【导与练】2014高考数学大二轮 （高考真题自测+热点考向突破）课件（打包16套）
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【导与练】2014高考数学大二轮 （高考真题自测+热点考向突破）课件（打包16套）,高考,数学,二轮,自测,热点,热门,突破,课件,打包,16
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专题 二 三角函数 【专题概述】 三角函数的图象、性质和三角恒等变换、解三角形等内容 , 历来是高考命题的热点 , 是变换思想与数形结合思想运用的典范 , 也是函数思想方法的实践和应用 同时又注重三角恒等变换的考查和应用 , 与解三角形、向量等内容相结合 , 更是检验综合能力的重要形式 . 高考对本专题的命题一般是一道选择题 ( 或填空题 ) 和一道解答题 , 分值在 17 分左右 , 属于中、低档题 . 高考真题自测 热点考向突破 第 1 讲 三角函数的图象和性质 体验 高考 1.( 20 13 年高考大纲全国卷 , 文 9) 若函数 y=s x+)( 0) 的部分图象如图 , 则 等于 ( B ) (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 解析 : 由图象知2T=40x- x 0 =4,T=2. 由2=2得 =4 . 故选 B. 高考 真题自测 夯 基础 提速度 2.( 20 12 年高考湖南卷 , 理 6) 函数 f( x)= x - 6 B ) (A) - 2,2 (B) (C) - 1,1 (D)2323，解析 : f(x )=s in x - 6x=x x+21x=23x - 32x=36x, 所以函数 f(x) 的值域为 , 故选 B. 3.( 20 13 年高考新课标全国卷 , 文 16 ) 函数 y =co s(2 x +) ( - ) 的图象向右平移2个单位后 , 与函数y=32 则 |= . 解析 : 函数 y=c 2x+) 的图象向右平移2个单位 , 得到y=32 x, 即 y=32 得到函数 y=x+),y=32 得 y=322 x=32 x= - 32 x=322x=65 2 x, 即=65 . 答案 :65 4.(20 12 年高考北京卷 , 文 15 ) 已知函数f(x)= i i nc o ss i n . (1) 求 f( x) 的定义域及最小正周期 ; (2) 求 f( x) 的单调递减区间 . 解 : (1) 由 x 0, 得 x k (k Z ), f(x) 的定义域为 x R |x k ,k Z . f(x)= i i nc o ss i n =2x(x - c os x) =x - x - 1=242. f(x) 的最小正周期为 T=22= . (2) 函数 y=x 的单调递减区间为 232,22 kk(k Z ), 由 2k +2 2x 2k +23(k Z ), 得 k +83 x k +87(k Z ), f(x) 的单调递减区间为87,83 kk(k Z ). 感悟备考 1. 命题与备考 高考对这部分内容的考查主要以三角函数的单调性、对称性、最值、周期性以及三角函数的图象的平移变换为主 . 在备考时不仅要掌握三角变换的基本公式 , 能运用作函数图象的方法直观地判断三角函数所具有的性质与特点 , 还要会运用解决函数问题的一般方法来解决三角函数问题 . 2. 小题快做 在求三角函数的对称轴和对称中心时 , 可根据三角函数的对称轴在“波峰”与“波谷”处 , 对称中心为图象与 x 轴的交点 , 采用特例验证法求解 . 该类真题在平时练习中要达到在 1 分钟内准确求解 . 考向 一 利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式化简求值 此类问题一般是先化简题目已知条件或目标式 ,把已知和求解之间的关系明朗化后 , 再求解 . 热点 考向 突破 讲策略 促迁移 【例 1 】 (1) 已知 s - )= - 2 , 则 c 等于 ( ) (A)52(B) )52或 ) ) 若 (0, ),s +co s =213 , 则 的值为 ( ) (A) 3(B) ) ) (1) 由已知得 = - 2 , = - 2, =22c o ss i nc o ss i n=1t a nt a =142= 故选 B. (2) 由于 + =213 , 1+2 =4324 , 2 = ( - )2=4324 , 易知， 2, - =213 , 从而可得 =23, = = 故选 C. 关注细节 (1) 利用同角三角函数基本关系式可以实现同角三角函数之间的相互转化 , 特别是“ 1 ”的代换技巧值得注意 . 如本例 (1) 中把分母 1 换为 (2) 中利用平方关系 1 实现了 co s 与 之间的联系 . (2) 利用诱导公式可以实现从大角到小角 , 从复角到单角的转化 , 还可以实现三角函数名称的改变 . 从而达到角统一的目的 , 进而解决三角函数式的化简求值问题 . 注意整体思想和方程思想的应用 . 如 ( 2) 小题 . 