如何证明等差 数列(精选多篇)

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 如何证明等差数列(精选多篇) 如何证明等差数列 设等差数列 an=a1+d 最大数加最小数除以二即 /2=a1+d/2 an的平均数为 sn/n=/n=a1+d/2 得证 1 三个数 abc 成等差数列，则 c- b=b-a c -b = b -a = 因 c-b=b-a，则= 即 c -b =b -a 所以 a ,b ,c 成等差数列 等差：an-=常数 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 等比：an/ 等差：an-=d 或 2an=+, 等比：an/=q 或 an 平方=*. 2 我们推测数列an的通项公式为 an=5n-4 下面用数学规纳法来证明： 1) 容易验证 a1=5*1- 4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推测 均成立 2) 假设当 nk 时，推测是成立的， 即有 aj=5-4， 则 sk=a1+a2+ak=5*-4k=5k/2- 4k=k/2 于是 s=a+sk 而由题意知：s-sk=-20k-8 即：*-sk=-20k-8 所以 a-10sk=-20k-8 即：a=5k-20k-8=25k -35k-8= 所以 a=5k+1=5-4 即知 n=k+1 时，推测仍成立。 3 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 在新的数列中 an=s =a+a+a+a+a a=s =a+a+a+a+a an-a=a+a+a+a+a-a+a+a+a+a =4d+4d+4d+4d+4d =20d 20d 为常数,所以新数列为等差数 列上，an=5n-4 即为数列的通项公式， 故它为一等差数列。 4 a-2an=：4：5 6 设等差数列 an=a1+d 最大数加最小数除以二即 /2=a1+d/2 an的平均数为 sn/n=/n=a1+d/2 得证 等差数列的证明 1 三个数 abc 成等差数列，则 c-b=b-a -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 c -b = b -a = 因 c-b=b-a，则= 即 c -b =b -a 所以 a ,b ,c 成等差数列 等差：an-=常数 等比：an/ 等差：an-=d 或 2an=+, 等比：an/=q 或 an 平方=*. 2 我们推测数列an的通项公式为 an=5n-4 下面用数学规纳法来证明： 1) 容易验证 a1=5*1- 4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推测 均成立 2) 假设当 nk 时，推测是成立的， 即有 aj=5-4， 则 sk=a1+a2+ak=5*-4k=5k/2- 4k=k/2 于是 s=a+sk 而由题意知：s-sk=-20k-8 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 即：*-sk=-20k-8 所以 a-10sk=-20k-8 即：a=5k-20k-8=25k -35k-8= 所以 a=5k+1=5-4 即知 n=k+1 时，推测仍成立。 3 在新的数列中 an=s =a+a+a+a+a a=s =a+a+a+a+a an-a=a+a+a+a+a-a+a+a+a+a =4d+4d+4d+4d+4d =20d 20d 为常数,所以新数列为等差数 列上，an=5n-4 即为数列的通项公式， 故它为一等差数列。 4 列an 是等差数列 那么你就设直角三角形地三条边 为 a，a+b,a+2b 于是它是直角三角形得到 a+= -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 所以 a+a+2ab+b=a+4ab+4b 化简得 a=2ab+3b 两边同时除以 b 解得 a/b=3 即 a=3b 所以三边可以写为 3b，3b+b。3b+2b 所以三边之比为 3：4：5 6 设等差数列 an=a1+d 最大数加最小数除以二即 /2=a1+d/2 an的平均数为 sn/n=/n=a1+d/2 得证 设数列an 的前 n 项和为 sn， 若对于所有的正整数 n，都有 sn=n/2,求 证：an是等差数列 解：证法一：令 d=a2a1，下面 用数学归纳法证明 an=a1+d 当 n=1 时， 上述等式为恒等式 a1=a1， 当 n=2 时，a1+d=a1+=a2，等式 成立. