【创新设计】2015-2016学年高中数学 第1-3章单元检测（打包6套）新人教A版选修2-1
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【创新设计】2015-2016学年高中数学 第1-3章单元检测（打包6套）新人教A版选修2-1,创新,立异,设计,学年,高中数学,单元,检测,打包,新人,选修
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1 第一章 常用逻辑用语 (A) (时间： 120 分钟 满分： 150 分 ) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ) 1下列语句中是命题的是 ( ) A梯形是四边形 B作直线 x 是整数 D今天会下雪吗？ 2设原命题：若 a b2 ，则 a， b 中至少有一个不小于 1，则原命题与其逆命题的真假情况是 ( ) A原命题真，逆命题假 B原命题假，逆命题真 C原命题与逆命题均为真命题 D原命题与逆命题均为假命题 3给出命题：若 函数 y f(x)是幂函数，则函数 y f(x)的图象不过第四象限在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 ( ) A 3 B 2 C 1 D 0 4设集合 M x|x2， P x| 是 “12” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7若 p： a R， |a|2，条件 q： 5x 6綈 p 是綈 q 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9已知实数 a1，命题 p：函数 y 2x a)的定义域为 R，命题 q： |x|0 不成立 ” 是真命题，则实数 a 的取值范围是 _ 15若 p： “ 平行四边形一定是菱形 ” ，则 “ 非 p” 为 _ 16下列四个命题中 “ k 1” 是 “ 函数 y 最小正周期为 ” 的充要条件； “ a 3” 是 “ 直线 2y 3a 0 与直线 3x (a 1)y a 7 相互垂直 ” 的充要条件； 函数 y 43的最小值为 2. 其中是假命题的为 _(将你认为是假命题的序号都填上 ) 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分 ) 17 (10 分 )将下列命题改写成 “ 若 p，则 q” 的形式，并判断其真假 (1)正方形是矩形又是菱形； (2)同弧所对的圆周角不相等； (3)方程 x 1 0 有两个实根 3 18 (12 分 )判断命题 “ 已知 a、 x 为实数，如果关于 x 的不等式 (2a 1)x 20的解集非空，则 a1” 的逆否命题的真假 19.(12 分 )已知 p： 1 x 13 2 ； q： 2x 1 ( m0)，若綈 p 是綈 q 的必 要非充分条件，求实数 m 的取值范围 4 20 (12 分 )已知方程 (2k 1)x 0，求使方程有两个大于 1 的实数根的充要条件 21.(12 分 )p：对任意实数 x 都有 10 恒成立； q：关于 x 的方程 x a 0有实数根；如果 p 与 q 中有且仅有一个为真命题，求实数 a 的取值范围 22 (12 分 )已知下列三个方程： 44a 3 0， (a 1)x 0， 2a 0 至少有一个方程有实数根，求实数 a 的取值范围 5 单元检测卷答案解析 第一章 常用逻辑用语 (A) 1 A 2 A 因为原命题 “ 若 a b2 ，则 a， b 中至少有一个不小于 1” 的逆否命题为， “ 若a， b 都小于 1，则 a 030 ，即 “ 回得来 ” 7 A a R， |a|1 时， 4 4成立，故函数 y 2x a)的定义域为 R，即命题 p 是真命题；命题 q：当 a1 时，由 |x|1， 原命题为真 又 原命题与其逆否命题等价， 逆否命题为真 方法三 (利用集合的包含关系求解 ) 命题 p：关于 x 的不等式 (2a 1)x 20 有非空解集 命题 q： a1. p： A a|关于 x 的不等式 (2a 1)x 20 有实数解 a|(2a 1)2 4(2)0 a|a 74 ， q： B a|a1 AB， “ 若 p，则 q” 为真， “ 若 p，则 q” 的逆否命题 “ 若綈 q，则綈 p” 为真 7 即原命题的逆否命题为真 19解 綈 p： 1 x 13 2，解得 A x| 綈 q： 2x 1 ，解得 m， B x|m 綈 p 是綈 q 的必要非充分条件， B A， 即 1 m 21 m10 且等号不能同时成立 m9 ， m9. 20 解 令 f(x) (2k 1)x 方 程 有 两 个 大 于 1 的 实 数 根 k 2 4 2k 12 1f， 即 成立 a 0 或 a0 14， 1413，或 a 1， 2a0得 32a 1. 