热点训练 1 (1) 设 + )= 2, 则)c o s ()s i n ()(c o s)s i n (等于 ( ) (A)3 (B)31(C)1 (D) - 1 (2) 已知 - )=l 41, 且 ( ), 则 - ) 的值为 ( ) (A) )552(C) 552(D)25解析 : (1) + )=2, =2, )c o s ()s i n ()(c o s)s i n (=o nc o n=o ss i nc o ss i n=1t a a n212=3. 故选 A. (2) - )=s =41= 由 0,2, 得 =35, - )=- )= - = o ss i n=552. 故选 B. 考向二 三角函数的图象及变换 1. 三角函数的图象变换重点是横向的平移和伸缩变换 , 包括两种方式 : 一是先平移后伸缩 , 二是先伸缩后平移 , 两者不同 . 特别注意第二种变换方式 , 由 y = x 的图象得到y= x+) 的图象时 , 可先把 y = x+) 化为y=x, 然后得出将 y=si n x 的图象沿 x 轴向左 0或向右 0平移个单位长度 , 而不是平移 | 个单位长度 . 2. 根据 y =As i n( x+) 的部分图象确定其解析式时 , 通常先由图象的最高点和最低点确定振幅 A, 再利用周期求出 , 最后通过代点法求初相, 求时一定要注意的限制条件 . 【例 2 】 (1 ) (20 13 四川自贡一模 ) 要得到函数 y= 3co s （ 2x 的图象 , 可以将函数 y= 3si n 2x 的图象 ( ) (A) 沿 x 轴向左平移8个单位 (B) 沿 x 轴向右平移8个单位 (C) 沿 x 轴向左平移4个单位 (D) 沿 x 轴向右平移4个单位 (2) (2 013 年高考四川卷 ) 函数 f(x )= 2si n ( x+) （ 0 , 20) 的最小正周期为 . (1) 求 的值 ; (2) 讨论 f(x) 在区间2,0上的单调性 . 解 : (1)f(x)=4 x 4x=22 x x+22x =2( x+c x) +2=242 x+2. 因为 f(x) 的最小正周期为 , 且 0, 从而有22= , 故 = 1. (2) 由 (1) 知 , f(x)=242 x+2. 若 0 x 2, 则4 2x+445 . 当4 2x+42, 即 0 x 8时 ,f(x) 单调递增 ; 当222, 求 x 的取值范围 . 解 : (1) 函数 f(x) 的最小正周期 T=2 = , =2, f4= 42= 2= - 23, 且 即 32 x22, 2k 0, | |0, 故 =2, 又点 012，为函数 f 1 (x) 的图象一个周期内“五点”的起点 , 2 12+=0, 从而=6, 故 f 1 (x)=62x, 又 f 1 (x) 的图象过点 (0,1), 1=602, 得 A=2, 由此可得到 f 1 (x) 的表达式为 f 1 (x)=262x. (2) 由题意得 f 2 (x) = 2si n642x=232x, y=f 1 (x )+f 2 ( x)= 2si n62x+232x=26262x=22122x. 函数 y=f 1 (x)+f 2 (x) 的最大值为 22, 此时 2x k +2,k Z , 即 x=k +247 ,k Z . y=f 1 (x )+f 2 ( x) 取最大值时自变量 x 的集合为 Z,247| . 专题 六 函数与导数 【专题概述】 函数与导数是高考考查的重要内容 , 在高考试卷中占有重要的地位 . 一套试卷中一般有 3 4 道题目考查这一内容 , 其中 2 3 道选择题或填空题主要考查函数的概念、单调性与奇偶性、函数的图象、导数的几何意义等重要知识 ,1 道解答题大多以基本初等函数为载体 , 综合应用函数、导数、方程、不等式等知识 , 并与数学思想方法紧密结合 , 对函数与方程思想、分类与整合思想等进行较为深入的考查 , 体现了以能力立意的命题原则 . 高考真题自测 热点考向突破 思想方法感悟 第 1 讲 函数的图象与 性质 体验 高考 1.( 20 13 年大纲全国卷 , 文 6) 函数f(x )= 11x(x0) 的反函数 ( x) 等于 ( A ) (A)121x(x0) ( B)121x(x 0) (C)2( x R ) ( D)2( x0 ) 高考 真题自测 夯 基础 提速度 解析 : 由 y=11x, 得 x=121y, 因此 (x)=121x, 由于 x0 时 ,f(x)=lo g 211x 1=0, 函数 (x) 的定义域为 x| x 0 . 故选 A. 2.( 20 13 年大纲全国卷 , 文 13 ) 设 f(x ) 是以 2为周期的函数 , 且当 x 1, 3) 时 ,f( x )=x - 2,则 f( - 1) = . 解析 : f( - 1)= f( - 1+2 )=f (1) =1 - 2= - 1. 答案 : - 1 3 .(2 0 12 年高考四川卷 , 文 13 ) 函数 f( x)=112 x的定义域是 .( 用区间表示 ) 解析 : 由题意 , 需 1 - 2x 0, 解得 x0,x 1, 故 x (0 ,1) . 故选 D. (2) 因函数 y=f ( x) 的值域是1,32, 则函数 y=f (x+ 1 ) 的值域也是1,32. 令 t=f(x+1), 则 F(x) 的值域就是函数 g(t)=t+12t 的值域 . 此函数在1,12上单调递减 , 在 1 ,3 上单调递增 , 检验端点值得值域为102,3. 故选 B. 