2017年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

2017 年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1已知集合 A=x N|1 x 集合 A 中至少有 3 个元素，则（ ） A k k k k i 为虚数单位，若 （ a， b R）与（ 2 i） 2 互为共轭复数，则 a b=（ ） A 1 B 1 C 7 D 7 3已知 f（ x） =x，命题 p： x （ 0， ）， f（ x） 0，则（ ） A p 是假命题 ， p： x （ 0， ）， f（ x） 0 B p 是假命题， p： x （ 0， ）， f（ x） 0 C P 是真命题， p： x （ 0， ）， f（ x） 0 D p 是真命题， p： x （ 0， ）， f（ x） 0 4在等差数列 ， a8+0，则 2a 值为（ ） A 6 B 8 C 12 D 13 5我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作数学九章中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行如图算法的程序框图时，若输入的 n=5， x=2，则输出 V 的值为（ ） A 15 B 31 C 63 D 127 6一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为 10正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（ ） A 3 4 5 6若不等式组 表示的区域 ，不等式（ x ） 2+示的区域为，向 区域均匀随机撒 360 颗芝麻，则落在区域 中芝麻数约为（ ） A 114 B 10 C 150 D 50 8若等边 边长为 3，平面内一点 M 满足 = + ，则 的值为（ ） A B 2 C D 2 9高考结束后高三的 8 名同学准备拼车去旅游，其中一班、二班、三班、四班每班各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐 4 名同学（乘同一辆车的 4 名同学不考虑位置，）其中一班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4名同学中恰有 2 名同学是来自同一班的乘坐方式共有（ ） A 18 种 B 24 种 C 48 种 D 36 种 10已知双曲线 =1（ a 0， b 0），过其左焦点 F 作 x 轴的垂线，交双曲线于 A， B 两点，若双曲线的右顶点在以 直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A（ 1， ） B（ 1， 2） C（ ， + ） D（ 2， + ） 11如图，将绘有函数 f（ x） =2x+）（ 0， ）的部分图象的纸片沿 x 轴折成直二面角，若 间的空间距离为 2 ，则 f（ 1） =（ ） A 2 B 2 C D 12已知函数 f（ x） = ，若 F（ x） =ff（ x） +1+m 有两个零点 x1， x1取值范围是（ ） A 4 2+ ） B（ ， + ） C（ ， 4 2D（ ， ） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） . 13设 a= （ 二项式（ a ） 6 的展开式中含 的系数为 14已知抛物线 C： x 与点 M（ 0， 2），过 C 的焦点，且斜率为 k 的直线与C 交于 A， B 两点，若 =0，则 k= 15已知函数 f（ x） =bx+c（ a 0）有两个零点 1， 2，数列 足 =，设 an=若 ， 2，则数列 通项公式 16已知 f（ x） =3x+2+m（ m 0），在区间 0， 2上存在三个不同的实数 a，b， c，使得以 f（ a）， f（ b）， f（ c）为边长的三角形是直角三角形，则 m 的取值范围是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程 17在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 b（ 1+=c（ 2 （ ）求证： a， c， b 成等差数列； （ ）若 C= ， 面积为 4 ，求 c 18甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪 70 元，每单抽成 4 元；乙公司无底薪， 40 单以内（含 40 单）的部分每单抽成 5 元，超出 40 单的 部分每单抽成 7 元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其 100 天的送餐单数，得到如表频数表： 甲公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 20 40 20 10 10 乙公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 10 20 20 40 10 （ ）现从甲公司记录的 100 天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于 40的概率； （ ）若将频率视为概率，回 答下列问题： （ i）记乙公司送餐员日工资为 X（单位：元），求 X 的分布列和数学期望； （ 明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由 19如图，在三棱柱 ， D， E 分别是 中点， 0，C=2， ， （ ）证明： 平面 （ ）求二面角 A 平面角的正弦值 20已知椭圆 E： + =1（ a b 0）的左焦点 抛物线 4x 的焦点重合，椭圆 E 的离心率为 ，过点 M （ m， 0）（ m ）作斜率不为 0 的直线l，交椭圆 E 于 A， B 两点，点 P（ ， 0），且 为定值 （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）求 积的最大值 21已知函数 f（ x） =2a R （ ）若函数 y=f（ x）存在与直线 2x y=0 垂直的切线，求实数 a 的取值范围； （ ）设 g（ x） =f（ x） + ，若 g（ x）有极大值点 证： a 选修 4标系与参数方程选讲 22在直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），在以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆 C 的方程为 =6 （ ）写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程； （ ）设点 P（ 4， 3），直线 l 与圆 C 相交于 A， B 两点，求 + 的值 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x 2|+|2x+1| （ ）解不等式 f（ x） 5； （ ）若关于 x 的方程 =a 的解集为空集，求实数 a 的取值范围 2017 年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四 个选项中，只有一个是符合题目要求的 1已知集合 A=x N|1 x 集合 A 中至少有 3 个元素，则（ ） A k k k k 考点】 元素与集合关系的判断 【分析】 首先确定集合 A，由此得到 4，由此求得 k 的取值范围 【解答】 解： 集合 A=x N|1 x 集合 A 中至少有 3 个元素， A=2， 3， 4， ， 4， k 故选： C 2 i 为虚数单位，若 （ a， b R）与（ 2 i） 2 互为共轭复数，则 a b=（ ） A 1 B 1 C 7 D 7 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得 a， b 的值，则答案可求 【解答】 解： = ，（ 2 i） 2=4 4i 1=3 4i， 又 （ a， b R）与（ 2 i） 2 互为共轭复数， b=3， a= 4， 则 a b= 7 故选： D 3已知 f（ x） =x，命题 p： x （ 0， ）， f（ x） 0，则（ ） A p 是假命题， p： x （ 0， ）， f（ x） 0 B p 是假命题， p： x （ 0， ）， f（ x） 0 C P 是真命题， p： x （ 0， ）， f（ x） 0 D p 是真命题， p： x （ 0， ）， f（ x） 0 【考点】 命题的否定 【分析】 直接利用特称命题 否定是全称命题写出结果 【解答】 解： f（ x） =x， x （ 0， ）， f（ x） =1 0， f（ x）是（ 0， ）上是减函数， f（ 0） =0， f（ x） 0， 命题 p： x （ 0， ）， f（ x） 0 是真命题， p： x （ 0， ）， f（ x） 0， 故选： C 4在等差数列 ， a8+0，则 2a 值为（ ） A 6 B 8 C 12 D 13 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 由已知条件利用等差数列的通项公式求解 【解答】 解：在等差数列 ， a8+0， （ d） +4d=5（ d） =60， d=12， 2a （ d）（ d） =d=12 故选： C 5我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作数学九章中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行如图算法的程序框图时，若输入的 n=5， x=2，则输出 V 的值为（ ） A 15 B 31 C 63 D 127 【考点】 程序框图 【分析】 根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 v 的值，模拟程序的运行过程，可得答案 【解答】 解： 输入的 x=2， n=5， 故 v=1， i=4， v=1 2+1=3 i=3， v=3 2+1=7 i=2， v=7 2+1=15 i=1， v=15 2+1=31 i=0， v=31 2+1=63 i= 1，跳出循环，输出 v 的值为 63， 故选： C 6一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和 俯视图都是边长为 10正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（ ） A 3 4 5 6考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 r 【解答】 解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 r， 则 10 r+10 r=10 r=10 5 3 故选： A 7若不等式组 表示的区域 ，不等式（ x ） 2+示的区域为，向 区域均匀随机撒 360 颗芝麻，则落在区域 中芝麻数约为（ ） A 114 B 10 C 150 D 50 【考点】 几何概型；简单线性规划 【分析】 作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域 