所求实数 a 的范围是 a 32或 a 1. 1 第一章 常用逻辑用语 (B) (时间： 120 分钟 满分： 150 分 ) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ) 1函数 f(x) x|x a| b 是奇函数的充要条件是 ( ) A 0 B a b 0 C a b D 0 2若 “ a bcd” 和 “ y1，条件 q： x y2， ，则条件 p 是条件 q 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7 25x 30 D x R,2x0 10设原命题：若 a b2 ，则 a， b 中至少有一个不小于 1，则原命题与其逆命题的真假情况是 ( ) A原命题真，逆命题假 B原命题假，逆命题真 C原命题与逆命题均为真命题 D原命题与逆命题均为假命题 11下列命题中为全称命题的是 ( ) 2 A圆内接三角形中有等腰三角形 B存在一个实数与它的相反数的和不为 0 C矩形都有外接圆 D过直线外一点有一条直线和已知直线平行 12以下判断正确的是 ( ) A命题 “ 负数的平方是正数 ” 不是全称命题 B命题 “ x N， x3x” 的否定是 “ x N， x3x” C “ a 1” 是 “ 函数 f(x) 最小正周期为 ” 的必要不充分条件 D “ b 0” 是 “ 函数 f(x) c 是偶函数 ” 的充要条件 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ) 13下列命题中 _为真命题 (填序号 ) “ A B A” 成立的必要条件是 “ A B” ； “ 若 0，则 x， y 全为 0” 的否命题； “ 全等三角形是相似三角形 ” 的逆命题； “ 圆内接四边形对角互补 ” 的逆否命题 14命题 “ 正数的绝对值等于它本身 ” 的逆命题是 _，这是_(填 “ 真 ” 或 “ 假 ”) 命题 15若 “ x R， 2x m0” 是真命题，则实数 m 的取值范围是 _ 16给出下列四个命题： x R， 20； x N， ； x Z， (a 3)(a 2)x 10； a1若其中至多有两个不等式的解集为空集，求实数 a 的取值范围 22 (12分 )已知命题 p： 2 0的两个实根，不等式 5a 3| 任意实数 m 1,1恒成立；命题 q：不等式 2x 10 有解；若命题 p 是真命题，命题 q 是假命题，求 a 的取值范围 5 第一章 常用逻辑用语 (B) 1 D 若 0，即 a b 0 时， f( x) ( x)| x 0| 0 x|x| f(x)， 0 是 f(x)为奇函数的充分条件又若 f(x)为奇函数即 f( x) x|( x)a| b (x|x a| b)，则必有 a b 0，即 0， 0 是 f(x)为奇函数的必要条件 2 B 由 a bcd 可得 c da2，但不满足 q，故选项为 A. 7 D 8 A 2 4 4 1，所以充分； 但反之不成立，如 4 1. 9 C 10 A 举例： a b 则 a b 全称命题， A 不正确； 又 对全称命题 “ x N， x3x” 的否定为 “ x N， x” ， B 不正确； 又 f(x) 最小正周期 T 时，有 2|2a| ， |a| 1 a 1. 故 “ a 1” 是 “ 函数 f(x) 最小正周期为 ” 的充分不必要条件 13 解析 A B AAB 但不能得出 A B， 不正确； 否命题为： “ 若 ，则 x， y 不全为 0” ，是真命题； 逆命题为： “ 若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形全等 ” ，是假命题； 原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题， 逆否命题也为真命题 14如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数 假 15 ( ， 1) 解析 由 ( 2)2 4( m)0. a b 1 0， a b 1. 必要性 ： a b 1， 即 a b 1 0， (a b 1)( 0. 综上可知，当 时， a b 1 的充要条件是 0. 20解 |f(x)|1 1 f(x)1 1 x1 ， x 0,1 当 x 0 时， a0 ， 式显然成立； 当 x (0,1时， 式化为 11x a 11x在 x (0,1上恒成立 设 t 1x，则 t 1， ) ， 则有 t a t，所以只需 a t 2a t 0 2 a0 ， 又 a0 ，故 2 2540，故 2541，不是空集；当 a3 时，要使不等式 (a 3)(a 2)x 10 的解 集为空集 则 a 31a2. 7 因此，当三个不等式的解集都为空集时， 2 2 a2. 