【步步高】2015届高考数学总复习 第六章强化训练+章末检测 理（打包7套）北师大版
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【步步高】2015届高考数学总复习 第六章强化训练+章末检测 理（打包7套）北师大版,步步高,高考,数学,复习,温习,第六,强化,训练,检测,打包,北师大
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1 列的概念及简单表示法 1 数列的定义 按 一定次序 排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的 项 2 数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数 有限 无穷数列 项数 无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 1_中 n N 递减数列 1_1 时， 1 n 23 n 13 1. 1 n 1n 1. 1 n 1n 1， ， 53， 2，3. 以上 n 1 个式子的等号两端分别相乘，得到 nn 12 ， 又 1， nn 12 . 思维升华 已知数列的递推关系，求数 列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解 当出现 1 m 时，构造等差数列；当出现 1 y 时，构造等比数列；当出现 1 f(n)时，用累加法求解；当出现 1 f(n)时，用累乘法求解 (1)已知数列 足 1， n 1n 1(n 2)，则 _. (2)已知数列 前 n 项和为 21(n N )，则 ( ) A 16 B 16 C 31 D 32 答案 (1)1n (2)B 7 解析 (1) n 1n 1 (n 2)， 1 n 2n 12， ， 12以上 (n 1)个式子相乘得 223 n 1n 1n. (2)当 n 1 时， 21， 1. 当 n 2 时， 1 21 1， 221， 21. 等比数列且 1， q 2， 故 24 16. 数列问题中的函数思想 典例： (12 分 )已知数列 (1)若 5n 4， 数列中有多少项是负数？ n 为何值时， 求出最小值 (2)若 4 且对于 n N ，都有 1k 的取值范围 思维启迪 (1)求使 因为通项公式 4，可以看作是关于 n 的二次函数，考虑到 n N ，所以 3. 12 分 温馨提醒 (1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集 N 上的二次函数， 8 因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数 k 的取值范围，使问题得到解决 (2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对 称轴位置的选取 (3)易错分析：本题易错答案为 k 自变量是正整数 方法与技巧 1 求数列通项或指定项通常用观察法 (对于交错数列一般用 ( 1)n 或 ( 1)n 1 来区分奇偶项的符号 )；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法 2 强调 n 11 n 2 . 3 已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握一般有两种常见思路： (1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)利用累加或累乘法可求数列的通项公式 失误与防范 1 数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列 f(n)和函数 y f(x)的单调性是不同的 2 数列的通项公式不一定唯一 A 组 专项基础训练 (时间： 40分钟 ) 一、选择题 1 数列 0,1,0， 1,0,1,0， 1， 的一个通项公式是 ( ) A. 1n 12 B C n 12 D n 22 答案 D 解析 令 n 1,2,3， 逐一验证四个选项，易得 D 正确 9 2数列 前 n 项和为 1， 1 3Sn(n 1)，则 ( ) A 3 44 B 3 44 1 C 45 D 45 1 答 案 A 解析 当 n 1 时， 1 3 2 31， 2 1 31 331，即 2 41， 该数列从第二项开始是以 4 为公比的等比数列 又 333， 1n 1，3 4n 2n 2. 当 n 6 时， 3 46 2 3 44. 3 若数列 通项公式是 ( 1)n(3n 2)，则 ( ) A 15 B 12 C 12 D 15 答案 A 解析 由题意知， 1 4 7 10 ( 1)10 (3 10 2) ( 1 4) ( 7 10) ( 1)9(39 2) ( 1)10(310 2) 3 5 15. 