关注细节 (1) 求函数定义域时 , 定义域必须写成集合或 区间的形式 . (2) 函数的值域由函数的定义域和函数的对应法则确定 , 要特别注意定义域对值域的制约作用 . 热点训练 1 (1) 若 f(x ) 的定义域为 - 3,5 , 则(x) =f ( - x) +f( 2 x+5 ) 的定义域为 . (2) 对任意两实数 a 、 b, 定义运算“ * ”如下 : a*b=,.a a bb a b若若函数 f(x )=12l o g(3x - 2) *lo g 2 x 的值域为 . 解析 : (1) 由 f(x ) 的定义域为 - 3,5, 则(x) 需满足353 2 5 5 得 - 4 x 0, 所以函数(x) 的定义域为 - 4,0. (2) a*b=,.a a bb a b若若而函数 y=12l o g(3x - 2)与 y= x 的大致图象如图所示 , f(x) 的值域为 ( - , 0. 答案 : (1) - 4 ,0 (2) ( - ,0 考向二 利用函数图象求参数的取值范围 已知方程根的存在情况求参数的取值或取值范围问题 ,关键是利用函数及其方程的知识和数形结合思想 , 需要时经过适当变形 , 将方程两边转化为两个熟悉的函数 ,然后在同一直角坐标系中作出这两个函数的图象 , 图象交点的个数即为方程根的个数 . 已知不等式解的情况 ,同样可把两个函数图象的“上、下”位置关系转化为数量关系求出参数的取值范围 . 【例 2 】 设 f( x) 是定义在 R 上的偶函数 , 对任意 x R ,都有 f(x )=f( x+4) , 且当 x - 2,0 时 f(x )=12x- 1, 若在区间 ( - 2 ,6 内关于 x 的方程 f(x) - a ( x+2) =0(a 1) 恰有三个不同的实数根 , 则 a 的取值范围为 ( ) (A) ( B)232232 解析 : 设 x 0 ,2 , 则 - x - 2,0 ,f( - x)= 12x- 1=2. f(x) 是定义在 R 上的偶函数 , 当 x 0,2 时 ,f(x)=2. 对任意 x R , 都有 f(x ) =f( x+4 ), f(x)= 11 , 2 4 , 422 1 , 4 , 2 4k kx k k (k Z ). 关于 x 的方程 f(x) - lo g a (x+ 2)= 0(a 1) 恰有三个不同的实数根 函数 y=f(x) 与函数g(x)=a (x +2)(a1) 恰有三个交点 . 如图所示 , 由图可知在区间 ( - 2 ,6 内有三个交点的条件是( 2 ) 3 ,( 6 ) 3 ,解得 232 0 ),它的图象是顶点为24,24b a c 、对称轴方程为 x=2开口向上的抛物线 . 由数形结合可得在区间 m, n 上 f( x) 的最大值或最小值 : (1) 当2 m ,n 时 ,f( x) 的最小值是=244a c f(x) 的最大值是 f( m) 、 f(n) 中的较大者 .( 如图 ( 1), ( 2) 所示 ) (2) 当2m, n 时 , 若2, 二次函数 f (x) = bx+c 的图象可能是 ( ) 解析 : 由 知 ,a 、 b 、 c 的符号为同正或两负一正 , 当 c0 时 , f(0)=c 0, 对称轴 x=2 , 由图象知选 D. 考向四 指数函数与对数函数的图象与 性质 解简单的指数、对数不等式 ( 方程 ) 时 , 要注意化归和分类讨论思想的应用 , 即对于 x ) x )和 a f( x) a g(x ) , 当 01 时 , 都有 f(x) g(x ). 【例 4 】 (2 0 11 年高考辽宁卷 ) 设函数f(x)=122 , 11 l o g , 1 , 则满足 f (x) 2 的 x 的取值范围是 ( ) (A) - 1,2 (B) 0, 2 (C) 1 ,+ ) (D) 0, + ) 解析 : 当 x 1 时 , f(x ) 2 可化为 21 - x 2, 1 - x 1, x 0, 此时 0 x 1; 当 x1 时 ,f(x) 2 可化为 1 - x 2, 即 x - 1=12, x 12, 此时 x1. x 的取值范围是 x 0. 故选 D. 热点训练 4 已知函数 f(x) 是奇函数 , 当 x 0时 ,f( x)= ax(a 0 且 a 1), 且 f(12l o - 3, 则 a 的 值为 ( ) (A)3(B )3 (C )9 (D )32解析 : f(12l o o =f( - 2)= - f(2)= - - 3, , 解得 a= 3, 又 a0, a=3. 故选 A. 函数与方程思想、数形结合思想在解决函数、不等式中的应用 【典例】 设 f(x ) ,g( x ) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数 , 当 且 g( - 3 )=0 , 则不等式 f (x) g (x) 0, 思想 方法 感悟 熟题感 悟规律 所以 ,F(x) 也是增函数 . 因为 F( - 3)=f( - 3) g( - 3)=0= - F(3). 所以 F(x)0. (1) 解不等式 x 1 ,x 1 +x 2 0, 则 f(x 2 ) - f(x 1 )=f(x 2 )+f( - x 1 )=2121( ) ( )()f x f (x 2 - x 1 ) 0, f(x 2 ) f(x 1 ), f(x) 是增函数 . 