宁夏2008年会计从业资格考试《财经法规》试题

功和功率典型例题精析 例题 1 用力将重物竖直提起，先是从静止开始匀加速上升，紧接着匀速上升，如 果前后两过程的时间相同，不计空气阻力，则 A加速过程中拉力的功一定比匀速过程中拉力的功大 B匀速过程中拉力的功比加速过程中拉力的功大 C两过程中拉力的功一样大 D上述三种情况都有可能 思路点拨 因重物在竖直方向上仅受两个力作用：重力 mg、拉力 F这两个力的 相互关系决定了物体在竖直方向上的运动状态设匀加速提升重物时拉力为 F1，重物加速 度为 a，由牛顿第二定律 F1mg=ma， 匀速提升重物时，设拉力为 F2，由平衡条件有 F2=mg，匀速直线运动的位移 S2=vt=at2拉力 F2 所做的功 W2=F2S2=mgat2 解题过程 比较上述两种情况下拉力 F1、F2 分别对物体做功的表达式，不难发现： 一切取决于加速度 a 与重力加速度的关系 因此选项 A、B、C 的结论均可能出现故答案应选 D 小结 由恒力功的定义式 W=FScos 可知：恒力对物体做功的多少，只取决 于力、位移、力和位移间夹角的大小，而跟物体的运动状态(加速、匀速、减速)无关在 一定的条件下，物体做匀加速运动时力对物体所做的功，可以大于、等于或小于物体做匀 速直线运动时该力做的功 例题 2 质量为 M、长为 L 的长木板，放置在光滑的水平面上，长木板最右端放置 一质量为 m 的小物块，如图 81 所示现在长木板右端加一水平恒力 F，使长木板从小物 块底下抽出，小物块与长木板摩擦因数为 ，求把长木板抽出来所做的功 思路点拨 此题为相关联的两物体存在相对运动，进而求功的问题小物块与长 木板是靠一对滑动摩擦力联系在一起的分别隔离选取研究对象，均选地面为参照系，应 用牛顿第二定律及运动学知识，求出木板对地的位移，再根据恒力功的定义式求恒力 F 的 功 解题过程 由 F=ma 得 m 与 M 的各自对地的加速度分别为 设抽出木板所用的时间为 t，则 m 与 M 在时间 t 内的位移分别为 所以把长木板从小物块底下抽出来所做的功为 小结 解决此类问题的关键在于深入分析的基础上，头脑中建立一幅清晰的动态 的物理图景，为此要认真画好草图(如图 82)在木板与木块发生相对运动的过程中，作 用于木块上的滑动摩擦力 f 为动力，作用于木板上的滑动摩擦力 f为阻力，由于相对运 动造成木板的位移恰等于物块在木板左端离开木板时的位移 Sm 与木板长度 L 之和，而它们 各自的匀加速运动均在相同时间 t 内完成，再根据恒力功的定义式求出最后结果 例题 3 如图 83 所示，用恒力 F 通过光滑的定滑轮，将静止于水平面上的物体 从位置 A 拉到位置 B，物体可视为质点，定滑轮距水平面高为 h，物体在位置 A、B 时，细 绳与水平面的夹角分别为 和 ，求绳的拉力 F 对物体做的功 思路点拨 从题设的条件看，作用于物体上的绳的拉力 T，大小与外力 F 相等，但 物体从 A 运动至 B 的过程中，拉力 T 的方向与水平面的夹角由 变为 ，显然拉力 T 为 变力此时恒力功定义式 W=FScos 就不适用了如何化求变力功转而求恒力功就成 为解题的关键由于绳拉物体的变力 T 对物体所做的功与恒力 F 拉绳做的功相等，根据力 对空间积累效应的等效替代便可求出绳的拉力对物体做的功 解题过程 设物体在位置 A 时，滑轮左侧绳长为 l1，当物体被绳拉至位置 B 时， 绳长变为 l2，因此物体由 A 到 B，绳长的变化量 又因 T=F，则绳的拉力 T 对物体做的功 小结 如何由求变力功转化为求恒力功，即实现由变到不变的转化，本题采用了 等效法，即将恒定拉力 F 作用点的位移与拉力 F 的乘积替代绳的拉力对物体做功这种解 题的思路和方法应予以高度重视 例题 4 汽车发动机的功率为 60 kW，汽车的质量为 4 t，当它行驶在坡度为 0.02 的长直公路上时，如图 84，所受阻力为车重的 0.1 倍(g10 m/s2)，求： (1)汽车所能达到的最大速度 vm=？ (2)若汽车从静止开始以 0.6 m/s2 的加速度做匀加速直线运动，则此过程能维持多长 时间？ (3)当汽车匀加速行驶的速度达到最大值时，汽车做功多少？ (4)在 10 s 末汽车的即时功率为多大？ 思路点拨 由 P=Fv 可知，汽车在额定功率下行驶，牵引力与速度成反比当汽 车的牵引力与阻力(包括爬坡时克服下滑力)相等时，速度达最大只有当汽车牵引力不变 时，汽车才能匀加速行驶，当 Fv=P 额时，匀加速运动即告结束，可由 W=FS 求出这一 阶段汽车做的功当 10 s 末时，若汽车仍在匀加速运动，即可由 Pt=Fvt 求发动机的即 时功率 解题过程 (1)汽车在坡路上行驶，所受阻力由两部分构成，即 fKmgmgsin=4000800=4800 N 又因为 Ff 时，P=fvm，所以 (2)汽车从静止开始，以 a=0.6 m/s2，匀加速行驶，由 Fma，有 Ffmgsinma所以 FmaKmgmgsin41030.648007.2103 N 保持这一牵引力，汽车可达到匀加速行驶的最大速度 vm，有 由运动学规律可以求出匀加速行驶的时间与位移 (3)由 W=FS 可求出汽车在匀加速阶段行驶时做功为 WFS7.210357.82=4.16105J (4)当 t10 s13.9 s，说明汽车在 10 s 末时仍做匀加速行驶，则汽车的即时功率 PtFvtFat7.21030.61043.2 kW 小结 本题为功和功率概念应用于汽车运动过程中的综合题注意汽车匀加速行 驶的特征：牵引力为恒力，发动机输出功率与即时功率逐渐呈线性增大当输出功率达到 额定功率可作为匀加速运动结束的判 以 vm 收尾匀速行驶 “动能定理”的典型例题 【例 1】质量为 m=2kg 的物体，在水平面上以 v1= 6m/s 的速度匀速向西运动， 若有一个 F=8N、方向向北的恒定力作用于物体，在 t=2s 内物体的 动能增加了 A28J B 64J C32J D36J E 100J 【 分析】物体原来在平衡力作用下西行，受向北的 恒力 F 作用后将做类似于平抛的曲线运动( 见图)物体 在向北方向上的加速度 2s 后在向北方向上的速度分量 故 2s 后物体的合速度 所以物体在 2s 内增加的动能为 也可以根据力对物体做动能定理来计 算由于在这个过程中，可以看作物体只受外力 F 作用，在这个力方向上的位移 外力 F 对物体做的功 W =Fs= 88J=64J，故物体动能的增加 【答】B 【说明】由上述计算可知，动能定理在曲线运动中同样适用，而且十分简捷 有的学生认为，物体在向西方向上不受外力，保持原动运能不变，向北方向上受到外力后， 向北方向上的动能增加了 即整个物体的动能增加了 64J，故选 B必须注意，这种看法是错误的动能是一个标量 (不同于动量) ，不能分解外力对物体做功引起物体动能的变化，是对整个物体而言的， 它没有分量式(不同于物体在某方向上不受外力，该方向上动量守恒的分量式) 上述计算 结果的巧合是由于 v2 与 v1 互成 90角的缘故 【例 2】一个物体从斜面上高 h 处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止， 量得停止处对开始运动处的水平距离为 