【创新设计】2014届高考数学一轮总复习 第十一篇（打包8套） 湘教版
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【创新设计】2014届高考数学一轮总复习 第十一篇（打包8套） 湘教版,创新,立异,设计,高考,数学,一轮,复习,温习,第十,一篇,打包,湘教版
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1 第 十一 篇 统计与概率 第 1 讲 抽样方法与总体分布的估计 A 级 基础 演练 (时间： 30 分钟 满分： 55 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 1.(2013 西安质检 )对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计， 得到样本的茎叶图 (如图所示 )，则该样本的中位数、众数、极差分别是 ( ) A 46,45,56 B 46,45,53 C 47,45,56 D 45,47,53 解析 样本共 30 个，中位数为 45 472 46；显然样本数据出现次数最多的为45，故众数为 45；极差为 68 12 56，故选 A. 答案 A 2 (2013 荣昌 模拟 )小波一星期的总开支分布如图 (a)所示，一星期的食品开支如图 (b)所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为 ( ) 2 A 30% B 10% C 3% D不能确定 解析 由题图 (b)可知小波一星期的食品开支共计 300 元，其中鸡蛋开支 30 元又由题图(a)知，一周的食品开支占总开支的 30%，则可知一周总开支为 1 000 元，所以鸡蛋开支占总开支的百分比为 301 000100% 3%. 答案 C 3 (2013 成都模拟 )交通管理部门为了解机动车驾驶员 (简称驾驶员 )对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为 N，其中甲社区有驾驶员 96 人若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数 N 为 ( ) A 101 B 808 C 1 212 D 2 012 解析 甲社区驾驶员的抽样比例为 1296 18，四个社区驾驶员总人数的抽样比例为12 21 25 43N 101N ，由101N 18，得 N 808. 答案 B 4 (2012 安徽 )甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则 ( ) A甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 3 解析 由题意可知，甲的成绩为 4,5,6,7,8，乙的成绩为 5,5,5,6,的成绩的平均数均为 6， A 错；甲、乙的成绩的中位数分别为 6,5， B 错；甲、乙的成绩的方差分别为 15(4 6)2 (5 6)2 (6 6)2 (7 6)2 (8 6)2 2， 15(5 6)2 (5 6)2 (5 6)2 (6 6)2 (9 6)2 125 ， C 对；甲、乙的成绩的极差均为 4， D 错 答案 C 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 5 (2013 武夷模拟 )用系统抽样法要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本，将 160 名学生随机地从 1 160 编号，按编号顺序平均分成 20 组 (1 8 号， 9 16 号， ， 153 160 号 )，若第 16 组抽出的号码为 126，则第 1 组中用抽签的方法确定的号码是 _ 解析 设第 1 组抽取的号码为 b，则第 n 组抽取的号码为 8(n 1) b， 8(16 1) b 126， b 6，故第 1 组抽取的号码为 6. 答案 6 6 (2013 苏州一中月考 )某学校为了解学生数学课程的学习情况，在 1 000 名学生中随机抽取 200 名，并统计这 200 名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图 (如图 )根据频率分布直方图可估计这 1 000 名学生在该次数学考试中成绩不低于 60 分的学生人数是 _ 解析 低于 60 分学生所占频率为 (10 故低于 60 分的学生人数为 1 000 200，所以不低于 60 分的学生人数为 1 000 200 800. 