0 ,a 1. (1) 对于函数 f(x ) , 当 x ( - 1 ,1) 时 ,f( 1 - m) +f( 1 - 1 时 ,210 , - a- f(x) 是 R 上的增函数 ; 当 00 且 a 1 时 ,f(x) 是 R 上的增函数 . (1) 由 f(1 - m)+f(1 - 0 有 f(1 - m) - f(1 - f(), 221 1 ,1 1 1 ,1 1 1 , 解得 m (1,2). (2) f(x) 是 R 上的增函数 , f(x) - 4 也是 R 上的增函数 , 由 x2, 得 f(x )f (2) , f(x) - 4f (2 ) - 4, 要使 f(x ) - 4 的值恒为负数 , 只需f(2) - 4 0, 即21() - 4 0, 解得 2 a 2+3, a 的取值范围是 2 a 2+3且 a 1. 专题 五 立体几何 【专题概述】 立体几何部分着重考查空间中点、线、面位置关系的判断及 空间角等几何量的计算 , 既有以选择题、填空题形式出现的试题 , 也有以解答题形式出现的试题 选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单求解等 . 空间线面位置关系的题能较全面地考查考生的空间想象能力和对立体几何基础知识的掌握程度 , 也是一个理想的命题方式 . 立体几何解答题在考查空间想象能力的前提下 , 重点考查逻辑推理能力 , 考查方式一般是空间线面位置关系的证明和空间角的计算 . 高考真题自测 热点考向突破 第 1 讲 多面体与球 体验 高考 1.( 20 12 年高考新课标全国卷 , 文 8) 平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1, 球心 O 到平面 的距离为2, 则此球的体积为 ( B ) (A)6 ( B)43 (C)46 (D)63 高考 真题自测 夯 基础 提速度 解析 : 如图所示 , 设截面圆的圆心为 O,A 为截面圆上 任一点 , 则 OA=1,2, , V 球 =34 (3)3=43 . 故选 B. 2.( 20 12 年高考重庆卷 , 文 9) 设四面体的六条棱的长分别为 1,1 ,1, 1 ,2和 a, 且长为 a 的棱与长为2的棱异面 , 则 a 的取值范围是 ( A ) (A) (0 ,2) (B) (0 ,3) (C) (1 ,2) (D) (1 ,3) 解析 : 如图所示 , 设 AB=a, 则 , 其余各棱为1, 则易知 直角三角形 , 直角三角形 , 取 中点 M, 则 M 2,2, 故 a 的最小值应大于 0, 而 a 的最大值应小于 A=2, 即小于2. a 的取值范围是 (0 ,2), 故选 A. 3.( 20 13 年高考大纲全国卷 , 文 16 ) 已知圆 O 和圆 K 是球 其公共弦长等于球 O 的半径 ,3, 且圆 所在的平面所成的一个二面角为 60 , 则球 O 的表面积等于 . 解析 : 如图所示 , 公共弦为 设球的半径为 R, 则 . 取 点 M, 连接 由圆的性质知 A B,K M 所以 圆 O 与圆 K 所在平面所成的一个二面角的平面角 , 则 0 . 在 ,3, 所以 60s i . 在 , 因为 所以 +41 解得 , 所以球 O 的表面积为 4 6 . 答案 : 16 感悟备考 本讲是每年高考中的常考内容 , 主要考查简单多面体与球的几何特征、性质和表面积、体积 , 通常以客观题的形式出现 , 难度中等或以下 , 重点考查空间想象能力、推理和计算能力 . 从近几年的高考命题可以看出 , 很少单独命题直接考查多面体与球的概念和性质 , 更多趋向于柱、锥体与球的组合体的表面积和体积的计算 , 有时涉及到平面图形的翻折、最值等问题 , 突出空间想象能力和分析、解决问题的能力的培养 . 在备考中要掌握常见简单几何体的结构特征及常见组合体间的关系 . 考向 一 空间几何体的结构特征 1. 热点内容 依据柱、锥、台、球的结构特征及相关性质解题 . 2. 问题引领 (1) 有一个面是多边形 , 其余各面是三角形的几何体是棱 锥吗 ? (2) 有两个面相互平行 , 其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗 ? 答案 : (1) 不一定 , 其余各面有一个公共顶点时 , 才是棱锥 . (2) 不一定 . 热点 考向 突破 讲策略 促迁移 【例 1 】 如图是一个几何体的平面展开图 , 其中 正方形 ,E 、 F 分别为 中点 . 在此几何体中 , 给出下面四个结论 : 直线 直线 面 ; 直线 直线 面 ; 直线 平面 ; 该几何体一定是正四棱锥 . 其中正确的结论序号是 ( ) (A) (B) (C) (D) 解析 : 将展开图还原成四棱锥 , 如图所示 . 图 (1) 为正四棱锥 , 图 (2) 为一般四棱锥 . 图 (1) 图 (2) 均有可能 , 所以错误 ; 由四棱锥直观图可知 , 当 E 、 F 分别为 中点时 , 面且相交 , 所以错误 ; 面 , 所以正确 , 因为 面 以 平面 , 所以正确 , 故选 A. 考向二 几何体的表面积与体积 1. 分析几何体的构成是简单几何体或是简单几何体的组合体 . 2. 确定基本量 : 底面边长、高、母线、半径等及其之间的相互关系 ( 必要时借助于模型或构造直角三角形利用勾股定理来求解 ). 3. 求解所求的表面积或体积时 , 注意等体积法、割补法的应用 . 