s(见图) ，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并 认为斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同，求摩擦因数 【分析】以物体为研究对象，它从静止开始运动，最后又静止在平面上，整个过程中物体 的动能没有变化，即 Ek2=Ek1=0可以根据全过程中功与物体动能的变化上找出联系 【解】物体沿斜面下滑时，重力和摩擦力对物体做功(支持力不做功) ，设斜面倾角为 ， 斜坡长 L，则重力和摩擦力的功分别为 WG= mgsinL ，Wf1= -mgcosL在平面上滑行时仅有摩擦力做功(重力和支持力不做 功)，设平面上滑行距离为 s2，则 Wf2= -mgs2整个运动过程中所有外力的功为 W=WG+Wf1+Wf2，=mgsin L - umgcosL- mgs2 根据动能定理，W=Ek2-Ek1 ， 式中 s1 为斜面底端与物体初位置间水平距 离，故 【说明】本题也可运用牛顿第二定律结合运动学公式求解物体沿斜面下滑时的加速度 物体在平面上滑行时 的加速度 比较这两种解法，可以看到，应用动能定理求 解时，只需考虑始末运动状态，无需关注运动过程中的细节变化(如从斜面到平面的运动情 况的变化)，显得更为简捷本题也为我们提供了一种测定动摩擦因数的方法 厢所受阻力不变，对车厢的牵引力应增加 A1103N B2103N C4103N D条件不足，无法判断 【分析】矿砂落入车 厢后，受到车厢板摩擦力 f 的作用，使它做 加速运动，经时间t 后矿砂的速度达到车厢的速度 v=2m/s,这段时间内矿砂的位移 因此选t 内落下的矿砂m 为研究对象，以将接角车箱板和达 到速度 v=2m/s 两时刻为始末两状态时，动能增量 由功与动能变化的关系得 在这过程中，车厢板同时受到矿砂的反作用 f，其大小也为 4103N，方向与原运动方 向相反，所以，为保持车厢的匀速运动需增加的牵引力为 【答】C【说明】常有人误认为矿砂落入车厢内，矿砂的位移就是车厢的位移 s =v t，于是得车厢应增加的牵引力大小为 这是不正确的，因为在矿砂将接触车厢板到两者以共同速度 v=2m/s 运动的过程中，车厢和 矿砂做两种不同的运动，矿砂的速度小于车厢的速度，它们之间才存在着因相对滑动而出 现的滑动摩擦力也正是由于滑动摩擦力的存在，车厢所增加的牵引力做的功并没有完全 转化为矿砂的动能，其中有一部分消耗在克服摩擦做功而转化为热能 【例 4】一辆车通过一根跨过定滑轮的绳 PQ 提升井中质量为 m 为物体，如图 a 所示绳 的 P 端拴在车后的挂钩上，Q 端拴在物体上设绳的总长不变、绳的质量、定滑轮的质量 和尺寸，滑轮上的摩擦都忽略不计开始时，车在 A 点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直 的，左侧绳绳长为 H提升时，车加速向左运动，沿水平方向从 A 经过 B 驶向 C设 A 到 B 的距离也为 H车过 B 点时的速度为 vB求在车由 A 移到 B 的过程中，绳 Q 端的拉 力对物体做的功 【分析】汽车从 A 到 B 把物体提升的过程中，物体只受到拉力和重力的作用，根据物体速 度的变化和上升高度，由动能定理即得【解】以物体为研究对象，开始时其动能 Ek1=0随着车的加速拖动，重物上升，同时速度也不断增加当车子运动到 B 点时，重 物获得一定的上升速度 vQ，这个速度也就是收绳的速度，它等于车速沿绳子方向的一个分 量(图 b)，即 于是重物的动能增为 在这个提升过程中，重物受到绳中拉力 T、重力 mg物体上升 的高度和重力的功分别为 