所以要使三个不等式至多有两个不等式的解集为 空集，则实数 a 的取值范围是 a| 22解 2 0 的两个实根， 则 m 且 2， | 48， 当 m 1,1时， |x2|3， 由不等式 5a 3| 任意实数 m 1,1恒成立可得： 5a 33 ， a6 或 a 1. 所以命题 p 为真命题时， a6 或 a 1. 命题 q：不等式 2x 10 有解， 当 a0 时，显然有解； 当 a 0 时， 2x 10 有解； 当 解， 4 4a0， 10 有解时 a 1. 又命题 q 为假命题， a 1. 综上得，若 p 为真命题且 q 为假命题则 a 1. 1 第三章 空间向量与立体几何 (A) (时间： 120 分钟 满分： 150 分 ) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ) 1以下命题中，不正确的个数为 ( ) |a| |b| |a b|是 a， b 共线的充要条件； 若 ab ，则存在唯一的实数 ，使 a b； 若 ab 0， bc 0，则 a c； 若 a， b， c为空间的一个基底，则 ab， b c， c a构成空间的另一个基底； |(ab )c | |a| b| c|. A 2 B 3 C 4 D 5 2直三棱柱 a， b， c，则 等于 ( ) A a b c B a b c C a b c D a b c 3已知 a (2,4,5)， b (3， x， y)，若 ab ，则 ( ) A x 6， y 15 B x 3， y 152 C x 3， y 15 D x 6， y 152 4已知空间三点 A(0,2,3)， B( 2,1,6)， C(1， 1,5)若 |a| 3，且 a 分别与 ，垂直，则向量 a 为 ( ) A (1,1,1) B ( 1， 1， 1) C (1,1,1)或 ( 1， 1， 1) D (1， 1,1)或 ( 1,1， 1) 5已知 A( 1,0,1)， B(0,0,1)， C(2,2,2)， D(0,0,3)，则 ， 等于 ( ) A 23 C. 53 D 53 6在正三棱柱 2 1B 所成角的大小为 ( ) A 60 B 90 C 105 D 75 7若平面 的法向量为 n，直线 l 的方向向量为 a，直线 l 与平面 的夹角为 ，则下列关系式成立的是 ( ) A na|n|a| B |na|n|a| C na|n|a| D |na|n|a| 8若三点 A(1， 2,1)， B(4,2,3)， C(6， 1,4)，则 形状是 ( ) A不等边的锐角三角 形 B直角三角形 C钝角三角形 D等边三角形 9若两个不同平面 ， 的法向量分别为 u (1,2， 1)， v ( 3， 6,3)，则 ( ) A B C ， 相交但不垂直 D以上均不正确 10若两点 A(x,5 x,2x 1)， B(1， x 2,2 x)，当 |取最小值时， x 的值等于 ( ) A 19 B 87 1. 2 如图所示，在四面体 P ， 平面 么二面角 B ) A. 22 B. 33 C. 77 2. 如图所示，在直二面角 D E 中，四边形 边长为 2 的正方形， 等腰直角三角形，其中 90 ，则点 D 到平面 距离为 ( ) A. 33 3 C. 3 D 2 3 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ) 13若 a (2， 3,5)， b ( 3,1， 4)，则 |a 2b| _. 14如图所示， 已知正四面体 ， 1414直线 成角的余弦值为 _ 15平面 的法向量为 (1,0， 1)，平面 的法向量为 (0， 1,1)，则平面 与平面 所成二面角的大小为 _ 16. 如图所示，已知二面角 l 的平面角为 0， 2 ， 在平面 内， l 上， 平面 内，若 1，则 长为 _ 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分 ) 17 (10 分 )在直三棱柱 18 (12 分 )已知四边形 顶点分别是 A(3， 1， 2)， B(1， 2， 1)， C( 1,1， 3)， D(3， 5,3) 求证：四边形 一个梯形 19.(12 分 ) 如图所示，四边形 是平行四边形且不共面， M、 N 分别是 中点， 4 判断 否共线？ 20 (12 分 ) 如图所示，已知平行六面体 菱形，且 求证： 5 21.(12 分 ) 如图，在空间四边形 ， 8， 6， 4， 5， 45 ， 0 ，求 成角的余弦值 6 22 (12 分 ) 如图，在长方体 E、 F 分别是棱 2D 1 2 4. (1)求异面直线 成角的余弦值； (2)证明 平面 (3)求二面角 F 的正弦值 第三章 空间向量与立体几何 (A) 1 C 只有命题 正确 2. D 如图， b a c. 3 D ab ， 存在实数 ， 7 使 3 2x 4y 5， x 6y 152 . 