内的概率 【解答】 解：作出平面区域 如图：则区域 的面积为 S = 区域 表示以 D（ ）为圆心，以 为半径的圆， 则区域 和 的公共面积为 S= + = 芝麻落入区域 的概率为 = 落在区域 中芝麻数约为 360 =30+20 114 故选 A 8若等边 边长为 3，平面内一点 M 满足 = + ，则 的值为（ ） A B 2 C D 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 如图所示，建立直角坐标系利用向量坐标运算性质、数量积运算性质即可得出 【解答】 解：如图所示，建立直角坐标系： B（ 0， ）， A（ ， 0）， C（ ， 0） =（ ， ）， =（ 3， 0） = + =（ 2， ） =（ ， ）， =（ 1， ）， =（ ， ） 则 = = 2 故选： B 9高考结束后高三的 8 名同学准备拼车去旅游，其中 一班、二班、三班、四班每班各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐 4 名同学（乘同一辆车的 4 名同学不考虑位置，）其中一班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4名同学中恰有 2 名同学是来自同一班的乘坐方式共有（ ） A 18 种 B 24 种 C 48 种 D 36 种 【考点】 排列、组合的实际应用 【分析】 分类讨论，第一类，同一班的 2 名同学在甲车上；第二类，同一班的 2名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决 【解答】 解：由题意，第一类，同一班的 2 名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班 级中选两个为 ，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为 ，故有 3 4=12 种 第二类，同一班的 2 名同学不在甲车上，则从剩下的 3 个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为 ，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为，这时共有 3 4=12 种， 根据分类计数原理得，共有 12+12=24 种不同的乘车方式， 故选： B 10已知双曲线 =1（ a 0， b 0），过其左焦点 F 作 x 轴的垂线，交双曲线于 A， B 两点，若双曲线的右顶点在以 直径的圆外，则双曲线离心率的取 值范围是（ ） A（ 1， ） B（ 1， 2） C（ ， + ） D（ 2， + ） 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由右顶点 M 在以 直径的圆的外，得 | |将其转化为关于 a、 b、 c 的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得 e 2 0，解之即可得到此双曲线的离心率 e 的取值范围 【解答】 解：由于双曲线 =1（ a 0， b 0），则直线 程为： x= c， 因此，设 A（ c， B（ c， =1，解之得 ，得 | ， 双曲线的右顶点 M（ a， 0）在以 直径的圆外， | |即 a+c ， 将 b2=化简整理，得 2a2+0 两边都除以 理得 e 2 0， e 1， 解之得 1 e 2 故选： B 11如图，将绘有函数 f（ x） =2x+）（ 0， ）的部分图象的纸片沿 x 轴折成直二面角，若 间的空间距离为 2 ，则 f（ 1） =（ ） A 2 B 2 C D 【考点】 点、线、面间的距离计算；由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 根据图 象过点（ 0， 1），结合 的范围求得 的值，再根据 A、 B 两点之间的距离，求得 T 的值，可得 的值，从而求得函数的解析式，从而求得 f（ 1）的值 【解答】 解：由函数的图象可得 2，可得 ，再根据 ，可得 = 再根据 A、 B 两点之间的距离为 =2 ，求得 T=4， 再根据 T= =4，求得 = f（ x） =2x+ ）， f（ 1） =2 + ） = ， 故选： D 12已知函数 f（ x） = ，若 F（ x） =ff（ x） +1+m 有两个零点 x1， x1取值 范围是（ ） A 4 2+ ） B（ ， + ） C（ ， 4 2D（ ， ） 【考点】 分段函数的应用 【分析】 由题意可知：当 x 1 时， f（ x） +1 1， ff（ x） +1=f（ x） +1），当 x 1， f（ x） =1 ， ff（ x） +1=f（ x） +1）， ff（ x） +1=f（ x）+1） +m=0，则 2 2t）， t ，设 g（ t） =2 2t）， t ，求导，利用导数求得函数的单调性区间，即可求得 取值范围 【解答】 解：当 x 1 时， f（ x） =0， f（ x） +1 1， ff（ x） +1=f（ x） +1）， 当 x 1， f（ x） =1 ， f（ x） +1 ， ff（ x） +1=f（ x） +1）， 综上可知： Ff（ x） +1=f（ x） +1） +m=0， 则 f（ x） +1=e m， f（ x） =e m 1，有两个根 不妨设 当 x 1 是， e m 1，当 x 1 时， 1 =e m 1， 令 t=e m 1 ，则 t， x2=1 =t， 2t， 2 2t）， t ， 设 g（ t） =2 2t）， t ， 求导 g（ t） = 2 t （ ， + ）， g（ t） 0，函数 g（ t）单调递减， g（ t） g（ ） = ， g（ x）的值域为（ ， ）， 值范围为（ ， ）， 故选： D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） . 