4已知数列 通项公式为 (49)n 1 (23)n 1，则数列 ( ) A有最大项，没有最小项 B有最小项，没有最大项 C既有最大项又有最小项 D既没有最大 项也没有最小项 答案 C 解析 数列 通项公式为 (49)n 1 (23)n 1， 令 t (23)n 1， t (0,1， t 是减函数， 则 t (t 12)2 14， 由复合函数单调性知 故有最大项和最小项，选 C. 5若 前 n 项和，且 1，则 1 ( ) C. 130 D 30 答案 D 10 解析 当 n 2 时， 1 1 n 1n 1nn 1， 所以 15 6 30. 二、填空题 6已知数列 1，则 它的第 _项 答案 7 解析 1 950， n 7. 7 数列 ， 1，对于所有的 n 2， n N ，都有 a1a2 _. 答案 6116 解析 由题意知： a1a2 1 (n 1)2， ( 1)2(n 2)， (32)2 (54)2 6116. 8已知 递增数列，且对于任意的 n N ， n 恒成立，则实数 的取值范围是_ 答案 ( 3， ) 解析 方法一 (定义法 ) 因为 递增数列，所以对任意的 n N ，都有 1 即 (n 1)2 (n 1)n，整理，得 2n 1 0，即 (2n 1) (*) 因为 n 1，所以 (2n 1) 3，要使不等式 (*)恒成立，只需 3. 方法二 (函数法 ) 设 f(n) n，其图像的对称轴为直线 n 2， 要使数列 递增数列，只需使定义在正整数上的函数 f(n)为增函数， 故只需满足 f(1) 3. 三、解答题 9数列 通项公式是 7n 6. (1)这个数列的第 4 项是多少？ (2)150 是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解 (1)当 n 4 时， 42 4 7 6 6. 11 (2)令 150，即 7n 6 150， 解得 n 16 或 n 9(舍去 )， 即 150 是这个数列的第 16 项 (3)令 7n 60，解得 n6 或 1 当 n 8 时， 1 0，即 1 当 n8 时， 1 ， 故数列 最大项，为第 8 项和第 9 项， 且 98 9108 99108. B 组 专项能力提升 (时间： 30分钟 ) 1跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第 1 个格子，在格子中每次可向前跳 1 格或 2 格，那么人从格子外跳到第 8 个格子的方法种数为 ( ) A 8 种 B 13 种 C 21 种 D 34 种 答案 C 解析 设跳到第 n 个格子的方法种数有 到达第 n 个格子的方法有 两类： 向前跳 1 格到达第 n 个格子，方法种数为 1； 向前跳 2 格到达第 n 个格子，方法种数为 2，则 1 2， 由数列的递推关系得到数列的前 8 项分别是 1,1,2,3,5,8,13,21. 跳到第 8 个格子的方法种数是 . 2数列 足 1 12 (n N )， 2， 前 n 项和，则 ) A 5 答案 B 解析 1 12(n N )， 12 12 12 2， 2， 12 2， 2， ， 故 2， 1 12 2. 10 12 5 12 2 72. 3 若数列 n(n 4)(23)n中的最大项是第 k 项，则 k _. 答案 4 解析 由题意得 kk 423k k 1k 523k 1kk 423k k 1k 323k 1， 所以 102k 9 0 ，由 k N 可得 k 4. 4 已知数列 足前 n 项和 1，数列 足 21，且前 n 项和为 1 (1)求数 列 通项公式； (2)判断数列 增减性 解 (1)2， 1 2n 1(n 2) 23n 11nn 2. (2) 1 2 1 1n 1 1n 2 12n 1， 1 12n 2 12n 3 1n 1 12n 3 12n 2 12n 32n 2综上 ，所求的 a 的取值范围是 9， ) 1 差数列及其前 1 等差数列的定义 如果一个数列 从第 2 项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数 ，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的 公差 ，通常用字母 _ 2 等差数列的通项公式 如果等差数列 首项为 差为 d，那么它的通项公式是 (n 1)d. 3 等差中项 如果 A a 那么 A 叫作 a 与 b 的等 差中项 4 等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广： (n m)d， (n， m N ) (2)若 等差数列，且 k l m n， (k， l， m， n N )，则 (3)若 等差数列，公差为 d，则 是等差数列，公差为 2d. (4)若 等差数列，则 是等差数列 (5)若 等差数列，公差为 d，则 m， 2m， (k， m N )是公差为 等差数列 5 等差数列的前 n 项和公式 设等差数列 公差为 d，其前 n 项和 n 或 nn 12 d. 6 等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 d2 n. 