4 C 设 a (x， y， z)， ( 2， 1,3)， (1， 3,2)， 又 |a| 3， a ， a ， 3， 2x y 3z 0，x 3y 2z 0. x 1，y 1，z 1或 x 1，y 1，z 1. a (1,1,1)或 a ( 1， 1， 1) 5 C (1,0,0)， ( 2， 2,1)， ， D 23， ， 53 . 6 B 建立如图所示的空间直角坐标系，设 1，则 A(0,0,1)， 62 ， 22 ， 0 ， ， 2，0)， B 62 ， 22 ， 1 . 62 ， 22 ， 1 ， 62 ， 22 ， 1 ， 64 24 1 0， 即 1B 所成角的大小为 90. 7 D 若直线与平面所成的角为 ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为 ，则 90 或 90 ， na|n|a|， | | |na|n|a|. 8 A (3,4,2)， (5,1,3)， (2， 3,1)， 0，得 A 为锐角； 0，得 C 为锐角； 0，得 B 为锐角，所以 锐角三角形且 | 29， | 35， | 14. 9 A v 3u， v . 10 C (1 x,2x 3， 3x 3)， 则 | x 2 x 2 3x 2 8 1432x 19 14 x 87 2 57. 故当 x 87时， |取最小值 11 C 如图所示， 作 D，作 E，设 1，则易得 22 ， 22 ， 2， 可以求得 144 ， 24 . ， 2 2 2 2 2 2 2 . 14， ， 77 ， 即二面角 B C 的余弦值为 77 . 12 B 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0， 1,0)， E(1,0,0)， D(0， 1,2)， C(0,1,2) (0,0,2)， (1,1,0)， (0,2,2)，设平面 法向量 n (x， y， z)， 则 即 x y 0；2y 2z 0. 令 y 1， n ( 1,1， 1) 故点 D 到平面 距离 d 23 2 33 . 13. 258 9 解析 a 2b (8， 5,13)， |a 2b| 82 2 132 258. 析 因四面体 正四面体，顶点 A 在底面 的射影为 垂心，所以有 ， 则 ( )( ) 0 0 4120 1420 4， 42 12 2410 13， 所以异面直线 夹角 的余弦值为： 413. 或 23 解析 设 (1,0， 1)， (0， 1,1)， 则 10 2 2 12， 23 与平面 所成的角与 等或互补，所以 与 所成的角为 3 或 23 . 16. 3 2 解析 因为 ， 所以 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 ) 32 . 所以 | 3 2 ， 即 长为 3 2 . 17证明 以 A 为原点， x 轴， z 轴建立空间直角坐标系 设 B(a， b,0)， C(c,0,0)， ,0， d)， 则 B1(a， b， d)， C1(c,0， d)， (a， b， d)， (c a， b， d)， ( c,0， d)， 由已知 0， c(c a) 0，可得 再由两点间距离公式可得： | | 18证明 因为 (1,2， 1) (3， 1,2) ( 2,3， 3)， (3， 5,3) (1,1， 3) (4， 6,6)，因为 24 3 6 36 ， 所以 和 共线，即 10 又因为 (3， 5,3) (3， 1,2) (0， 4,1)， ( 1,1， 3) (1,2， 1) ( 2， 1， 2)， 因为 0 2 4 1 1 2，所以 与 不平行，所以四边形 梯形 19解 M、 N 分别是 中点，四边形 是平行四边形， 12 12 又 12 12 12 12 12 12 2 2( ) 2. ，即 与 共线 20证明 设 a， b， c， 依题意， |a| |b|， 又设 ， ， 中两两所成夹角为 ， 于是 a b， c( a b) ca cb |c|a| |c|b| 0， 所以 21解 因为 ， 所以 |， |， 8435 8620 16 2 24. 所以 ， 24 16 285 3 2 25 . 即 成角的余弦值为 3 2 25 . 22 (1)解 11 如图所示，建立空间直角坐标系，点 A 为坐标原点设 1，依题意得 D(0,2,0)，F(1,2,1)， ,0,4)， E 1， 32， 0 . 易得 0， 12， 1 ， (0,2， 4)， 于是 ， 35. 所以异面直线 成角的余弦值为 35. (2)证明 易知 (1,2,1)， 1， 32， 4 ， 1， 12， 0 ， 于是 0， 0. 因此， 又 E，所以 平面 (3)设平面 法向量 u (x， y， z)， 则 即 12y z 0， x 12y x 1，可得 u (1,2， 1)， 由 (2)可知， 为平面 一个法向量， 于是 u， 23， 从而 u， 53 . 所以二面角 F 的正弦值为 53 . 