【创新设计】（浙江专用）2014届高考数学总复习 第12篇限时训练（打包3套）
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【创新设计】（浙江专用）2014届高考数学总复习 第12篇限时训练（打包3套）,创新,立异,设计,浙江,专用,高考,数学,复习,温习,12,十二,限时,训练,打包
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1 随机变量及其分布列 第 1 讲 离散型随机变量及其分布列 分层 A 级 基础达标演练 (时间： 30 分钟 满分： 55 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 1如果 X 是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是 ( ) A X 取每个可能值的概率是非负实数 B X 取所有可能值的概率之和为 1 C X 取某 2 个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和 D X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 解析 由离散型随机变量的性质，得 ， i 1,2， n，且 i 11. 答案 D 2已知随机变量 X 的分布列为 P(X i) i 1,2,3)，则 P(X 2)等于 ( ) 析 12a 22a 32a 1， a 3， P(X 2) 223 13. 答案 C 3若随机变量 X 的概率分布列为 X x1 p1 12 ) 析 由 1 且 213. 2 答案 B 4已知随机变量 X 的分布列为： P(X k) 12k， k 1,2， ，则 P(2X4) 等于 ( ) 析 P(2X4) P(X 3) P(X 4) 123 124 316. 答案 A 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 5 (2012 上海虹口 3 月模拟 )已知某一随机变量 的概率分布列如下，且 E( ) a _. 4 a 9 P .1 b 解析 由分布列性质知： b 1， b E( ) 4 a9 a 7. 答案 7 6 (2013 泉州模拟 )在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数 的分布列为 _ 解析 的所有可能值为 0,1, 0) 4， P( 1)212， P( 2) 4. 的分布列为 0 1 2 P 14 12 14 答案 0 1 2 P 14 12 14 三、解答题 (共 25 分 ) 7 (12 分 )在一次购物抽奖活动中，假设某 10 张 券中有一等奖券 1 张，可获价值 50 元的 3 奖品；有二等奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖某顾客从此 10张奖券中任抽 2 张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值 X 元的概率分布列 解 (1)该顾客中奖，说明是从有奖的 4 张奖券中抽到了 1 张或 2 张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率 P 304523. 或用间接法，即 P 1 1154523. (2)依题意可知， X 的所有可能取值为 0,10,20,50,60(元 )，且 P(X 0) 13， P(X 10)25， P(X 20) 15， P(X 50)215， P(X 60) 115. 所以 X 的分布列为： X 0 10 20 50 60 P 13 25 115 215 115 8.(13 分 )(2012 江苏 )设 为随机变量，从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时， 0 ；当两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时， 1. (1)求概率 P( 0)； (2)求 的分布列，并求其数学期望 E( ) 解 (1)若两条棱相交，则交点必为正方体 8 个顶点中的 1 个，过任意 1 个顶点恰有 3条棱，所以共有 8此 P( 0) 8366 411. (2)若两条棱平行，则它们的距离为 1 或 2，其中距离为 2的共有 6 对，故 P( 2) 6111， 于是 P( 1) 1 P( 0) P( 2) 1 411 111 611， 所以随机变量 的分布列是 0 1 2 4 P 411 611 111 因此 E( ) 1 611 2 111 6 211 . 分层 B 级 创新能力提升 1 (2013 长沙二模 )若离散型随机变量 X 的分布列为： X 0 1 P 9c 3 8c 则常数 c 的值为 ( ) 3 D 1 解析 9c0 ，3 8c0 ，9c 3 8c 1， c 13. 答案 C 2一袋中有 5 个白球， 3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到 红 球 出 现 10 次 时 停 止 ， 设 停 止 时 共 取 了 X 次 球 ， 则 P(X 12) 等于 ( ) A 38 10 58 2 B 38 9 58 238 C 58 9 38 2 D 38 10 58 2 解析 “ X 12” 表示第 12 次取到红球，前 11 次有 9 次取到红球， 2 次取到白球，因此 P(X 12) 38 38 9 58 2 38 10 58 2. 