八年级下册数学第十八章_勾股定理及全章复习(七节学案)修改

a b a bcc A B CD E 18.1 勾股定理（1） 学习目标： 1了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。 重点：勾股定理的内容及证明。 难点：勾股定理的证明。 学习过程： 一、预习新知（阅读教材第 64 至 66 页，并完成预习内容。） 1 正方形 A、B 、C 的面积有什么数量关系？ 2 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积 之间有什么关系？ 归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系。 (1)那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？ (2)组织学生小组学习，在方格纸上画出一个直角边分别为 3 和 4 的直角三角形，并以其三 边为边长向外作三个正方形，并分别计算其面积。 (3)通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形是否具有上述结论吗？ (4)对于更一般的情形将如何验证呢？ 二、课堂展示 方法一； 如图，让学生剪 4 个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证 明。 S 正方形_ 方法二； 已知：在ABC 中，C=90，A 、B 、C 的对边为 a、b、c。 求证：a 2b 2=c2。 以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E 、B 三点在一条直线上. 1 Rt EAD RtCBE, ADE = BEC. AED + ADE = 90, AED + BEC = 90. c b a D C A B DEC = 18090= 90. DEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于 c2.1 又 DAE = 90, EBC = 90, ADBC. ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于_ 归纳：勾股定理的具体内容是 。 三、随堂练习 1.如图，直角ABC 的主要性质是：C=90，（用几何语言表示） 两锐角之间的关系： ； (2)若B=30，则B 的对边和斜边： ； (3)三边之间的关系： 2.完成书上 P69 习题 1、2 四、课堂检测 1.在 RtABC 中，C=90 若 a=5，b=12，则 c=_； 若 a=15，c=25，则 b=_； 若 c=61，b=60，则 a=_； 若 ab=34，c=10 则 SRtABC =_。 2.已知在 RtABC 中，B=90，a 、b、c 是ABC 的三边，则 c= 。（已知 a、b，求 c） a= 。（已知 b、c，求 a） b= 。（已知 a、c，求 b） 3.直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为_。 4.已知一个 Rt 的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（ ） A、25 B、14 C、7 D、7 或 25 5.等腰三角形底边上的高为 8，周长为 32，则三角形的面积为（ ） A、56 B、48 C、40 D、32 A C B D 志诚教育 -有志者事竟成 第十六章 分式 制作人：蔡滢滢 - 3 - 18.1 勾股定理（2） 学习目标： 1会用勾股定理解决简单的实际问题。 2树立数形结合的思想。 3经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。 4培养思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。 重点：勾股定理的应用。 难点：实际问题向数学问题的转化。 一、预习新知（阅读教材第 66 至 67 页，并完成预习内容。） 1.在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件？ 直角三角形中哪条边最长？ 2.在长方形 ABCD 中，宽 AB 为 1m，长 BC 为 2m ，求 AC 长 问题（1）在长方形 ABCD 中 AB、BC、AC 大小关系？ （2）一个门框的尺寸如图 1 所示 若有一块长 3 米，宽 0.8 米的薄木板，问怎样从门框通过？ 若薄木板长 3 米，宽 1.5 米呢？ 若薄木板长 3 米，宽 2.2 米呢？为什么？ 图 1 二、课堂展示 例：如图 2，一个 3 米长的梯子 AB，斜着靠在竖直的墙 AO 上，这时 AO 的距离为 2.5 米 求梯子的底端 B 距墙角 O 多少米？ 如果梯的顶端 A 沿墙下滑 0.5 米至 C. 算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数） 图 2 B C 1m 2m A O B D C A C A O B O D 三、随堂练习 1.书上 P68 练习 1、2 2小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着 45 度的坡路走了 500 米，看到了一棵红叶树， 这棵红叶树的离地面的高度是 米。 3如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是 米，则这两株树之间的垂直距离是43 米，水平距离是 米。 3 题图 1 题图 2 题图 四、课堂检测 1如图，一根 12 米高的电线杆两侧各用 15 米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。 2如图，原计划从 A 地经 C 地到 B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由 A 地到 B 地直接修建，已知高速公路一公里造价为 300 万元， 隧道总长为 2 公里，隧道造价为 500 万元，AC=80 公里， BC=60 公里，则改建后可省工程费用是多少？ 3如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取 B、C 两点，在江对 岸取一点 A，使 AC 垂直江岸，测得 BC=50 米，B=60，则 江面的宽度为 。 4有一个边长为 1 米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这 个洞口，则圆形盖半径至少为 米。 