1 第三章 空间向量与立体几何 (B) (时间： 120 分钟 满分： 150 分 ) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ) 1空间四个点 O、 A、 B、 C， ， ， 为空间的一个基底，则下列说法不正确的是 ( ) A O、 A、 B、 C 四点不共线 B O、 A、 B、 C 四点共面，但不共线 C O、 A、 B、 C 四点中任意三点不共线 D O、 A、 B、 C 四点不共面 2已知 a 3b 与 7a 5b 垂直，且 a 4b 与 7a 2b 垂直，则 a， b等于 ( ) A 30 B 60 C 90 D 45 3已知 A(2， 5,1)， B(2， 2,4)， C(1， 4,1)，则向量 与 的夹角为 ( ) A 30 B 45 C 60 D 90 4已知正方体 E 为上底面 ，则 x， y 的值分别为 ( ) A x 1， y 1 B x 1， y 12 C x 12， y 12 D x 12， y 13 5设 E， F 是正方体 B 和 正方体的 12 条面对角线中，与截面 60 角的对角线的数目是 ( ) A 0 B 2 C 4 D 6 6已知点 果 (2， 1， 4)， (4,2,0)， ( 1,2， 1)对于结论： 是平面 法向量； ) A 1 B 2 C 3 D 4 7已知 a ( 3,2,5)， b (1， x， 1)且 ab 2，则 x 的值是 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 8设 A、 B、 C、 D 是空间不共面的四点，且满足 0， 0， 0，则 ( ) A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D不确定 9正三棱柱 90 ， 异面直线 ) A 30 B 45 C 60 D 90 10若向量 a (2,3， )， b 1， 1， 63 的夹角为 60 ，则 等于 ( ) B. 612 12 D 23 612 11已知 (1,2,3)， (2,1,2)， (1,1,2)，点 Q 在直线 运动，则当 得最小值时，点 Q 的坐标为 ( ) A. 12， 34， 13 B. 12， 32， 34 2 C. 43， 43， 83 D. 43， 43， 73 12在正方体 面 平面 成二面角的余弦值为 ( ) B. 32 D. 33 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ) 13若向量 a (1,1， x)， b (1,2,1)， c (1,1,1)，满足条件 (c a)(2 b) 2，则 x _. 14若 A 0， 2， 198 ， B 1， 1， 58 ， C 2， 1， 58 是平面 内的三点，设平面 的法向量 a (x， y， z)，则 x y z _. 15平面 的法向量为 m (1,0， 1)，平面 的法向量为 n (0， 1,1)，则平面 与平面 所成二面角的大小为 _ 16. 在直三棱柱 90 ， 2，点 D 是 异面直线 _ 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分 ) 17 (10 分 ) 如图，已知 M 是底面 中心， N 是侧面 4分点，设 ，试求 、 、 的值 3 18. (12 分 )如图，四棱锥 S 底 面是边长为 2a 的菱形，且 2a， 2a，点 E 是 的点，且 a (00. B 为锐角，同理， C， D 均为锐角， 锐角三角形 9 C 7 建系如图，设 1，则 B(1,0,0)， ,0,1)， ,1,1) ( 1,0,1)， (0,1,1) ， 12 2 12. ， 60 ，即异面直线 0. 10 C a (2,3， )， b 1， 1， 63 ， ab 63 1， |a| 2 13， |b| 2 63 ， a， b ab|a|b|63 1 2 13 2 63 12. 23 612 . 11 C Q 在 ， 可设 Q(x， x,2x)，则 (1 x， 2 x,3 2x)， (2 x,1 x,2 2x) 616x 10， x 43时， 最小，这时 Q 43， 43， 83 . 12 C 以点 D 为原点， x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 ( 1,1， 1)， ( 1,1,1) 可以证明 平面 平面 又 ， 13，结合图形可知平面 平面 成二面角的余弦值为 13. 13 2 解析 a (1,1， x)， b (1,2,1)， c (1,1,1)， c a (0,0,1 x)， 2b (2,4,2) (c a)(2 b) 2(1 x) 2， x 2. 8 14 2 3 ( 4) 解析 1， 3， 74 ， 2， 1， 74 ， 由 a 0， a 0，得 x 23 43y， x y z 23y y 43y 2 3 ( 4) 15 60 或 120 解析 m， n mn|m|n| 12 2 12， m， n 120 ，即平面 与 所成二面角的大小为 60 或 120. 