高考不等式选讲专题复习(经典)

第 1 页 共 10 页 不等式选讲 高考导航 考试要求 重难点击 命题展望 能用它证明绝对值三角不等式等较简单的不等式 . |a b| |a| |b|； |a b| |a c| |c b|. |b| c 或 |b| c，以及 |x a| |x b| c 或 |x a| |x b| c 类型 . 较法、综合法、分析法、反证法和放缩法 . 用它证明一些简单不等式及其他问题 . 西不等式的几种不同形式：二维形式 ( ( 、向量形式 | | | |、一般形式 ni ni ni 2122 )( ，理解它们的几何意义 .)1,0,1(1)1( 的正整数为大于n 本章重点：不等式的基本性质；基本不等式及其应用、绝对值型不等式的解法及其应用；用比较法、分析法、综合法证明不等式；柯西不等式、排序不等式及其应用 . 本章难点：三个正数的算术 几何平均不等式及其应用；绝对值不等式的解法；用反证法、放缩法证明不等式；运用柯西不等式和排序不等式证明不等式 . 本专题在数学必修 5“不等式”的基础上，进一步学习一些重要的不等式，如绝对值不等式、柯西不等式、排序不等式以及它们的证明，同时了解证明不等式的一些基本方法，如比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等，会用绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式、排序不等式等解决一些简单问题 考查上述知识和方法，不对恒等变形的难度和一些技巧作过 高的要求 . 知识网络 1 绝对值型不等式 典例精析 题型一 解绝对值不等式 【例 1】 设函数 f(x) |x 1| |x 2|. (1)解不等式 f(x) 3； (2)若 f(x) a对 x 实数 a 的取值范围 . 第 2 页 共 10 页 【解析】 (1)因为 f(x) |x 1| |x 2| ,1,11,23所以当 x 1 时， 3 2x 3，解得 x 0； 当 1 x 2 时， f(x) 3 无解； 当 x 2 时， 2x 3 3，解得 x 3. 所以不 等式 f(x) 3 的解集为 ( ， 0) (3， ). (2)因为 f(x) ,1,11,23以 f(x)1. 因为 f(x) a 恒成立， 所以 a 1，即实数 a 的取值范围是 ( ， 1). 【变式训练 1】 设函数 f(x) |x 1| |x 2| a. (1)当 a 5 时，求函数 f(x)的定义域； (2)若函数 f(x)的定义域为 R，试求 a 的取值范围 . 【解析】 (1)由题设知 |x 1| |x 2| 5 0，如图，在同一坐标系中作 出函数 y |x 1| |x 2|和 y 5 的图象，知定义域为 ( ， 2 3， ). (2)由题设知，当 x 有 |x 1| |x 2| a 0，即 |x 1| |x 2| a，又由 (1)知 |x 1| |x 2| 3， 所以 a 3，即 a 3. 题型二 解绝对值三角不等式 【例 2】 已知函数 f(x) |x 1| |x 2|，若不等式 |a b| |a b| |a|f(x)对 a0， a、 b 实数x 的范围 . 【解析】 由 |a b| |a b| |a|f(x)且 a0 得 |a b| |a b|a| f(x). 又 因为 |a b| |a b|a| |a b a b|a| 2，则有 2 f(x). 解不等式 |x 1| |x 2| 2 得 12 x 52. 【变式训练 2】 (2010 深圳 )若不等式 |x 1| |x 3| a 4x 恒成立，则实数 a 的取值范围是 . 【解析】 ( ， 0) 2. 题型三 利用绝对值不等式求参数范围 【例 3】 (2009 辽宁 )设函数 f(x) |x 1| |x a|. (1)若 a 1，解不等式 f(x) 3； (2)如果 x R， f(x) 2，求 a 的取值范围 . 【解析】 (1)当 a 1 时， f(x) |x 1| |x 1|. 由 f(x) 3 得 |x 1| |x 1| 3， 当 x 1 时，不等式化为 1 x 1 x 3，即 2x 3， 不等式组 3)( 1, 解集为 ( ，32； 当 1 x 1 时，不等式化为 1 x x 1 3，不可能成立， 不等式组 3)( 1,1xf x 的解集为 ； 当 x 1 时，不等式化 为 x 1 x 1 3，即 2x 3， 第 3 页 共 10 页 不等式组 3)( 1, 解集为 32， ). 