于是由动能定理得 即 所以绳子拉力对物体做的功 【说明】必须注意，速度分解跟力的分解一样，两个分速度的方向应该根据运动的实际效 果确定车子向左运动时，绳端(P) 除了有沿绳子方向的运动趋势外( 每一瞬间绳处于张紧 的状态)，还参予了绕 O 点的转动运动(绳与竖直方向间夹角不断变化)，因此还应该有一个 绕 O 点转动的速度，这个速度垂直于绳长方向所以车子运动到 B 点时的速度分解图应如 图 6 所示，由此得拉绳的速度 Vb1(即提升重物的速度 vQ)与车速 vB 的关系为 【例 5】在平直公路上，汽车由静止开始作匀速运动，当速度达到 vm 后立即关闭发动机直 到停止，v-t 图像如图所示设汽车的牵引力为 F，摩擦力为 f，全过程中牵引力做功 W1， 克服摩擦力做功 W2，则 AF：f = 1： 3 BF：f = 4：1 CW1 ：W2= 1：1 DW1 ：W2 = 1：3 【分析】在 t = 01s 内，汽车在牵引力 F 和摩擦力 f 共同作用下作匀加速运动，设加速度 为 a1由牛顿第二定律 F-f = ma1在 t=l4s 内，汽车仅受摩擦力作用作匀减速滑行，设 加速度为 a2，则-f = ma2由于两过程中加速度大小之比为 在前、后两过程中，根据合力的动能定理可知， WF=Wf1+Wf2=Wf。即全过程中牵引力做功（ W1=WF）和汽车克服摩擦力做功 （W2=Wf）相等【答】BC 【说明】为了比较两个功的关系，还可以从全过程考虑：因为汽车在始、末两状态都处于 静止，则 EK=0，所以整个过程中各个力做功之和 W=0，于是立即可得 W1=Wf（即 W1=W2）这种从全过程上考虑的方法，是动能定理的一个应用特点，尤其在 EK=0 的 情况，往往更为简捷，请加以体会 【例 6】质量为 m 的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内作半径为 R 的圆周运动，运动过 程中小球受到空气阻力的作用设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为 7mg，此后小球继续作圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服 空气阻力所做的功为 【分析】设小球通过最低点 A 的速度为 v1，绳子张力 T1=7mg在最低点时，由绳子张力 和小球重力的合力提供向心力， 设小球恰通过最高点的速度为 v2，此时绳子张力 T2=0，正好由小球重力提供向心力，即 小球由最低点运动到最高点 B 过程中，小球重力和空气阻力都对小球做负功，根据力对小 球做的动能定理，由 【答】C 【例 7】在光滑水平面上有一静止的物体现以水平恒力甲推这一物体，作用一段时间后， 换成相反方向的水平恒力乙推这一物体当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时，物 体恰好回到原处，此时物体的动能为 32J则在整个过程中，恒力甲做的功和恒力乙做的 功各等于多少? 【分析】物体先作匀加速运动，后作匀减速运动回到原处，整个过程中的位移为零根据 牛顿第二定律和运动学公式即可确定两个力的大小关系，然后对全过程中应用动能定理即 可得解或者根据两个力作用时间相同、两个过程中的位移大小相等，由平均速度的大小 相等找出两者末速度的关系，即可得解【解】方法 1 物体从静止起受水平恒力 F 甲作用， 做匀加速运动，经一段时间 t 后的速度为 间 t 后回到原 处整个时间内物体的位移为零 设在 F 甲作用下物体的位移为 s，对全过程由 动能定理得 所以，恒力甲和乙做的功分别为 