解析 建立如图所示坐标系，则 ( 1,1， 2)， (0,2， 2)， ， 62 2 6 32 ， ， 6. 即异面直线 6. 17解 12 34 12( ) 34( ) 12( ) 34( ) 12 12 34 34 12 14 34， 12， 14， 34. 18 (1)证明 连结 于 O. 9 由底面是菱形，得 O 为 点， 又 O， 面 又 (2)解 由 (1)知 同理可证 平面 取 交点 O 为原点建立如图所示的坐标系，设 x， 则 42 2a， (4 (2 4得 x a. 3a，则 A( 3a,0,0)， C( 3a,0,0)， S(0,0， a) 平面 是平面 法向量 ( 3a,0， a)， ( 3a,0， a) 设 平面 成角为 ， 则 | 3 1a 3 1a12， 即 平面 成的角为 6. 19解 a ( 1,1,2) ( 2,0,2) (1,1,0)， b ( 3,0,4) ( 2,0,2) ( 1,0,2) (1) ab|a|b| 1 0 02 5 1010 ， a 与 b 的夹角 的余弦值为 1010 . (2)b (k， k,0) ( 1,0,2) (k 1， k,2)， 2b (k， k,0) ( 2,0,4) (k 2， k， 4)， (k 1， k,2)( k 2， k， 4) (k 1)(k 2) 8 0. 即 2k 10 0， k 52或 k 2. 20解 10 以 O 为坐标原点，射线 别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 (1,0,0)，则 C( 1,0,0)， A(0,1,0)， S(0,0,1)， 中点M 12， 0， 12 . 故 12， 0， 12 ， 12， 1， 12 ， ( 1,0， 1)，所以 0， 0. 即 故 ， 为二面角 A B 的平面角 ， 33 . 即二面角 A B 的余弦值为 33 . 21. (1)证明 如图，以 A 为原点， 在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则依题意可知 A(0,0,0)， B(0,2,0)， C(4,2,0)， D(4,0,0)， P(0,0,2) (4,0， 2)， (0， 2,0)， (0,0， 2) 设平面 一个法向量为 n (x， y,1)， 则 2y 04x 2 0 y 0x 12， 所以平面 一个法向量为 12， 0， 1 . 平面 又 A， 平面 平面 法向量为 (0,2,0) n 0， n . 平面 平面 11 (2)解 由 (1)知平面 一个单位法向量为 n|n| 55 ， 0， 2 55 . ， 0， 55 ， 0， 2 55 4 55 ， 点 B 到平面 距离为 4 55 . 22 (1)证明 连结 点 O，由题意知 平面 O 点为坐标原点， 、 、 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 图所示 设底面边长为 a，则高 62 a. 于是 S(0,0， 62 a)， D 22 a， 0， 0 ， C 0， 22 a， 0 ， B 22 a， 0， 0 ， 0， 22 a， 0 ， 22 a， 0， 62 a ， 0. (2)解 由题意知，平面 一个法向量 22 a， 0， 62 a ，平面 一个法向量 0， 0， 62 a ， 设所求二面角为 ，则 32 ， 故所求二面角 P D 的大小为 30. (3)解 在棱 存在一点 E 使 平面 由 (2)知 是平面 一个法向量， 且 22 a， 0， 62 a ， 0， 22 a， 62 a ， 12 22 a， 22 a， 0 , 设 ， 则 22 a， 22 a t ， 62 由 0，得 t 13， 即当 2 1 时， 而 在平面 ，故 平面 1 第二章 圆锥曲线与方程 (A) (时间： 120 分钟 满分： 150 分 ) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ) 1椭圆 1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值是 ( ) C 2 D 4 2设椭圆 1 (m0， n0)的右焦点与抛物线 8x 的焦点相同，离心率为 12，则此椭圆的方程为 ( ) 1 1 1 1 3已知双曲线 1(a0， b0)的一条渐近线方程是 y 3x，它的一个焦点在抛物线 24x 的准线上 ，则双曲线的方程为 ( ) 1 1 C. 1 1 4 P 是长轴在 x 轴上的椭圆 1 上的点， 圆的半焦距为 c，则 | 最大值与最小值之差一定是 ( ) A 1 B C D 双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2倍，且一个顶点的坐标为 (0,2)，则双曲线的标准方程为 ( ) 1 1 1 1 6设 a1，则双曲线 2 1 的离心率 e 的取值范围是 ( ) A ( 2， 2) B ( 2， 5) C (2,5) D (2， 5) 7. 