寒假专题 规律探索(有答案)

规律探索 一、选择题 1 （2015 宁德 第 10 题 4 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A1，A 2，A 3都在 x 轴 上，点 B1，B 2，B 3都在直线 y=x 上，OA 1B1，B 1A1A2，B 2B1A2，B 2A2A3， B3B2A3都是等腰直角三角形，且 OA1=1，则点 B2015 的坐标是（ ） A （2 2014， 22014） B （2 2015，2 2015） C （2 2014，2 2015） D （2 2015，2 2014） 考点： 一次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形 专题： 规律型 分析： 根据 OA1=1，可得点 A1 的坐标为（1，0） ，然后根据OA 1B1，B 1A1A2， B2B1A2，B 2A2A3，B 3B2A3都是等腰直角三角形，求出 A1A2，B 1A2，A 2A3，B 2A3的 长度，然后找出规律，求出点 B2015 的坐标 解答： 解：OA 1=1， 点 A1 的坐标为（1，0） ， OA 1B1 是等腰直角三角形， A 1B1=1， B 1（1，1） ， B 1A1A2 是等腰直角三角形， A 1A2=1，B 1A2= ， B 2B1A2 为等腰直角三角形， A 2A3=2， B 2（2，2） ， 同理可得，B 3（2 2，2 2） ，B 4（2 3，2 3） ，B n（2 n1，2 n1） ， 点 B2015 的坐标是（2 2014，2 2014） 故选 A 点评： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数 y=kx+b， （k0，且 k，b 为 常数）的图象是一条直线，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 y=kx+b也考查了等 腰直角三角形的性质 2 （2015 重庆 A11，4 分）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中 第个图形中一共有 6 个小圆圈，其中第个图形中一共有 9 个小圆圈，其中第个图形 中一共有 12 个小圆圈， ，按此规律排列，则第个图形中小圆圈的个数为（ ） A. 21 B. 24 C. 27 D. 30 考点：规律型：图形的变化类 分析：仔细观察图形，找到图形中圆形个数的通项公式，然后代入 n=7 求解即可 解答：解：观察图形得： 第 1 个图形有 3+31=6 个圆圈， 第 2 个图形有 3+32=9 个圆圈， 第 3 个图形有 3+33=12 个圆圈， 第 n 个图形有 3+3n=3（n+1 ）个圆圈， 当 n=7 时，3 （7+1 ）=24 ， 故选 B 点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的通项 公 式，难度不大 3 （2015 湖北十堰，第 9 题 3 分）如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公 共边只用一根火柴棍如果搭建正三角形和正六边形共用了 2016 根火柴棍，并且正三角形 的个数比正六边形的个数多 6 个，那么能连续搭建正三角形的个数是（ ） A222 B 280 C 286 D 292 考点： 规律型：图形的变化类 分析： 设连续搭建三角形 x 个，连续搭建正六边形 y 个，根据搭建三角形和正六边形共 用了 2016 根火柴棍，并且三角形的个数比正六边形的个数多 6 个，列方程组求解 解答： 解：设连续搭建三角形 x 个，连续搭建正六边形 y 个 由题意得， ， 解得： 故选 D 点评： 本题考查了二元一次方程组的应用及图形的变化类问题，解答本题的关键是读懂 题意，仔细观察图形，找出合适的等量关系，列方程组求解 4 （2015 湖南张家界，第 8 题 3 分）任意大于 1 的正整数 m 的三次幂均可“分裂”成 m 个 连续奇数的和，如：2 3=3+5，3 3=7+9+11，4 3=13+15+17+19，按此规律，若 m3 分裂后其 中有一个奇数是 2015，则 m 的值是（ ） A 46 B 45 C 44 D 43 考点： 规律型：数字的变化类 分析： 观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到 m3 的所有奇数的个数的 表达式，再求出奇数 2015 的是从 