数列 等差数列 、 B 为常数 ) 7 等差数列的前 n 项和的最值 在等差数列 ， ， 在最 _小 _值 2 1 判断下面结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “” ) (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( ) (2)数列 等差数列的充要条件是对任意 n N ，都有 21 2. ( ) (3)等差数列 单调性是由公差 d 决定的 ( ) (4)数列 等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数 ( ) (5)数列 足 1 n，则数列 等差数列 ( ) (6)已知数列 通项公式是 q(其中 p， q 为常数 )，则数列 定是等差数列 ( ) 2 设 等差数列，公差 d 2， n 项和，若 ( ) A 18 B 20 C 22 D 24 答案 B 解析 因为 以 0. 又因为 10d，所以 20. 3 (2012辽宁 )在等 差数列 ，已知 16，则该数列前 11 项和 ( ) A 58 B 88 C 143 D 176 答案 B 解析 11 11 88. 4 (2013课标全国 )设等差数列 前 n 项和为 1 2， 0， 1 3，则 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 答案 C 解析 2， 1 3，故 d 1， 因为 0，故 mm 12 d 0， 故 m 12 ， 因为 1 5， 故 1 2(2m 1)d (m 1) 2m 1 5， 即 m 5. 5 (2013课标全国 )等差数列 前 n 项和为 知 0， 25，则 3 值为 _ 答案 49 解析 由题意知 0， 103 . 两式相减得 103 5d， d 23， 3. n nn 12 d 10 f(n)， 令 f(x) 10 x0， f (x)13x(3x 20) 令 f (x) 0 得 x 0(舍 )或 x 203 . 当 x203 时， f(x)是单调递增的； 当 00， n 14 时， 10 B n 的最大值为 ( ) A 11 B 19 C 20 D 21 答案 B 解析 20 10( 的 n 的最大值为 19. 2设等差数列 前 n 项和分别为 对任意自然数 n 都有 2n 34n 3，则 _ 答案 1941 解析 等差数列， 22 11 34 11 3 1941， 1941. 3九章算术 “ 竹九节 ” 问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为 _升 答案 6766 13 解析 设所构成数列 首项为 差为 d， 依题意 3，4， 即 46d 3，321d 4， 解得 1322，d 766， 4d 1322 4 766 6766. 4已知等差数列的前三项依次为 a,4,3a，前 n 项和为 110. (1)求 a 及 k 的值； (2)设数列 通项 明数列 等差数列，并求其前 n 项和 解 (1)设该等差数列为 则 a， 4， 3a， 由已知有 a 3a 8，得 a 2，公差 d 4 2 2， 所以 kk 12 d 2k kk 12 2 k. 由 110，得 k 110 0， 解得 k 10 或 k 11(舍去 )，故 a 2， k 10. (2)由 (1)得 n2 2n2 n(n 1)，则 n 1， 故 1 (n 2) (n 1) 1， 即数列 首项为 2，公差为 1 的等差数列， 所 以 n2 n 12 nn 32 . 5 (2012湖北 )已知等差数列 三项的和为 3，前三项的积为 8. (1)求等差数列 通项公式； (2)若 数列 |的前 n 项和 解 (1)设等差数列 公差为 d， 则 d， 2d. 由题意得 33d 3，a1d2d 8， 解得 2，d 3， 或 4，d 3. 所以由等差数列通项公式可得 2 3(n 1) 3n 5 或 4 3(n 1) 3n 7. 故 3n 5 或 3n 7. 14 (2)当 3n 5 时， 1， 4,2，不成等比数列； 当 3n 7 时， 1,2， 4，成等比数列，满足条件 故 | |3n 7| 3n 7， n 1， 2，3n 7， n 3. 记数列 |的前 n 项和为 当 n 1 时， | 4；当 n 2 时， | | 5； 当 n 3 时， | | | 5 (3 3 7) (3 4 7) (3n 7) 5 n 22 3n 72 32112 n 10. 当 n 2 时，满足此式 综上， 4， n 1，32112 n 10， n 2. 