13设 a= （ 二项式（ a ） 6 的展开式中含 的系数为 12 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 根据微积分基本定理首先求出 a 的值，然后再根据二项式的通 项公式求出 r 的值，问题得以解决 【解答】 解：由于 a= （ | = 1 1= 2， （ 2 ） 6=（ 2 + ） 6 的通项公式为 =2r， 令 3 r=2，求得 r=1，故含 的系数为 22 故答案为： 12 14已知抛物线 C： x 与点 M（ 0， 2），过 C 的焦点，且斜率为 k 的直线与C 交于 A， B 两点，若 =0，则 k= 8 【考点】 直线与抛物线的位置关系 【分析】 设直线 方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及 向量数量积的坐标运算（ 2）（ 2） =0，即可求得 k 的值 【解答】 解：抛物线 C： x 的焦点为 F（ 1， 0）， 直线 方程为 y=k（ x 1），设 A（ B（ 联立方程组 ，整理得： 2） x+， 则 x1+=2+ y1+y2=k（ x1+ 2k= ， 1）（ 1） =k2 x1+1= 4， =0，（ 2）（ 2） =0，即 2（ y1+4=0，解得：k=8 故答案为： 1 15已知函数 f（ x） =bx+c（ a 0）有两个零点 1， 2，数列 足 =，设 an=若 ， 2，则数列 通项公式 2n 2（ n N*） 【考点】 数列与函数的综合 【分析】 由题意可得 f（ x） =a（ x 1）（ x 2），求出导数，可得 = ，求得 =22用等比数列的通项公式即可得到所求 【解答】 解：函数 f（ x） =bx+c（ a 0）有两 个零点 1， 2， 可得 f（ x） =a（ x 1）（ x 2）， f（ x） =a（ 2x 3）， 则 = ， 由 ， 2， 则 =22 即有 an=1= 2n 1=2n 2 故答案为： 2n 2（ n N*） 16已知 f（ x） =3x+2+m（ m 0），在区间 0， 2上存在三个不同的实数 a，b， c，使得以 f（ a）， f（ b）， f（ c）为边长的三角形是直角三角形，则 m 的取值范围是 0 m 3+4 【考点】 利用导数研究函数的单 调性；利用导数研究函数的极值 【分析】 利用导数求得 f（ x） =3x+3+m（ m 0），在区间 0， 2上的最小值、最大值，由题意构造不等式解得范围 【解答】 解： f（ x） =3x+3+m，求导 f（ x） =33 由 f（ x） =0 得到 x=1或者 x= 1， 又 x 在 0， 2内， 函数 f（ x）在区间（ 0， 1）单调递减，在区间（ 1， 2）单调递增， 则 f（ x） f（ 1） =m+1， f（ x） f（ 2） =m+5， f（ 0） =m+3 在区间 0， 2上存在三个不同的实数 a， b， c，使得以 f（ a）， f（ b）， f（ c）为边长的三角形是构成直角三角形， （ m+1） 2+（ m+1） 2 （ m+5） 2，即 6m 23 0，解得 3 4 m 3+4 又已知 m 0， 0 m 3+4 故答案为： 0 m 3+4 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程 17在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 b（ 1+=c（ 2 （ ）求证： a， c， b 成等差数列； （ ）若 C= ， 面积为 4 ，求 c 【考点】 正弦定理 【分析】 （ ） 由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得 而可求 a+b=2c，即 a， c， b 成等差数列； （ ）由已知利用三角形面积公式可求 6，进而利用余弦定理可得： a+b）2 3合 a+b=2c，即可解得 c 的值 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ ） b（ 1+=c（ 2 由 正 弦 定 理 可 得 ： 可得： a+b=2c，即 a， c， b 成等差数列； （ ） C= ， 面积为 4 = 6， 由余弦定理可得： c2=a2+2a2+ a+b） 2 3 a+b=2c， 可得： 3 16，解得： c=4 18甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪 70 元，每单抽成 4 元；乙公司无底薪， 40 单以内（含 40 单）的部分每单抽成 5 元，超出 40 单的部分每单抽成 7 元，假设同一公司送餐员一天的送餐单 数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其 100 天的送餐单数，得到如表频数表： 甲公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 20 40 20 10 10 乙公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 10 20 20 40 10 （ ）现从甲公司记录的 100 天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于 40的概率； （ ）若将频率视为概率，回答下列问题： （ i）记乙公司送餐员日工资为 X（单 位：元），求 X 的分布列和数学期望； （ 