方法 2 设恒力 F 甲作用时间 t，使物体通过位移 s 后的速度为 v1，恒力 F 乙物体回到原点 的速度为 v2，作用时间也是 t前、后两段相同时间 t 内的位移大小相等，由 得 v2=2v1， 已知 Ek2=32J，故 Ek1=8J 根据动能定理可知，恒力 F 甲和 F 乙做的功分别为 W 甲=Ek1=8J ，W 乙 =Ek1=32J8J=24J 【说明】本题可以利用 v-t 图，更直观地得到启发，设 F 甲作用时间 t 后物体的速度为 v1，这就是匀加速运动的末速度接着在 F 乙作用下物体作匀减速运动，物体先按原方向 运动，设经时间 t0 后速度减小为零，然后反向运动因此，物体运动过程的 v-t 图如图所 示 物体回到原点，意味着图线上下方与 t 轴间的面积相等设甲、乙 两力作用时的加速度大小分别为 a1、a2 则 v1=a1t，v2=a2（t2-t0）， 联立（1）、（2）两式得 所以两力做功之比 【例 8】如图所示，轻质长绳水平地跨在相距 2L 的两个小定滑轮 A、B 上，质量为 m 的物 块悬挂在绳上 O 点，O 与 A、B 两滑轮的距离相等在轻绳两端 C、D 分别施加竖直向下 的恒力 F=mg，先托住物块、使绳处于水平拉直状态，然后静止释放物块，在物块下落过 程中，保持 C、D 两端的拉力 F 不变 （1）当物块下落距离 h 为多大时，物块的加速度为零？ （2）在物块下落上述距离的过程中，克服 C 端恒力 F 做功 W 为多少？ （3）求物块下落过程中的最大速度 vm 和最大距离 H 【分析】下落至加速度为零时，AO、BO 两绳的合力应等于重力 mg，此时AOB=120， 于是即可算出下落距离和 C、 D 两端上升距离，克服 C 端恒力的功即可求出在物块的下 落过程中，AO、BO 两绳中拉力不断变化开始时，其重力大于两绳拉力的合力，物块加 速下落，速度增大；当重力等于两绳拉力的合力时，下落加速度为零，速度达最大值 vm； 以后，重力小于两绳拉力的合力，物块减速下落，直至 v=0 时，达下落的最大距离 H由 于物块作的是变加速运动，所以必须根据动能定理才可求出最大距离 【解】（1）物块下落时受到三个力的作用：重力 mg、绳 AO、BO 的拉力 F当绳拉力的 向上合力 R 等于重力 mg 时，物块下落的加速度为零由于 F 恒为 mg、所以 a=0 时，三力 互成 120夹角如图所示，于是，由图可知，下落距离 （2）物块下落 h 时，C、D 两端上升距离 所以物块克服 C 端恒力 F 做功 （3）由上面的分析可知，物块下落 h 时的速度就是最大速度根据动能定理 得最大速度 当物块下落最大距离 H 时， C、D 两端上升的距离为 同理，由 mgH-2Fh=0, 【例 9】质量为 m 的物体 A 以速度 v0 在平台上运动，滑到与平台等高、质量为 M 的静止 小车 B 上小车 B 在光滑水平地面上，物体 A 与 B 之间动摩擦因数为 不计 A 的体积， 为使 A 在小车 B 上不致滑出，试问小车 B 的长度 L 至少为多少（见图）？ 【分析】A 滑上 B 后，A 受到 B 的摩擦力作匀减速运动，速度逐渐减小；B 受到 A 的摩擦 力而作匀加速运动，速度逐渐增大如 A 滑到 B 的最右端时，两者刚好速度相同，处于相 对静止，A 就不致从 B 上滑出把物体 A、B 作为一个系统，它们之间的相互作用力就是 内力，系统在水平方向不受外力，动量守恒根据动量守恒算出两者相对静止时的速度后， 便可隔离两物体，分别从牛顿第二定律、动量定理或动能定理这几条线索去考虑 【解】设物体 A、B 相对静止时的共同速度为 v，由于 A、B 