【例 2 】 (2 0 12 年高考江苏卷 ) 如图 , 在长方体 1 B 1 C 1 D 1 中 , 3 =2 则四棱锥A D 1 D 的体积为 解析 : 由题意知 , 四边形 正方形 , 连结 交 O, 则 由面面垂直的性质定理 , 可证 平面 D 1 D. D=3, D=32,23, 因为四棱锥底面 D 1 D 的面积为 32 2=62, 所以1=31 1矩形=6. 答案 : 6 热点训练 2 圆柱形容器内部盛有高度为 8 c m 的水 , 若放入三个相同的球 ( 球的半径与圆柱的底面半径相同 ) 后 , 水恰好淹没最上面的球 ( 如图所示 ), 则球的半径是 c m. 解析 : 设球的半径为 r V 球 +V 水 =V 柱 , 3 34 8= 6r, r=4. 答案 : 4 考向 三 球面距离问题 1. 球面距离是球的大圆上一段劣弧的长 , 所以求球面距离 , 就是求以球心 O 为顶点的扇形的弧长 , 为此需要求出扇形的中心角的弧度数 , 而要求该角 , 又通常需要解三角形 , 利用勾股定理或余弦定理求解 . 2. 与球面距离有关的问题 , 常涉及到球的截面、球的半径之间的关系 , 需要借助图形想象、推断和计算 . 【例 3 】 (2 0 12 年高考四川卷 ) 如图 , 半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面 内 , 过点 O 作平面 的垂线交半球面于点 A, 过圆 O 的直径 与平面 成 45 角的平面与半球面相交 , 所得交线上到平面 的距离最大的点为 B, 该交线上的一点 P 满足 60 , 则 A 、 P 两点间的球面距离为 ( ) (A) Ra o )4 R(C) R c )3 由题意知 , , 平面 平面的夹角为 45 , 如图所示 , 连结 平面上的射影 , 所以 5 . 过点 A 作 平面 点 H, 则 H 一定落在 , 平面 成的角 . 且 5 . 又 0 , 由 co s 45 0 =42. 2, 2. 故选 A. 本题利用最小角定理 化了计算量 , 从而减少了计算错误的发生 . 热点训练 3 如图所示 , 在半径为 3 的球面上有 A 、 B 、 C 三点 , A 9 0 , 球心 O 到平面 A 距离是223, 则 B 、 C 两点的球面距离 是 ( ) (A)3(B) (C)34 (D)2 解析 : 由球的截面 圆 的性 质 知 , 球心 O 在平面 射影 为点 , 由勾股定理知截面 圆 的半 径r= 222233=223, 故 . 所以 正三角形 , 即 , 所以 B 、 C 两 点的球面距离 为 3 3= , 故 选 B. 【备选例题】 【例题】 已知正方形 边长为 22, 将 对角线 使平面 平面 得到如图所示的三棱锥 B 若 C 边的中点 ,M,N 分别为线段O 上的动点 ( 不包括端点 ), 且 B N= 设 x, 则三棱锥N 体积 y= f(x) 的函数图象大致是 ( ) 解析 : 由平面 平面 且 O 为 中点可知 平面 易知 , 故三棱锥 N 高为 - x, S A M C =21 x, 故三棱锥 N 体积为 y=f( x)=31 (2 - x) 2x= x)( 0x2), 函数 f(x) 的图象为开口向下的抛物线的一部分 , 故选 B. 专题 四 概率 与 统计 【专题概述】 高考对本专题的考查命题点多 , 命题背景广 , 题目常与实际生活相联系 . 在高考试卷中一般以一道客观题和一道解答题的形式出现 , 分值 12 17 分 , 难度中等偏下 . 客观题重点考查古典概型、互斥事件及相互独立事件的概率、抽样方法、统计图表的处理、样本数据的处理等 , 常与排列组合相结合 . 解答题重点考查互 斥事件、相互独立事件的概率 . 高考真题自测 热点考向突破 第 1 讲 概 率 体验 高考 1.( 20 12 年高考广东卷 , 理 7) 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个 ,其个位数为 0 的概率是 ( D ) (A)94(B)31(C)92(D)91解析 : 从 10 到 9 9, 这 90 个两位数中 , 符合个位数与十位数之和是奇数的有 45 个 , 其中个位数为 0 的有 :10 、 30 、 50 、 70 、 90 共 5个 , 由古典概型知所求概率为455=91. 故选 D. 高考 真题自测 夯 基础 提速度 2.( 20 12 年高考安徽卷 , 文 10 ) 袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球 , 其中有 1 个红球、 2 个白球和 3个黑球 . 从袋中任取两球 , 两球颜色为一白一黑的概率等于 ( B ) (A)51(B)52(C)53(D)54解析 : 由古典概型概率公式知 P=2613125632=52. 故选 B. 3.( 20 13 年高考大纲全国卷 , 文 20 ) 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛 , 其中两人比赛 , 另一人当裁判 , 每局比赛结束时 , 负的一方在下一局当裁判 各局比赛的结果相互独立 , 第 1 局甲当裁判 . (1) 求第 4 局甲当裁判的概率 ; (2) 求前 4 局中乙恰好当 1 次裁判的概率 . 