高考数学专题复习-不等式(教师版)

- 1 - 不等式 第 1 课时 不等式的概念和性质 1、实数的大小比较法则： 设 a， b R，则 ab ； a b ； 定理 2（同向传递性） ab， bc 定理 3 ab a c b c 推论 ab， cd 定理 4 ab， c0 ab， ， cd0 推论 2 ab 0 nn (n N 且 n1) 定理 5 ab 0 na (n N 且 n1) 基础过关 知识网络 实数的性质 不等式的性质 均值不等式 不等式的证明 解不等式 不等式的应用 比较法 综合法 分析法 反证法 换元法 放缩法 判别式法 一元一次不等式 (组 ) 一元二次不等式 分式、高次不等式 含绝对值不等式 函数性质的讨论 方程根的分布 最值问题 实际应用问题 取值范围问题 - 2 - 1： 不等式 1 的解集是 _. 答案： x|23 x 3 且 x 1,x0。 解析 ： ：22 3 10 2 3 或 20 2 3 1 3, , 1 1 , 0 0 , 3223x 。 2. 设 f(x) 1 g(x) 2中 x 0， x1比较 f(x)与 g(x)的大小 . 解： 当 0 x 1 或 x34时， f(x) g(x)； 当 1 x34时， f(x) g(x)； 当 x34时， f(x) g(x). 3. 函数 )( 足： 1 )1(f 2， 2 )1(f 4，求 )2(f 的取值范围 解：由 f (x) f ( 1) a b， f (1) a b， f ( 2) 4a 2b a21f (1) f( 1)， b21f (1) f( 1) 则 f( 2) 2f (1) f ( 1) f (1) f ( 1) 3f ( 1) f (1) 由条件 1f( 1)2， 2f (1)4 可得 31 23f( 1) f(1)32 4 得 f ( 2)的取值范围是 5f ( 2)10. 4. 已知函数 f (x) b，当 p、 q 满足 p q 1 时，试证明： x) y)f (于任意实数 x、 y 都成立的充要条件是 op1. 证明 ： x) y) f ( pq(x y)2 p(1 p)(x y)2 充分性：当 0p1时， 2)(1( 0 从而 )()()( 必要性：当 )()()( 时，则有 2)(1( 0，又 2)( 0，从而 )1( 0，即 0p1综上所述，原命题成立 变式训练 4： 已知 a b c， a b c 0，方程 c 0 的两个实数根为 (1)证明：211； (2)若 1，求 (3)求 | 解： (1) a b c， a b c 0， 3a a b c， a b a b， a 0， 1 1 121 - 3 - (2)（方法 1） a b c 0 c 0 有一根为 1， 不妨设 1，则由 1222121 ,0)1( 22 )03(0212 1， 3222121 法 2) 2121 ,由222221221222121 )( 1122 ,022 ,0,121 121222121 3)(21212 212122 a )由 (2)知， 1)1()(11 22 2222221 21 4)1(41 2 1)1(43 2 3,02221 等式的性质是证明不等式与解不等式的重要而又基本的依据，必须要正确、熟练地掌握，要弄清每一性质的条件和结论注意条件的放宽和加强，条件和结论之间的相互联系 2使用 “作差 ”比较，其变形之一是将差式因式分解，然后根据各个因式的符号判断差式的符号；变形之二是将差式变成非负数（或非正数）之和，然后判断差式的符号 3关于数 (式 )比较大小 ，应该将 “相等 ”与 “不等 ”分开加以说明，不要笼统地写成“AB(或 BA)” 第 2 课时 算术平均数与几何平均数 1 a0， b0 时，称 为 a， b 的算术平均数；称 为 a， b 的几何平均数 2 定理 1 如果 a、 b R，那么 2且仅当 时 取 “ ”号） 3 定理 2 如果 a、 b R ，那么2 （当且仅当 a b 时取 “ ”号）即两个数的算术基础过关 归纳小结 - 4 - 平均数不小于它们的几何平均数 4 已知 x、 y R ， x y P， S. 