答案 D 3 (2013 郑州调研 )设随机变量 X 的概率分布列为 X 1 2 3 4 P 13 m 14 16 则 P(|X 3| 1) _. 5 解析 由 13 m 14 16 1，解得 m 14， P(|X 3| 1) P(X 2) P(X 4) 14 16 512. 答案 512 4甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有 3 个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得 0 分，抢到题 并回答正确的得 1 分，抢到题但回答错误的扣 1 分 (即得 1 分 )若 X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分 (分数高者胜 )，则 X 的所有可能取值是_ 解析 X 1，甲抢到一题但答错了，或抢到三题只答对一题； X 0，甲没抢到题，或甲抢到 2 题，但答时一对一错； X 1 时，甲抢到 1 题且答对或甲抢到 3 题，且一错两对； X 2 时，甲抢到 2 题均答对； X 3 时，甲抢到 3 题均答对 答案 1,0,1,2,3 球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为 12， 13， 23. (1)求该高中获得冠军个数 X 的分布列； (2)若球队获得冠军，则给其所在学校加 5 分，否则加 2 分，求该高中得分 的分布列 解 (1) X 的可能取值为 0,1,2,3，取相应值的概率分别为 P(X 0) 1 12 1 13 1 23 19， P(X 1) 12 1 13 1 23 1 12 13 1 23 1 12 1 13 23 718， P(X 2) 12 13 1 23 1 12 13 23 12 1 13 23 718， P(X 3) 12 13 23 19. X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 19 718 718 19 (2) 得分 5X 2(3 X) 6 3X， X 的可能取值为 0,1,2,3. 的可能取值为 6,9,12,15，取相应值 的概率分别为 P( 6) P(X 0) 19， P( 9) P(X 1) 718， 6 P( 12) P(X 2) 718， P( 15) P(X 3) 19. 得分 的分布列为 6 9 12 15 P 19 718 718 19 位考试者一年之内最多有 4 次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取 驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4 次为止如果李明决定参加驾照考试，在一年内李明参加驾照考试次数 X 的分布列，并求李明在一年内领到驾照的概率 解 X 的取值分别为 1,2,3,4. X 1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了， 故 P(X 1) X 2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了， 故 P(X 2) (1 X 3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了， 故 P(X 3) (1 (1 X 4，表明李明第一、二、三次考试都未通过， 故 P(X 4) (1 (1 (1 李明实际参加考试次数 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 明在一年内领到驾照的概率为 1 (1 1 1 1 . 1 第 2 讲 独立重复试验与二项分布 分层 A 级 基础达标演练 (时间： 30 分钟 满分： 55 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 1 (2011 湖北 )如图，用 K、 K 正常工作且 统正常工作，已知 K、 系统正常工作的概率为 ( ) A B C D 析 P 1 (1 答案 B 2 (2011 广东 )甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 ( ) 析 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率 12；第二类，需比赛 2 局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率 12 12 1 34. 答案 A 3在 4 次独立重复试验中，随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件 A 在一次试验中发生的概率 p 的取值范围是 ( ) A B (0,C (0, D 解析 设事件 A 发生的概率为 p，则 p)3C 24 p)2，解得 p故选 A. 答案 A 4袋中有 5 个小球 (3 白 2 黑 )，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是 ( ) 2 析 在第一次取到白球的条件下，在第二次取球时，袋中有 2 个白球和 2 个黑球共 4个球，所以取到白球的概率 P 24 12，故选 C. 