3 开始的第 1007 个数，然后确定出 1007 所在的范围即可 得解 解答： 解：底数是 2 的分裂成 2 个奇数，底数为 3 的分裂成 3 个奇数，底数为 4 的分裂 成 4 个奇数， m3 有 m 个奇数， 所以，到 m3 的奇数的个数为： 2+3+4+m= ， 2n+1=2015，n=1007， 奇数 2015 是从 3 开始的第 1007 个奇数， =966， =1015， 第 1007 个奇数是底数为 45 的数的立方分裂的奇数的其中一个， 即 m=45 故选 B 点评： 本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键， 还要熟练掌握求和公式 二、填空题 1. （2015 酒泉第 18 题 3 分）古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，叫做三角形数， 其中 1 是第一个三角形数，3 是第 2 个三角形数，6 是第 3 个三角形数，依此类推，那么 第 9 个三角形数是 45 ，2016 是第 63 个三角形数 考点： 规律型：数字的变化类 分析： 根据所给的数据发现：第 n 个三角形数是 1+2+3+n，由此代入分别求得答案即可 解答： 解：第 9 个三角形数是 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45， 1+2+3+4+n=2016， n（n+1）=4032， 解得：n=63 故答案为：45，63 点评： 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题 2. （2015 甘南州第 10 题 4 分）如图，在A 1B1C1 中，已知 A1B1=7，B 1C1=4，A 1C1=5， 依次连接A 1B1C1 三边中点，得 A2B2C2，再依次连接 A2B2C2 的三边中点得 A3B3C3，则A 5B5C5 的周长为 1 考点： 三角形中位线定理. 专题： 规律型 分析：由三角形的中位线定理得：A 2B2、B 2C2、C 2A2 分别等于 A1B1、B 1C1、C 1A1 的一半， 所以A 2B2C2 的周长等于A 1B1C1 的周长的一半，以此类推可求出A 5B5C5 的周长为 A1B1C1 的周长的 解答：解：A 2B2、B 2C2、C 2A2 分别等于 A1B1、B 1C1、C 1A1 的一半， 以此类推： A5B5C5 的周长为A 1B1C1 的周长的 ， 则 A5B5C5 的周长为（7+4+5）16=1 故答案为：1 点评： 本题主要考查了三角形的中位线定理，关键是根据三角形的中位线定理得： A2B2、B 2C2、C 2A2 分别等于 A1B1、B 1C1、C 1A1 的一半，所以A 2B2C2 的周长等于 A1B1C1 的周长的一半 3. （2015 福建第 15 题 4 分）观察下列图形的构成规律，依照此规律，第 10 个图形中 共有 111 个“” 考点： 规律型：图形的变化类. 分析： 观察图形可知前 4 个图形中分别有：3，7，13，21 个“”，所以可得规律为：第 n 个图形中共有n（n+1）+1个“”再将 n=10 代入计算即可 解答： 解：由图形可知： n=1 时， “”的个数为：12+1=3 ， n=2 时， “”的个数为：23+1=7 ， n=3 时， “”的个数为：34+1=13 ， n=4 时， “”的个数为：45+1=21 ， 所以 n=n 时， “”的个数为：n（n+1）+1， n=10 时， “”的个数为：1011+1=111 故答案为 111 点评： 本题主要考查了规律型：图形的变化类，关键在观察、分析已知数据，寻找它们 之间的相互联系，探寻其规律，难度适中 4 （2015 内蒙古赤峰 16，3 分） “梅花朵朵迎春来”，下面四个图形是由小梅花 摆成的 一组有规律的图案，按图中规律，第 n 个图形中小梅花的个数是 （2n1） （n+1） 考点： 规律型：图形的变化类 分析： 第一个图形是由 2 个图形组成，第二个图形是由 9 个图形组成，第三个是由 20 个图 形组成，找到规律则第 n 个的表达式能写出来 解答： 解：第一个图案是由 2 个 组成： 即为：2=12 ； 第二个图案是由 9 个 组成： 即为：9=33 ； 第 3 个图案是由 54=20 个 组成： 即为：20=54； 第 4 个图案是由 35 个 组成： 即为：35=75； 以此类推：第 n 个图案 的个数：（2n1） （n+1） 故答案为：（2n1） （n+1 ） 点评： 