 00) (1)若 g(x) m 有零点，求 m 的取值范围； (2)确定 m 的取值范围，使得 g(x) f(x) 0 有两个相异实根 解 (1)法一： g(x) x 2e， 等号成立 的条件是 x e， 故 g(x)的值域是 2e， ) ， 因而只需 m2e ，则 g(x) m 就有零点 法二：作出 g(x) x x0)的大致图象如图： 可知若使 g(x) m 有零点， 则只需 m2e. 法三：由 g(x) m 得 0. 此方程有大于零的根， 故 4等价于 e 或 m 2e ， 故 m2e. (2)若 g(x) f(x) 0 有两个相异的实根，即 g(x)与 f(x) 的图象 6 有两个不同的交点，作出 g(x) x x0)的大致图象 f(x) 2m 1 (x e)2 m 1 其图象的对称轴为 x e，开口向下，最大值为 m 1 故当 m 1 e， 即 m 2e 1 时， g(x)与 f(x)有两个交点， 即 g(x) f(x) 0 有两个相异实根 m 的取值范围 是 ( 2e 1， ) 1 第 8讲 曲线与方程 一、选择题 1已知两定点 A(1,1)， B( 1， 1)，动点 P 满足 点 P 的轨迹是 ( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D拋物线 解析 设点 P(x， y)，则 (1 x,1 y)， ( 1 x， 1 y)， 所以 (1 x)( 1 x) (1 y)( 1 y) 2. 由已知 2 1，所以点 P 的轨迹为椭圆 答案 B 2已知点 F 14， 0 ，直线 l： x 14，点 B 是 l 上 的动点若过 B 垂直于 y 轴的直线与线段垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是 ( ) A双曲线 B椭圆 C圆 D抛物线 解析 由已知： | |由抛物线定义知，点 M 的轨迹是以 F 为焦点， l 为准线的抛物线，故选 D. 答案 D 3设圆 (x 1)2 25 的圆心为 C， A(1,0)是圆内一定点， Q 为圆周上任一点线段 垂直平分线与 连线交于点 M，则 M 的轨迹方程为 ( ) 1 1 1 1 解析 Q 垂直平分线上一点，则 | | | | | | | 5，故 M 的轨迹为椭圆， a 52， c 1，则 214， 椭圆的标准方程为 41. 答案 D 4已知点 P 是直线 2x y 3 0 上的一个动点，定点 M( 1,2)， Q 是线段 长线上的一点，且 | |则 Q 点的轨迹方程是 ( ) A 2x y 1 0 B 2x y 5 0 2 C 2x y 1 0 D 2x y 5 0 解析 由题意知， Q 中点，设 Q(x， y)，则 2 x， 4 y)，代入 2x y 30，得 2x y 5 0. 答案 D 5已知二面角 l 的平面角为 ，点 P 在二面角内， ， ， A， B 为垂足，且 4， 5，设 A， B 到棱 l 的距离分别为 x， y，当 变化时，点 (x， y)的轨迹方程是 ( ) A 9(x0) B 9(x0 ， y0) C 9(y0) D 9(x0 ， y0) 解析 实际上就是求 x， y 所满足的一个等式，设平面 二面角的棱的交点是 C，则x， y，在两个直角三角形 其斜边相等，根据勾股定理即可得到 x， y 所满足的关系式如图， 42 52， 即 9(x0 ， y0) 答案 B 6在平行四边形 ， 60， 2 P 是平面 一点，且满足： 0(x， y R)则当点 P 在以 A 为圆心， 33 |为半径的圆上时，实数 x，y 应满足关系式为 ( ) A 421 B 421 C 421 D 421 解析 如图，以 1， 90， 3. B、 1,0)、 (1，3)， (1,0)， (1， 3)设点 m， n)，即 (m， n)， 则由 0，得： ， m x y，n 3y. 据题意， 1， 421. 3 答案 D 二、填空题 7已知圆的方程为 4，若抛物线过点 A( 1,0)、 B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是 _ 解析 设抛物线焦点为 F，过 A、 B、 O 作准线的垂线 | | 2| 4，由抛物线定义得 | | | | | | 4，故 F 点的轨迹是以 A、 B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆 (去掉长轴两端点 ) 答案 1(y0) 8. 如图，点 F(a,0)(a0)，点 P 在 y 轴上运动， M 在 x 轴上运 动，N 为动点，且 0， 0，则点 N 的轨迹方程为_ 解析 由题意，知 为线段 接 长 点 Q 使 P 恰为 中点；连接 四边形 菱形，且点 Q 恒在直线 l： x a 上，故点 N 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 方程为： 4答案 4如图所示， 正方体 棱长为 1，点 M 在 ，且 13 P 在平面 ，且动点 P 到直线 距离的平方与 P 到点 M 的距离的平方差为 1，在平面直角坐标系 点 P 的轨迹方程是 _ 解析 过 P 作 Q，再过 Q 作 ，连接证 P(x， y)，由 | | 1，得1 x 13 2 1，化简得 23x 19. 答案 23x 19 10. 