答案 800 三、解答题 (共 25 分 ) 7 (12 分 )某政府机关有在编人员 100 人，其中副处级以上干部 10 人，一般干部 70 人，工人 20 人上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为 20 的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施抽取 解 用分层抽样方法抽取 具体实施抽取如下： 4 (1) 20 100 1 5， 105 2， 705 14， 205 4， 从副处级以上干部中抽取 2 人，从一般干部中抽取 14 人，从工人中抽取 4 人 (2)因副处级以上干部与工人的人数较少，他们分别按 1 10 编号与 1 20 编号，然后采用抽签法分别抽取 2 人和 4 人；对一般干部 70 人采用 00,01,02， ， 69 编号，然后用随机数表法抽取 14 人 (3)将 2 人， 4 人， 14 人的编号汇合在一起就取得了容量为 20 的样本 8 (13 分 )(2012 揭阳调研 )某校高一某班的某次数学测试成绩 (满分为 100 分 )的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下 列问题： (1)求分数在 50,60的频率及全班人数； (2)求分数在 80,90之间的频数，并计算频率分布直方图中 80,90间的矩形的高 解 (1)分数在 50,60的频率为 0 由茎叶图知，分数在 50,60之间的频数为 2，所以全班人数为 25. (2)分数在 80,90之间的频数为 25 2 7 10 2 4，频率分布直方图中 80,90间的矩形的高为 42510 能力突破 (时间： 30 分钟 满分： 45 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 1 (2013 哈尔滨模拟 )一个样本容量为 10 的样本数据，它们组成一个公差不为 0 的等差数列 若 8，且 此样本的平均数和中位数分别是 ( ) A 13,12 B 13,13 C 12,13 D 13,14 解析 设等差数列 公差为 d(d0) ， 8， ( 64， (8 2d)(8 4d) 64， 5 (4 d)(2 d) 8,2d 0 ，又 d0 ，故 d 2 ， 故 样 本 数 据 为4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，样本的平均数为 10 13，中位数为 12 142 13，故选 B. 答案 B 2 (2012 江西 )样本 ( ， 平均数为 x ，样本 ( ， 平均数为 y ( x y )若样本 ( ， ， 平均数 z x (1 ) y ，其中0m C n m D不能确定 解析 依题意得 n x ， m y ， (m n) z (m n) x (m n)(1 ) y ， n x m y (m n) x (m n)(1 ) y ， n m n ，m m n ， 于是有 n m (m n) (1 ) (m n)(2 1)， 0n. 答案 A 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 3 (2013 璧山 质检 )沈阳市某高中有高一学生 600 人，高二学生 500 人，高三学生 550 人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为 n 的样本，其中高三学生有 11 人，则 n 的值等于 _ 解析 由 500 550 11550，得 n 33(人 ) 答案 33 4 (2013 北京西城一模 )某年级 120 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13 秒与 18秒之间将测试结 果分成 5 组： 13,14)， 14,15)， 15,16)， 16,17)， 17,18，得到如图所示的频率分布直方图如果从左到右的 5 个小矩形的面积之比为 1 3 7 6 3，那 么 成 绩 在 16,18 的学生人数是_ 6 解析 成绩在 16,18的学生的人数所占比例为 6 31 3 7 6 3 920，所以成绩在 16,18的学生人数为 120 920 54. 答案 54 三、解答题 (共 25 分 ) 5 (12 分 )汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从 2012 年开始，对 30 g/ 新车进行惩罚 (视为排放量超标 )，某检测单位对甲、乙两类 辆进行 录如下 (单位： g/ 甲 80 110 120 140 150 乙 100 120 x y 160 经测算发现，乙类品牌车 x 乙 120 g/(1)求甲类品牌汽车的排放量的平均值及方差； (2)若乙类品牌汽车比甲类品牌汽车 x 的取值范围 解 (1)甲类品牌汽车的 放量的平均值 x 甲 80 110 120 140 1505 120(g/ 甲类品牌汽车的 2 2 2 2 120 25 600. (2)由题意知乙类品牌汽车的 放量的平均值 x 乙 100 120 x y 1605 120(g/得 x y 220，故 y 220 x，所以乙类品牌汽车的 2 2 x 2 x 2 25 ， 因为乙类品牌汽车比甲类品牌汽车 以 ， x R， B y|y 2x R，则 ( B ( ) A x| 1 x1 B x|x 0 C x|0 x 1 D 解析 x| 1 x1 ， B y|y0 ， ( B x|0 x1 答案 C 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 5 (2013 湘潭模拟 )设集合 A 1， 1， 3， B a 2， 4， A B 3，则实数 a_ 解析 3 B，又 44 ， a 2 3， a 1. 