全国中考数学压轴题精选精析3(最新最全)

2009 年全国中考数学压轴题精选精析（三） 25.（09 年广西贺州）28(本题满分 10 分) 如图，抛物线 214yx的顶点为 A， 与 y 轴交于点 B （1）求点 A、点 B 的坐标 （2）若点 P 是 x 轴上任意一点，求证： PAB （3）当 最大时，求点 P 的坐标 （09 年广西贺州 28 题解析）解：（1）抛物线 214yx与 y 轴的交于点 B， 令 x=0 得 y=2 B（0，2） 1 分 2()344yxx A（2，3） 3 分 （2）当点 P 是 AB 的延长线与 x 轴交点时，B 5 分 当点 P 在 x 轴上又异于 AB 的延长线与 x 轴的交点时， 在点 P、 A、 B 构成的三角形中， ABP 综合上述： 7 分 （3）作直线 AB 交 x 轴于点 P，由（2）可知：当 PAPB 最大时，点 P 是所求的点 8 分 作 AHOP 于 H BOOP ， BOPAHP ABOP 9 分 由（1）可知：AH=3、OH=2 、OB=2， OP=4，故 P（4，0） 10 分 注：求出 AB 所在直线解析式后再求其与 x 轴交点 P（4， 0）等各种方法只要正确也相 应给分 26.（09 年广西柳州）26 （本题满分 10 分） 如图 11，已知抛物线 baxy2（ 0）与 x轴的一个交点为 (10)B， ，与 y 轴 的负半轴交于点 C，顶点为 D B O A x y 第 28 题图 B O A x y 第 28 题图 PH （1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与 x轴的另一个交点 A 的坐标； （2）以 AD 为直径的圆经过点 C 求抛物线的解析式； 点 E在抛物线的对称轴上，点 F在抛物线上，且以 EFB， 四点为顶点的四 边形为平行四边形，求点 的坐标 （09 年广西柳州 26 题解析）解：（1）对称轴是直线： 1x， 点 A 的坐标是（3，0） 2 分 （说明：每写对 1 个给 1 分， “直线”两字没写不扣分） （2）如图 11，连接 AC、AD，过 D 作 轴 yM于点 M， 解法一：利用 OC 点 A、 D、 C 的坐标分别是 A （3，0） ，D （1， ba） 、 C（0 ， b） ， AO3，MD =1 由 得 ba 0 3 分 又 )1(2)(4 分 由 03ba 得 3a 5 分 函数解析式为： 2xy 6 分 解法二：利用以 AD 为直径的圆经过点 C 点 A、D 的坐标分别是 A （3，0） 、D （1， ba） 、C （0， b） ， 29bC， 2a， 2)(4 2 03a 3 分 O x y AB C D 图 11 又 ba)1(2)(0 4 分 由、得 3， 5 分 函数解析式为： 2xy 6 分 （3）如图所示，当 BAFE 为平行四边形时 则 BA EF，并且 BA EF =4， =4 由于对称为 1x， 点 F 的横坐标为 5 7 分 将 代入 32y得 12y， F（5，12） 8 分 根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上也存在点 F，使得四边形 BAEF 是平行四边形，此时点 F 坐标为 （ 3，12） 9 分 当四边形 BEAF 是平行四边形时，点 F 即为点 D， 此时点 F 的坐标为（1， 4） 10 分 综上所述，点 F 的坐标为（5，12） ， （ 3，12）或 （1， 4） （其它解法参照给分） 27.（09 年广西南宁）26如图 14，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长 120米，下 底长 80米，上下底相距 80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间 有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等设甬道的宽为 x米 （1）用含 x的式子表示横向甬道的面积； （2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽； （3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过 6 米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的 宽度成正比例关系，比例系数是 5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米 0.02 万元，那 么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？ （09 年广西南宁 26 题解析）解：（1）横向甬道的面积为： 21208150mx2 分 （2）依题意： 21082805x4 分 整理得： 7125x， （不符合题意，舍去） 6 分 y xO AB C D 图 11 E F 图 14 甬道的宽为 5 米 （3）设建设花坛的总费用为 y万元21208. 