5一根 32 厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在 P、Q 两点，PQ=16 厘米，且 RPPQ，则 RQ= 厘米。 6.如图 3，分别以 Rt ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别 用 S1、S 2、S 3 表示，容易得出 S1、S 2、S 3 之间有的关系式 30A B C C A B A CBR P Q S1 S2 S3 图 4 S1 S2S3 BA C 图 3 志诚教育 -有志者事竟成 第十六章 分式 制作人：蔡滢滢 - 5 - 变式：书上 P71 -11 题如图 4 18.1 勾股定理（3） 学习目标: 1、能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长求第三条边长；并在数轴上表示无理数。 2、体会数与形的密切联系，增强应用意识，提高运用勾股定理解决问题的能力。 3、培养数形结合的数学思想，并积极参与交流，并积极发表意见。 重点：利用勾股定理在数轴上表示无理数。 难点：确定以无理数为斜边的直角三角形的两条直角边长。 一、预习新知（阅读教材第 67 至 68 页，并完成预习内容。） 1.探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 的点吗？13 2.分析：如果能画出长为_的线段，就能在数轴上画出表示 的点。容易知道，长13 为 的线段是两条直角边都为_的直角边的斜边。长为 的线段能是直角边为正2 整数的直角三角形的斜边吗？ 利用勾股定理，可以发现，长为 的线段是直角边为正整数_、 _的直角三角13 形的斜边。 3.作法：在数轴上找到点 A，使 OA=_，作直线 垂直于 OA，在 上取点 B，使ll AB=_，以原点 O 为圆心，以 OB 为半径作弧，弧与数轴的交点 C 即为表示 的点。13 4.在数轴上画出表示 的点？（尺规作图）17 二、课堂展示 例 1 已知直角三角形的两边长分别为 5 和 12，求第三边。 例 2 已知：如图，等边ABC 的边长是 6cm。 求等边ABC 的高。 求 SABC 。 D C B A 三、随堂练习 1.完成书上 P71 第 9 题 2填空题 在 RtABC，C=90 ，a=8，b=15，则 c= 。 在 RtABC，B=90 ，a=3，b=4，则 c= 。 在 RtABC，C=90 ，c=10，a ：b=3 ：4，则 a= ，b= 。 (4)已知直角三角形的两边长分别为 3cm 和 5cm，则第三边长为 。 2已知等腰三角形腰长是 10，底边长是 16，求这个等腰三角形面积。 四、课堂检测 1已知直角三角形中 30角所对的直角边长是 cm，则另一条直角边的长是（ ）32 A. 4cm B. cm C. 6cm D. cm346 2ABC 中，AB 15，AC 13，高 AD12，则ABC 的周长为（ ） A42 B32 C42 或 32 D37 或 33 3一架 25 分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端 7 分米.如果梯子的 顶端沿墙下滑 4 分米，那么梯足将滑动( ) A. 9 分米 B. 15 分米 C. 5 分米 D. 8 分米 4 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走 “捷 径”，在花铺内走出了一条“ 路”他们仅仅少走了 步路（假设 2 步为 1 米），却踩伤了花草 5. 等腰ABC 的腰长 AB10cm，底 BC 为 16cm，则底边上的 高为 ，面积为 . 6. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 7已知：如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ADDC ， ABAC，B=60，CD=1cm，求 BC 的长。 “路” 4m 3m B C DA 志诚教育 -有志者事竟成 第十六章 分式 制作人：蔡滢滢 - 7 - 图 18.2-2 18.2 勾股定理的逆定理（一） 学习目标 1体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。 2探究勾股定理的逆定理的证明方法。 3理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。 重点：掌握勾股定理的逆定理及简单应用。 难点：勾股定理的逆定理的证明。 一、预习新知（阅读教材 P73 75 , 完成课前预习） 1.三边长度分别为 3 cm、4 cm、5 cm 的三角形与以 3 cm、4 cm 为直角边的直角三角形之 间有什么关系？你是怎样得到的？ 2.你能证明以 6cm、8cm 、10cm 为三边长的三角形是直角三角形吗？ 3.如图 18.2-2，若ABC 的三边长 、 、 满足 ，试证明ABC 是直角abc22cba 三角形，请简要地写出证明过程 4.此定理与勾股定理之间有怎样的关系？ （1）什么叫互为逆命题 （2）什么叫互为逆定理 （3）任何一个命题都有 _，但任何一个定理未必都有 _ 5.说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗？ （1） 两直线平行，内错角相等； （2） 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； （3） 全等三角形的对应角相等； （4） 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 二、课堂展示 例 1：判断由线段 、 、 组成的三角形是不是直角三角形：abc （1） ； （2） 17,8515,4,13cba （3） ； （4） ；25,4,7cba 5.2,5.1cba 三、随堂练习 1.完成书上 P75 练习 1、2 2.如果三条线段长 a,b,c 满足 ，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？22bca 为什么？ 3.A,B,C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地的正东方向，C 地在 B 地的什么方向？ 4.思考：我们知道 3、4、5 是一组勾股数，那么 3k、4k、5k（k 是正整数）也是一组勾股 数吗？