明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ） 记 “抽取的两天送餐单数都大于 40”为事件 M，可得 P（ M） = （ ）（ ）设乙公司送餐员送餐单数为 a，可得当 a=38 时， X=38 5=190，以此类推可得：当 a=39 时，当 a=40 时， X 的值当 a=41 时， X=40 5+1 7，同理可得：当 a=42 时， X=214所以 X 的所有可能取值为 190， 1195， 200， 207，214可得 X 的分布列及其数学期望 （ ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为 38 9 0 12 得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出 【解答】 解：（ ） 记 “抽取的两天送餐单数都大于 40”为事件 M， 则 P（ M） = = （ ）（ ）设乙公司送餐员送餐单数为 a， 则当 a=38 时， X=38 5=190， 当 a=39 时， X=39 5=195， 当 a=40 时， X=40 5=200， 当 a=41 时， X=40 5+1 7=207， 当 a=42 时， X=40 5+2 7=214 所以 X 的所有可能取值为 190， 195， 200， 207， 214故 X 的分布列为： X 190 195 200 207 214 P E（ X） =190 +195 +200 +207 +214 = （ ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为 38 9 0 1 2 所以甲公司送餐员日平均工资为 70+4 28 元 由 （ ）得乙公司送餐员日平均工资为 因为 228，故推荐小明去甲公司应聘 19如图，在三棱柱 ， D， E 分别是 中点， 0，C=2， ， （ ）证明： 平面 （ ）求二面角 A 平面角的正弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）先证 平面 证 可 （ 2）所求值即为平面 法向量与平面 法向量的夹角的 余弦值的绝对值的相反数，计算即可 【解答】 证明：（ ） 在三棱柱 ， D， E 分别是 中点， 0， C=2， E= ， ， ， ， 平面 平面 解：（ ）如图，以 点 O 为坐标原点，以 在直线分别为x、 y、 z 轴建系 易知 0， 0， ）， B（ ， 0， 0）， C（ ， 0， 0）， A（ 0， ， 0）， D（ 0， ， ）， ， ， ）， 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 由 ，可取 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 由 ，可取 = 又 该二面角为钝角， 二面角 平面角的余弦值为 20已知椭圆 E： + =1（ a b 0）的左焦点 抛物线 4x 的焦点重合，椭圆 E 的离心率为 ，过点 M （ m， 0）（ m ）作斜率不为 0 的直线l，交椭圆 E 于 A， B 两点，点 P（ ， 0），且 为定值 （ ） 求椭圆 E 的方程； （ ）求 积的最大值 【考点】 直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程 【分析】 （ ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，即椭圆左焦点坐标，结合椭圆离心率可得长半轴长，再由 b2=出短半轴，则椭圆 E 的标准方程可求； （ ）设 A（ B（ 直线 l 的方程为： x=ty+m，由 整理得（ ） 2=0 由 为定值，解得 m， | |y1 ，点 O 到直线 距离 d= ， 积 s=即可求得最值 【解答】 解：（ ）设 c， 0）， 抛物线 4x 的焦点坐标为（ 1， 0），且椭圆 E 的左焦点 F 与抛物线 4x 的焦点重合， c=1， 又椭圆 E 的离心率为 ，得 a= ，于是有 b2= 故椭圆 的标准方程为： （ ）设 A（ B（ 直线 l 的方程为： x=ty+m， 由 整理得（ ） 2=0 ， ， = = （ ） （ t ）（ y1+ += 要使 为定值，则 ，解得 m=1 或 m= （舍） 当 m=1 时， | | ， 点 O 到直线 距离 d= ， 积 s= = 当 t=0， 积的最大值为 ， 21已知函数 f（ x） =2a R （ ）若函数 y=f（ x）存在与直线 2x y=0 垂直的切线，求实数 a 的取值范围； （ ）设 g（ x） =f（ x） + ，若 g（ x）有极大值点 证： a 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）求出函数的导数，问题转化为 x= 在（ 0， + ）上有解，求出a 的范围即可； （ ）求出 g（ x）的解析式，通过讨论 a 的范围，问题转化为证明 h（ x） = x+， x （ 0， 1），根据函数的单调性证明即可 【解答】 （ ）解：因为 f（ x） = 2a， x 0， 因为函数 y=f（ x）存在与直线 2x y=0 垂直的切线， 所以 f（ x） = 在（ 0， + ）上有解， 即 2a= 在（ 0， + ）上有解， 也即 x= 在（ 0， + ）上有解， 所以 0，得 a ， 故所求实数 a 的取值范围是（ ， + ）； （ ）证明：因为 g（ x） =f（ x） + x2+2 因为 g（ x） = ， 当 1 a 1 时， g（ x）单调递增无极值点，不符合题意， 当 a 1 或 a 1 时，令 g（ x） =0，设 2=0 的两根为 因为 函数 g（ x）的极大值点，所以 0 又 ， x1+a 0，所以 a