综上得 f(x) 3 的解集为 ( ， 32 32， ). (2)若 a 1， f(x) 2|x 1|不满足题设条件 . 若 a 1， f(x)1,1),(,1,12f(x)的最小值为 1 a 2，即 a 1. 若 a 1， f(x),1),(1,11,12f(x)的最小值为 a 1，由题意有 a 1 2，故 a 3. 综上可知 ， 1 3， ). 【变式训练 3】 关于实数 x 的不等式 |x 12(a 1)2| 12(a 1)2与 3(a 1)x 2(3a 1) 0 (a R)的解集分别为 A， B的 a 的取值范围 . 【解析】 由不等式 |x 12(a 1)2| 12(a 1)2 12(a 1)2 x 12(a 1)2 12(a 1)2， 解得 2a x 1，于是 A x|2a x 1. 由不等式 3(a 1)x 2(3a 1) 0 (x 2)x (3a 1) 0， 当 3a 1 2，即 a 13时， B x|2 x 3a 1， 因为 A B，所以必有 1,31,222 得 1 a 3； 当 3a 1 2，即 a 13时， B x|3a 1 x 2， 因为 A B，所以2,1,2132得 a 1. 综上使 A B的 a 1 或 1 a 3. 总结提高 1.“ 绝对值三角不等式 ” 的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件 . | |x a 的解集是 ( a， a)； | |x a 的解集是 ( ， a) (a， )，它可以推广到复合型绝对值不等式 | |b c， | |b c 的解法，还可以推广到右边含未知数 x 的不等式，如 | |3x 1 x 1 1 x 3x 1 x 1. | |x a | |x b c 和 | |x a | |x b 何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于 x 前面系数不为 1 类型的上述不等式，使用范围更广 . 2 不等式的证明 (一 ) 典例精析 题型一 用综合法证明不等式 【例 1】 若 a， b， 证： lg a lg b lg a lg a lg b lg c. 【证明】 由 a， b， c 为正数，得 第 4 页 共 10 页 lg a lg lg b lg lg a lg 而 a， b， 所以 lg a lg b lg a lg lg lg lg lg( lg a lg b lg c. 即 lg a lg b lg a lg a lg b lg c. 【点拨】 本题采用了综合法证明，其中基本不等式是证明不等式的一个重要依据 (是一个定理 )，在证明不等式时要注意结合运用 要特别注意等号成立的条件是否满足 . 【变式训练 1】 已知 a， b， c， d 都是实数，且 1， | 1. 【证明】 因为 a， b， c， 所以 | | | 又因为 1， 1，所以 | 1. 题型二 用作差法证明不等式 【例 2】 设 a， b， 三边，求证： 2( 【证明】 2( (a b)2 (b c)2 (c a)2 (a b)2 (b c)2 (c a)2 而在 | |b a c，所以 (a b)2 (a b)2 0. 同理 (a c)2 0， (b c)2 0，所以 2( 0. 故 2( 【点拨】 不等式的证明中，比较法特别是作差比较法是最基本的证明方法，而在牵涉到三角形的三边时，要注意运用三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 . 【变式训练 2】 设 a， 0 n 1,0 m 1， m n 1，求证： (a b)2. 【证明】 因为 (a b)2 nm(2b2) m) n) 2 2( 0， 所以不等式 (a b)2成立 . 题型三 用分析法证明不等式 【例 3】 已知 a、 b、 c R ，且 a b c 1. 求证： (1 a)(1 b)(1 c) 8(1 a)(1 b)(1 c). 【证明】 因为 a、 b、 c R ，且 a b c 1，所以要证原不等式成立， 即证 (a b c) a(a b c) b(a b c) c 8(a b c) a(a b c) b(a b c) c， 也就是证 (a b) (c a)(a b) (b c)(c a) (b c) 8(b c)(c a)(a b). 