本题考查图形的变化规律，观察得出“每一行和每一列的个数的关系”是解题的关 键 5 （3 分） （2015广东茂名 15，3 分）为了求 1+3+32+33+3100 的值，可令 M=1+3+32+33+3100，则 3M=3+32+33+34+3101，因此， 3MM=31011，所以 M= ，即 1+3+32+33+3100= ，仿照以上推理计算： 1+5+52+53+52015 的 值是 考点： 有理数的乘方 分析： 根据题目信息，设 M=1+5+52+53+52015，求出 5M，然后相减计算即可得解 解答： 解：设 M=1+5+52+53+52015， 则 5M=5+52+53+54+52016， 两式相减得：4M=5 20161， 则 M= 故答案为 点评： 本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键 6 （4 分） （2015东莞）观察下列一组数： ，根据该组数的排列 规律，可推出第 10 个数是 考点： 规律型：数字的变化类 分析： 由分子 1，2，3，4，5，即可得出第 10 个数的分子为 10；分母为 3，5，7，9，11，即可得出第 10 个数的分母为：1+210=21，得出结论 解答： 解：分子为 1，2，3，4，5， 第 10 个数的分子为 10， 分母为 3，5，7，9，11， 第 10 个数的分母为：1+210=21， 第 10 个数为： ， 故答案为： 点评： 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，得出规律，利用规律，解决 问题是解答此题的关键 7 （2015 湖南郴州，第 16 题 3 分）请观察下列等式的规律： = （1 ） ， = （ ） ， = （ ） ， = （ ） ， 则 + + + = 考点： 规律型：数字的变化类 分析： 观察算式可知 = （ ） （n 为非 0 自然数） ，把算式拆分再抵消即可 求解 解答： 解： + + + = （1 ）+ （ ）+ （ ）+ （ ） = （1 + + + ） = （1 ） = = 故答案为： 点评： 考查了规律型：数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用 发现的规律解决问题是应该具备的基本能力本题的关键规律为 = （ ） （n 为非 0 自然数） 8 （2015 丹东，第 16 题 3 分）如图，直线 OD 与 x 轴所夹的锐角为 30，OA 1 的长为 1，A 1A2B1、A 2A3B2、A 3A4B3AnAn+1Bn均为等边三角形，点 A1、A 2、A 3An+1 在 x 轴 的正半轴上依次排列，点 B1、B 2、B 3Bn在直线 OD 上依次排列，那么点 Bn的坐标为 （32 n2， 2n2） 考点： 一次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质 专题： 规律型 分析： 根据等边三角形的性质和B 1OA2=30，可求得B 1OA2=A1B1O=30，可求得 OA2=2OA1=2，同理可求得 OAn=2n1，再结合含 30角的直角三角形的性质可求得A nBnAn+1 的边长，进一步可求得点 Bn的坐标 解答： 解：A 1B1A2 为等边三角形， B1A1A2=60， B1OA2=30， B1OA2=A1B1O=30，可求得 OA2=2OA1=2， 同理可求得 OAn=2n1， BnOAn+1=30， BnAnAn+1=60， BnOAn+1=OBnAn=30 BnAn=OAn=2n1， 即A nBnAn+1 的边长为 2n1，则可求得其高为 2n1= 2n2， 点 Bn的横坐标为 2n1+2n1= 2n1=32n2， 点 Bn的坐标为（32 n2， 2n2） 故答案为（32 n2， 2n2） 点评： 本题主要考查等边三角形的性质和含 30角的直角三角形的性质，根据条件找到等 边三角形的边长和 OA1 的关系是解题的关键 9. （2015 北海 ,第 18 题 3 分）如图，直线 y=2x+2 与两坐标轴分别交于 A、B 两点，将线 段 OA 分成 n 等份，分点分别为 P1，P 2，P 3，P n1，过每个分点作 x 轴的垂线分别交直 线 AB 于点 T1，T 2，T 3， Tn1，用 S1，S 2，S 3，S n1 分别表示 RtT1OP1，Rt T2P1P2，RtT n1Pn2Pn1 的面积，则当 n=2015 时，S 1+S2+S3+Sn1= 考点： 一次函数图象上点的坐标特征 专题： 规律型 分析： 