1 比数列及其前 1 等比数列的定义 如果一个数列 从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数 (不为零 )，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的 公比 ，通常用字母 _q 0) 2 等比数列的通项公式 设等比数列 首项为 比为 q，则它的通项 a11(0， q 0) 3 等比中项 若 ab_(0)，那么 G为 a与 b 的等比中项 4 等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广： amm， (n， m N ) (2)若 等比数列，且 k l m n (k， l， m， n N )，则 akam(3)若 项数相同 )是等比数列，则 0)， 1 an 等比数列 5 等比数列的前 等比数列 公比为 q(q 0)，其前 n 项和为 q 1 q q q 16 等比数列前 n 项和的性质 公比不为 1 的等比数列 前 n 项和为 公比为 _1判断下面结 论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “” ) (1)满足 1 n N ， q 为常数 )的数列 等比数列 ( ) (2)G为 a， b 的等比中项 ( ) (3)如果 等比数列， 1 数列 是等比数列 ( ) (4)如果数列 等比数列，则数列 ln 等差数列 ( ) (5)若 等比数列，则 2 0(k 2， k N)的充要条件是 1 0.( ) 2 (6)设 任意等比数列，它的前 n 项和，前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X， Y， Z，则Y(Y X) X(Z X)恒成立 ( ) 2 (2013江西 )等比数列 x,3x 3,6x 6， 的第四项等于 ( ) A 24 B 0 C 12 D 24 答案 A 解析 由 x,3x 3,6x 6 成等比数列得， (3x 3)2 x(6x 6) 解得 3 或 1(不合题意，舍去 ) 故数列的第四项为 24. 3 (2012课标全国 )已知 等比数列， 2， 8，则 ( ) A 7 B 5 C 5 D 7 答案 D 解析 方法一 由题意得 2， 8， 2，1 或 12， 8， 7. 方法二 由 2， 8 解得 2，4 或 4， 2. 2，1 或 12， 8， 7. 4 (2013北京 )若等比数列 足 20， 40，则公比 q _；前 n 项和 _. 答案 2 2n 1 2 解析 设等比数列的公比为 q，由 20， 40. 得 20q 40，且 20，解之得 q 2，且 2. 因此 q 2n 1 2. 5 (2012辽宁 )已知等比数 列 递增数列，且 2(2) 51，则数列 通项公式 _. 答案 2n 解析 先判断数列的项是正数，再求出公比和首项 3 ，根据已知条件得 2 1q q 5，解得 q 2. 所以 以 2，所以 2n. 题型一 等比数列的基本运算 例 1 (1)设 由正数组成的等比数列， n 项和已知 1， 7，则 ( ) (2)在等比数列 ，若 6， 15，则 _. 思维启迪 利用等比数列的通项公式与前 组 )计算 答案 (1)B (2)4 或 4 解析 (1)显然公比 q 1，由题意得 1 q 7， 解得 4q 12 或 9q 13 (舍去 )， q 41 1251 12 314 . (2)设等比数列 公比为 q(q 0)， 则 615 ， 两式相除，得 25， 即 25q 2 0，解得 q 2 或 q 12. 所以 1q 2 或 16q 12 . 故 4 或 4. 思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量 a1，n， q， 般可以 “ 知三求二 ” ，通过列方程 (组 )可迎刃而解 (1)在等比数列 ， 1，公比为 q，且 |q| 1.若 m 4 等于 ( ) A 9 B 10 C 11 D 12 (2)设 前 n 项和，已知 32,32，则公比 ) A 3 B 4 C 5 D 6 (3)已知 首项为 1 的等比数列， 前 n 项和，且 9数列 1前5 项和为 ( ) 5 答案 (1)C (2)B (3)C 解析 (1) 1， qq2q3 即 a1 m . (2)因为 32， 32 得 3 4 q 4. (3)若 q 1，则由 9 36 则 0，不满足题意，故 q 1. 由 9 q q ， 解得 q 2. 故 1 2n 1， 1(12)n 1. 所以数列 1以 1 为首项，以 12为公比的等比数列， 其前 5 项和为 1 1251 12 3116. 题型二 等比数列的性质及应用 例 2 (1)在等比数列 ，各项均为正值，且 41， 5，则 _. (2)等比数列 首项 1，前 n 项和为 3132，则公比 q _. 思维启迪 利用等比数列的项的性质和前 答案 (1) 51 (2) 12 解析 (1)由 41 及 得 5， 5 所以 ( 241 2 5 51. 又 ，所以 51. (2)由 3132， 1 知公比 q 1， 132. 由等比数列前 5， 公比为 故 132， q 12. 