在相互作用的过程水平方向不 受外力，动量守恒则有 设在这段过程中小车的位移为 s，则物体 A 的位移为 s+L（见 图），可以由多种方法求解： （1）用牛顿第二定律结合运动学公式解：对物体 Amg=maA， aA= g对小车 Bmg=MaB ， aB=mgM两者相对静止时 因此， （2）用动能定理解： 两式相加并代入解得的 v，得 （3）用动量定理解：设从 A 滑上小车 B，到两者相对静止的时间为 t，则 因此， （4）运用 v-t 图线解：作出物体 A 与小车 B 的 v-t 图（见图）小车长 L，数值上等于图中 划有斜线的三角形面积 【说明】本题的关键是通过对运动过程的分析，找出 A 不致从 B 上滑出的条件题中综合 了力和运动关系的三条线索以及运动图像，因此，本题知识容量较大，应很好体会 【例 10】在光滑水平面上，有一质量 m1=20kg 的小车，通过一根几乎不可伸长的轻绳与 另一个质量为 m2=25kg 的拖车相连接一质量 m3=15kg 的物体放在拖车的平板上物体 与平板间的滑动摩擦因数为 =0.20开始时，拖车静止，绳未拉紧，如图所示，小车以 v0=3ms 的速度向前运动求： （1）当 m1、m2、m3 以同一速度前进时，速度的大小 （2）物体在拖车平板上移动的距离（g 取 10ms2） 【分析】1把小车、拖车和物体作为一个系统，由水平方向动量守恒可得共同前进的速 度 2物体获得共同前进的速度，可认为经历了两个过程：先是小车与拖车相互作用；然后是 （小车+拖车）与物体的作用 解（1）由小车、拖车和物体三者水平方向动量守恒，m1v0=（m1+m2+m3）u，得三者一 起运动的速度大小为 （2）小车向前运动时，轻绳将逐渐伸直因为轻绳从伸直到拉紧的时间极短，在这极短时 间内绳中产生的张力远大于物体对拖车的摩擦力，可以认为仅是小车与拖车间发生了相互 作用对小车与拖车由水平方向动量守恒 m1v0=（m1+m2）v12， 得绳刚拉紧时两者的共同速度 此后，由于物体和拖车间形成了相对速度，拖车对物体产生摩擦力 f（f=m3g），使物体 向前（与 v12 同向）作加速运动，物体对拖车的摩擦力 f（f =f）使拖车（包括小车） 作减速运动，直至物体和拖车（包括小车）以共同速度 u 运动在这个过程中，设拖车 （包括小车）对地面的位移为 s2、物体对地面的位移为 s3 对拖车位移为 d，如图所示根 据动能定理 对拖车和小车 由此解得拖车和物体的位移分别为 所以，物体在拖车平板上移动的距离 【说明】根据物体间发生相对运动时，因摩擦损失的机械能是相互间的一对摩擦力做功的 结果，数值上等于摩擦力与相对位移的乘积由能的转化和实恒 立即可求出物体在平板上的滑移距离 【例 11】如图所示，一质量为 M、长为 L 的长方形木板 B 放在光滑的水平地面上，在其 右端放一质量为 m 的小木块 A，m M现以地面为参考系，给 A 和 B 以大小相等、方向 相反的初速度（如图），使 A 开始向左运动、B 开始向右运动，但最后 A 刚好没有滑离 B 板以地面为参考系， （1）若已知 A 和 B 的初速度大小为 v0，求它们最后的速度的大小和方向 （2）若初速度的大小未知，求小木块 A 向左运动到达的最远处（从地面上看）离出发点 的距离 【分析】（1）把 A、B 两物体作为一个系统，它们之间相互作用的摩擦力为内力，系统在 水平方向不受外力，相互作用的任一时刻都遵守动量守恒定律A 恰好有滑离 B 板，表示 A 到达 B 板左端时，两者具有共同的速度 （2）小木块 A 的对地速度从最初向左的 v0 变到最后向右的共同速度，必是先向左减速至 零，后向右从零加速在这个过程