答案 1 6 (2012 天津 )集 合 A x R|x 2| 5中的最小整数为 _ 解析 由 |x 2|5 ，得 5 x 25 ，即 3 x7 ，所以集合 A 中的最小整数为 3. 答案 3 三、解答题 (共 25 分 ) 9 7 (12 分 )若集合 A 1， 3，集合 B x|b 0，且 A B，求实数 a， b. 解 A B， B x|b 0 1， 3 a 1 3 2，b（ 1） 3 3， a 2， b 3. 8 (13 分 )已知集合 A 4， 2a 1， B a 5， 1 a， 9，分别求适合下列条件的 (1)9( A B)； (2)9 A B. 解 (1)9( A B)， 9 A 且 9 B. 2a 1 9 或 9， a 5 或 a 3 或 a 3. 经检验 a 5 或 a 3 符合题意 a 5 或 a 3. (2)9 A B， 9 A 且 9 B， 由 (1)知 a 5 或 a 3. 当 a 3 时， A 4， 7， 9， B 8， 4， 9， 此时 A B 9； 当 a 5 时， A 4， 9， 25， B 0， 4， 9， 此时 A B 4， 9，不合 题意 综上知 a 3. B 级 能力突破 (时间： 30 分钟 满分： 45 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 1 (2012 南昌一模 )已知全集 U R，函数 y 14的定义域为 M， N x|x 1)5 a， a3； 当 B 2时，a 1 2，5 a 2， 解得 a 3. 综上所述，所求 a 的取值范围是 a|a3 1 第 2 讲 数据的相关性与统计案例 A 级 基础演练 (时间： 30 分钟 满分： 55 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分 ， 共 20 分 ) 1 (2012 新课标全国 )在一组样本数据 ( (， (n2 ， ，的散点图中 ， 若所有样本点 (i 1， 2， n)都在直线 y 12x 1 上 ，则这组样本数据的样本相关系数为 ( ) A 1 B 0 D 1 解析 样本点都在直线上时 ， 其 数据的估计值与真实值是相等的 ， 即 yi， 代入相关系数公式 r 1i 1yi 2i 1y 2 1. 答案 D 2 (2013 万州 调研 )已知 x， y 取值如下表： x 0 1 4 5 6 8 y 所得的散点图分析可知： y 与 x 线性相关，且 y a，则 a ( ) A B C D 析 依题意得， x 16(0 1 4 5 6 8) 4， y 16( y a 必过样本中心点 (x， y)， 即点 (4， 于是有 a， 由此解得 a 选 B. 答案 B 3.(2011 陕西 )设 ( (， (变量 x 和 y 的 n 个样本点 ， 直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线 (如图 )， 以下结论正确的是 ( ) 2 A 直线 l 过点 (x， y) B x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 C x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 D 当 n 为偶数时 ，分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 解析 由样本的中心 (x， y)落在回归直线上可知 A 正确； x 和 y 的相关系数表示为 x 与 不表示直线 l 的斜率 ， 故 B 错； x 和 y 的相关系数应在 1 到 1 之间 ， 故 C 错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均 ， 即无论样本点个数是奇数还是偶数 ， 故 D 错 答案 A 4 (2011 山东 )某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表： 广告费用 x(万元 ) 4 2 3 5 销售额 y(万元 ) 49 26 39 54 根据上表可得回归方程 y a 中的 b 为 据此模型预报 广告费用为 6 万元时销售额为 ( ) A 元 B 元 C 元 D 元 解析 x 4 2 3 54 元 )， y 49 26 39 544 42(万元 )， a y bx 42 回归方程为 y 当 x 6(万元 )时 ， y 元 ) 答案 B 二、填空题 (每小题 5 分 ， 共 10 分 ) 5 已知施化肥量 x 与水稻产量 y 的试验数据如下表 ， 则变量 x 与变量 y 是 _相关 (填“ 正 ” 或 “ 负 ”). 