思维升华 (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质 “ 若 m n p q，则 amap，可以减少运算量，提高解题速度 (2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用 (1)已知各项均为正数的等比 数列 ， 5， 10，则 ( ) A 5 2 B 7 C 6 D 4 2 (2)记等比数列 前 n 项积为 Tn(n N )，已知 11 20，且 1 128，则 m 的值为 ( ) A 4 B 7 C 10 D 12 (3)已知 前 8， 7，则 _. 答案 (1)A (2)A (3) 78 解析 (1)把 由题意，知它们分别是一个等比数列的第 1 项，第 4 项和第 7 项，这里的第 4 项刚好是第 1 项与第 7 项的等比中项因为数列 各项均为正数，所以 5 10 5 2. (2)因为 等比数列，所以 11 又由题中 11 20，可知 2. 由等比数列的性质可知前 (2m 1)项积为 1 1m ， 即 22m 1 128，故 m 4. (3)根据等比数列的性质，知 8,7 8， 7 成等比数列，所以 ( 1)2 8(7)解得 718 8 78. 题型三 等比数列的判定 例 3 已知数列 前 n，数列 ， 1 (n 2)，且 n. (1)设 1，求证： 等比数列； (2)求数列 通项公式 6 思维启迪 (1)由 n及 1 1 n 1转化成 1的递推关系，再构造数列 1 (2)由 (1)证明 n， 1 1 n 1. 得 1 1 1， 21 1， 2(1 1) 1， 1 11 12， 1是等比数列 又 1， 12， 首项 1， 12，公比 q 12. 又 1， 以 12为首项，以 12为公比的等比数列 (2)解 由 (1)可知 12 12 n 1 12 n， 1 1 12 n. 当 n 2 时， 1 1 12 n 1 12 n 1 12 n 1 12 n 12 n. 又 12代入上式也符合， 12 n. 思维升华 注意判断一个数列是等比数列的方法，另外第 (2)问中要注意验证 n 1 时是否符合 n 2时的通项公式，能合并的必须合并 设数列 前 n 项和为 知 1， 1 42. (1)设 1 2明数列 等比数列； (2)求数列 通项公式 解 (1)由 1 及 1 42，有 42. 5， 23. 又 1 42， 41 2， ，得 1 441， 所以 1 22(21) 1 2 21， 7 故 首项 3，公比为 2 的等比数列 (2)由 (1)知 1 232n 1，所以 12n 1 34， 故 首项为 12，公差为 34的等差数列 所以 12 (n 1)34 3n 14 ，得 (3n 1)2n 2. 等比数列求和忽视公比 典例： (5 分 )设等比数列 公比为 q，前 n 项和 (n 1,2,3， )则 q 的取值范围为_ 易错分析 本题易忽视 于等比数列求和公式中分两种情况 q 1 和 q 1，而本题未说明 求解时应分类讨论，而不能直接利用公式 q . 解析 因为 等比数列， ， 可以得到 ， q 0， 当 q 1 时， ； 当 q 1 时， q 0， 即 1 q0(n 1,2,3， )，上式等价于不等式组 1 ， (n 1,2,3， ) 解 式得 q1，解 式，由于 为偶数， 得 11，且 n N )， 1 3(1) 3 1 4n1， 31 31 3t 1， 当 t 1 时， 4列 等比数列 (2)在 (1)的结论下， 1 41 4n， 1 n， 4n 1 n， (40 1) (41 2) (4n 1 n) (1 4 42 4n 1) (1 2 3 n) 4n 13 nn 12 . B 组 专项能力提升 (时间： 30分钟 ) 1已知 首项为 1 的等比数列，若 前 n 项和，且 28数列 1和为 ( ) 4 答案 C 解析 设数列 公比为 q. 当 q 1 时，由 1，得 2828 3 84. 而 6，两者不相等，因此不合题意 当 q 1 时，由 28，得 281 q 1 q 通项公式为 3n 1. 所以数列 1 项和为 1 13 19 127 4027. 2 (2013福建 )已知等比数列 公比为 q，记 am(n 1) 1 am(n 1) 2 am(n 1) m， am(n 1) 1am(n 1) 2 am(n 1) m(m， n N )，则以下结论一 定正确的是 12 ( ) A数列 等差数列，公差为 数列 等比数列，公比为 数列 等比数列，公比为 数列 等比数列，公比为 案 C 解析 am(n 1)(q 1q qmamn 1q n 1 数 ) 1 又 (am(n 1)2 m (am(n 1)12 )m， 1( n 1)m (qm)m 数 ) 1 选 C. 3在数列 ，已知 1， 2(1 2 (n 2， n N )，这个数列的通项公式是 _ 答案 1， n 12 3n 2， n 2 解析 由已知 n 2 时， 21 当 n 3 时， 1 22 整理得 1 3 (n 3)， 1， n 1，2 3n 2， n 2. 