答案 C 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 5 (2013 台州二模 )某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是 每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于 _ 解析 由已知条件第 2 个问题答错，第 3、 4 个问题答对，记 “ 问题回答正确 ” 事件为 A，则 P(A) P P A A A (1 P(A) P(A) P(A) 答案 (2011 重庆 )将一枚硬币抛掷 6 次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为_ 解析 由题意知，正面可以出现 6 次， 5 次， 4 次，所求概率 P 12 6 12 6 12 6 1 6 1564 1132. 答案 1132 三、解答题 (共 25 分 ) 7 (12 分 )(2010 江苏 )某工厂生产甲、乙两种产品甲产品的一等品率为 80%，二等品率为 20%；乙产品的一等品率为 90%，二等品率为 10% 件甲产品，若是一等品则获得利润 4 万元，若是二等品则亏损 1 万元；生产 1 件乙产品，若是一等品则获得利润 6万元， 若是二等品则亏损 2 万元设生产各件产品相互独立 (1)记 X(单位：万元 )为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润，求 X 的概率分布列； (2)求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率 解 (1)由题意知， X 的可能取值为 10,5,2， 3. P(X 10) P(X 5) 3 P(X 2) P(X 3) 所以 X 的概率分布为 X 10 5 2 3 P 2)设生产的 4 件甲产品中一等品有 n(n4 ，且 n N*)件，则二等品有 (4 n)件由题设知 4n (4 n)10 ，解得 n 145 ，又 n N*，所以 n 3 或 n 4. 所以 P . 故所求概率为 . 8 (13 分 )(2012 重庆 )甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为 13，乙每次投篮投中的概率为 12，且各次投篮互不影响 (1)求甲获胜的概率； (2)求投篮结束时甲的投球次数 的分布列与期望 解 设 在第 k 次投篮投中，则 P( 13， P( 12(k 1,2,3) (1)记 “ 甲获胜 ” 为事件 C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知 P(C) P( P( A 1 B 1 P( A 1 B 1 A 2 B 2 P( P( A 1)P( B 1)P(P( A 1)P( B 1)P( A 2)P( B 2)P( 13 23 12 13 23 2 12 2 13 13 19 127 1327. (2) 的所有可能值为 1,2,3 由独立性，知 P( 1) P( P( 13 23 12 23， P( 2) P( A 1 B 1 P( A 1 B 1 A 2 23 12 13 23 2 12 2 29， 4 P( 3) P( )A 1 B 1 A 2 B 2 23 2 12 2 19. 综上知， 的分布列为 1 2 3 P 23 29 19 从而 E( ) 1 23 2 29 3 19 139(次 ) 分层 B 级 创新能力提升 1一个电路如图所示， A、 B、 C、 D、 E、 F 为 6 个开关，其闭合的概率都是 12，且是相互独立的，则灯亮的概率是 ( ) 析 设 A 与 B 中至少有一个不闭合的事件为 T， E 与 F 至少有一个不闭 合的事件为 R， 则 P(T) P(R) 1 12 12 34， 所以灯亮的概率 P 1 P(T)P(R)P(C)P(D) 5564. 答案 B 2位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 移动五次后位于点 (2,3)的概率是 ( ) A. 12 5 B 12 5 C 12 3 D 12 5 解析 由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点 5 (2,3)，所以质点 P 必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为 12 3 12 2 125 12 5，故选 B. 答案 B 3 (2013 湘潭二模 )如果 X B(20， p)，当 p 12且 P(X k)取得最大值时， k _. 解析 当 p 12时， P(X k) 12 k 12 20 k 12 20，显然当 k 10 时， P(X k)取得最大值 答案 10 4 (2013 九江一模 )将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在下落的过程中，将 3 次遇到黑色障碍物，最后落入 A 袋或 B 袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是 12，则小球落入 A 袋中的概率为 _ 解析 记 “ 小球落入 A 袋中 ” 为事件 A， “ 小球落入 B 袋中 ” 为事件 B，则事件 A 的对立事件为 B，若小球落入 B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故 P(B)123123 14，从而 P(A) 1 P(B) 11434. 