解 : (1) 记 A 1 表示事件“第 2 局结果为甲胜” , A 2 表示事件“第 3 局甲参加比赛时 , 结果为甲负” , A 表示事件“第 4 局甲当裁判” . 则 A=A 1 A 2 . P(A)=P(A 1 A 2 )=P(A 1 )P(A 2 )=41. (2) 记 B 1 表示事件“第 1 局比赛结果为乙胜” , B 2 表示事件“第 2 局乙参加比赛时 , 结果为乙胜” , B 3 表示事件“第 3 局乙参加比赛时 , 结果为乙胜” , B 表示事件“前 4 局中乙恰好当 1 次裁判” . 则 B=1B B 3 +B 1 B 2 3B+B 1 2B. P(B)=P(1B B 3 +B 1 B 2 3B+B 1 2B) =P(1B B 3 ) +P( B 1 B 2 3B)+P(B 1 2B) =P(1B)P(B 3 ) +P( B 1 ) P(B 2 ) P(3B)+P(B 1 )P(2B) =41+81+41=85. 感悟备考 1. 命题与备考 随机事件的概率、古典概型与排列组合相结合是高考命题的热点 . 在备考中要理解相关的概念 , 掌握基本题型、基本问题 , 做到全面考虑问题 . 2. 小题快做 在含有“至多”、“至少”的问题中 , 若从正面考虑较复杂 , 可采用“正难则反”思想 , 从反面解决 . 该类真题要考虑缜密 , 灵活选择方法达到迅速解决 . 考向 一 随机事件的概率 随机事件的概率问题一般有两类 : 一是用频率估计概率 , 随机事件出现的频率等于此事件发生的次数与试验总次数的比值 , 它是此事件发生的概率的近似值 n 和某事件A 所包含的基本事件数 m, 则可利用公式 P( A)=其中 m,n 的值常用列举法或排列组合数公式求出 . 热点 考向 突破 讲策略 促迁移 【例 1 】 盒子里共有大小相同的 3 只白球 ,1 只黑球 , 若从中随机摸出两只球 , 则它们颜色不同的概率是 . 解析 : 把从盒子中取球看作一次试验 , 从 3 只白球 ,1 只黑球中任取两只颜色不同的小球 , 取法有13C11C=3 种 , 从 4 只小球中任取两只小球 , 取法共有24C=6 种 , 因为每只小球被取出的可能性相同 , 根据等可能事件的概率公式知所求概率为63=21. 答案 :21热点训练 1 (2011 年高考安徽卷 ) 从正六边形的 6个顶点中随机选择 4 个顶点 , 则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 ( ) (A)101(B)81(C)61(D)51解析 : 假设正六边形的 6 个顶点分别为 A ,B, C,D ,E, F,则从 6 个顶点中任取 4 个顶点共有 15 种结果 , 以所取 4 个点作为顶点的四边形是矩形有 3 种结果 , 故所求概率为51. 故选 D. 考向二 互斥事件有一个发生的概率 解答此类问题的一般方法是“大化小” , 即将问题划分为若干个彼此互斥事件的和 , 然后用概率的加法公式求解 . 【例 2 】 从一副混合后的扑克牌 ( 52 张 ) 中随机抽取 1张 , 事件 A 为“抽得红桃 K ” , 事件 B 为“抽得为黑桃” ,则概率 P (A+ B )= .( 结果用最简分数表示 ) 解析 : 一副扑克牌 (52 张 ) 中有 1 张红桃 K,13 张黑桃 , 显然事件 A 、 B 互斥 , P(A+B)=P(A )+P(B)=521+5213=5214=267. 答案 :267关注细节 运用互斥事件的概率加法公式解题时 , 首先要分清事件间是否互斥 , 同时要学会把一个事件拆分为几个互斥事件的和 ,但应注意考虑周全 , 不重不漏 . 热点训练 2 袋中共有 8 个球 , 其中 3 个红球、 2 个白球、 3 个黑球 . 若从袋中任取 3 个球 , 则所取的 3 个球中至多有 1 个红球的概率是 ( ) (A)149(B)5637(C)5639(D)75解析 : 依题意得 , 从该袋中任取 3 个球 , 所取的 3 个球中至多有 1 个红球的概率是1 2 33 5 538C C =75, 故选 D. 考向 三 相互独立事件同时发生的概率与独立重复试验 将问题划分为若干个彼此相互独立的事件 , 然后用概率的乘法公式求解 . 但应正确区分互斥还是对立 . 注意采用“正难则反”思想 . 【例 3 】 某地区试行高考考试改革 : 在高三学年中举行 5次统一测试 , 学生如果通过其中 2 次测试即可获得足够学分升入大学继续学习 , 不用参加其余的测试 , 而每个学生最多也只能参加 5 次测试 . 假设某学生每次通过测试的概率都是31, 每次测试通过与否相互独立 . 规定 : 若前 4 次都没有通过测试 , 则第 5 次不能参加测试 . (1) 求该学生考上大学的概率 ; (2) 如果考上大学或参加完 5 次测试就结束 , 记该学生参加测试的次数为 , 求 P( 3). 解 : (1) 记“该学生考上大学”为事件 A, 其对立事件为A, 则 P(A)=14C3133232+432=24364+8116=243112. P(A)=1 - P(A)=1 43131. (2) 该学生参加测试次数的可能取值为 2,3 ,4, 5 . P( =4)=13C3123231+432=274+8116=8128, P( =5)=14C31332=8132. 故 P( 3)=P( =4)+P( =5)=2720. 