4已知在正项数列 ， 2，点 1)在双曲线 1 上，数列 ，点 (直线 y 12x 1 上，其中 前 (1)求数列 通项公式； (2)求证：数列 等比数列 (1)解 由已知点 1 上知， 1 1， 数列 一个以 2 为首项，以 1 为公差的等差数列， (n 1)d 2 n 1 n 1. (2)证明 点 (直线 y 12x 1 上， 121， 13 1 121 1(n 2)， 两式相减得 12121(n 2)， 32121， 131(n 2) 令 n 1，得 121， 23， 一个以 23为首项，以 13为公比的等比数列 5 (2013天津 )已知首项为 32的等比数列 是 递减数列，其前 n 项和为 Sn(n N )，且 (1)求数列 通项公式； (2)设 1Sn(n N )，求数列 最大项的值与最小项的值 解 (1)设等比数列 公比为 q， 因为 所以 4 于是 14. 又 是递减数列且 32， 所以 q 12. 故等比数列 通项公式为 32 12 n 1 ( 1)n 132n. (2)由 (1)得 1 12 n 1 12n， 12n， 当 n 为奇数时， n 的增大而减小， 所以 11134 43 712. 综上，对于 n N ，总有 712 156. 所以数列 大项的值为 56，最小项的值为 712. 1 列求和 1 求数列的前 n 项和的方法 (1)公式法 等差数列的前 n 项和公式 n nn 12 d. 等比数列的前 n 项和公式 q 1 q q q 1(2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解 (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项 (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广 (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广 (6)并项求和法 一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 ( 1)nf(n)类型，可采用两项合并求解 例如， 1002 992 982 972 22 12 (100 99) (98 97) (2 1) 5 050. 2 常见的裂项公式 (1) 1nn 1 1n 1n 1； (2) 12n 12n 1 12 12n 1 12n 1 ； (3) 1n n 1 n 1 n. 2 1判断下面结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “” ) (1)如果数列 等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和 11 q . ( ) (2)当 n 2 时， 11 12( 1n 1 1n 1) ( ) (3)求 a 23 根据错位相减法求得 ( ) (4)数列 12n 2n 1的前 n 项和为 12n. ( ) (5)若数列 ， 1是首项为 1，公比为 3 的等比数列，则数列 通项公式是 3n 12 . ( ) (6)推导等差数列求和公式的方法叫作倒序求和法，利用此法可求得 ( ) 2 (2012大纲全国 )已知等差数列 前 n 项和为 5， 15，则数列 11的前100 项和为 ( ) B. 99101 C. 99100 案 A 解析 利用裂项相消法求和 设等差数列 首项为 差为 d. 5， 15， 4d 5，55 5 12 d 15， 1，d 1， (n 1)d n. 11 1nn 1 1n 1n 1， 数列 11的前 100 项和为 1 12 12 13 1100 1101 1 1101 100101. 3 3若数列 通项公式为 2n 2n 1，则数列 前 n 项和 ( ) A 2n 1 B 2n 1 1 C 2n 1 2 D 2n 2 答案 C 解析 (2 22 23 2n) (1 3 5 (2n 1) 21 2n1 2 n1 2n 12 2n 1 2 4数列 通项公式为 ( 1)n 1(4n 3)，则它的前 100 项之和 ( ) A 200 B 200 C 400 D 400 答案 B 解析 (4 1 3) (4 2 3) (4 3 3) (4 100 3) 4 (1 2) (3 4) (99 100) 4 ( 50) 200. 5 32 1 42 2 52 3 (n 2)2 n _. 答案 4 n 42n 解析 设 S 3 12 4 122 5 123 (n 2) 12n， 则 12S 3 122 4 123 5 124 (n 2) 12n 1. 两式相减得 12S 3 12 ( 122 123 12n) n 22n 1 . S 3 (12 122 12n 1) n 22n 3121 12n 11 12 n 22n 4 n 42n . 题型一 分组转 化求和 例 1 已知数列 3 2 1,6 22 1,9 23 1,12 24 1， ，写出数列 通项公式并求其前 n 项和 思维启迪 先写出通项，然后对通项变形，分组后利用等差数列、等比数列的求和公式求解 解 由已知得，数列 通项公式为 3n 2n 1 3n 1 2n， 4 (2 5 3n 1) (2 22 2n) n2 3n 12 21 2n1 2 12n(3n 1) 2n 1 2. 