【创新设计】2014届高考数学一轮总复习 第五篇（打包4套） 湘教版
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【创新设计】2014届高考数学一轮总复习 第五篇（打包4套） 湘教版,创新,立异,设计,高考,数学,一轮,复习,温习,第五,打包,湘教版
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1 第 1 讲 平面向量的概念及其线性运算 A 级 基础 演练 (时间： 30 分钟 满分： 55 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 1 (2013 合肥检测 )已知 O 是 在平面内一点， D 为 的中点，且 2 0，那么 ( ) 2 3 D 2 解析 由 2 0 可知， O 是底边 的中线 中点，故 . 答案 A 2已知 a， b， c， d，且四边形 平行四边形，则 ( ) A a b c d 0 B a b c d 0 C a b c d 0 D a b c d 0 解析 依题意，得 ，故 0，即 0，即有 0，则 a b c d . 答案 A 3已知平面上不共线的四点 O， A， B， A 2 3，则 |的值为 ( ) 析 由 2 3，得 2 2，即 2，所以 | . 答案 A 4 (2011 山东 )设 两两不同的四点，若 ( R)， ( R)，且 1 1 2，则称 1， D 调和分割点 A， B，则下列说法正确的是 ( ) A C 可能是线段 中点 B D 可能是线段 中点 2 C C、 D 可能同时在线段 D C、 D 不可能同时 在线段 延长线上 解析 若 A 成立，则 12，而 1 0，不可能；同理 B 也不可能；若 C 成立，则 0 1，且 0 1， 1 1 2，与已知矛盾；若 C， D 同时在线段 延长线上时， 1，且 1， 1 1 2，与已知矛盾，故 C， D 不可能同时在线段 延长线上，故 D 正确 答案 D 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 5 (2013 开县 模拟 )设 a， b 是两个不共线向量， 2a a b， a 2b，若A， B， D 三点共线，则实数 p 的值为 _ 解析 2a b，又 A， B， D 三点共线， 存在实数 ，使 . 即 2 2 ，p ， p 1. 答案 1 矩形 ， | 1， | 2，设 a， b， c，则 |a b c| _. 解析 根据向量的三角形法则有 |a b c| | | | | | 2| 4. 答案 4 三、解答题 (共 25 分 ) 7 (12 分 )如图，在平行四边形 ，设 a， b， 13， 13a， b 表示 ， 及 . 解 由题意知，在平行四边形 ， 13 16 16( ) 16(a b) 16a 16b， 则 b 16a 16b 16a 56b. 23 23( ) 23(a b) 23a 23b， 3 23(a b) 16a 56b 12a 16b. 8 (13 分 )(1)设两个非零向量 共线，如果 23 623 48证： A， B， D 三点共线 (2)设 知 2 3 2 A，B， D 三点共线，求 k 的值 (1)证明 因为 623 48 所以 1015又因为 23 5，即 ， 又因为 ， 有公共点 B，所以 A， B， D 三点共线 (2)解 324 2 若 A， B， D 共线，则 ， 设 ，所以 1 2 ，4 k k 8. B 级 能力突破 (时间： 30 分钟 满分： 45 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 1 (2013 济南一模 )已知 A， B， C 是平面上不共线的三点， O 是 重心，动点 P 满足 13 12 12 2，则点 P 一定为三角形 ( ) A 中线的中点 B 中线的三等分点 (非重心 ) C重心 D 的中点 解析 设 中点为 M，则 12 12 ， 13( 2) 13 23，即 3 2，也就是 2， P， M， C 三点共线，且 P 是 靠近 C 点的一个三等分点 答案 B 2若点 M 是 在平面内的一点，且满足 5 3，则 面积比为( ) 4 解析 设 中点为 D，由 5 3，得 3 32 2，即 3 2 C， M， D 三点共线，且 35，也就是 于边 两高之比为3 5，则 面积比为 35，选 C. 答案 C 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 3若点 O 是 在平面内的一点，且满足 | | | 2|，则 形状为 _ 解析 2 ， ， | | | |. 