有下列命题： (1) 如果 S 是定值，那么当且仅当 x y 时， x y 有最小值 (2) 如果 P 是定值，那么当且仅当 x y 时， 最大值 1 设 a、 b R ，试比较2 222 ，大小 解： a、 b R+， 12 当且仅当 a b 时等号成立 又4 2)2(222 42222 222 2222 当且仅当 a b 时等号成立 而 2是 2222 (当且仅当 a b 时取 “ ”号 ) 说明： 题中的 2222 分别叫做正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数也可取特殊值，得出它们的大小关系，然后再证明 , 三条边，且 2 2 2 ,S a b c p a b b c a c ，则（ ） A 2 B 2p S p C D 2p S p 解： D解析：2 2 2 2 2 21( ) ( ) ( ) ( ) 0 ,2S p a b c a b b c a c a b b c a c S p ， 又 2 2 2 2 2 2 2 2 2| | , | | , | | , 2 , 2 , 2a b c b c a a c b a a b b c b b c c a a a c c b 2 2 2 2 ( ) , 2a b c a b b c a c S p 。 3. 已知 a, b 都是正数，并且 a b，求证： ：证： ( ( = ( + ( = = ( ( = (a + b)(a b)2( a, b 都是正数 ， a + b, 0 典型例题 - 5 - 又 a b， (a b)2 0 (a + b)(a b)2( 0 即 ： . 甲、乙两地相距 S（千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度最大不得超过 c（千米 /小时）已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成可变部分与速度 v（千米 /小时）的平方成正比，且比例系数为正常数 b；固定部分为 a 元 (1) 试将全程运输成本 Y(元 )表示成速度 V(千米 /小时 )的函数 . (2) 为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？ 解 : (1) 依题意得，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为程运输成本为 y as(故所求函数及其定义域为 y s(bv)v (0,c) (2) s、 a、 b、 v R+，故 s(2s 当且仅当取等号，此时 vc即 v程运输成本最小 若bac，则当 v (0， c)时， y s( s(c v)(a c v0，且 a故有 a a s(s(且仅当 v c 时取等号，即 v c 时全程运输成本最小 1在应用两个定理时，必须熟悉它们的常用变形，同时注意它们成 立的条件 2在使用 “和为常数、积有最大值 ”和 “积为常数、和有最小值 ”这两个结论时，必须注意三点：“一正 ”变量为正数， “二定 ”和或积为定值， “三相等 ”等号应能取到，简记为 “一正二定三相等 ” 第 3 课时 不等式证明（一） 1比较法是证明不等式的一个最基本的方法，分比差、比商两种形式 (1)作差比较法，它的依据是： 它的基本步骤：作差 变形 判断，差的变形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等 (2) 作商比较法，它的依据是：若 a 0， b 0，则 小结归纳 基础过关 归纳小结 - 6 - 商 变形 判断商与 1 的大小它在证明幂、指数不等式中经常用到 2 综合法：综合法证题的指导思想是 “由因导果 ”，即从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推出要证明的结论 3 分析法：分析法证题的指导思想是 “由果索因 ”，即从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定所要证的不等式成立 1. 已知 0,0 求证：证法 1：)( ab ()()(33 ab )(2)(22 ab ( 0， 0， 0)( 2 0)( 证法 2：)()()( 33 11)( 2 ab 故原命题成立，证毕 2. 已知 a、 b R+，求证： )(22)1)( 典型例题 - 7 - 证明： ，因此要证明原不等式成立，则只要证 )(21 由于 )(21 0)22()22( 22 所以 )(21 从而原不等式成立 变式训练 1： 已知 a、 b、 c R，求证： 34222 证明：左边右边 34222 )812416444(41 222 0)1(4)2(3)2(41 222 34222 3. 