16055.7yxx 7 分2.4.54x 当 06.25.ba时， y的值最小 8 分 因为根据设计的要求，甬道的宽不能超过 6 米，6x当 米时，总费用最少 9 分 最少费用为： 20.4.540238.万元 10 分 28.（09 年广西钦州）26 （本题满分 10 分） 如 图 ， 已 知 抛 物 线 y 3x2 bx c 与 坐 标 轴 交 于 A、 B、 C 三 点 ， A 点 的 坐 标 为 （1，0） ，过点 C 的直线 y 4tx3 与 x 轴交于点 Q，点 P 是线段 BC 上的一个动点， 过 P 作 PHOB 于点 H若 PB5t ，且 0t1 （1）填空：点 C 的坐标是_，b_，c_； （2）求线段 QH 的长（用含 t 的式子表示） ； （3）依点 P 的变化，是否存在 t 的值，使以 P、H、Q 为顶点的三角形与COQ 相似？ 若存在，求出所有 t 的值；若不存在，说明理由 （09 年广西钦州 26 题解析）解：（1） （0，3） ，b 94，c3 3 分 （2）由（1） ，得 y 4x2 9x3，它与 x 轴交于 A，B 两点，得 B（4，0） OB4，又OC3，BC5 由题意，得BHPBOC， OCOBBC345， HPHB BP345， PB5t，HB4t，HP3t OHOB HB 44t 由 y tx3 与 x 轴交于点 Q，得 Q（4t，0） OQ4t 4 分 ABxyOQHPC xyOQHPC 当 H 在 Q、B 之间时， QHOHOQ （44t）4t48t 5 分 当 H 在 O、Q 之间时， QHOQOH 4t（44t）8t4 6 分 综合，得 QH48t； 6 分 （3）存在 t 的值，使以 P、H、Q 为顶点的三角形与COQ 相似 7 分 当 H 在 Q、B 之间时，QH48t ， 若QHP COQ，则 QHCOHPOQ，得 483t ， t 732 7 分 若PHQ COQ，则 PHCOHQOQ，得 t 4t， 即 t22t10 t 1 1，t 2 1（舍去） 8 分 当 H 在 O、Q 之间时，QH 8t4 若QHP COQ，则 QHCOHPOQ，得 843t t， t 532 9 分 若PHQ COQ，则 PHCOHQOQ，得 t 4t， 即 t22t10 t 1t 21（舍去） 10 分 综上所述，存在 t的值，t 1 21，t 2 73，t 3 25 10 分 29.（09 年广西梧州）26 （本题满分 12 分） 如图（9）-1，抛物线 23yaxb经过 A（ ，0） ，C（3， ）两点，与 y轴 交于点 D，与 x轴交于另一点 B （1）求此抛物线的解析式； （2）若直线 )0(1ky将四边形 ABCD 面积二等分，求 k的值； （ 3） 如 图 （ 9） -2， 过 点 E（ 1， 1） 作 EF x轴 于 点 F， 将 AEF 绕 平 面 内 某 点 旋 转 180 得MNQ（点 M、N 、Q 分别与点 A、E、F 对应） ，使点 M、 N 在抛物线上，作 MG x轴 于点 G，若线段 MG AG1 2，求点 M，N 的坐标 D O BA x y C y=kx+1 图（9）-1 E F M N G O BA x y 图（9）-2 Q （09 年广西梧州 26 题解析） （1）解：把 A（ 1，0） ，C（3， 2）代入抛物线 23yaxb 得 290)()1(a 1 分 整理得 204ba 2 分 解得 21ba 3 分 抛物线的解析式为 31xy4 分 （2）令 02312x 解得 124， B 点坐标为（4，0） 又D 点坐标为（0， ） ABCD 四边形 ABCD 是梯形 S 梯形 ABCD 82)35(15 分 设直线 0kxy与 x 轴的交点为 H， 与 CD 的交点为 T， 则 H（ ，0） ， T（ ， ） 6 分 直线 )(1kxy将四边形 ABCD 面积二等分 S 梯形 AHTD 2S 梯形 ABCD 4)3(k7 分 4k8 分 （3）MG x轴于点 G，线段 MGAG 12 设 M（m， 21） ， 9 分 点 M 在抛物线上 232m 解得 123， （舍去） 10 分 M 点坐标为（3， ） 11 分 根据中心对称图形性质知，MQAF，MQAF，NQEF， N 点坐标为（1， ） 12 分 30.（09 年贵州黔东南州）26、 （12 分）已知二次函数 。22axy （1）求证：不论 a 为何实数，此函数图象与 x 轴总有两个交点。 （2 ） 设 a0， 当 此 函 数 图 象 与 x 轴 的 两 个 交 点 的 距 离 为 时 ， 求 出 此 二 次 函 数 的 解 析13 式 。 E F M N G O BA x y 图(9) - 2 QD O BA xy CBCy=kx+1图(9) -1H T （3）若此二次函数图象与 x 轴交于 A、B 两点，在函数图象上是否存在点 P，使得 PAB 的面积为 ，若存在求出 P 点坐标，若不存在请说明理由。