根据图象上点的坐标性质得出点 T1，T 2，T 3， ，T n1 各点纵坐标，进而利用三角 形的面积得出 S1、S 2、S 3、S n1，进而得出答案 解答： 解：P 1，P 2，P 3，P n1 是 x 轴上的点，且 OP1=P1P2=P2P3=Pn2Pn1= ， 分别过点 p1、p 2、p 3、p n2、p n1 作 x 轴的垂线交直线 y=2x+2 于点 T1，T 2，T 3， ，T n1， T1 的横坐标为： ，纵坐标为：2 ， S1= （2 ）= （1 ） 同理可得：T 2 的横坐标为： ，纵坐标为：2 ， S2= （ 1 ） ， T3 的横坐标为： ，纵坐标为：2 ， S3= （1 ） Sn1= （1 ） S1+S2+S3+Sn1= n1 （n1）= （n1）= ， n=2015， S1+S2+S3+S2014= 2014= 故答案为： 点评： 此题考查了一次函数函数图象上点的坐标特点，先根据题意得出 T 点纵坐标变化 规律进而得出 S 的变化规律，得出图形面积变化规律是解题关键 10. （2015 梧州 ,第 18 题 3 分）如图是由等圆组成的一组图，第个图由 1 个圆组成，第 个图由 5 个圆组成，第 个图由 12 个圆组成按此规律排列下去，则第 个图由 51 个圆组成 考点： 规律型：图形的变化类所有 分析： 根据图形可得第 n 个图形一定有 n 排，最上边的一排有 n 个，下边的每排比上边的 一排多 1 个，据此即可求解 解答： 解：第个图形中圆的个数是：6+7+8+9+10+11=51 故答案是：51 点评： 本题考查了图形的变化规律，根据已知的图形得到排列规律是关键 11. （2015 内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第 17 题 3 分）将图 1 的正方形作如下操作：第 1 次 分别连接对边中点如图 2，得到 5 个正方形；第 2 次将图 2 左上角正方形按上述方法再分 割如图 3，得到 9 个正方形，以此类推，第 n 次操作后，得到正方形的个数是 考点： 规律型：图形的变化类 分析： 仔细观察，发现图形的变化的规律，从而确定答案 解答： 解：第 1 次：分别连接各边中点如图 2，得到 4+1=5 个正方形； 第 2 次：将图 2 左上角正方形按上述方法再分割如图 3，得到 42+1=9 个正方形， 以此类推，根据以上操作，若第 n 次得到 4n+1 个正方形， 故答案为：4n+1 点评： 此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关 键 12. （2015 青海，第 12 题 4 分）如图是一组有规律的图案，图案 1 是由 4 个 组成的， 图案 2 是由 7 个 组成的，那么图案 5 是由 个 组成的，依此，第 n 个 图案是由 个 组成的 考点： 规律型：图形的变化类 分析： 观察不难发现，后一个图案比前一个图案多 3 个基础图形，然后写出第 5 个和第 n 个图案的基础图形的个数即可 解答： 解：由图可得，第 1 个图案基础图形的个数为 4， 第 2 个图案基础图形的个数为 7，7=4+3， 第 3 个图案基础图形的个数为 10，10=4+32， ， 第 5 个图案基础图形的个数为 4+3（51）=16， 第 n 个图案基础图形的个数为 4+3（n1）=3n+1 故答案为：16，3n+1 点评： 本题是对图形变化规律的考查，观察出“后一个图案比前一个图案多 3 个基础图形” 是解题的关键 13. （2015 山西 ,第 12 题 3 分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和 正三角形镶嵌而成，第（1）个图案有 4 个三角形，第（2）个图案有 7 个三角形，第（3） 个图案有 10 个三角形，依此规律，第 n 个图案有 3n+1 个三角形（用含 n 的代数式 表示） 考点： 规律型：图形的变化类 分析： 由题意可知：第（1）个图案有 3+1=4 个三角形，第（2）个图案有 32+1=7 个三 角形，第（3）个图案有 33+110 个三角形，依此规律，第 n 个图案有 3n+1 个三角形 解答： 解：第（1）个图案有 3+1=4 个三角形， 第（2）个图案有 32+1=7 个三角形， 第（3）个图案有 33+110 个三角形， 第 n 个图案有 3n+1 个三角形 故答案为：3n+1 点评： 此题考查图形的变化规律，找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题 14. （2015 