施化肥量 x 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 y 330 345 365 405 445 450 455 解析 因为散点图能直观地反映两个变量是否具有相关关系 ， 所以画出散点图如图所示： 3 通过观察图象可知变量 x 与变量 y 是正相关 答案 正 6 (2013 唐山统一考试 )考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度 x(肱骨长度y(线性回归方程为 y 由此估计 ， 当股骨长度为 50 ， 肱骨长度的估计值为 _ 解析 根据线性回 归方程 y 将 x 50 代入得 y 则肱骨长度的估计值为 答案 、解答题 (共 25 分 ) 7 (12 分 )某班主任对全班 50 名学生进行了作业量多少的调查数据如下表： 认为作业多 认为作业不多 合计 喜欢玩游戏 18 9 不喜欢玩游戏 8 15 合计 (1)请完善上表中所缺 的有关数据； (2)试通过计算说明在犯错误的概率不超过多少的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系？ 附： P( 2 2 n（ （ a b）（ c d）（ a c）（ b d） 解 (1) 4 认为作业多 认为作业不多 合计 喜欢玩游戏 18 9 27 不喜欢玩游戏 8 15 23 合计 26 24 50 (2)将表中的数据代入公式 2 n（ （ a b）（ c d）（ a c）（ b d） 得到 2的观测值 k 50 （ 1815 89 ）226 24 27 23 查表知 P( 2 即说明在犯错误的概率不超过 前提下 认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系 8 (13 分 )下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨 )与相应的生产能耗 y(吨标准煤 )的几组对照数据 . x 3 4 5 6 y 4 1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据 ， 用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y a； (3)已知该厂技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤试根据 (2)求 出的线性回归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值： 3 43 54 6 解 (1)由题设所给数据 ， 可得散点图如图所示 (2)由对照数据，计算得： i 1486， x 3 4 5 64 )， y 3 4 ) 5 已知 i 14 所以，由最小二乘法确定的回归方程 的系数为： bi 144 x yi 144 x 2 44 a y 因此 ， 所求的线性回归方程为 y (3)由 (2)的回归方程及技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗 ， 得降低的生产能耗为： 90 (00 标准煤 ) B 级 能力突 破 (时间： 30 分钟 满分： 45 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分 ， 共 10 分 ) 1 为了解儿子身高与其父亲身高的关系 ， 随机抽取 5 对父子的身高数据如下： 父亲身高 x/74 176 176 176 178 儿子身高 y/75 175 176 177 177 则 y 对 x 的线性回归方程为 ( ) A y x 1 B y x 1 C y 88 12x D y 176 解析 由题意得 x 174 176 176 176 1785 176( y 175 175 176 177 1775 176( 由于 (x， y)一定满足线性回归方程 ， 经验证知选 C. 答案 C 2 (2013 福州模拟 )下列说法： 将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后 ， 方差恒不变； 设 有一个回归方程 y 3 5x， 变量 x 增加一个单位时 ， y 平均增加 5 个单位； 线性回归方程 b a 必过 (x， y)； 在一个 22 列联表中 ， 由计算得 2的观测值 k 则在犯错误的概率不超过 6 前提下认为这两个变量间有关系 其中错误的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 本题可以参考独立性检验临界值表 P( 2 析 只有 错误 ， 应该是 y 平均减少 5 个单位 答案 B 二、填空题 (每小题 5 分 ， 共 10 分 ) 3 为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系 ， 现随机抽取 50 名学生 ， 得到如下22 列联表： 理科 文科 男 13 10 女 7 20 已知 P( 2 P( 2 根据表中数据 ， 得到 2 50 （ 1320 107 ）223 27 20 30 则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为 _ 解析 2 这表明小概率事件发生根据假设检验的基本原理 ， 应该断定 “ 是否选修文科与性别之间有关系 ” 成立 ， 并 且这种判断出错的可能性约为 5%. 