一般地，如果 a、b、c 是一组勾股数，那么 ak、bk 、ck（k 是正整数）也是一组勾 股数吗？ 四、课堂检测 1.若ABC 的三边 a，b，c 满足条件 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定ABC 的形状 2.一根 24 米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少米？此三角形 的形状为？ 3.已知：如图，在ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD2=ADBD。 求证：ABC 是直角三角形。 13km 12km 5km B A C B A C D 志诚教育 -有志者事竟成 第十六章 分式 制作人：蔡滢滢 - 9 - 图 18.2-3 18.2 勾股定理逆定理（2） 学习目标： 1.进一步掌握勾股定理的逆定理，并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角 三角形，能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围。 2.培养逻辑推理能力，体会“形”与“数”的结合。 3.在不同条件、不同环境中反复运用定理，达到熟练使用，灵活运用的程度。 4.培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值。 重点：勾股定理的逆定理 难点：勾股定理的逆定理的应用 一、预习新知 已知：如图，四边形 ABCD，ADBC，AB=4，BC=6 ，CD=5，AD=3。 求：四边形 ABCD 的面积。 归纳：求不规则图形的面积时，要把不规则图形 二、课堂展示 例 1.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每 小时航行 16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里，它们离开港口一个半小时后相距 30 海 里如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 例 2如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一 下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得 AB=4 米，BC=3 米， CD=13 米，DA=12 米，又已知B=90。 三、随堂练习 1.完成书上 P76 练习 3 2.一个三角形三边之比为 3：4：5，则这个三角形三边上的高值比为 A 3:4:5 B 5:4:3 C 20:15:12 D 10:8:2 3.如果ABC 的三边 a,b,c 满足关系式 +（b-18） 2+ =0 则ABC 是 182ba30c _三角形。 A B C D E D C A B 四、课堂检测 1.若ABC 的三边 a、b、c，满足（ab）（a 2b 2c 2）=0，则ABC 是（ ） A等腰三角形； B直角三角形； C等腰三角形或直角三角形； D等腰直角三角形。 2.若ABC 的三边 a、b、c，满足 a：b：c=1 ：1： ，试判断 ABC 的形状。 3.已知：如图，四边形 ABCD，AB=1，BC= ，CD= ，AD=3，且431 ABBC 。 求：四边形 ABCD 的面积。 4.小强在操场上向东走 80m 后，又走了 60m，再走 100m 回到原地。小强在操场上向东走 了 80m 后，又走 60m 的方向是 。 5.一根 30 米长的细绳折成 3 段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长 7 米，比 较长边短 1 米，请你试判断这个三角形的形状。 6.已知ABC 的三边为 a、b、c，且 a+b=4，ab=1，c= ，试判定ABC 的形状。 14 7.如图，在正方形中，为的中点，为上一点且 ，求证：41 90 。 . A B C D 志诚教育 -有志者事竟成 第十六章 分式 制作人：蔡滢滢 - 11 - 五、小结与反思 勾股定理复习（1） 学习目标 1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边. 2.勾股定理的应用. 3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形. 重点：掌握勾股定理及其逆定理. 难点：理解勾股定理及其逆定理的应用. 一、复习回顾 在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了 如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆 定理以及它的应用其知识结构如下： 1.勾股定理： (1)直角三角形两直角边的_和等于_的平方就是说，对于任意的直角三角形， 如果它的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么一定有： .这就是勾股 定理 (2)勾股定理揭示了直角三角形_之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依 据 2222, bacbca , 22,acbc 勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”通过构造几何图形，并计算图形面积得出 一个等式，从而得出或验证勾股定理 2.勾股定理逆定理 “若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为_.”这一命题是 勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题 提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边 a,b,c(a2+b2=c2)，先构造 一个直角边为 a,b 的直角三角形，由勾股定理证明第三边为 c,进而通过“SSS”证明两个 三角形全等，证明定理成立. 3.