故 A， B， C 为矩形的三个顶点， 直角三角形 答案 直角三角形 ，点 O 是 中点过点 O 的直线分别交直线 不同的两点 M， N，若 ， ，则 m _ 解析 O 是 中点， 12( ) 又 ， ， . M， O， N 三点共线， 1，则 m n 2. 答案 2 三、解答题 (共 25 分 ) 5 (12 分 )如图所示，在 ，在 取一点 N，使得 3 取一点 M，使得 3 延长线上取点 P，使得 12 延长线上取点 Q，使得 ， ，试确定 的值 解 12( ) 12( ) 12， 12 ， 5 又 ， 12 12， 即 12， 12. 6 (13 分 )已知点 G 是 重心， M 是 的中点 (1)求 ； (2)若 重心 G，且 a， b， 证： 1m 1n 3. (1)解 2，又 2 ， 0. (2)证明 显然 12(a b)因为 G 是 重心，所以 23 13(a b)由 P， G，Q 三点共线，得 ，所以，有且只有一个实数 ，使 . 而 13(a b) 13 m a 13b， 13(a b) 13a n 13 b， 所以 13 m a 13b 13a n 13 b . 又因为 a， b 不共线，所以 13 m 13 ，13 n 13 ，消去 ，整理得 3m n，故 1m 1n 3. 1 第 2 讲 向量的分解与坐标表示 A 级 基础 演练 (时间： 30 分钟 满分： 55 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 1设平面向量 a (3,5)， b ( 2,1)，则 a 2b ( ) A (6,3) B (7,3) C (2,1) D (7,2) 解析 a 2b (3,5) 2( 2,1) (7,3) 答案 B 2已知平面内任一点 O 满足 (x， y R)，则 “ x y 1” 是 “ 点 P 在直线 的 ( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析 根据平面向量基本定理知： (x， y R)且 x y 1 等价于 P 在直线 答案 C 3 (2013 忠县 模拟 )设向量 a (1， 3)， b ( 2,4)， c ( 1， 2)， 若表示向量 4a,4b 2c,2(a c)， d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量 d 为 ( ) A (2,6) B ( 2,6) C (2， 6) D ( 2， 6) 解析 设 d (x， y)，由题意知 4a (4， 12)， 4b 2c ( 6,20)， 2(a c) (4，2)，又 4a 4b 2c 2(a c) d 0，解得 x 2， y 6，所以 d ( 2， 6)故选 D. 答案 D 4已知向量 a (1,2)， b (1,0)， c (3,4)若 为实数， (a b) c，则 ( ) C 1 D 2 解析 依题意得 a b (1 ， 2)， 由 (a b) c，得 (1 )4 32 0， 12. 答案 B 2 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 5 (2013 杭州模拟 )若三点 A(2,2)， B(a,0)， C(0， b)() 共线，则 1a 1_ 解析 (a 2， 2)， ( 2， b 2)，依题意，有 (a 2)(b 2) 4 0， 即 2a 2b 0，所以 1a 1b 12. 答案 12 6已知 A(7,1)， B(1,4)，直线 y 12线段 于 C，且 2，则实数 a _. 解析 设 C(x， y)，则 (x 7， y 1)， (1 x,4 y)， 2， x 7 x ，y 1 y ， 解得 x 3，y 3. C(3,3)又 C 在直线 y 12， 3 12a3 ， a 2. 答案 2 三、解答题 (共 25 分 ) 7 (12 分 )已知 a (1,2)， b ( 3,2)，当 k 为何值时， b 与 a 3b 平行？平行时它们是同向还是反向？ 解 法一 b k(1,2) ( 3,2) (k 3,2k 2)， a 3b (1,2) 3( 3,2) (10， 4)， 当 b 与 a 3b 平行时，存在唯一实数 使 b (a 3b)，由 (k 3,2k 2) (10， 4)得， k 3 10 ，2k 2 4 . 解得 k 13， 当 k 13时， b 与 a 3b 平行， 这时 b 13a b 13(a 3b) 130， b0， O 为坐标原点，若 A， B， C 三点共线，则 1a 2_ 解析 (a 1,1)， ( b 1,2) A， B， C 三点共线， . 