因为 (a b) (b c) 2 (a b)(b c) 0， (b c) (c a) 2 (b c)(c a) 0， (c a) (a b) 2 (c a)(a b) 0， 三式相乘得 式成立，故原不等式得证 . 【点拨】 本题采用的是分析法 析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为 “ 执果索因 ” 析后再用综合法书写证题过程 . 【变式训练 3】 设函数 f(x) x a(x 1)ln(x 1)(x 1， a 0). 第 5 页 共 10 页 (1)求 f(x)的单调区间； (2)求证：当 m n 0 时， (1 m)n (1 n)m. 【解析】 (1)f(x) 1 x 1) a， a 0 时， f(x) 0，所以 f(x)在 ( 1， )上是增函数； 当 a 0 时， f(x)在 ( 1， 1上单调递增，在 1， )单调递减 . (2)证明：要证 (1 m)n (1 n)m，只需证 m) n)，只需证 m)m n)n . 设 g(x) x)x (x 0)，则 g(x)x x)x (1 x) x) x) . 由 (1)知 x (1 x) x)在 (0， )单调递减， 所以 x (1 x) x) 0，即 g(x)是减函数， 而 m n，所以 g(m) g(n)，故原不等式成立 . 总结提高 先考虑用比较法，它是最基本的不 等式的证明方法 作差比较法 ” 和 “ 作商比较法 ” ，用得较多的是 “ 作差比较法 ” ，其中在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法 . 用到的依据一般是定义、公理、定理、性质等，如基本不等式、绝对值三角不等式等 . 是从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实 (定义、公理或已证明的定理、性质等 )，从而得出要证的命题成立 . 综合法 ” 、 “ 分析法 ” 其实是证明题 的两种书写格式，而不是真正意义上的证明方法，并不像前面所用的比较法及后面要复习到的三角代换法、放缩法、判别式法、反证法等是一种具体的证明方法 (或者手段 )，而只是两种互逆的证明题的书写格式 . 3 不等式的证明 (二 ) 典例精析 题型一 用放缩法、反证法证明不等式 【例 1】 已知 a， b R，且 a b 1，求证： (a 2)2 (b 2)2 252 . 【证明】 方法一： (放缩法 ) 因为 a b 1， 所以左边 (a 2)2 (b 2)2 2(a 2) (b 2)2 2 12(a b) 42 252 右边 . 方法二： (反证法 ) 假设 (a 2)2 (b 2)2 252 ，则 4(a b) 8 252 . 由 a b 1，得 b 1 a，于是有 (1 a)2 12 252 . 所以 (a 12)2 0，这与 (a 12)2 0 矛盾 . 故假设不成立，所以 (a 2)2 (b 2)2 252 . 【点拨】 根据不等式左边是平 方和及 a b 1这个特点，选用重要不等式 2(a 2来证明比较好，它可以将具备 第 6 页 共 10 页 而反证法的思路关键是先假设命题不成立，结合条件 a b 1，得到关于 a 的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，从而证明了原不等式 【变式训练 1】 设 ， 1， 0，且有 20， 20， 2 21 0， 求证： ， 1 0. 【证明】 由题设 20 得 同理， 1 1 2 假设 ， 1中存在大于 0 的数，假设 ， 1中第一个出现的正数 . 即 0，0， ， 1 0， 0， 则有 1 0，于是有 1 1 2 1 0. 并由此得 1 2 0. 这与题设 0 矛盾 ， 1 0 成立 . 题型二 用数学归纳法证明不等式 【例 2】 用放缩法、数学归纳法证明： 设 12 23 n(n 1)， n N*，求证： n(n 1)2 (n 1)22 . 【证明】 方法一： (放缩法 ) n(n 1) n (n 1)2 ，即 n n(n 1) 2n 12 . 所以 1 2 n 121 3 (2n 1). 所以 n(n 1)2 12 (n 1)(1 2n 1)2 ， 即 n(n 1)2 (n 1)22 . 方法二： (数学归纳法 ) 当 n 1 时， 2，而 1 2 2，所以原不等式成立 . 假设 n k (k 1)时，不等式成立，即 k(k 1)2 (k 1)22 . 