关注细节 n 次独立重复试验中某一事件恰好发生 k 次的概率是一种很重要的概率模型 . 其特点是 : 每次试验结果相互之间没有影响 , 即相互独立 . 结果只有两个 , 即要么发生 , 要么不发生 . 恰好发生 k 次的概率 P n (k)= - P)n - k. 热点训练 3 (2012 年高考重庆卷 ) 甲、乙两人轮流投篮 , 每人每次投一球 . 约定甲先投且先投中者获胜 , 一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束 . 设甲每次投篮投中的概率为31, 乙每次投篮投中的概率为21, 且各次投篮互不影响 . (1) 求乙获胜的概率 ; (2) 求投篮结束时乙只投了 2 个球的概率 . 解 : 设 A k ,B k 分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中 , 则 P(A k )=31,P(B k )=21(k=1,2,3). (1) 记“乙获胜”为事件 C, 由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知 , P(C)=P(1 )+P(1 )+P(1 ) =P(1A) P(B 1 )+P(1A) P(1B) P(2A) P(B 2 )+P(1A) P(1B) P(2A) P(2B) P(3A) P(B 3 ) =3221+232221+332321=2713. (2) 记“投篮结束时乙只投了 2 个球” 为事件 D, 则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知 P(D)=P(1 )+P(1A 1 ) =P(1A) P(1B) P(2A) P(B 2 )+P(1A) P(1B) P(2A) P(2B) P(A 3 ) =232221+23222131=274. 【备选例题】 【例题】 (20 11 年高考重庆卷 ) 某市公租房的房源位于 A 、 B 、 C 三个片区 , 设每位申请人只申请其中一个片区的房源 , 且申请其中任一个片区的房源是等可能的 位申请人中 : (1) 没有人申请 A 片区房源的概率 ; (2) 每个片区的房源都有人申请的概率 . 解 :(1) 法一 所有可能的申请方式有 34种 , 而“没有人申请 A 片区房源”的申请方式有 24种 , 所以“没有人申请 A 片区房源的”概率 P=4432=8116. 法二 设对每位申请人的观察为一次试验 , 这是 4 次独立重复试验 , 记“申请 A 片区房源”为事件 A, 则 P (A) =31, 则 没有人申请 A 片区房源的概率为 P 4 (0)= 04432=8116. (2) 所有可能的申请方式有 34种 , 而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有13C24C12 记“每个片区的房源都有人申请”为事件 B, 则 P(B)=41224133=4336=94. 专题 七 解析几何 【专题概述】 解析几何是高考的重要内容之一 , 在高考试卷中所占的分数一般在 22 分左右 . 一般以两道客观题和一道解答题的形式出现 . 客观题主要考查直线和圆的方程以及位置关系 , 椭圆、双曲线或抛物线的概念、标准方程以及简单的几何性质 ; 解答题则主要以直线与抛物线、椭圆的位置关系为主体考查有关的存在性、定点定值与最值、特定字母的取值范围等问题 . 高考真题自测 热点考向突破 思想方法感悟 第 1 讲 直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质 体验 高考 1.( 20 12 年高考重庆卷 , 理 3) 对任意的实数 k, 直线y= 与圆 x2+ 的位置关系一定是 ( C ) (A) 相离 (B) 相切 (C) 相交但直线不过圆心 (D) 相交且直线过圆心 高考 真题自测 夯 基础 提速度 2.( 20 12 年高考大纲全国卷 , 文 5) 椭圆的中心在原点 , 焦距为 4, 一条准线为 x= - 4, 则该椭圆的方程为 ( C ) (A)216x+212y=1 ( B)212x+28y=1 (C)28x+24y=1 ( D)212x+24y=1 解析 : 由题意知椭圆的焦点在 x 轴上 , 故可设椭圆方程为22221(ab0), 由题意知22 4 ,4,22,8, b2=, 故所求椭圆方程为28x+24y=1 . 故选 C. 3.(20 13 年高考大纲全国卷 , 文 8) 已知 F 1 ( - 1,0 ),F 2 (1 ,0) 是椭圆 C 的两个焦点 , 过 F 2 且垂直于 x 轴的直线交 C 于 A 、 且, 则 C 的方程为 ( C ) (A)22x+ (B )23x+22y=1 (C)24x+23y=1 (D)25x+24y=1 解析 : 依题意设椭圆 C 的方程为22221(ab0), 由条件可得 , 因 |2=22 , 即2a, 所以22 2 22 3 ,1,b c 解得2,3,所以椭圆 C 的方程为24x+23y=1. 故选 C. 4.