如图所示，在正方体 P 是侧面 一动点，若 P 到直线 到直线 动点 P 的轨迹所在的曲线是 ( ) A直线 B圆 C双曲线 D抛物线 8设 F 为抛物线 4x 的焦点， A、 B、 C 为该抛物线上三点，若 0，则 | | |等于 ( ) 2 A 9 B 6 C 4 D 3 9已知双曲线 1 (a0， b0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 ( ) A (1,2 B (1,2) C 2， ) D (2， ) 10若动圆圆心在抛物线 8x 上，且动圆恒与直线 x 2 0 相切，则动圆必过定点( ) A (4,0) B (2,0) C (0,2) D (0， 2) 11抛物线 y x y 4 距离最近的点的坐标是 ( ) A. 32， 54 B (1,1) C. 32， 94 D (2,4) 12已知椭圆 1 (0 b0)的左、右焦点分别是 段 0 分成 31 的两段，则此椭圆的离心率为 _ 16对于曲线 C： k1 1，给出下面四个命题： 曲线 C 不可能表示椭圆； 当 14； 若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 1b0)上的一点， 求： (1)椭圆的方程； (2) 21.(12 分 )已知过抛物线 2px(p0)的 焦点的直线交抛物线于 A、 B 两点，且 | 52p，求 在的直线方程 5 22 (12 分 )在直角坐标系 ，点 P 到两点 (0， 3)、 (0， 3)的距离之和等于 4，设点 P 的轨迹为 C，直线 y 1 与 C 交于 A、 B 两点 (1)写出 C 的方程； (2)若 求 k 的值 第二章 圆锥曲线与方程 (A) 1 A 由题意可得 2 1m 22 ，解得 m 14. 2 B 8x 的焦点为 (2,0)， 1 的右焦点为 (2,0)， mn 且 c 2. 又 e 12 2m， m 4. 4， 12. 椭圆方程为 1. 3 B 抛物线 24x 的准线方程为 x 6，故双曲线中 c 6. 由双曲线 1 的一条渐近线方程为 y 3x，知3， 且 由 解得 9， 27. 故双曲线的方程为 1，故选 B. 4 D 由椭圆的几何性质得 | a c， a c， | | 2a， 6 所以 | | | 2 当且仅当 | |取等号 | |2a | | 2a| (| a)2 所以 | 最大值与最小值之差为 5 B 由于双曲线的顶点坐标为 (0,2)，可知 a 2， 且双曲线的标准方程为 1. 根据题意 2a 2b 22 c，即 a b 2c. 又 a 2， 解上述两个方程，得 4. 符合题意的双曲线方程为 1. 6 B 双曲线方程为 2 1， c 22a 1. e 2 12a 1a 1 2 1. 又 a1， 0 1 0. 又 0 0. 即 2x y 15 0. 15. 22 解析 由题意，得3c 3c 32bb c， 因此 e 1222 . 16 解析 错误，当 k 2 时，方程表示椭圆； 错误，因为 k 52时，方程表示圆；验证可得 正确 17解 设 P 点的坐标为 (x， y)， M 点的坐标为 ( 点 M 在椭圆 1 上， 1. M 是线段 的中点， x， 把 入1， 得 1，即 36. 8 P 点的轨迹方程为 36. 18解 设双曲线方程为 1. 由椭圆 1，求得两焦点为 ( 2,0)， (2,0)， 对于双曲线 C： c 2. 又 y 3x 为双曲线 C 的一条渐近线， 3，解得 1， 3， 双曲线 C 的方程为 1. 19解 将 y 2 代入 8x 中变形整理得： (4k 8)x 4 0， 由 k0k 2 16 ，得 k 1 且 k0. 设 A( B( 由题意得： 4k 8 4k 2k 2 0. 解得： k 2 或 k 1(舍去 )， 由弦长公式得： | 1 64k 64 5 1924 2 15. 20解 (1)令 c,0)， F2(c,0)， 则 所以 1，即 43 c 43 c 1， 解得 c 5，所以设椭圆方程为 25 1. 因为点 P(3,4)在椭圆上，所以 91625 1. 解得 45 或 5. 又因为 ac，所以 5 舍去 故所求椭圆方程为 1. (2)由椭圆定义知 | | 6 5， 又 | | | 100， 2 得 2| 80， 所以 S 12| 20. 21解 焦点 F(0)，设 A( B( 若 | 2成立 故 24， 34. 若 ，即 0. 而 k( 1， 于是 34 3424 1 0， 化简得 41 0，所以 k 12. 