2(a 1) ( b 1) 0， 2a b 1. 1a 2b 1a 2b (2a b) 4 44 2 4 8. 当且仅当 4即 a 14， b 12时取等号 1a 2. 答案 8 4.(2013 青岛期末 )设 i， j 是平面直角坐标系 (坐标原点为 O)内分别与 x 轴、 y 轴正方向相同的两个单 位向量，且 2i j， 4i 3j，则 面积等于 _ 解析 由题意得点 2,1)，点 4,3)，| 5， | 5. 5 2 55 35 55 45 2 55 . 故 S 12|125 5 2 55 5. 答案 5 三、解答题 (共 25 分 ) 5 (12 分 )在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知向量 a (2,1)， A(1,0)， B( ，t)， (1)若 a ，且 | 5|，求向量 的坐标； (2)若 a ，求 y 解 (1) ( 1， t)， 又 a ， 2t 1 0. 1 2t. 又 | 5|， ( 1)2 5. 由 得， 55， 1. t 1. 当 t 1 时， 3(舍去 )， 当 t 1 时， 1， B( 1， 1)， ( 1， 1) (2)由 (1)可知 t 12 ， y 24 54 32 14 54 65 14 54 35 2 15， 当 35时， 15. 6 (13 分 )已知向量 v (x， y)与向量 d (y,2y x)的对应关系用 d f(v)表示 (1)设 a (1,1)， b (1,0)，求向量 f(a)与 f(b)的坐标； (2)求使 f(c) (p， q)(p， q 为常数 )的向量 c 的坐标； (3)证明：对任意的向量 a， b 及常数 m， n 恒有 f( mf(a) nf(b) (1)解 f(a) (1,21 1) (1,1)， f(b) (0,20 1) (0， 1) (2)解 设 c (x， y)，则由 f(c) (y,2y x) (p， q)， 6 得 y p，2y x q， 所以 x 2p q，y p， 所以 c (2p q， p) (3)证明 设 a ( b ( 则 ( 所以 f( (2又 mf(a) m( nf(b) n( 所以 mf(a) nf(b) (2 故 f( mf(a) nf(b). 1 第 3 讲 向量的数量积 A 级 基础 演练 (时间： 30 分钟 满分： 55 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 1若向量 a (3， m)， b (2， 1)， a b 0，则实数 m 的值为 ( ) A 32 C 2 D 6 解析 由 a b 32 m( 1) 0，解得 m 6. 答案 D 2 (2013 东北三校联考 )已知 |a| 6， |b| 3， a b 12，则向量 a 在向量 b 方向上的投影是 ( ) A 4 B 4 C 2 D 2 解析 设 a 与 b 的夹角为 ， a b 为向量 b 的模与向量 a 在向量 b 方向上的投影的乘积，而 a b|a|b| 23， |a| 6 23 4. 答案 A 3 (2011 广东 )若向量 a， b， c 满足 a b，且 a c，则 c( a 2b) ( ) A 4 B 3 C 2 D 0 解析 由 a b 及 a c，得 b c，则 c( a 2b) c a 2c b 0. 答案 D 4 (2012 天津 )已知 等边三角形， ， Q 满足 ， (1 )， Q 32，则 等于 ( ) 22 102 D. 32 22 解析 以点 B(2,0)， C(1， 3)，由 ，得 P(2 ， 0)，由 (1 )，得 Q(1 ， 3(1 )，所以 ( 1， 3(1 )(2 1， 3) ( 1)(2 1) 3 3(1 ) 2 32，解得 12. 答案 A 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 5 (2012 北京 )已知正方形 边长为 1，点 E 是 上的动点，则 的值为_； 的最大值为 _ 解析 以 ， 为基向量，设 (0 1) ，则 ， ，所以 ( )( ) 2 0 1 C ，所以 ( ) 2 1 0 1 ，即 的最大值为 1. 答案 1 1 6 (2012 江苏 )如图，在矩形 ， 2， 2，点 E 为 F 在边 2，则 的值是 _ 解析 以 A 点为原点， 在直线为 x 轴， 在直线为 y 轴建立直角坐标系 ( 2， 0)， ( 2， 1)， 设 F(t,2)，则 (t,2) 2t 2， t 1， 所以 ( 2， 1)(1 2， 2) 2. 