21 （09 年贵州黔东南州 26 题解析）解（1）因为= 04)2()(42 aa 所以不论 a 为何实数，此函数图象与 x 轴总有两个交点。（2 分） （2）设 x1、x 2 是 的两个根，则 ，02ay x21 ，因两交点的距离是 ，所以 。1x 133)(|21 （4 分） 即： 13)(21x 变形为： （5 分）13422x 所以： )()(a 整理得： 05 解方程得： 1或 又因为：a0 所以：a=1 所以：此二次函数的解析式为 （6 分）32xy （3）设点 P 的坐标为 ，因为函数图象与 x 轴的两个交点间的距离等于 ，),(0xo 13 所以：AB= （8 分）1 所以：S PAB = 213|20yAB 所以： |130 即： ，则 （10 分）|0y30 当 时， ，即32ox0)2(30ox 解此方程得： =2 或 30 当 时， ，即0yox)1(0ox y x B AOP 解此方程得： =0 或 1（11 分）0x 综上所述，所以存在这样的 P 点，P 点坐标是( 2,3), (3,3), (0, 3) 或(1, 3)。 （12 分） 31.（09 年贵州安顺）27、 （本题满分 12 分） 如图，已知抛物线与 交于 A(1，0) 、E(3 ，0) 两点，与 轴交于点 B(0，3)。xy （1） 求抛物线的解析式； （2） 设抛物线顶点为 D，求四边形 AEDB 的面积； （3） AOB 与DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。 （09 年贵州安顺 27 题解析）解：（1）(5) 抛物线与 y轴交于点（0，3） ， 设抛物线解析式为 )(32abxy(1) 根据题意，得 039a，解得 21 抛物线的解析式为 2(5) (2)(5)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4） （2) 设对称轴与 x 轴的交点为 F 四边形 ABDE 的面积= ABODFESS梯 形 = 1()22AOBD = 1344=9 （5） （3）(2) 相似 如图，BD= 221G； BE= 223BOE DE= 5DFE 20D, 即： B,所以 BE是直角三角形 90AO,且 AO, (2 ) 32.（09 年黑龙江大兴安岭地区）28 （本小题满分 10 分）直线 )0(kbxy与 坐标轴分别交于 、 两点， 、 B的长分别是方程 4812x的两根（ ） ，动点 P从 点出发，沿路线 A以每秒 1 个单位长度的速度运动， 到达 A点时运动停止 （1）直接写出 、 两点的坐标； （2）设点 的运动时间为 t(秒)， OP的面积为 S，求 与 t之间的函数关系式 （不必写出自变量的取值范围） ； （3）当 S时，直接写出点 的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点 M，使以 O、 A、 P、 M为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点 M的坐标；若不存在，请说 明理由 （09 年黑龙江大兴安岭地区 28 题解析）(1) )6,0(,8BA.各 1 分 (2) 8OA， 6B， 10 当点 P 在 上运动时， tOP，S482211 ；1 分 当点 在 BA上运动时，作 AD2于点 ， 有 POD22 tt1602， 53482tP1 分 19212 ttAS 1 分 （3）当 4t时， 3t， ),0(1，1 分 此时，过 OP各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点 M不 存在；1 分 当 2519t时， t， )3,4(2P，1 分 此时， )3,0(1M、 )6,(各 1 分 注: 本卷中各题, 若有其它正确的解法 ,可酌情给分. 33.（09 年海南）24.（满分 13 分）如图 12，已知抛物线经过坐标原点 O 和 x 轴上另一点 E，顶点 M 的坐标为 (2,4)；矩形 ABCD 的顶点 A 与点 O 重合，AD、AB 分别在 x 轴、 y 轴上，且 AD=2，AB=3. （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）将矩形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度从图 12 所示的位置沿 x 轴的正方向匀 速平行移动，同时一动点 P 也以相同的速度从点 A 出发向 B 匀速移动，设它们运 动的时间为 t 秒（0t3） ，直线 AB 与 该 抛物线的交点为 N（如图 13 所示）. 当 t= 25时，判断点 P 是否在直线 ME 上，并说明理由； 设以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积为 S，试问 S 是否存在最大值？