曲线 C 是平面内与两个定点 1,0)和 ,0)的距离的积等于常数 a2(a1)的点的轨迹，给出下列三个结论： 曲线 C 过坐标原点； 曲线 C 关于坐标原点对称； 若点 P 在曲线 C 上，则 2其中，所有正确结论的序号是 _ 4 解析 曲线 C 经过原点，这点不 难验证是错误的，如果经过原点，那么 a 1，与条件不符； 曲线 C 关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处 | 于原点的对称点处也一定符合 | 三角形的面积 S 显然 S 12|12| 正确 答案 三、解答题 知 F(1,0)，直线 l： x 1， P 为平面上的动 点，过点 P作 l 的垂线，垂足为点 Q，且 求动点 P 的轨迹 C 的方程 解 法一：设点 P(x， y)，则 Q( 1， y)， 由 得 (x 1,0)(2 ， y) (x 1， y)( 2， y)，化简得 C： 4x. 法二：由 得 ( 0， ( ( 0， 0. | |. 点 P 的轨迹 C 是抛物线，由题意，轨迹 C 的方程为 4x. 12设椭圆方程为 1，过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于 A， B 两点， O 为坐标原点，点P 满足 12( )，点 N 的坐标为 12， 12 ，当直线 l 绕点 M 旋转时，求： (1)动点 P 的轨迹方程； (2)|的最大值，最小值 解 (1)直线 l 过定点 M(0,1)，当其斜率存在时设为 k，则 l 的方程为 y 1. 设 A( B(由题意知， A、 B 的坐标满足方程组 y 1，y 得 (4 k2)23 0. 则 412(4 0. 2 34 P(x， y)是 中点， 5 则由 x 12 k2，y 12 121 1 44 去 k 得 4y 0. 当斜率 k 不存在时， 中点是坐标原点，也满足这个方程，故 P 点的轨迹方程为 4y 0. (2)由 (1)知 4 y 12 2 14， 14 x 14 而 | x 12 2 y 12 2 x 12 2 1 16 3 x 16 2 712， 当 x 16时， |取得最大值 216 ， 当 x 14时， |取得最小值 14. 13在平面直角坐标系 ，椭圆 E： 1(a0， b0)经过点 A 62 ， 2 ，且点 F(0， 1)为其一个焦点 (1)求椭圆 E 的方程； (2)设随圆 E 与 y 轴的两个交点为 在 y 轴上的动点 P 在直线 y 运动，直线 ， 分别与椭圆 E 交于点 M， N，证明：直线 过一个定点，且 周长为定值 解 (1)根据题意可得 3221，1，可解得 a 3，b 2， 椭圆 E 的方程 为 1. (2)由 (1)知 ,2)， ， 2)， P(4)为直线 y 4 上一点 (0)， M( N(x2，直线 方程为 y 22，直线 方程为 y 62，点 M( ,2)的坐标满足方程组 1，y 22，可得 6263 6 点 N( ， 2)的坐标满足方程组 1，y 62，可得 18 25427 由于椭圆关于 y 轴对称，当动点 P 在直线 y 4 上运动时，直线 过的定点必在 y 轴上，当 1 时，直线 方程为 y 1 43 x 32 ，令 x 0，得 y 1 可猜测定点的坐标为(0,1)，并记这个定点为 M 的斜率 163 1 69 直线 斜率 1 25427 1189 M， B， N 三点共线，故直线过一个定点 B(0， 1)， 又 F(0， 1)， B(0,1)是椭圆 E 的焦点， 长为 | | | | 4b 8，为定值 14已知向量 a (x， 3y)， b (1,0)，且 (a 3b) (a 3b) (1)求点 Q(x， y)的轨迹 C 的方程； (2)设曲线 C 与直线 y m 相交于不同的两点 M、 N，又点 A(0， 1)，当 | |，求实数 m 的取值范围 解 (1)由题意得 a 3b (x 3， 3y)， a 3b (x 3， 3y)， (a 3b) (a 3b)， (a 3b)(a 3b) 0， 即 (x 3)(x 3) 3y 3y 0. 化简得 1， Q 点的轨迹 C 的方程为 1. (2)由 y m，1 得 (31)63(1) 0， 由于直线与椭圆有两个不同的交点， 0，即 得 00，解得 m12， 故所求的 m 的取值范围是 12， 2 . ( k 0 时， | | 1，解得 1m1. 综上，当 k 0 时， m 的取值范围是 12， 2 ， 当 k 0 时， m 的取值范围是 ( 1,1). 1 第 8讲 立体几何中的向量方法（二） 一、选择题 1两平行平面 ， 分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1)，且两平面的一个法向量 n (1,0,1)，则两平面间的距离是 ( ) B. 22 C. 3 D 3 2 解析 两平面的一个单位法向量 22 ， 0， 22 ，故两平面间的距离 d | 22 . 答案 B 2已知向量 m， n 分别是直线 l 和平面 的方向向量、法向量，若 m， n 12，则l 与 所成的角为 ( ) A 30 B 60 C 120 D 150 解析 设 所成的角为 ，则 |m， n | 12， 30. 答案 A 3长方体 ， 2， 1， E 为 中点，则异面直线 E 所成角的余弦值为 ( ) A. 1010 B. 3010 510 010 解析 建立坐标系如图， 则 A(1,0,0)， E(0,2,1)， B(1,2,0)， ， 2,2) ( 1,0,2)， ( 1,2,1)， | 3010 . 