勾股定理的作用： (1）已知直角三角形的两边，求第三边； (2）在数轴上作出表示 n（n 为正整数）的点 勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来 证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角 形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角， 从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体 现了数形结合的思想 (3)三角形的三边分别为 a、b、c，其中 c 为最大边，若 22cba，则三角形是直角三 角形；若 22a，则三角形是锐角三角形；若 ，则三角形是钝角三角 形所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边 二、课堂展示 例 1：如果一个直角三角形的两条边长分别是 6cm 和 8cm，那么这个三角形的周长和面积分 别是多少? 例 2：如图，在四边形 ABCD 中，C=90，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：ADBD 三、随堂练习 1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( ) A7，24，25 B3 ，4 ，5 C3，4，5 D4，7 ，821 21 2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2 倍，那么斜边扩大到原来的( ) A1 倍 B2 倍 C3 倍 D4 倍 3.三个正方形的面积如图 1，正方形 A 的面积为（ ） A 6 B 36 C 64 D 8 4.直角三角形的两直角边分别为 5cm，12cm，其中斜边上的高为（ ） A6cm B85cm C cm D cm1301360 5.在ABC 中，三条边的长分别为 a，b，c，an 21，b2n，cn 2+1(n1，且 n 为整数)， 这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角 图 1 A 100 64 志诚教育 -有志者事竟成 第十六章 分式 制作人：蔡滢滢 - 13 - 四、课堂检测 1两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖 8cm，另一只朝左挖，每分钟挖 6cm，10 分钟之后两只小鼹鼠相距（ ） A50cm B100cm C140cm D80cm 2小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 1m，当它把绳子的下端 拉开 5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ） A8cm B10cm C 12cm D14cm 3在ABC 中，C90，若 a5，b12，则 c 4等腰ABC 的面积为 12cm2，底上的高 AD3cm ，则它的周长为 5等边ABC 的高为 3cm，以 AB 为边的正方形面积为 6一个三角形的三边的比为 51213，它的周长为 60cm，则它的面积是 7有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出 1 尺， 斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽 4 尺求竹竿高与门高 8如图 3，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部 8m 处，已知旗杆原长 16m，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？ 8m 图 3 勾股定理复习(2) 学习目标 1.掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，熟练应用直角三角形的勾股定理和逆 定理来解决实际问题 2.经历反思本单元知识结构的过程，理解和领会勾股定理和逆定理 3.熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发爱国主义思想， 培养良好的学习态度 重点：掌握勾股定理以及逆定理的应用 难点：应用勾股定理以及逆定理 考点一、已知两边求第三边 1在直角三角形中,若两直角边的长分别为 1cm，2cm ，则斜边长为_ 2已知直角三角形的两边长为 3、2，则另一条边长是_ 3在数轴上作出表示 的点10 4已知，如图在 ABC 中，AB=BC=CA=2cm，AD 是边 BC 上的高 求 AD 的长；ABC 的面积 考点二、利用列方程求线段的长 1如图，铁路上 A，B 两点相距 25km，C，D 为两村庄，DAAB 于 A，CBAB 于 B，已知 DA=15km，CB=10km，现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E，使得 C，D 两村到 E 站的距离相等，则 E 站应建在离 A 站多少 km 处？ 2.如图，某学校（A 点）与公路（直线 L）的距离为 300 米，又与公路车站（D 点）的距离 为 500 米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校 A 及车站 D 的距离相等， 求商店与车站之间的距离 A D E B C 志诚教育 -有志者事竟成 第十六章 分式 制作人：蔡滢滢 - 15 - 考点三、判别一个三角形是否是直角三角形 1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17 （4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有 2.若三角形的三别是 a2+b2,2ab,a2-b2(ab0),则这个三角形是 . 3.如图 1，在ABC 中，AD 是高，且 CDBA，求证：ABC 为直角三角形。 考点四、灵活变通 1.在 RtABC 中， a，b，c 分别是三条边，B=90，已知 a=6，b=10，则边长 c= 2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为 7 ，8 ，则以斜边为边长2cm2 的正方形的面积为_ 2cm 3.如图一个圆柱，底圆周长 6cm，高 4cm，一只蚂蚁沿外 壁爬行，要从 A 点爬到 B 点，则最少要爬行 cm 4.如图：带阴影部分的半圆的面积是 （ 取 3） 5.一只蚂蚁从长、宽都是 3，高是 8 的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬到 B 点，那么它所爬行的最短路线的长是 6.若一个三角形的周长12 cm,一边长为3 cm,其他两边之差为 cm,则这个三角形是_3 7.如图：