答案 5% 4 (2011 广东 )某数学老师身高 176 他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173 170 82 该老师用线性回归 分析的方法预测他孙子的身高为 _ 解析 由题意父亲身高 x 儿子身高 y 应关系如下表： x 173 170 176 y 170 176 182 则 x 173 170 1763 173， y 170 176 1823 176， 7 i 13(x )(y ) (173 173)(17 0 176) (170 173)(176 176) (176173)(182 176) 18， i 13(x )2 (173 173)2 (170 173)2 (176 173)2 18. b 1818 1. 1. a y b x 176 173 3. 线性回归直线方程 y a x 3. 可估计孙子身高为 182 3 185( 答案 185 三、解答题 (共 25 分 ) 5 (12 分 )(2013 开县模拟 )某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究 ， 他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中的发芽数 ， 得到如下资料： 日期 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日 温差 x/ 10 11 13 12 8 发芽数 y/颗 23 25 30 26 16 该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取 2 组 ， 用剩下的 3 组数据求线性 回归方程 ， 再对被选取的 2 组数据进行检验 (1)求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率； (2)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据 ， 请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据 ，求出 y 关于 x 的线性回归方程 y a. 解 (1)设抽到不相邻两组数据为事件 A， 因为从 5组数据中选取 2组数据共有 10 种情况 ，每种情况都是等可能出现的 ， 其中抽到相邻两组数据的情况有 4 种 ， 所以 P(A) 1 410 35. (2)由数据 ， 求得 x 12， y 27. 11 25 1330 1226 977， 112 132 122 434， 由公式 ， 求 得 b 52， a y b x 3. 8 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y 52x 3. 6 (13 分 )有甲、乙两个班级进行数学考试 ， 按照大于等于 85 分为优秀 ， 85 分以下为非优秀统计成绩后 ， 得到如下的列联表 . 优秀 非优秀 总计 甲班 10 乙班 30 合计 105 已知从全部 105 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 27. (1)请完成上面的列联表； (2)根据列联表的数据 ， 若按 95%的可靠性要求 ， 能否认为 “ 成绩与班级有关系 ” ； (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进行编号 ， 先后两次抛掷一枚均匀的骰子 ， 出现的点数之和为被抽取人的序号试求抽到 6号或 10 号的概率 附 2 n（ （ a b）（ c d）（ a c）（ b d） ， P( 2 k) k (1) 优秀 非优秀 总计 甲班 10 45 55 乙班 20 30 50 合计 30 75 105 (2)根据列联表中的数据 ， 得到 k 105 （ 1030 2045 ）255 50 30 75 因此有 95%的把握认为 “ 成绩与班级有关系 ” (3)设 “ 抽到 6 号或 10 号 ” 为事件 A， 先后两次抛掷一枚均匀的骰子 ， 出现的点数为 (x，y)， 则所有的基本事件有 (1， 1)、 (1， 2)、 (1， 3)、 、 (6， 6)， 共 36 个 事件 A 包含的基本事件有 (1， 5)， (2， 4)， (3， 3)， (4， 2)， (5， 1)， (4， 6)， (5， 5)，(6， 4)， 共 8 个 ， 9 P(A) 836 29. 1 第 3 讲 随机事件的概率 A 级 基础 演练 (时间： 30 分钟 满分： 55 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 1把红、黑、蓝、白 4 张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得 1 张，事件“ 甲分得红牌 ” 与事件 “ 乙分得红牌 ” 是 ( ) A对立事件 B不可能事件 C互斥但不对立事件 D以上答案都不对 解析 由于甲和乙有可能一人得到红牌，一人得不到红牌，也有可能甲、乙两人都得不到红牌，故两事件为互斥但不对立事件 答案 C 2 (2013 日照模拟 )从一箱产品中随机抽取 一件，设事件 A 抽到一等品 ，事件 B 抽到二等品 ，事件 C 抽到三等品 ，且已知 P(A) P(B) P(C) 事件 “ 抽到的不是一等品 ” 的概率为 ( ) A B C D 析 由对立事件可得 P 1 P(A) 答案 C 3 (2013 忠县 模拟 )盒中装有 10 个乒乓球，其中 6 个新球， 4 个旧球不放回地依次取出2 个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为 ( ) 析 第一次结果一定，盒中仅有 9 个乒乓球， 5 个新球 4 个旧球，所以第二次也取到新球的概率为 59. 