已知 外接圆半径 R 1，41a 、 b 、 c 是三角形的三边，令 ，11 求证： 证明：Ra b B C 4221s i 又 R 1，41 1 11 211211211 111 但 的条件是 1 此时43 4. 设二次函数 )0()( 2 方程 0)( 两个根 1x 、 2x 满足0 21 (1) 当 x (0， ，证明： 2) 40， a(x 与同号， c a(x a (x 是含有 “至少 ”， “至多 ”， “唯一 ”， “不存在 ”或其它否定词的命题适宜用反证法 2在已知式子中，如果出现两变量之和为正常数或变量的绝对值不大于一个正常数，可进行三角变换，换元法证明不等式时，要注意换元的等价性 3放缩法证题中，放缩必须有目标，放缩的途径很多，如用均值不等式，增减项、放缩因式等 4含有字母的不等式，如果可以化成一边为零，另一边是关于某字母的二次三项式时，可用判别 式法证明不等式成立，但要注意根的范围和题设条件的限制 第 5 课时 绝对值不等式的应用 1、 有关绝对值不等式的主要性质： | x | )0()0(0)0( | x |0 | |a| |b|ab| a | | b | | ， (b0) 特别： ， |a b| ， |a b| ， |a b| ， |a b| 基础过关 归纳小结 - 12 - 2、 最简绝对值不等式的解法 | f(x) |a ； | f(x) |a ； a| f(x) |b 对于类似 a | f(x) | b| g(x) | c 的不等式，则应找出绝对值的零点，以此划分区间进行讨论求解 1. 解不等式： | 3x 4| x 1 解 :x 当 a 4 时，求)( )()( xf 的最小值； 若不等式)( )()( xf 1 对 x 1, 4恒成立，求 a 的取值范围 解 : (1)a 4 时，最小值 15； (2)1)( )()( xf x 1， 4恒成立 等价变形后，只要 a(t 2， t 1， 2恒 成立 (t x ) 设 h(t) a(t h (t) a(12当 0 t a 时， h(t) 0， h(t)单调递减； 当 t a 时， h(t) 0， h(t)单调递增； 当 t a 时， h(t) 0， h( a )为极小值； 这样对于 t 1， 2有 a 2 时， h(t)h(2) a(22a) 2 a 4 1a 2时， h(t)h a 2a a 2 1 a4 0 a 1 时， h(t)h(1) a(a 1) 无解 综上知： a 1 4. 设 a、 b R，已知二次函数 f(x) c， g(x) a，当 x 1时， f(x) 典型例题 - 13 - 求证： g(1) ； 求证：当 x 1时， | g(x)|4. 证明 (1) x 1时， f(x) 2 g(1) c b a f (x) 2 (2) 当 x 1时， g(x) a c(1) a c c(1) a c c ab c 2 2 4 变式训练 4： (1) 已知： | a | 1， | b | 1，求证： |1| 1； (2)求实数 的取值范围，使不等式 |ba 1| 1 对满足 | a | 1， | b | 1 的一切实数 a、 b 恒成立； (3) 已知 | a | 1，若 |1| 1，求 b 的取值范围 . (1)证明 ： |1 |a b|2 1+ (1)(1). | a | 1， | b | 1， 1 0， 1 0. |1 |a b|2 0. |1 |a b|， | |1| ba | |1| ba 1. (2)解： |ba 1| 1 |1 |b|2 (1)(1) 0. 1， 1 0 对于任意满足 | a | 1 的 a 恒成立 . 当 a 0 时， 1 0 成立； 当 a0时，要使 221 a | 1 的 a 恒成立，而21a 1， |1. 故 11. (3)|1| 1 (1)2 1 (a+b)2 (1+ a2+1 0 (1)(1) 0. |a| 1， 1. 1 0， 即 1 b 1. 1利用性质 |a| |b| a b |a| |b|时，应注意等号成立的条件 2解含绝对值的不等 式的总体思想是：将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式求解 归纳小结 - 14 - 3绝对值是历年高考的重点，而绝对值不等式更是常考常新，教学中，应注意绝对值与函数问题的结合 第 6 课时 含参数的不等式 含有参数的不等式可渗透到各类不等式中去，在解不等式时随时可见含参数的不等式而这类含参数的不等式是我们教学和高考中的一个重点和难点解含参数的不等式往往需要分类讨论求解，寻