所以异面直线 010 . 答案 B 4已知直二面角 l ，点 A ， l， C 为垂足，点 B ， l， D 为垂足，若2， 1，则 ( ) A 2 B. 3 C. 2 D 1 解析 如图，建立直角坐标系 D已 2 知条件 B(0,0,1)， A(1， t,0)(t 0)， 由 2 解得 t 2. 答案 C 5如图，在四面体 ， 1， 2 3， 3， 2. 2，则二面角 A D 的大小为 ( ) 解析 二面角 A 而 2| ，即 12 1 4 9 2 2 ， 12， 成角为 3，即二面角 A D 的大小为 答案 B 6如图，在直三棱柱 90 ， 21 0 ，则 长为 ( ) A. 2 B. 3 C 2 D. 22 解析 如图，以 C 为坐标原点， x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则 C(0,0,0)， A(1,0,0)， ,2,2)， ,0,2)， D(1,0,1) 设 a，则 D 点坐标为 (1,0， a)， (1,0， a)， 1(0,2,2)， 设平 面 一个法向量为 m (x， y， z) 则 m10m 0 2y 2z 0x 0 ，令 z 1， 3 得 m (a,1， 1)，又平面 一个法向量为 n(0,1,0)， 则由 mn|m|n|，得 12 12，即 a 2， 故 2. 答案 A 二、填空题 7若平面 的一个法向量为 n (4,1,1)，直线 l 的一个方向向量为 a ( 2， 3,3)，则 l 与 所成角的正弦值为 _ 解析 n， a na|n|a| 83 2 22 4 1133 . 又 所成角记为 ，即 |n， a | 4 1133 . 答案 4 1133 . 8若向量 a (1， ， 2)， b (2， 1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为 89，则 _. 解析 由已知得 89 ab|a|b| 2 45 2 9， 8 5 2 3(6 )，解得 2 或 255. 答案 2 或 255 9已知点 E、 F 分别在正方体 棱 ，且 22面 面 成的二面角的正切值为 _ 解析 如图，建立直角坐标系 D 1 由已知条件A(1,0,0)， E 1， 1， 13 ， F 0， 1， 23 ， 0， 1， 13 ， 1， 1， 23 ， 设平面 n (x， y， z)， 面 ， 由 n 0，n 0得 y 13z 0， x y 23z 0.令 y 1， z 3， x 1，则 n ( 1,1， 3) 平面 m (0,0， 1) 4 n， m 3 1111 ， 23 . 答案 23 10在三棱锥 O ，三条棱 两垂直，且 M 是 的中点，则 平面 成角的正切值是 _ 解析 如图所示建立空间直角坐标系，设 ，则 A(1,0,0)， B(0， 1,0)， C(0,0,1)， M 12， 12， 0 ，故 ( 1,1,0)， ( 1,0,1)， 12， 12， 0 . 设平面 n (x， y， z)， 则由 n ，n 得 x y 0， x z 0， 令 x 1，得 n (1,1,1)故 n， 13 22 63 ， 所以 3 ，其正切值为 2. 答案 2 三、解答题 11如图，四面体 ， 两垂直， 4， E、 F 分别为棱 中点 (1)求异面直线 成角的余弦值； (2)求 E 到平面 距离； (3)求 平面 成角的正弦值 解 如图，分别以直线 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为 A(0,0,4)、 C(4,0， 0)、D(0,4， 0)， E(2,0,0)、 F(0， 2,2) (1) (0,0， 4)， ( 2,2,2)， | | 84 2 3 33 ， 5 异面直线 成角的余弦值为 33 . (2)设平面 一个法向量为 n (x， y,1)， 则 n 0，n 0， (4,0， 4)， ( 4,4,0)， 4x 4 0， 4x 4y 0， x y 1， n (1,1,1， ) F 平面 ( 2,2,2)， E 到平面 距离为 d |n|n| 232 33 . (3)平面 成角的正弦值为 |n， | 23 2 3 13 12如图，在底面为直角梯形的四棱锥 P ， 90， 平面3， 2， 2 3， 6. (1)求证： 平面 (2)求二面角 P A 的大小 (1)证明 如图，建立空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)， B(2 3， 0,0)， C(2 3， 6,0)， D(0,2,0)， P(0,0,3)， (0,0,3)， (2 3， 6,0)， ( 2 3， 2,0) 0， 0. 又 A， 面 (2)解 设平面 法向量为 m (0,0,1)， 设平面 法向量为 n (x， y， z)， 则 n 0， n 0. ( 2 3， 0,3)， 6 2 3x 2y 0， 2 3x 3z 0 解得 y 3x，z 2 33 x.令 x 3，则 n ( 3， 3,2)， m， n mn|m|n| 12. 二面角 P A 的大小为 6
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