则当 n k 1 时， 1 12 23 k(k 1) (k 1)(k 2)， 所以 k(k 1)2 (k 1)(k 2) 1 (k 1)22 (k 1)(k 2). 而 k(k 1)2 (k 1)(k 2) k(k 1)2 (k 1)(k 1) k(k 1)2 (k 1) (k 1)(k 2)2 ， (k 1)22 (k 1)(k 2)(k 1)22 (k 1) (k 2)2 4k 42 (k 2)22 . 所以 (k 1)(k 2)2 1 (k 2)22 . 故当 n k 1 时，不等式也成立 . 综合 知当 n N*，都有 n(n 1)2 (n 1)22 . 【点拨】 在用 放缩法时，常利用基本不等式 n(n 1) n (n 1)2 将某个相乘的的式子进行放缩，而在上面的方法二的数学归纳法的关键步骤也要用到这个公式 【变式训练 2】 已知数列 81123 2， 82325 2， ， 8n(2n 1)2(2n 1)2， ， n 项和，计算得 89， 7 页 共 10 页 2425， 4849， 8081，观察上述结果推测出计算 【解析】 猜想 (2n 1)2 1(2n 1)2 (n N ). 证明： 当 n 1 时， 32 132 89，等式成立 . 假设当 n k(k 1)时等式成立，即 (2k 1)2 1(2k 1)2 . 则 1 8(k 1)(2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2 1(2k 1)2 8(k 1)(2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2 2(k 1) 12 12(k 1) 12 . 即当 n k 1 时，等式也成立 得，对任何 n N ，等式都成立 . 题型三 用不等式证明方法解决应用问题 【例 3】 某地区原有森林木材存量为 a，且每年增长率为 25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为 b，设 (1)求 (2)为保护 生态环境，防止水土流失，该地区每年森林木材量应不少于 79a，如果 b 1972a，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？ (取 【解析】 (1)依题意 得 a(1 14) b 54a b， 54b 54(54a b) b (54)2a (54 1)b， 54b (54)3a (54)2 (54 1)b， 由此猜测 (54)(54)n 1 (54)n 2 54 1b (54)4(54)n 1b(n N ). 下面用数学归纳法证明： 当 n 1 时， 54a b，猜测成立 . 假设 n k(k 2)时猜测成立，即 (54)4(54)k 1b 成立 . 那么当 n k 1 时， 1 54b 54 (54)4(54)k 1b b (54)k 1a 4(54)k 1 1b， 即当 n k 1 时，猜测仍成立 . 由 知，对任意 n N ，猜测成立 . (2)当 b 1972a 时，若该地区今后发生水土流失 ，则森林木材存量必须少于 79a， 所以 (54)4(54)n 1 1972a 79a，整理得 (54)n 5， 两边取对数得 4 ， 所以 n 2 1 1 3 1 37. 故经过 8 年该地区就开始水土流失 . 【变式训练 3】 经过长 期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量 y(千辆 /时 )与汽车的平均速度 v(千米 /时 )之间的函数关系为 y 9203v 1 600(v 0). (1)在该时段内，当汽车的平均速度 流量最大？最大车流量为多少？ (精确到 辆 /时 ) (2)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆 /时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 第 8 页 共 10 页 【解析】 (1)依题意， y 9203 (v 1 600v ) 9203 2 1 600 92083 ，当且仅当 v 1 600v ，即 v 40 时，上式等号成立，所以 92083 辆 /时 ). (2)由条件得 9203v 1 600 10，整理得 89v 1 600 0， 即 (v 25)(v 64) 0，解得 25 v 64. 答：当 v 40 千米 /时时，车流量最大，最大车流量约为 辆 /时 0千辆 /时，则汽车的平均速度应大于 25 千米 /时且小于 64 千米 /时 . 