答案 C 4 (2013 揭阳二模 )把一枚硬币连续抛两次，记 “ 第一次出现正面 ” 为事件 A， “ 第二次出现正面 ” 为事件 B，则 P(B|A)等于 ( ) 2 解析 法一 P(B|A) P 1412 12. 法二 A 包括的基本事件为 正，正 ， 正，反 ， 括的基本事件为 正，正 ，因此P(B|A) 12. 答案 A 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 5对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹设 A 两次都击中飞机 ， B 两次都没击中飞机 ， C 恰有一次击中飞机 ， D 至少有一次击中飞机 ， 其中彼此互斥的事件是_，互为对立事件的是 _ 解析 设 I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为 A B ， A C ， B C， B D 与 B， A 与 C， B 与 C， B 与 D 为彼此互斥事件，而 B D ， B D I，故 B 与 D 互为对立事件 答案 A 与 B、 A 与 C、 B 与 C、 B 与 D B 与 D 6 (2013 成都模拟 )某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品若生产中出现乙级品的概率为 级品的概率为 对成品抽查一件抽得正品的概率为_ 解析 记 “ 生产中出现甲级品、乙级品、丙级品 ” 分别为事件 A， B， ， B， C 彼此互斥，由题意可得 P(B) P(C) 以 P(A) 1 P(B C) 1 P(B) P(C) 1 答案 、解答题 (共 25 分 ) 7 (12 分 )某战士甲射击一次，问： (1)若事件 A(中靶 )的概率为 件 A (不中靶 )的概率为多少？ (2)若事件 B(中靶环数大于 6)的概率为 么事件 C(中靶环数不大于 6)的概率为多少？ 解 (1) 事件 A(中靶 )的概率为 根据对立事件的概率公式得到 A 的概率为 1 (2)由题意知中靶环数大于 6 与中靶环数不大于 6 是对立事件， 事件 B(中靶环数大于6)的概率为 事件 C(中靶环数不大于 6)的概率为 1 8 (13 分 )某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为 只乘一种交通工具去开会 3 (1)求他乘火车或乘飞机去开会的概率； (2)求他不乘轮船去开会的概率； (3)如果 他乘某种交通工具去开会的概率为 问他有可能是乘何种交通工具去开会的？ 解 (1)记 “ 他乘火车去开会 ” 为事件 “ 他乘轮船去开会 ” 为事件 “ 他乘汽车去开会 ” 为事件 “ 他乘飞机去开会 ” 为事件 四个事件不可能同时发生，故它们是彼此互斥的故 P( P( P( (2)设他不乘轮船去开会的概率为 P， 则 P 1 P( 1 (3)由于 ( ( 故他有可能乘火车或轮船去开会，也有可能乘汽车或飞机去开会 B 级 能力突破 (时间： 30 分钟 满分： 45 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 1甲： ： 么 ( ) A甲是乙的充分但不必要条件 B甲是乙的必要但不充分条件 C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 解析 根据互斥事件和对立事件的概念可知互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 答案 B 2从装有 3 个红球、 2 个白球的袋中任取 3 个球，则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是 ( ) 析 从装有 3 个红球、 2 个白球的袋中任取 3 个球通过列举知共有 10 个基本事件；所取的 3 个球中至少有 1 个白球的反面为 “3 个球均为红色 ” ，有 1 个基本事件，所以所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是 1 110 910. 答案 D 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 3某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩 (成绩都为整数，试题满分 120 分 )，并且绘制了条形统计图 (如下图所示 )，则该 4 中学参加本次数学竞赛的人数为 _，如果 90 分以上 (含 90 分 )获奖，那么获奖的概率大约是 _ 解析 由题图可知，参加本次竞赛的人数为 4 6 8 7 5 2 32； 90 分以上的人数为7 5 2 14，所以获奖的频率为 1432 ，即本次竞赛获奖的概率大约是 . 