贵州省黔东南州 ,第 16 题 4 分）将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述 排列规律，数阵中第 10 行从左至右的第 5 个数是 50 考点： 规律型：数字的变化类 分析： 先找到数的排列规律，求出第 n1 行结束的时候一共出现的数的个数，再求第 n 行从左向右的第 5 个数，即可求出第 10 行从左向右的第 5 个数 解答： 解：由排列的规律可得，第 n1 行结束的时候排了 1+2+3+n1= n（n1）个 数 所以第 n 行从左向右的第 5 个数 n（n 1）+5 所以 n=10 时，第 10 行从左向右的第 5 个数为 50 故答案为：50 点评： 此题主要考查了数字的变化规律，找出数字排列的规律是解决问题的关键 15 （2015 辽宁铁岭） （第 18 题，3 分）如图，将一条长度为 1 的线段三等分，然后取走 其中的一份，称为第一次操作；再将余下的每一条线段三等分，然后取走其中一份，称为 第二次操作；如此重复操作，当第 n 次操作结束时，被取走的所有线段长度之和为 1 考点： 规律型：图形的变化类. 分析： 易得第一次操作后余下的线段为 1 ，进而得到每次操作后有几个 1 的积，即可 得到第 n 次操作时，余下的所有线段的长度之和，进而求得被取走的所有线段长度之和 解答： 解：第一次操作后余下的线段之和为 1 ， 第二次操作后余下的线段之和为（1 ） 2， 第 n 次操作后余下的线段之和为（1 ） n= ， 则被取走的所有线段长度之和为 1 故答案是：1 点评： 本题考查图形的变化规律；得到第 n 次操作后有 n 个 是解决本题的关键 16 （3 分） （2015黔西南州） （第 20 题）已知 A32=32=6，A 53=543=60，A 52=5432=120，A 63=6543=360，依此规律 A74= 840 考点： 规律型：数字的变化类 分析： 对于 Aab（ba）来讲，等于一个乘法算式，其中最大因数是 a，依次少 1，最小因 数是 b依此计算即可 解答： 解：根据规律可得： A74=7654=840； 故答案为：840 点评： 本题考查了规律型数字的变化，这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目 首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的注意找到 Aab（ba）中的最大 因数，最小因数 17 （2015 辽宁抚顺） （第 18 题，3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 a，在 AB、BC、CD、DA 边上分别取点 A1、B 1、C 1、D 1，使 AA1=BB1=CC1=DD1= a，在边 A1B1、B 1C1、C 1D1、D 1A1 上分别取点 A2、B 2、C 2、D 2，使 A1A2=B1B2=C1C2=D1D2= A1B2，依次规律继续下去，则正方形 AnBnCnDn 的面积为 考点： 正方形的性质. 专题： 规律型 分析： 首先在 RtA1BB1 中，由勾股定理可求得正方形 A1B1C1D1 的面积= ，然后再 在 RtA2B1B2 中，由勾股定理求得正方形 A2B2C2D2 的面积 = ，然后找出其中的 规律根据发现的规律即可得出结论 解答： 解：在 RtA1BB1 中，由勾股定理可知； = = ，即正方形 A1B1C1D1 的面积= ； 在 RtA2B1B2 中，由勾股定理可知： = = ；即正方形 A2B2C2D2 的面积= 正方形 AnBnCnDn 的面积= 点评： 本题主要考查的是正方形的性质和勾股定理的应用，通过计算发现其中的规律是 解题的关键 18 （2015 葫芦岛） （第 18 题，3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AD=2，CD=1，连接 AC， 以对角线 AC 为边，按逆时针方向作矩形 ABCD 的相似矩形 AB1C1C，再连接 AC1，以对角 线 AC1 为边作矩形 AB1C1C 的相似矩形 AB2C2C1，按此规律继续下去，则矩形 ABnCnCn1 的面积为 考点： 相似多边形的性质 专题： 规律型 分析： 根据已知和矩形的性质可分别求得 AC，AC 1，AC 2 的长，从而可发现规律，根据规 律即可求得第 n 个矩形的面积 解答： 解： 四边形 ABCD 是矩形， ADDC， AC= = = ， 按逆时针方向作矩形 ABCD 的相似矩形 AB1