答案 34 5某 地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有 75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响 (1)任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (2)任选 3 名下岗人员，记 X 为 3 人中参加过培训的人数，求 X 的分布列 解 (1)任选 1 名下岗人员，记 “ 该人参加过财会培训 ” 为事件 A， “ 该人参加过计算机 6 培训 ” 为事件 B，由题设知，事件 A 与 B 相互独立，且 P(A) P(B) 所以，该下岗人员没有参加过培训的概率是 P( A B ) P( A ) P( B ) (1 1 该人参加过培训的概率为 1 (2)因为每个人的选择是相互独立的，所以 3 人中参加过培训的人数 X 服从二项分布 XB(3, P(X k) k， k 0,1,2,3， X 的分布列是 X 0 1 2 3 P .(2012 山东 )现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为 34，命中得 1 分，没有命中得 0 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 23，每命中一次得 2 分，没有命中得 0 分该射手每次射击的结果相互独立假设该射手完成以上三次射击 (1)求该射手恰好命中一次的概率； (2)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 E(X) 解 (1)记： “ 该射手恰好命中一次 ” 为事件 A， “ 该射手射击甲靶命中 ” 为事件 B， “ 该射手第一次射击乙靶命中 ” 为事件 C， “ 该射手第二次射击乙靶命中 ” 为事件 D. 由题意，知 P(B) 34， P(C) P(D) 23， 由于 A B C D B C D B C D， 根据事件的独立性和互斥性，得 P(A) P(B C D B C D B C D) P(B C D ) P( B C D ) P( B C D) P(B)P( C )P( D ) P( B )P(C)P( D ) P( B )P( C )P(D) 34 1 23 1 23 1 34 23 1 23 1 34 1 23 23 736. (2)根据题意，知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4, P(X 0) P( B C D ) 1 P(B)1 P(C)1 P(D) 7 1 34 1 23 1 23 136； P(X 1) P(B C D ) P(B)P( C )P( D ) 34 1 23 1 23 112； P(X 2) P( B C D B C D) P( B C D ) P( B C D) 1 34 23 1 23 1 34 1 23 23 19； P(X 3) P( B C D) P( ) P(B C D) 34 23 1 23 34 1 23 23 13； P(X 4) P( B 1 34 23 23 19， P(X 5) P( 34 23 23 13. 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 136 112 19 13 19 13 所以 E(X) 0 136 1 112 2 19 3 13 4 19 5 13 4112. 1 第 3 讲 离散型随机变量的均值与方差 分层 A 级 基础达标演练 (时间： 30 分钟 满分： 55 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 1 (2013 西安模拟 )样本中共有五个个体，其值分别为 a,0,1,2,，则样本方差为 ( ) A. 65 C. 2 D 2 解析 由题意，知 a 0 1 2 3 51 ，解得， a 1. 12 2 2 2 25 2. 答案 D 2签盒中有编号为 1、 2、 3、 4、 5、 6 的六支签，从中任意取 3 支，设 X 为这 3 支签的号码之中最大的一个，则 X 的数学期望为 ( ) A 5 B C D 析 由题意可知， X 可以取 3,4,5,6， P(X 3) 1120， P(X 4) 20， P(X 5) 10， P(X 6)2. 由数学期望的定义可求得 E(X) 答案 B 3若 p 为非负实数，随机变量 的分布列为 0 1 2 P 12 p p 12 则 E( )的最大值为 ( ) A 1 D 2 2 解析 由 p0 ， 12 p0 ，则 0 p 12， E( ) p 1 32. 