答案 2 三、解答题 (共 25 分 ) 7 (12 分 )设向量 a， b 满足 |a| |b| 1 及 |3a 2b| 7. (1)求 a， b 夹角的大小； (2)求 |3a b|的值 解 (1)设 a 与 b 夹角为 ， (3a 2b)2 7，即 9|a|2 4|b|2 12a b 7，而 |a| |b| 1， a b 12， |a|b| 12，即 12， 又 0， ， a， b 的夹角为 3. (2)(3a b)2 9|a|2 6a b |b|2 9 3 1 13， |3a b| 13. 8 (13 分 )在平面直角坐标系 ，已知点 A( 1， 2)， B(2,3)， C( 2， 1) (1)求以线段 邻边的平行四边形的两条对角线的长； 3 (2)设实数 t 满足 ( ) 0，求 t 的值 解 (1)由题设知 (3,5)， ( 1,1)，则 (2,6)， (4,4) 所以 | | 2 10， | | 4 2. 故所求的两条对角线长分别为 4 2， 2 10. (2)由题设知 ( 2， 1)， (3 2t,5 t) 由 ( ) 0， 得 (3 2t,5 t)( 2， 1) 0， 从而 5t 11，所以 t 115. B 级 能力突破 (时间： 30 分钟 满分： 45 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 1 (2013 秀山 模拟 )在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知向量 (2,2)， (4,1)，在 x 轴上取一点 P，使 有最小值，则 P 点的坐标是 ( ) A ( 3,0) B (2,0) C (3,0) D (4,0) 解析 设 P 点坐标为 (x,0)， 则 (x 2， 2)， (x 4， 1) (x 2)(x 4) ( 2)( 1) 6x 10 (x 3)2 1. 当 x 3 时， 有最小值 1. 此时点 P 坐标为 (3,0)，故选 C. 答案 C 2 (2012 广东 )对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 a，b 满足 |a| b|0， a 与 b 的夹角 0， 4 ，且 在集合 n Z 中，则a b ( ) B 1 析 由定义 2 可得 b a a |a| b|a|2 |b|a| ，由 4 |a| b|0，及 0， 4 得 0|b|a| 1，从而 |b|a| 12，即 |a| 2|b| a |a| b|b|2 |a|b| 2因为 0， 4 ，所以 22 1，所以 121，所以 12. 答案 C 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 3已知向量 a， b， c 满足 a b c 0， (a b) c， a b，若 |a| 1，则 |a|2 |b|2 |c|2的值是 _ 解析 由已知 a c b c 0， a b 0， |a| 1， 又 a b c 0， a( a b c) 0，即 a c 0， 则 a c b c 1， 由 a b c 0， (a b c)2 0， 即 2a b 2b c 2c a 0， 4c a 4， 即 |a|2 |b|2 |c|2 4. 答案 4 4 (2012 安徽 )若平面向量 a， b 满足 |2a b|3 ，则 a b 的最小值是 _ 解析 由 |2a b|3 可知， 44a b9 ，所以 4 4a b，而 42a|2 |b|22|2 a| b| 4a b，所以 a b 98，当且仅当 2a b 时取等号 答案 98 三、解答题 (共 25 分 ) 5 (12 分 )设两向量 2， | 1， 0 ，若向量 27实数 t 的取值范围 解 由已知得 4， 1， 210 1. (27( 2(27)7215t 7. 欲使夹角为钝角，需 215t 7 0，得 7 t 12. 设 27 ( 0)， 2t ，7 27. t 142 ，此时 14. 即 t 142 时，向量 27. 5 当两向量夹角为钝角时， t 的取值范围是 7， 142 142 ，12 . 6 (13 分 )(2012 东营模拟 )在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 m n 2， 2 ，且满足 |m n| 3. (1)求角 A 的大小； (2)若 | | 3|，试判断 形状 解 (1)由 |m n| 3，得 2m n 3， 即 1 1 2 2 2 3， 12. 