答案 32 4 (2013 浙江五校联考 )在 100 件产品中有 95 件合格品， 5 件不合格品现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为 _ 解析 设 A 第一次取到不合格品 ， B 第二次取到不合格品 ，则 P( 以P(B|A) P 54100995100 499 答案 499 三、解答题 (共 25 分 ) 5 (12 分 )(2013 梁平 模拟 )黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示： 血型 A B 该血型的人所占比 /% 28 29 8 35 已知同种血型的人可以输血， O 型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给血的人，其他不同血型的人不能互相输血小明是 B 型血，若小明因病需要输血，问： (1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不 能输给小明的概率是多少？ 解 (1)对任一人，其血型为 A， B， O 型血的事件分别记为 A ， B ， C ， D ，它们是彼此互斥的由已知，有 P(A) P(B) P(C) P(D) 5 因为 B， O 型血可以输给 B 型血的人，故 “ 可以输给 B 型血的人 ” 为事件 B D. 根据互斥事件的概率加法公式，有 P(B D) P(B) P(D) (2)法一 由于 A， 血不能输给 B 型血的人，故 “ 不能输给 B 型血的人 ” 为事件 A C ，且 P(A C) P(A) P(C) 法二 因为事件 “ 其血可以输给 B 型血的人 ” 与事件 “ 其血不能输给 B 型血的人 ” 是对立事件，故由对立事件的概率公式，有 P(B D ) 1 P(B D) 1 即：任找一人，其血可以输给小明的概率为 血不能输给小明的概率为 6 (13 分 )(2011 陕西 )如图， A 地到火车站共有两条路径 2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间 段内的频率如下表： 时间 (分钟 ) 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 2的频率 0 甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站 (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ (2)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对 (1)的选择方案，求 X 的分布列和数学期望 解 (1) 甲选择路径 40 分钟内赶到火车站 ” ， 乙选择路径 50 分钟内赶到火车站 ” ， i 1,2. 用频率估计相应的概率可得 P( P( P( P( 甲应选择 P( P( P( P( 乙应选择 (2)A， B 分别表示针对 (1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由 (1)知 P(A) P(B) 由题意知， A， B 独立， P(X 0) P( P(A)P(B) P(X 1) P( P(A)P(B) P(A)P(B) P(X 2) P( P(A)P(B) 6 X 的分布列为 X 0 1 2 P E(X) 0 1 2 1 第 4 讲 古典概 率模型 A 级 基础 演练 (时间： 30 分钟 满分： 55 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分 ， 共 20 分 ) 1 (2013 北京海淀期末 )一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏 ， 让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4” 的四张卡片随机排成一行 ， 若卡片按从左到右的顺序排成“1314” ， 则孩子会得到父母的奖励 ， 那么孩子受到奖励的概率为 ( ) B. 512 C. 712 析 由题意知 ， 事 件中元 素个数有 12 个 ， 满足条件的元素个数就一个 ， 故所求概率为 P 112. 答案 A 2 (2013 皖南八校联考 )一个袋子中有 5 个大小相同的球 ， 其中有 3 个黑球与 2 个红球 ， 如果从中任取两个球 ， 则恰好取到两个同色球的概率是 ( ) B. 310 析 元素总个数有 10 个 ， 其中 为同色球的有 4 个 ， 故所求概率为 410 25. 答案 C 3 (2013 云阳一模 )甲、乙两人各写一张贺年卡 ， 随意送给丙、丁两人中的一人 ， 则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是 ( ) 析 (甲送给丙 ， 乙送给丁 )， (甲送给丁 ， 乙送给丙 )， (甲、乙都送给 丙 )， (甲、乙都送给丁 )， 共四种情况 ， 其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种 ， 所以 P 24 12. 