总结提高 正面证如果不易说清，可以考虑反证法，凡是含有 “ 至少 ” 、 “ 唯一 ” 或者其他否定词的命题适用反证法 择题之中，也可以用反证法的方法进行命题正确与否的判断 . 证明不等式过程中常常要用到它，放缩要有目标，目标在结论和中间结果中寻找 . 常用的放缩方法有： (1)添加或舍去一些项，如 1 | |a， n(n 1) n； (2)将分子或分母放大 (或缩小 )； (3)利用基本不等式，如 n(n 1) n (n 1)2 ； (4)利用常用结论，如 k 1 k 1k 1 k 12 k， 1k(k 1)1k 11k ； 1k(k 1)1k1k 1(程度大 )； 111(k 1)(k 1)12(1k 11k 1) (程度小 ). 要奠基，后进行假设与推理，二者缺一不可 . 4 柯西不等式和排序不等式 典例精析 题型一 用柯西不等式、排序不等式证明不等式 【例 1】 设 ， 明： 1 【证明】 方法一：由柯西不等式，有 ( 1 ( ( . 不等式两边约去正数因式 方法二：不妨设 11 1由排序不等式有 11 1 1111 1 故不等式成立 . 方法三：由均值不等式有 第 9 页 共 10 页 2a1，2 ，2这 n 个不等式相加得 1 2( 整理即得所证不等式 . 【点拨】 根据所证不等式的结构形式观察是否符合柯西不等式、排 序不等式的结构形式或有相似之处 时往往要进行添项、拆项、重组、配方等方法的处理 . 【变式训练 1】 已知 a b c 1，且 a、 b、 证： 2a b 2b c 2c a 9. 【证明】 左边 2(a b c)( 1a b 1b c 1c a) (a b) (b c) (c a)( 1a b 1b c 1c a) (1 1 1)2 9， (或左边 (a b) (b c) (c a)( 1a b 1b c 1c a) 3 a c a a b b b a c b c c 3 2ba 2ba 2cb 9) 所以 2a b 2b c 2c a 9. 题型二 用柯西不等式求最值 【例 2】 若实数 x， y， x 2y 3z 2，求 【解析】 由柯西不等式得， (12 22 32)( (x 2y 3z)2 4 (当且仅当 1 等号成立， 结合 x 2y 3z 2，解得 x 17， y 27， z 37)， 所以 14( 27. 故 7. 【点拨】 根据柯西不等式，要求 要给 考虑需要出现定值，就要让柯西不等式的右边出现 x 2y 3而得到解题思路 西不等式可以应用在求代数式的最值中 . 【变式训练 2】 已知 231817，求 3x 2y 【解析】 因为 (2332 ( 2)2 ( 13)2 (3x 2y 2 3z 13)2 (3x 2y z)2， 所以 (3x 2y z)2 12，即 2 3 3x 2y z 2 3， 当且仅当 x 9 317 ， y 3 317 ， z 317时， 3x 2y z 取最小值，最 小值为 2 3. 题型三 不等式综合证明与运用 【例 3】 设 x 0，求证： 1 x (2n 1)【证明】 (1)当 x 1 时， 1 x 排序原理：顺序和 反序和得 1 1 x x 1 x 1 1 x 1， 即 1 (n 1) 又因为 x， ， 1 为序列 1， x， ， 是再次由排序原理： 乱序和 反序和得 1 x x 1 1 1 x 1 1 x 1， 第 10 页 共 10 页 即 x 1 (n 1) 将 和 相加得 1 x (2n 1) (2)当 0 x 1 时， 1 x 由 仍然成立，于是 也成立 . 综合 (1)(2)，原不等式成立 . 【点拨】 分类讨论的目的在于明确两个序列的大小顺序 . 【变式训练 3】 把长为 9 细铁线截成三段，各自围成一个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值 . 【解析】 设这三个正三角形的边长分别为 a、 b、 c，则 a b c 3，且 这三个正三角形面积和 S 满足： 3S 34 (12 12 12) 34 (a b c)2 9 34 S 3 34 . 当且仅当 a b c 1 时，等号成立 . 总结提高 推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用 从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的