答案 B 4 (2013 广州一模 )已知随机变量 X 8，若 X B(10， 则 E( )， D( )分别是 ( ) A 6 和 B 2 和 C 2 和 D 6 和 析 由已知随机变量 X 8，所以有 8 得 E( ) 8 E(X) 810 2， D( ) ( 1)2D(X) 10 答案 B 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 5某射手射击所得环数 的分布列如下： 7 8 9 10 P x .3 y 已知 的期望 E( ) y 的值为 _ 解析 x y 1，即 x y 又 7x 10y 简得 7x 10y 由 联立解得 x y 答案 .(2013 温州调研 )已知离散型随机变量 X 的分布列如右表，若 E(X) 0， D(X) 1，则 a _， b _. X 1 0 1 2 P a b c 112 解析 由题意知 a b c 1112， a c 16 0，a c 13 1，解得 a 512，b 14，c 512 14 3 三、解答题 (共 25 分 ) 7 (12 分 )某篮球队与其他 6 支篮球队依次进行 6 场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是 13. (1)求这支篮球队首次胜场 前已经负了两场的概率； (2)求这支篮球队在 6 场比赛中恰好胜了 3 场的概率； (3)求这支篮球队在 6 场比赛中胜场数的均值和方差 解 (1)P 1 13 2 13 427. 所以这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为 427； (2) P 13 3 1 13 3 20 127 827 160729. 所以这支篮球队在 6 场比赛中恰胜 3 场的概率为 160729； (3)由于 服从二项分布，即 B 6， 13 ， E( ) 6 13 2， D( ) 6 13 1 13 43. 所以在 6 场比赛中这支篮球队胜场的期望为 2，方差为 43. 8 (13 分 )(2013 汕头一模 )袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 个 (n 1,2,3,4)现从袋中任取一球， X 表示所取球的标号 (1)求 X 的分布列、期望和方差； (2)若 b， E( ) 1， D( ) 11，试求 a， b 的值 解 (1)X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 12 120 110 320 15 E(X) 0 12 1 120 2 110 3 320 4 15 D(X) (0 12 (1 120 (2 110 (3 320 (4 15 (2)由 D( ) )，得 11，即 a 2. 又 E( ) ) b， 所以当 a 2 时，由 1 2 b，得 b 2. 4 当 a 2 时，由 1 2 b，得 b 4. a 2，b 2 或 a 2，b 4， 即为所求 分层 B 级 创新能力提升 1一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分 的概率为 c(a、b、 c (0,1)，已知他投篮一次得分的均值为 2，则 2a 13( ) 析 由已知得， 3a 2b 0 c 2， 即 3a 2b 2，其中 0a23， 0b1. 又 2a 13b 3a 2 2a 13b 3 13 2 103 2 2 163 ， 当且仅当 2 a 2b 时取 “ 等号 ” ，又 3a 2b 2，即当 a 12， b 14时， 2a 1363 ，故选 D. 答案 D 2已知 X 的分布列为 X 1 0 1 P 12 13 16 则在下列式子中： E(X) 13； D(X) 2327； P(X 0) 13. 正确的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 解析 E(X) ( 1) 12 1 16 13，故 正确 5 D(X) 1 13 2 12 0 13 2 13 1 13 2 16 59，故 不正确 由分布列知 正确 答案 C 3随机变量 的分布列如下： 1 0 1 P a b c 其中 a， b， c 成等差数列若 E( ) 13，则 D( )的值是 _ 解析 根据已知条件： a b c 1，2b a c， a c 13，解得： a 16， b 13， c 12， D( ) 16 1 13 2 13 0 13 2 12 1 13 2 59. 答案 59 4 (2013 滨州一模 )设 l 为平面上过点 (0,1)的直线， l 的斜率等可能地取 2 2， 3， 52 ， 0， 52 ， 3， 2 2，用 表示坐标原点到 l 的距离，则随机变量 的数学期望E( ) _. 解析 当 l 的斜率 k 为 2 2时，直线 l 的方程为 2 2x y 1 0，此时坐标原点到 d 13；当 k 为 3时， d 12；当 k 为 52 时， d 23；当 k 为 0 时， d 1，由古典概型的概率公式可得分布列如下： 13 12 23 1 P 27 27 27 17 所以 E( ) 13 27 12 27 23 27 1 17 47. 答案 47 5 (2013 大连二模 )甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为 12， a， a(0a1)， 6 三人各射击一次，击中目标的次数记为 . (1)求 的分布列及数学期望； (2)在概率 P( i)(i 0,1,2,3)中，若 P( 1)的值最大，求实数 a
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