答案 A 4 在一次班级聚会上 ， 某班到会的女同学比男同学多 6 人 ， 从 这些同学中随机挑选一人表演节目 若选到女同学的概率为 23， 则这班参加聚会的同学的人数为 ( ) 2 A 12 B 18 C 24 D 32 解析 设女同学有 x 人 ， 则该班到会的共有 (2x 6)人 ， 所以 6 23， 得 x 12， 故该班参加聚会的同学有 18 人 ， 故选 B. 答案 B 二、填空题 (每小题 5 分 ， 共 10 分 ) 5 (2013 南京模拟 )在集合 A 2， 3中随机取一个元素 m， 在集合 B 1， 2， 3中随机取一个元素 n， 得到点 P(m， n)， 则点 P 在圆 9 内部的概率为 _ 解析 由题意得到的 P(m， n)有 (2， 1)， (2， 2)， (2， 3)， (3， 1)， (3， 2)， (3， 3)， 共6 个 ， 在圆 9 的内部的点有 (2， 1)， (2， 2)， 所以概率为 26 13. 答案 13 6 (2013 郑州二检 )连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n， 记向量 a (m， n)与向量 b(1， 1)的夹角为 ， 则 0， 2 的概率是 _ 解析 m， n 均为不大于 6 的正整数 ， 当点 A(m， n)位于直线 y x 上及其下方第一象限的部分时 ， 满足 0， 2 的点 A(m， n)有 6 5 4 3 2 1 21 个 ， 点 A(m， n)的元素总数为 66 36， 故所求概率为 2136 712. 答案 712 三、解答题 (共 25 分 ) 7 (12 分 )(2012 天津 )某地区有小学 21 所 ， 中学 14 所 ， 大学 7 所 ， 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查 (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目； (2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析 ， 列出所有可能的抽取结果； 求抽取的 2 所学校均为小学的概率 解 (1)由分层抽样的定义知 ， 从小学 中抽取的学校数目为 6 2121 14 7 3；从中学中抽取的学校数目为 6 1421 14 7 2；从大学中抽取的学校数目为 6 721 14 7 学、大学中分别抽取的学校数目为 3， 2， 1. (2) 在抽取到的 6 所学校中 ， 3 所小学分别记为 2 所中学分别记为 1 3 所大学记为 则抽取 2 所学校的所有可能结果为 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (5)， ( ( 共 15 种 从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学 (记为事件 B)的所有可能结果为 ( (3)， ( 共 3 种 所以 P(B) 315 15. 8 (13 分 )(2011 广东 )在某次测验中 ， 有 6 位同学的平均成绩为 75 分用 n 1， 2， 6)的同学所得成绩 ， 且前 5 位同学的成绩如下： 编号 n 1 2 3 4 5 成绩 0 76 72 70 72 (1)求第 6 位同学的成绩 及这 6 位同学成绩的标准差 s； (2)从前 5 位同学中 ， 随机地选 2 位同学 ， 求恰有 1 位同学成 绩在区间 (68， 75)中的概率 解 (1) 这 6 位同学的平均成绩为 75 分 ， 16(70 76 72 70 72 75， 解得 90， 这 6 位同学成绩的方差 16 (70 75)2 (76 75)2 (72 75)2 (70 75)2 (72 75)2 (90 75)2 49， 标准差 s 7. (2)从前 5 位同学中 ， 随机地选出 2 位同学的成绩共有 10 种 ， 恰有 1 位同学成绩在区间 (68， 75)中的有： (70， 76)， (76， 72)， (76， 70)， (76， 72)，共 4 种 ， 所求的概率为 410 即恰有 1 位同学成绩在区间 (68， 75)中的概率为 B 级 能力突破 (时间： 30 分钟 满分： 45 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分 ， 共 10 分 ) 1 甲、乙两人喊拳 ， 每人可以用手出 0， 5， 10 三种数字，每人则可喊 0， 5， 10， 15， 20五种数字 ， 当两人所出数字之和等于甲所喊数字时为甲胜 ， 当两人所出数字之和等于乙所喊数字时为乙胜 ， 若甲喊 10， 乙喊 15 时 ， 则 ( ) A 甲胜的概率大 B乙胜的概率大 4 C 甲、乙胜的概率一样大 D不能确定 解析 两人
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