0A ， A 3. (2) | | 3|， 3， 23 B 3 32 ， 即 32 12 32 ， B 6 32 . 0B23 ， 6B 656 ， B 6 3 或 23 ，故 B 6 或 2. 当 B 6 时， C 2 ；当 B 2 时， C 6. 故 直角三角形 . 1 第 4 讲 向量 的 应用 A 级 基础 演练 (时间： 30 分钟 满分： 55 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 1已知 a (1， b (2， x)，其中 x (0， ) 若 |a b| |a|b|，则 ( ) A 1 B 1 C. 3 D. 22 解析 由 |a b| |a|b|知， a b. 所以 x 2 2x 2 x (0， ) ， 所以 x x，即 x 4 ，故 x 1. 答案 A 2 (2013 九江模拟 )若 |a| 25 ， |b| 45 ， a 与 b 的夹角为 30 ，则 a ( ) A. 32 B. 3 C 2 3 析 a b |a|b|0 855 32 40 32 3. 答案 B 3.(2012 哈尔滨模拟 )函数 y x 2 的部分图象如图所示，则( ) ( ) A 4 B 6 C 1 D 2 解析 由条件可得 B(3,1)， A(2,0)， ( ) ( )( ) 2 2 10 4 6. 答案 B 4在 ， 60 ， 2， 1， E， F 为边 三等分点，则 ( ) 2 解析 法一 依题意，不妨设 12， 2， 则有 12( )，即 23 13； 2( )，即 13 23. 所以 23 13 13 23 19(2 )( 2) 19(22 22 5 ) 19(22 2 21 2 5210) 53，选 A. 法二 由 60 ， 2， 1 可得 90 ， 如图建立直角坐标系，则 A(0,1)， E 2 33 ， 0 ，F 33 ， 0 ， 2 33 ， 1 33 ， 1 2 33 33 ( 1)( 1)23 153，选 A. 答案 A 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 5 (2013 温州适应性测试 )在平行四边形 ，已知 2， 1， 60 ， D 的中点，则 _. 解析 12( ) ( 12)( ) 2 12 122 1 12120 124 32. 答案 32 6 (2013 东北三校一模 )设 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 (3b c) ， S 2，则 _. 解析 依题意得 (3 ) ， 即 3 C) 0， 3 于是有 13， 1 2 23 ， 又 S 12 122 23 2，所以 3， A) 3 13 1. 答案 1 三、解答题 (共 25 分 ) 7 (12 分 )(2012 北京海淀模拟 )在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 k(k R) (1)判断 形状； (2)若 c 2，求 k 的值 解 (1) ， ， 又 ， ， ， 即 0， B) 0， A B ， A B，即 等腰三角形 (2)由 (1)知， k， c 2， k 1. 8 (13 分 )已知 A， B， C 的坐标分别为 A(3,0)， B(0,3)， C( ， )， 2 ， 32 . (1)若 | |，求角 的值； (2)若 1，求 2 1 的值 解 (1) ( 3， )， ( ， 3)， 2 ( 3)2 10 6 ， 2 ( 3)2 10 6 ， 由 | |，可得 2 2， 即 10 6 10 6 ，得 . 又 2 ， 32 ， 54 . (2)由 1， 4 得 ( 3) ( 3) 1， 23. 又 2 1 2 2 1 2 . 由 式两边分别平方，得 1 2 49， 2 59. 2 1 59. B 级 能力突破 (时间： 30 分钟 满分： 45 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 1在 ， a， b， c 分别为角 A， B， C 所对应的三角形的边长，若 4 2 30，则 ( ) A 1124 D 2936 解析 由 4 2 3 0，得 4 3 2 2b( ) 2 2， 所以 4a 3c 2b. 由余弦定理得 923b 1124. 答案 A 2 (2013 郑州三模 ) 外接圆圆心为 O，半径为 2， 0，且 | |，则 在 方向上的投影为 ( ) A 1 B 2 C. 3 D 3 解析 如图，由题意可设 D 为
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