思维升华 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论 求和 1 1 12 1 12 14 1 12 14 12n 1 . 解 和式中第 k 项为 1 12 14 12k 11 12 12 2 1 12k . 2 1 12 1 122 1 12n 2(1 1 1 (12 122 12n) 2n12 1 1212 12n 1 2n 2. 题型二 错位相减法求和 例 2 已知等差数列 前 3 项和为 6，前 8 项和为 4. (1)求数列 通项公式； (2)设 (4 an)1(q 0， n N )，求数列 前 n 项和 思维启迪 (1)列方程组求 首项、公差，然后写出通项 (2)q 1时， 接求和； q 1时，用错位相减法求和 解 (1)设等差数列 公差为 d. 由已知得 33d 6828d 4 ，解得 3d 1 . 故 3 (n 1)( 1) 4 n. (2)由 (1)得， n1， 于是 123 n1. 若 q 1，将上式两边同乘以 q 有 12 (n 1)1 n 5 两式相减得到 (q 1)1 1 1q 11 n 11q 1 . 于是， 1 n 11q 12 . 若 q 1，则 1 2 3 n nn 12 . 所以 nn 12 ， q 11 n 11q 12 ， q 1. 思维升华 (1)错位相减法是求解由等差数列 等比数列 应项之积组成的数列即 种方法运算量较大，要重视解题过程的训练 (2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围 已知等差数列 足 0， 10. (1)求数列 通项公式； (2)求数列 1 的前 n 项和 解 (1)设等差数列 公差为 d， 由已知条件可得 d 0，212d 10， 解得 1，d 1 . 故数列 通项公式为 2 n. (2)设数列 1 的前 n 项和为 即 1， 故 1， 所以，当 n 1 时， 得 a1 12n 1 1 (12 14 12n 1) 2 1 (1 12n 1) 2 所以 1.当 n 1 时也成立 6 综上，数列 1 的前 n 项和 1. 题型三 裂项相消法求和 例 3 在数列 ， 1，当 n 2 时，其前 n 项和 2n 12 . (1)求 (2)设 1，求 前 n 项和 思维启迪 第 (1)问利用 1 (n 2)后，再同除 1 1列即可求 第 (2)问求出 通项公式，用裂项相消法求和 解 (1) 12 ， 1 (n 2)， (1) 12 ， 即 211 由题意得 10， 式两边同除以 1 111 2， 数列 111，公差为 2 的等差数列 11 2(n 1) 2n 1， 12n 1. (2) 1 12n 12n 1 12 12n 1 12n 1 ， 12(1 13) (13 15) ( 12n 1 12n 1) 12 1 12n 1 1. 思维升华 利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩 下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等 已知数列 各项均为正数，前 n 项和为 an12 ， n N . (1)求证：数列 等差数列； 7 (2)设 12 (1)证明 an12 ， n N ， 当 n 1 时， a112 ()， 1. 当 n 2 时，由 21 1 1 得 21 1. 即 (1)(1 1) 0， 10， 1 1(n 2) 所以数列 以 1 为首项，以 1 为公差的 等差数列 (2)解 由 (1)可得 n， nn 12 ， 121nn 1 1n 1n 1. 1 12 12 13 1n 1n 1 1 1n 1 1. 四审结构定方案 典例： (12 分 )(2012江西 )已知数列 前 n 项和 12中 k N )，且 . (1)确定常数 k，并求 (2)求数列 9 2前 n 项和 8 规范解答 解 (1)当 n k N 时， 12得最大值， 即 8 1212 16， k 4. 当 n 1 时， 12 4 72， 3 分 当 n 2 时， 1 92 n. 6 分 当 n 1 时，上式也成立，综上， 92 n. (2)因为 9 2 1， 所以 1 22 322 n 12n 2 1， 7 分 所 以 22 2 32 n 12n 3 2 9 ： 22 1 12 12n 2 1 4 12n 2 1 4 n 22n 1 11 分 故 4 n 22n 1 . 12 分 温馨提醒 (1)根据数列前 n 项和的 结构特征和最值确定 k 和 出 9 2的结构特征确定利用错位相减法求 审题目中数式的结构特征判定解题方案； (2)利用 n 1 的情况；错位相减时不要漏项或算错项数 方法与技巧 非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想： (1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或
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