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 假设当 n=k 时命题成立，即 ak=a1+d 由题设，有 sk? k ,sk?1?， 22 k ?+ak+1 22 又 sk+1=sk+ak+1，所以 将 ak=a1+d 代入上式， 得=2ka1+kd+2ak+1 整理得 ak+1=a1+kd k2，ak+1=a1+1d. 即 n=k+1 时等式成立. 由和，等式对所有的自然数 n 成立，从而an 是等差数列 . 证法二： 当 n2 时，由题设，sn?1? n ,sn? 22 所以 an?sn?sn?1? n -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 ? 22 n ?同理有 an?1? 22 从而 an?1?an? ?n? 22 整理得：an+1an=anan 1， 对任意 n2 成立. 从而an 是等差数列 . 评述：本题考查等差数列的基础 知识，数学归纳法及推理论证能力，教 材中是由等差数列的通项公式推出数列 的求和公式，本题逆向思维，由数列的 求和公式去推数列的通项公式，有一定 的难度.考生失误的主要原因是知道用数 学归纳法证，却不知用数学归纳法证什 么，这里需要把数列成等差数列这一文 字语言，转化为数列通项公式是 an=a1+d 这一数学符号语言.证法二需要 一定的技巧. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 一、 等差数列的证明 利用等差 数列的定义 在数列an 中，若 an?an?1?d 二运用等差中项性质 an?an?2?2an?1?an是等差数列 三通项与前 n 项和法 若数列通项 an 能表示成 an?an?b 的形式，则数列?an?是等差数列； 若 数列?an?的前 n 项和 sn 能表示成 sn?an2?bn 的形式，则数列 ?an?等差数 列； 例 1.若 sn 是数列?an?的前 n 项和， sn?n2,则 ?an?是. 等比数列，但不是等差数列 .等差数列，但不是等比数列等差 数列，而且也是等比数列.既非等比数 列又非等差数列 练习：已知数列前 n 项和 sn?n2?2n，求通项公式 an，并说明这个 数列是否为等差数列。 练习：设数列?an?的前 n 项的和 sn?n2?2n?4,?n?n?， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 写出这个数列的前三项 a1,a2,a3； 证明：数列?an?除去首项后所 成的数列 a2,a3,a4?是等差数列。 例 2：已知数列?an?满足 a1?1，an?2an?1?2 求证：数列?n?n?2?， ?an?是等 差数列； n?2? 求数列?an?的通项公式。 练习：已知数列?an?满足 a1?2，an?1?an， 1?2an 求证：数列?1?是 等差数列； a?n?求数列?an?的通项公式。 已知数列an 是等差数列，设 2n+12n 证明：数列 n是等差数列 思路：这个题的方法和上课讲的 方法是一致的，你没有做出来，是因为 忽略了数列an 是等差数列这个条件， 这个条件就以为着对于an来说，前后 两项的差为常数 证明：设等差数列an的公差为 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 11 d bn?1?bn 2222? ? ?d?d ?d ?d ?d?2d ?2d2 已知函数） 3， 若对任意的1 属 于，存在2 属于，使得成立，求 的取值范围。 若对任意的1，2 属于都有 成立，求的取值范围。思路： 第 2 问是恒成立问题，你说的对，第一 个问不是。因为是“ 存在 2”，所 以应该满足的条件是 f 的最大值 大于等于 g 的最大值，f 的最小值大于 等于 g 的最小值， 解：f 通过求导可求得值域为 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 12 f?，g?x?4?a? x ?30?5?a 所以解不等式? ，解不等 式即可 2?4?a? 2?5?a，解不等式即可 设属于，在平面直角坐标 系中，已知向量，向量，向量 向量，动点的轨迹为。 已知，证明：存在圆 心在原点的圆，使得该圆的任意一条切 线与轨迹恒有两个交点，且 ，则 k0p?y0x，因为 op 和 ab 垂直，所以 kab?0，x0y0 则设直线 ab 的方程：y?y0?x0 带入到椭圆方程中， 得： y0 2x?8x0rx?4r?4y0?0?x1?x2?222248x0r2 y0?4x022,x1x2?4r4?4y0y0?4x0222 r2?x0x1r2?x0x2 又因为 0a?0p?x1x2?y1y2?0?x1x2?0y0y0 ?x1x2?r2?x0?0 将上面求得的 x1?x2?