若存在， 求出这个最大值；若不存在，请说明理由 （09 年海南 24 题解析） （1）因所求抛物线的顶点 M 的坐标为(2,4)， 故可设其关系式为 2yax (1 分) 又抛物线经过 O(0,0)，于是得 0， (2 分) 解得 a=-1 (3 分) 所求函数关系式为 24yx，即 24yx. (4 分) （2） 点 P 不在直线 ME 上. (5 分) 根据抛物线的对称性可知 E 点的坐标为(4,0)， 又 M 的坐标为(2,4)，设直线 ME 的关系式为 y=kx+b. 于是得 0bk ，解得 82bk 所以直线 ME 的关系式为 y=-2x+8. (6 分) 由已知条件易得，当 t 5时，OA=AP 5， 2,P (7 分) P 点的坐标不满足直线 ME 的关系式 y=-2x+8. 当 t 25时，点 P 不在直线 ME 上. (8 分) S 存在最大值. 理由如下： (9 分) 点 A 在 x 轴的非负半轴上，且 N 在抛物线上， OA=AP=t . 点 P，N 的坐标分别为(t,t)、(t ,-t 2+4t) AN=-t 2+4t (0t 3) , AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3-t)0 , PN=-t 2+3 t (10 分) （）当 PN=0，即 t=0 或 t=3 时，以点 P，N ，C，D 为顶点的多边形是三角形，此三 角形的高为 AD， S= 1DCAD= 32=3. (11 分) （）当 PN0 时，以点 P，N，C，D 为顶点的多边形是四边形 PNCD，ADCD， S= 21(CD+PN)AD= 213+(-t 2+3 t)2=-t 2+3 t+3= 421 图 13 BC O AD E M y x P N 图 12 BC O (A)D E M y x 其中(0t3)，由 a=-1，0 233，此时 421最 大S. (12 分) 综上所述，当 t 2时，以点 P，N ，C，D 为顶点的多边形面积有最大值， 这个最大值为 4. (13 分) 说明：（）中的关系式，当 t=0 和 t=3 时也适合. 34.（09 年河北）26 （本小题满分 12 分）如图 16，在 RtABC 中，C=90，AC = 3，AB = 5点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动伴随着 P、Q 的运动， DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC- CP 于点 E点 P、Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止设点 P、Q 运动的时间是 t 秒（t0） （1）当 t = 2 时， AP = ，点 Q 到 AC 的距离是 ； （2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围） （3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成 为直角梯形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由； （4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出 t 的值 （09 年河北 26 题解析）解：（1）1， 85； （2）作 QF AC 于 点 F， 如图 3， AQ = CP= t， 3At 由 AQF ABC， 24， 得 45t 45t 1(3)2St， 即 65t （3）能 当 DEQB 时，如图 4 DEPQ，PQ QB，四边形 QBED 是直角梯形 此时AQP=90 由APQ ABC ，得 AQPCB， 即 35t 解得 98t 如图 5，当 PQBC 时，DEBC，四边形 QBED 是直角梯形 此时APQ =90 由AQP ABC ，得 AQPBC， A C B P Q E D 图 16 A C B P Q E D 图 4 A C B P Q ED 图 5 A C(E) ) B P Q D 图 6 G A C(E) ) B P Q D 图 7 G 即 35t 解得 158t （4） 2t或 4t 【注：点 P 由 C 向 A 运动，DE 经过点 C 方法一、连接 QC，作 QG BC 于 点 G， 如图 6t ， 222234(5)(5)tt 由 2P，得 222ttt，解得 t 方法二、由 CQPA，得 QCA，进而可得B ，得 B， 52 t 点 P 由 A 向 C 运动，DE 经过点 C， 如图 722234(6)(5)(5)ttt ， 41】 35.（09 年河南）23.（11 分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（4，0） 、 C（8，0） 、 D（8，8）.抛物线 y=ax2+bx 过 A、 C 两点. (1)直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式； (2)动点 P 从点 A 出发沿线段 AB 向终点 B 运动，同时点 Q