1 第二章 圆锥曲线与方程 (B) (时间： 120 分钟 满分： 150 分 ) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ) 1中心在原点，焦点在 x 轴上，若长轴长为 18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 ( ) 1 1 1 1 2平面内有定点 A、 B 及动点 P，设命题甲是 “| |定值 ” ，命题乙是 “ 点 、 B 为焦点的椭圆 ” ，那么甲是乙的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3设 a0 ， a R，则抛物线 y ) A. 0 B. 0， 12a C. 0 D. 0， 14a 4已知 M( 2,0)， N(2,0)，则以 斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是( ) A 2 B 4 C 2(x2) D 4(x2) 5已知椭圆 1 (ab0)有两个顶点在直线 x 2y 2 上，则此椭圆的焦点坐标是( ) A ( 3， 0) B (0， 3) C ( 5， 0) D (0， 5) 6设椭圆 1 1 (m1)上一点 P 到其左焦点的距离为 3，到右焦点的距离为 1，则椭圆的离心率为 ( ) A. 22 C. 2 12 已知双曲线的方程为 1，点 A， B 在双曲线的右支上，线段 过双曲线的右焦点 | m， ) A 2a 2m B 4a 2m C a m D 2a 4m 8已知抛物线 4x 上的点 P 到抛物线的准线的距离为 直线 3x 4y 9 0 的距离为 ) C 2 D. 55 9设点 A 为抛物线 4x 上一点，点 B(1,0)，且 | 1，则 A 的横坐标的值为 ( ) A 2 B 0 C 2 或 0 D 2 或 2 10从抛物线 8x 上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且 | 5，设抛物线 2 的焦点为 F，则 面积为 ( ) A 5 6 B 6 5 C 10 2 D 5 2 11若直线 y 2 与抛物线 8x 交于 A， B 两个不同的点，且 中点的横坐标为 2，则 k 等于 ( ) A 2 或 1 B 1 C 2 D 1 5 12设 1 的左、右焦点若点 P 在双曲线上，且 1 20，则 | 1 2等于 ( ) A 3 B 6 C 1 D 2 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ) 13以等腰直角 两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为_ 14已知抛物线 C： 2p0)，过焦点 F 且斜率为 k (k0)的直线与 C 相交于 A、 3则 k _. 15已知抛物线 2p0)，过点 M(p,0)的直线与抛物线交于 A、 _. 16已知过抛物线 4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、 B 两点， | 2，则 | _. 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分 ) 17 (10 分 )求与椭圆 1 有公共焦点，并且离心率为52 的双曲线方程 3 18 (12 分 )已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 1 的右焦点 F 交椭圆于 A、 B 两点，求弦 长 19.(12 分 )已知两个定点 A( 1,0)、 B(2,0)，求使 2 点 M 的轨迹方程 4 20 (12 分 )已知点 A(0， 2)， B(0,4)，动点 P(x， y)满足 8. (1)求动点 P 的轨迹方程； (2)设 (1)中所求轨迹与直线 y x 2 交于 C、 D 两点 求证： 为原点 ) 21.(12 分 )已知抛物线 C： 2px(p0)过点 A(1， 2) (1)求抛物线 C 的方程，并求其准线方程 (2)是否存在平行于 为坐标原点 )的直线 l，使得直线 l 与抛物线 C 有公共点，且直线 l 的距离等于 55 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由 22 (12 分 )已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物 5 线 y 14心率为 2 55 . (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A， B 两点，交 y 轴于点 M，若 求 m n 的值 第二章 圆锥曲线与方程 (B) 1 A 2a 18， 两焦点恰好将长轴三等分， 2c 132 a 6， a 9， c 3， 72， 故椭圆的方程为 1. 2 B 点 P 在线段 时
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