(2013 年高考大纲全国卷 , 文 12) 已知抛物线 C: x 与点 M( - 2, 2),过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A 、 B 两点 , 若B=0, 则 D ) (A)12(B)22(C)2(D)2 解析 : 法一 设直线方程为 y=k(x - 2),A(x 1 ,y 1 ) 、 B(x 2 ,y 2 ), 由2( 2 ) ,8,y k 得 ()x+4, x 1 +x 2 =224 ( 2 )x 1 x 2 =4, 由B=0, 得 (x 1 +2,y 1 - 2) (x 2 +2,y 2 - 2)= (x 1 +2)(x 2 +2)+k(x 1 - 2) - 2k(x 2 - 2) - 2=0, 代入整理得 k+4=0, 解得 k=2. 故选 D. 法二 如图所示 , 设 F 为焦点 , 取 点 P, 过 A 、 B 分别作准线的垂线 , 垂足分别为 G 、 H, 连接 P, 由B=0, 知 则 |12|12(|), 所以 直角梯形 中位线 , 所以 所以 又 | |, 所以 所以 9 0 , 则 所以 k= . 感悟备考 直线与圆的位置关系 , 椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程及 a 、 b 、 c 、 e 、渐近线及准线之间的相互转化、弦长问题等知识是高考客观题命题的热点 , 在备考中 ,(1 ) 熟记各种直线方程及直线位置关系的判定方法 .(2 ) 熟记圆的标准方程、一般方程、参数方程及相互转化 . (3) 熟记三种圆锥曲线的定义、标准方程及字母常数 a 、 b 、 c 、 e 的几何意义 .( 4) 准确理解双曲线的渐近线及椭圆、抛物线的准线的含义 .( 5) 注意数形结合、分类讨论等常用思想方法的运用 .(6 ) 掌握设而不求的整体代入法、点差法、待定系数法等方法的运用 . 考向 一 直线方程及位置关系 1. 求直线方程时要注意的问题 (1) 求直线方程的本质是确定方程中的系数 , 基本方法是待定系数法 , 求解时要根据所给的条件 灵活选用直线方程的 形式 . (2) 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都有局限性 , 在应用时一定要注意对其特殊情况的补充说明 . 热点 考向 突破 讲策略 促迁移 2. 直线与直线位置关系的判断方法 (1) 若给定两条直线 l 1 :y =k 1 x+b 1 和 l 2 : y=k 2 x+ b 2 , 则有下列结论 :l 1 l 2 k 1 =k 2 且 b 1 b 2 ;l 1 l 2 k 1 k 2 = - 1. (2) 若给定的方程是一般式 , 即 l 1 :A 1 x +B 1 y+C 1 =0 和l 2 :A 2 x +B 2 y+C 2 =0 , 则有下列结论 : l 1 l 2 A 1 B 2 - A 2 B 1 =0 且 B 1 C 2 - B 2 C 1 0 ;l 1 l 2 A 1 A 2 +B 1 B 2 =0 . 【例 1 】 (2 0 12 年高考浙江卷 ) 设 a R , 则“ a =1 ” 是“直线 l 1 :2y - 1=0 与直线 l 2 :x+ 2y+ 4 =0 平行” 的 ( ) (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 解析 : 若直线 l 1 l 2 , 则 2a - 2=0, a=1, a=1 是 l 1 l 2 的充要条件 , 故选 C. 热点训练 1 (2011 年高考浙江卷 ) 若直线x - 2y+ 5=0 与直线 2x + 6=0 互相垂直 , 则实数m= . 解析 : 由题意得 1 2 +( - 2) m =0, m=1 . 答案 : 1 考向二 利用直线与圆的位置关系求参数 直线 l:A x+C=0 (2 0) 与圆 M:(x - a)2+(y - b)2=r0) 的位置关系的判定方法有两种 : (1) 几何法 : 设圆心到直线 l 的距离为 | 则直线 l 与圆 M 相离、相切或相交 | 22a A B b 大于r 、等于 r 或小于 r. (2) 代数法 : 由2 2 20,( ) ( )A x B y Cx a y b r 消去 y( 或消去 x) 可得形如 x2+ q=0 ( 或y2+p y+q = 0) 的方程 . 设 = q, 则直线 l 与圆 M 相离、相切或相交 小于 0 、等于 0 或大于 0. 【例 2 】 (20 11 年高考江西卷 ) 若曲线 C 1 :x2+x=0 与曲线 C 2 : y(y - m )=0 有四个不同的交点 , 则实数 m 的取值范围是 ( ) (A)33,33(B)3,0330,3(C)33,33(D)3,3 3,3解析 : 法一 ( 几何法 ) C 1 :(x - 1)2+, C 2 :y=0 或 y=mx+m=m (x+1). 当 m=0 时 ,C 2 :y= 0 , 此时 C 1 与 C 2 显然只有两个交点 ; 当 m 0 时 , 要满足题意 , 需圆 (x - 1)2+ 与直线 y=m ( x+1 ) 有两个交点 , 当圆与直线相切时 ,m= 33, 即直线处于两切线之间时满足题意 , 则 m 0 得 b 0) 的离心率为 2, 若抛物线 C 2 :2 p0 ) 的焦点到双曲线 C 1 的渐近线的距离为 2, 则抛物线 C 2 的方程为 ( ) (A)33y
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